19 orauxthermo

P.C.S.I. 2
Exercices sur le premier principe de thermodynamique
I. Deux chemins
On consid`ere n= 0,5mol d’un gaz parfait diatomique enferm´e dans un cylindre subissant une transformation
de l’´etat 1: (P1, T1= 287 K, V1= 5 L) `a l’´etat 2: (P2, T2= 350 K, V2= 20 L).
1. Calculer P1et P2. Repr´esenter dans le diagramme de Clapeyron les ´etats 1 et 2 et les isothermes de
temp´eratures T1et T2.
2. On envisage deux chemins :
- chemin 1−> A−>2 compos´e d’une transformation isochore suivie d’une transformation isotherme
- chemin 1−> B−>2 compos´e d’une transformation isotherme suivie d’une transformation isochore
Ajouter les ´etats Aet Bsur le diagramme de Clapeyron et calculer PAet PB.
3. Pour chacun des ces chemins, calculer ∆U12 ,W12 et Q12. Commenter les r´esultats.
4. On envisage maintenant une transformation adiabatique r´eversible du gaz de l’´etat 1 `a l’´etat 3 de
temp´erature T3= 400 K. Calculer V3,P3et W13 .
II. D´etente d’un gaz parfait
Un gaz parfait de coefficient γest contenu dans un cylindre ferm´e par un piston, l’ensemble ´etant calorifug´e.
La pression ext´erieure est P0. Dans l’´etat initial, le pisotn est bloqu´e et le gaz est comprim´e sous la pression
P1> P0, occupant le volume V1`a la temp´erature T1. On lib`ere le piston et on laisse le syst`eme ´evoluer
librement, on note P2,V2et T2, sa pression, son volume et sa temp´erature dans l’´etat final. On pose x=P0
P1
.
Donn´ees pour les applications nu´emriques : T1= 300 K,V1= 3 L,P1= 4 bar, le GP est monoatomique et
x= 0,25.
Pext=P0
P1 V1 T1
Pext=P0
P2 V2 T2
1. Exprimer T2en fonction de T1,xet γ. AN.
2. Exprimer V2en fonction de V1,xet γ. AN.
3. Calculer W12 de deux fa¸cons diff´erentes. AN.
4. Le gaz est `a nouveau dans l’´etat initial 1, on enl`eve la but´ee et on retient le piston pour qu’il ait un
mouvement lent. On note P′
2,V′ 2et T′ 2, sa pression, son volume et sa temp´erature dans l’´etat final.
4.a. Exprimer T′
2en fonction de T1,xet γ. AN.
4.b. Exprimer V′
2en fonction de V1,xet γ. AN.
4.c. Calculer W12′. AN.
5. Repr´esenter dans le diagramme de Clapeyron: les ´etats 1, 2 et 2′, les transformations 12 et 12′(si pos-
sible) et les travaux W12 et W12′. Commenter.
1

III. D´etente d’un gaz parfait
On consid`ere une mole d’un gaz parfait diatomique (γ= 1,4) contenue dans un r´ecipient adiabatique A, le
gaz est `a la temp´erature T1= 350 Ket `a la pression P1= 2.105P a. Cette enceinte communique au moyen
d’un robinet Ravec une autre enceinte Badiabatique de volume variable, initialement nul. L’une de ses
parois est un piston de masse n´egligeable, mobile sans frottement. Au-dessus du piston r`egne en permanence
une pression P0= 105P a.
A
BP0
1. On ouvre le robinet R:
1.a. On laisse le piston ´evoluer librement. Calculer la temp´erature finale T2du gaz en fonction de
T1,P0,P1et γ.
Calculer le travail W12 .
1.b. On retient le piston de fa¸con `a ce qu’il se d´eplace tr`es lentement. Calculer la temp´erature
finale T3du gaz en fonction de T1,P0,P1et γ.
Calculer le travail W13 .
1.c. Repr´esenter dans le diagramme de Clapeyron: les ´etats 1, 2 et 3, les transformations 12 et 13
(si possible) et les travaux W12 et W13 . Commenter.
2. Le syst`eme est dans l’´etat 2. On porte la temp´erature de la totalit´e du gaz qui occupe les deux enceintes
de T2= 300 K`a T4= 400 Ken le mettant en contact avec un thermostat de temp´erature T4. Calculer le
transfert thermique re¸cu par le gaz.
IV. R´esistance chauffante
Un r´ecipient aux parois rigides et calorifug´ees, contient deux GP diatomiques s´epar´es par une paroi adia-
batique pouvant se d´eplacer sans frottement. Les volumes occup´es par chaque gaz A et B peuvent donc
varier.
Initialement les param`etres pour chacun des gaz sont : Pi= 105P a,Ti= 300 Ket Vi= 1 L. Un g´en´erateur
´electrique fournit de l’´energie au gaz A par l’interm´ediaire d’une r´esistance de valeur R0= 10 Ω et parcouru
par un courant d’intensit´e I= 1 Apendant une dur´ee τau cours de laquelle le volume du gaz A atteint la
valeur VA= 1,4L. L’´etat final de cette ´evolution suppos´ee r´eversible est d´efini par : VA,VB,TA,TB,PAet
PB.
I
gaz A gaz B
R0
paroi mobile
1. Calculer PA,PB,VA,VB,TAet TB.
2. Calculer τ.
3. Calculer le travail WBre¸cu par le gaz B.
4. On enl`eve la r´esistance chauffante et on remplace la paroi mobile adiabatique par une paroi mobile
diathermane.
Calculer V′
A,V′ B,T′ A,T′ B,P′ Aet P′ B, les volumes, temp´eratures et pressions dans l’´etat final.
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V. Compression
n= 0,2mol de dioxyg`ene assimil´e `a un GP sont enferm´es dans un r´ecipient aux parois diathermanes, ferm´e
par un piston de masse m= 100 kg. La pression et la temp´erature de l’atmosph`ere sont P0= 1 bar et
T0= 290 K. La section du cylindre est S= 0,02 m2. On prend R= 8,3SI et g= 10 m.s−2.
Dans l’´etat initial, le gaz est `a la pression P1= 0,3bar. On note T1et V1sa temp´erature et son volume. Le
piston est maintenu immobile par deux but´ees.
P0=1 bar
T0=290 K
P1
T1
V1
m
P0=1 bar
T0=290 K
P2
T2
V2
m
1. Exprimer et calculer T1et V1.
2. Quelle but´ee peut-on retirer sans que le piston ne se mette en mouvement?
3. On retire les deux but´ees. Dans le nouvel ´etat d’´equilibre, on note P2,T2et V2, la pression, la temp´erature
et le volume du gaz.
3.a. Exprimer et calculer P2,T2et V2.
3.b. Exprimer et calculer W12, ∆U12 et Q12.
4. Le gaz se trouve `a nouveau dans l’´etat d’´equilibre initial P1,V1,T1. On retire les but´ees mais en agissant
sur le piston pour qu’il se d´eplace lentement. Dans le nouvel ´etat d’´equilibre, on note P3,T3et V3, la
pression, la temp´erature et le volume du gaz.
4.a. Exprimer et calculer P3,T3et V3.
4.b. Exprimer et calculer W13, ∆U13 et Q13.
5. Repr´esenter dans le diagramme de Clapeyron, la transformation 13. Repr´esenter W12 et W13 . Les com-
parer et v´erifier la coh´erence avec les r´esultats pr´ec´edents.
VI. Equilibre d’un piston
Un cylindre horizontal est partag´e en deux parties par un piston mobile sans frottement. Ces deux parties
contiennent respectivement n1et n2moles d’un gaz parfait monoatomique (γ= 5/3). Les parois et le piston
sont diathermanes.
Dans l’´etat initial, le piston est maintenu en place par un op´erateur, le cylindre est alors divis´e en deux
parties ´egales de mˆeme volume V0=L0S= 10 Let mˆeme temp´erature T0= 300 K. Les pressions sont
P1= 2 atm et P2= 1 atm.
1. On lˆache le piston. D´eterminer :
- le d´eplacement xdu piston en fonction de L0(longueur initiale des compartiments)
- la pression P′qui r`egne dans les compartiments. Faire l’application num´erique.
2. Les parois et le piston sont maintenant calorifug´es. Au moyen d’une r´esistance R= 1 kΩ parcouru
par un courant I= 0,4A, on chauffe le compartiment 2 jusqu’`a ce que le piston revienne dans sa position
initiale, le cylindre est alors divis´e en deux parties ´egales de mˆeme volume V0.
2.a. Caract´eriser la transformation subie par le gaz dans le compartiment 1. Calculer la pression
P′′
1et la temp´erature T′′ 1du gaz dans le compartiment 1.
2.b. En d´eduire la pression et la temp´erature T′′
2dans le compartiment 2.
2.c. Calculer la variation d’´energie interne de l’ensemble 1 + 2. En d´eduire le temps τpendant
lequel il aura fallu laisser le courant Icirculer dans la r´esistance.
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VII. D´etente de Joule Thomson
Dans tout le probl`eme, le gaz naturel est assimil´e `a du m´ethane pur, de masse molaire M= 16 g.mol−1. Le
m´ethane est assimil´e `a un gaz de Van der Waals dont l’´equation d’´etat pour une mole s’´ecrit : P=RT
V−b
−
a
V2
avec b= 4,33.10−5m3.mol−1,R= 8,31 SI,a= 0,232 P a.m6.mol−2.
On adopte l’expression approch´ee suivante pour l’enthalpie molaire Hdu m´ethane : H=H0+ (CV+R)T+
(b−
2a
RT )Pou H0est une constante et CV= 27,0J.K−1.mol−1
1. D´ecrire la d´etente de Joule-Kelvin et montrer qu’elle est isenthalpique.
2. Montrer que dH = (CV+R)dT + (b−
2a
RT )dP (expression approch´ee). En d´eduire que la d´etente peut
permettre de refroidir le fluide quelle que soit la valeur de la pression finale P2, d`es lors que la temp´erature
initiale T1est inf´erieure `a une temp´erature limite TLque l’on exprimera en fonction de a,bet R. Calculer
num´eriquement TLpour le m´ethane.
3. On r´ealise une d´etente du m´ethane et l’on fixe la pression finale `a P2= 1,2bar.
3.a. Quel est l’int´erˆet, en termes de s´ecurit´e de l’installation de choisir P2l´eg`erement sup´erieure `a
la pression atmosph´erique ?
3.b. Calculer la valeur qu’il faut choisir pour la pression initiale P1si l’on veut atteindre T2= 120 K
en partant de T1= 300 K.
VIII. Cycle d’un gaz parfait
Une masse m= 15 gd’air que l’on assimile `a un gaz parfait diatomique de coefficient γ=CP
CV
= 1,4 de
masse molaire M= 29 g/mol. Depuis l’´etat initial E1de temp´erature T1= 350 Ket de pression P1= 1 bar,
le gaz subit un cycle de transformations suppos´ees quasi-statiques le menant aux ´etats successifs E2,E3,
E4et E1selon:
E1−> E2une compression isotherme, la pression final ´etant P2= 6P1
E2−> E3un ´echauffement isobare, la temp´erature finale ´etant T3= 1400 K
E3−> E4une d´etente adiabatique r´eversible
E4−> E1un refroidissement isobare
On note R= 8,31 SI la constante des gaz parfaits. Les grandeurs Pk,Vket Tk,k´etant un entier variant de
1 `a 4, d´esignent respectivement les pression, volume et temp´erature de l’´etat Ek.
1. Repr´esenter l’allure du cycle dans le diagramme de Clapeyron Pen fonction de V. Pr´eciser le sens de
parcours sur le cycle.
2. Recopier le tableau suivant sur votre copie et le compl´eter en justifiant les r´eponses:
´etat E1E2E3E4
P(P a)
T(K)
V(L)
3. Calculer litt´eralement et num´eriquement les travaux W12,W23,W34 et W41 .
4. Calculer litt´eralement et num´eriquement les transferts thermiques Q12,Q23,Q34 et Q41.
5. Calculer Wcycle et Qcycle et commenter les r´esultats obtenus.
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IX. Cascade de refroidissement
1. Un gaz parfait monoatomique subit une compression isotherme `a la temp´erature T0qui le fait passer de
la pression P= 1 atm `a la pression P′= 100 atm. Il subit ensuite une d´etente adiabatique r´eversible
qui le ram`ene `a la pression P= 1 atm. D´eterminer la temp´erature finale T1du gaz apr`es cette double
transformation en fonction de T0. AN : caluler T1pour T0= 400 K
2. On recommence ensuite la meme suite de deux op´erations : une transformation isotherme `a la
temp´erature T1de la pression P= 1 atm `a la pression P′= 100 atm suivie d’une d´etente adia-
batique r´eversible qui le ram`ene `a la pression P= 1 atm. D´eterminer litt´eralement et num´eriquement
la temp´erature finale T2atteinte apr`es ces deux transformations.
Repr´esenter l’allure de l’ensemble de ces transformations sur un diagramme de Clapeyron.
3. Trouver la formule g´en´erale permettant d’exprimer la temp´erature Tnatteinte apr`es ndoubles op´erations
successives, chacune de ces op´erations ´etant, `a partir de la temp´erature Tn−1pr´ec´edemment atteinte,
la suite d’une compression isotherme de la pression P= 1 atm `a la pression P′= 100 atm suivie d’une
d´etente adiabatique r´eversible qui le ram`ene `a la pression P= 1 atm. AN: calculer Tnpour n= 3 et
n= 10.
4. Quelles sont les variations d’´energie interne ∆Uet d’enthalpie ∆H, et l’´energie thermique Q1re¸cue
par une mole de gaz au cours de la premi`ere transformation isotherme? puis au cours de la ni`eme
compression isotherme. AN: calculer Qnpour n= 1, n= 2 et n= 10.
5. Quel est le travail W1pour une mole de gaz au cours de la premi`ere transformation adiabatique
r´eversible? quel est le travail Wnpour une mole de gaz au cours de la ni`eme transformation adiaba-
tique r´eversible? AN : calculer Wnpour n= 1 et n= 2.
X. Transformation cyclique d’un gaz parfait
Une masse m= 5,6gde diazote est contenue dans un cylindre ferm´e par un piston. Initialement le gaz est
`a la temp´erature TA= 300 Ket il occupe un volume VA= 6 L. Le diazote sera consid´er´e comme un gaz
parfait diatomique pour lequel γ= 1,4. On rappelle que la masse molaire de l’azote est M= 14 g/mol.
Le gaz est comprim´e de mani`ere adiabatique et r´eversible jusqu’`a ce qu’il occupe un volume VB= 1,2L. Il
est ensuite ramen´e au volume VC=VA= 6 Lau cours d’une transformation isotherme et r´eversible.
1. Calculer la temp´erature TBet la pression PB.
2. Calculer la temp´erature TCet la pression PC.
3. On laisse le gaz revenir `a son tat initial Apar une transformation CA r´eversible et isochore.
(a) Repr´esenter les transformations cycliques sur un diagramme de Clapeyron.
(b) D´eterminer le travail ´echang´e par le gaz et le milieu ext´erieur au cours d’un cycle.
(c) D´eterminer l’´energie thermique ´echang´ee par le gaz et le milieu extrieur au cours d’un cycle.
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