P.C.S.I. 2 Exercices sur le premier principe de thermodynamique I. Deux chemins On considère n = 0, 5 mol d’un gaz parfait diatomique enfermé dans un cylindre subissant une transformation de l’état 1: (P1 , T1 = 287 K, V1 = 5 L) à l’état 2: (P2 , T2 = 350 K, V2 = 20 L). 1. Calculer P1 et P2 . Représenter dans le diagramme de Clapeyron les états 1 et 2 et les isothermes de températures T1 et T2 . 2. On envisage deux chemins : - chemin 1− > A− > 2 composé d’une transformation isochore suivie d’une transformation isotherme - chemin 1− > B− > 2 composé d’une transformation isotherme suivie d’une transformation isochore Ajouter les états A et B sur le diagramme de Clapeyron et calculer PA et PB . 3. Pour chacun des ces chemins, calculer ∆U12 , W12 et Q12 . Commenter les résultats. 4. On envisage maintenant une transformation adiabatique réversible du gaz de l’état 1 à l’état 3 de température T3 = 400 K. Calculer V3 , P3 et W13 . II. Détente d’un gaz parfait Un gaz parfait de coefficient γ est contenu dans un cylindre fermé par un piston, l’ensemble étant calorifugé. La pression extérieure est P0 . Dans l’état initial, le pisotn est bloqué et le gaz est comprimé sous la pression P1 > P0 , occupant le volume V1 à la température T1 . On libère le piston et on laisse le système évoluer P0 librement, on note P2 , V2 et T2 , sa pression, son volume et sa température dans l’état final. On pose x = . P1 Données pour les applications nuémriques : T1 = 300 K, V1 = 3 L, P1 = 4 bar, le GP est monoatomique et x = 0, 25. Pext=P0 Pext=P0 P1 V1 T1 P2 V2 T2 1. Exprimer T2 en fonction de T1 , x et γ. AN. 2. Exprimer V2 en fonction de V1 , x et γ. AN. 3. Calculer W12 de deux façons différentes. AN. 4. Le gaz est à nouveau dans l’état initial 1, on enlève la butée et on retient le piston pour qu’il ait un mouvement lent. On note P2′ , V2′ et T2′ , sa pression, son volume et sa température dans l’état final. 4.a. Exprimer T2′ en fonction de T1 , x et γ. AN. 4.b. Exprimer V2′ en fonction de V1 , x et γ. AN. 4.c. Calculer W12′ . AN. 5. Représenter dans le diagramme de Clapeyron: les états 1, 2 et 2′ , les transformations 12 et 12′ (si possible) et les travaux W12 et W12′ . Commenter. 1 III. Détente d’un gaz parfait On considère une mole d’un gaz parfait diatomique (γ = 1, 4) contenue dans un récipient adiabatique A, le gaz est à la température T1 = 350 K et à la pression P1 = 2.105 P a. Cette enceinte communique au moyen d’un robinet R avec une autre enceinte B adiabatique de volume variable, initialement nul. L’une de ses parois est un piston de masse négligeable, mobile sans frottement. Au-dessus du piston règne en permanence une pression P0 = 105 P a. B P0 A 1. On ouvre le robinet R: 1.a. On laisse le piston évoluer librement. Calculer la température finale T2 du gaz en fonction de T1 , P0 , P1 et γ. Calculer le travail W12 . 1.b. On retient le piston de façon à ce qu’il se déplace très lentement. Calculer la température finale T3 du gaz en fonction de T1 , P0 , P1 et γ. Calculer le travail W13 . 1.c. Représenter dans le diagramme de Clapeyron: les états 1, 2 et 3, les transformations 12 et 13 (si possible) et les travaux W12 et W13 . Commenter. 2. Le système est dans l’état 2. On porte la température de la totalité du gaz qui occupe les deux enceintes de T2 = 300 K à T4 = 400 K en le mettant en contact avec un thermostat de température T4 . Calculer le transfert thermique reçu par le gaz. IV. Résistance chauffante Un récipient aux parois rigides et calorifugées, contient deux GP diatomiques séparés par une paroi adiabatique pouvant se déplacer sans frottement. Les volumes occupés par chaque gaz A et B peuvent donc varier. Initialement les paramètres pour chacun des gaz sont : Pi = 105 P a, Ti = 300 K et Vi = 1 L. Un générateur électrique fournit de l’énergie au gaz A par l’intermédiaire d’une résistance de valeur R0 = 10 Ω et parcouru par un courant d’intensité I = 1 A pendant une durée τ au cours de laquelle le volume du gaz A atteint la valeur VA = 1, 4 L. L’état final de cette évolution supposée réversible est défini par : VA , VB , TA , TB , PA et PB . paroi mobile I R0 gaz A gaz B 1. Calculer PA , PB , VA , VB , TA et TB . 2. Calculer τ . 3. Calculer le travail WB reçu par le gaz B. 4. On enlève la résistance chauffante et on remplace la paroi mobile adiabatique par une paroi mobile diathermane. Calculer VA′ , VB′ , TA′ , TB′ , PA′ et PB′ , les volumes, températures et pressions dans l’état final. 2 V. Compression n = 0, 2 mol de dioxygène assimilé à un GP sont enfermés dans un récipient aux parois diathermanes, fermé par un piston de masse m = 100 kg. La pression et la température de l’atmosphère sont P0 = 1 bar et T0 = 290 K. La section du cylindre est S = 0, 02 m2 . On prend R = 8, 3 SI et g = 10 m.s−2 . Dans l’état initial, le gaz est à la pression P1 = 0, 3 bar. On note T1 et V1 sa température et son volume. Le piston est maintenu immobile par deux butées. P0=1 bar T0=290 K P0=1 bar T0=290 K m m P2 P1 T2 T1 V2 V1 1. Exprimer et calculer T1 et V1 . 2. Quelle butée peut-on retirer sans que le piston ne se mette en mouvement? 3. On retire les deux butées. Dans le nouvel état d’équilibre, on note P2 , T2 et V2 , la pression, la température et le volume du gaz. 3.a. Exprimer et calculer P2 , T2 et V2 . 3.b. Exprimer et calculer W12 , ∆U12 et Q12 . 4. Le gaz se trouve à nouveau dans l’état d’équilibre initial P1 , V1 , T1 . On retire les butées mais en agissant sur le piston pour qu’il se déplace lentement. Dans le nouvel état d’équilibre, on note P3 , T3 et V3 , la pression, la température et le volume du gaz. 4.a. Exprimer et calculer P3 , T3 et V3 . 4.b. Exprimer et calculer W13 , ∆U13 et Q13 . 5. Représenter dans le diagramme de Clapeyron, la transformation 13. Représenter W12 et W13 . Les comparer et vérifier la cohérence avec les résultats précédents. VI. Equilibre d’un piston Un cylindre horizontal est partagé en deux parties par un piston mobile sans frottement. Ces deux parties contiennent respectivement n1 et n2 moles d’un gaz parfait monoatomique (γ = 5/3). Les parois et le piston sont diathermanes. Dans l’état initial, le piston est maintenu en place par un opérateur, le cylindre est alors divisé en deux parties égales de même volume V0 = L0 S = 10 L et même température T0 = 300 K. Les pressions sont P1 = 2 atm et P2 = 1 atm. 1. On lâche le piston. Déterminer : - le déplacement x du piston en fonction de L0 (longueur initiale des compartiments) - la pression P ′ qui règne dans les compartiments. Faire l’application numérique. 2. Les parois et le piston sont maintenant calorifugés. Au moyen d’une résistance R = 1 kΩ parcouru par un courant I = 0, 4 A, on chauffe le compartiment 2 jusqu’à ce que le piston revienne dans sa position initiale, le cylindre est alors divisé en deux parties égales de même volume V0 . 2.a. Caractériser la transformation subie par le gaz dans le compartiment 1. Calculer la pression P1′′ et la température T1′′ du gaz dans le compartiment 1. 2.b. En déduire la pression et la température T2′′ dans le compartiment 2. 2.c. Calculer la variation d’énergie interne de l’ensemble 1 + 2. En déduire le temps τ pendant lequel il aura fallu laisser le courant I circuler dans la résistance. 3 VII. Détente de Joule Thomson Dans tout le problème, le gaz naturel est assimilé à du méthane pur, de masse molaire M = 16 g.mol−1 . Le RT a méthane est assimilé à un gaz de Van der Waals dont l’équation d’état pour une mole s’écrit : P = − 2 V −b V avec b = 4, 33.10−5 m3 .mol−1 , R = 8, 31 SI, a = 0, 232 P a.m6 .mol−2 . On adopte l’expression approchée suivante pour l’enthalpie molaire H du méthane : H = H0 + (CV + R)T + 2a (b − )P ou H0 est une constante et CV = 27, 0 J.K −1 .mol−1 RT 1. Décrire la détente de Joule-Kelvin et montrer qu’elle est isenthalpique. 2a 2. Montrer que dH = (CV + R)dT + (b − )dP (expression approchée). En déduire que la détente peut RT permettre de refroidir le fluide quelle que soit la valeur de la pression finale P2 , dès lors que la température initiale T1 est inférieure à une température limite TL que l’on exprimera en fonction de a, b et R. Calculer numériquement TL pour le méthane. 3. On réalise une détente du méthane et l’on fixe la pression finale à P2 = 1, 2 bar. 3.a. Quel est l’intérêt, en termes de sécurité de l’installation de choisir P2 légèrement supérieure à la pression atmosphérique ? 3.b. Calculer la valeur qu’il faut choisir pour la pression initiale P1 si l’on veut atteindre T2 = 120 K en partant de T1 = 300 K. VIII. Cycle d’un gaz parfait CP = 1, 4 de CV masse molaire M = 29 g/mol. Depuis l’état initial E1 de température T1 = 350 K et de pression P1 = 1 bar, le gaz subit un cycle de transformations supposées quasi-statiques le menant aux états successifs E2 , E3 , E4 et E1 selon: Une masse m = 15 g d’air que l’on assimile à un gaz parfait diatomique de coefficient γ = E1 − > E2 une compression isotherme, la pression final étant P2 = 6P1 E2 − > E3 un échauffement isobare, la température finale étant T3 = 1400 K E3 − > E4 une détente adiabatique réversible E4 − > E1 un refroidissement isobare On note R = 8, 31 SI la constante des gaz parfaits. Les grandeurs Pk , Vk et Tk , k étant un entier variant de 1 à 4, désignent respectivement les pression, volume et température de l’état Ek . 1. Représenter l’allure du cycle dans le diagramme de Clapeyron P en fonction de V . Préciser le sens de parcours sur le cycle. 2. Recopier le tableau suivant sur votre copie et le compléter en justifiant les réponses: état P (P a) T (K) V (L) E1 E2 E3 E4 3. Calculer littéralement et numériquement les travaux W12 , W23 , W34 et W41 . 4. Calculer littéralement et numériquement les transferts thermiques Q12 , Q23 , Q34 et Q41 . 5. Calculer Wcycle et Qcycle et commenter les résultats obtenus. 4 IX. Cascade de refroidissement 1. Un gaz parfait monoatomique subit une compression isotherme à la température T0 qui le fait passer de la pression P = 1 atm à la pression P ′ = 100 atm. Il subit ensuite une détente adiabatique réversible qui le ramène à la pression P = 1 atm. Déterminer la température finale T1 du gaz après cette double transformation en fonction de T0 . AN : caluler T1 pour T0 = 400 K 2. On recommence ensuite la meme suite de deux opérations : une transformation isotherme à la température T1 de la pression P = 1 atm à la pression P ′ = 100 atm suivie d’une détente adiabatique réversible qui le ramène à la pression P = 1 atm. Déterminer littéralement et numériquement la température finale T2 atteinte après ces deux transformations. Représenter l’allure de l’ensemble de ces transformations sur un diagramme de Clapeyron. 3. Trouver la formule générale permettant d’exprimer la température Tn atteinte après n doubles opérations successives, chacune de ces opérations étant, à partir de la température Tn−1 précédemment atteinte, la suite d’une compression isotherme de la pression P = 1 atm à la pression P ′ = 100 atm suivie d’une détente adiabatique réversible qui le ramène à la pression P = 1 atm. AN: calculer Tn pour n = 3 et n = 10. 4. Quelles sont les variations d’énergie interne ∆U et d’enthalpie ∆H, et l’énergie thermique Q1 reçue par une mole de gaz au cours de la première transformation isotherme? puis au cours de la nième compression isotherme. AN: calculer Qn pour n = 1, n = 2 et n = 10. 5. Quel est le travail W1 pour une mole de gaz au cours de la première transformation adiabatique réversible? quel est le travail Wn pour une mole de gaz au cours de la nième transformation adiabatique réversible? AN : calculer Wn pour n = 1 et n = 2. X. Transformation cyclique d’un gaz parfait Une masse m = 5, 6 g de diazote est contenue dans un cylindre fermé par un piston. Initialement le gaz est à la température TA = 300 K et il occupe un volume VA = 6 L. Le diazote sera considéré comme un gaz parfait diatomique pour lequel γ = 1, 4. On rappelle que la masse molaire de l’azote est M = 14 g/mol. Le gaz est comprimé de manière adiabatique et réversible jusqu’à ce qu’il occupe un volume VB = 1, 2 L. Il est ensuite ramené au volume VC = VA = 6 L au cours d’une transformation isotherme et réversible. 1. Calculer la température TB et la pression PB . 2. Calculer la température TC et la pression PC . 3. On laisse le gaz revenir à son tat initial A par une transformation CA réversible et isochore. (a) Représenter les transformations cycliques sur un diagramme de Clapeyron. (b) Déterminer le travail échangé par le gaz et le milieu extérieur au cours d’un cycle. (c) Déterminer l’énergie thermique échangée par le gaz et le milieu extrieur au cours d’un cycle. 5 XI. Transformation monobare d’un gaz parfait Une mole de gaz parfait diatomique est contenue dans un cylindre vertical calorifugé comportant un piston mobile sans masse calorifugé de section S = 0, 01 m2 en contact avec une atmosphère à la pression P0 = 1 bar. Dans l’état initial, le gaz est à l’équilibre et sa température est T0 = 293 K. 1. On pose sur le piston une masse M = 110 kg et on laisse évoluer le système constitué par le gaz. Déterminer sa pression P1 , et sa température T1 lorsqu’on atteint un nouvel état d’équilibre. 2. Les parois sont maintenant diathermanes. Calculer pression, volume et température dans l’état final, ainsi que le travail et l’énergie thermique reçus par le gaz après application de la masse M XII. Compression quasi-statique d’un gaz parfait On enferme n moles d’un gaz parfait monoatomique dans un cylindre vertical clos par un piston sans masse de section S. Le gaz occupe le volume V0 à la pression P0 et à la température T0 (pression et température atmosphériques). On dépose progressivement sur le piston des petites masses jusqu’à ce que leur somme soit égale à m. Les parois du cylindre et le piston conduisent la chaleur (ou sont diathermanes). 1. Quelle est la transformation subie par le gaz ? 2. Déterminer l’état final. Préciser la hauteur h1 du piston en fonction de M , g, S, P0 et h0 sa hauteur initiale. 3. En déduire l’énergie thermique reçue par le gaz au cours de cette transformation. Vérifier son signe. 4. Les parois du cylindre et le piston sont adiabatiques. Répondre aux mêmes questions. XIII. Cycle de Joule Un cycle de Joule d’une mole de gaz parfait ABCDA correspond à deux adiabatiques réversibles AB et CD et deux isobares BC et DA. Ce cycle est moteur. Données : γ = 1, 4, A (P0 = 1 bar, T0 = 280 K), B (P1 = 10 bar, T1 ), C (P1 , T2 = 1000 K), D (P0 , T3 ). 1. Calculer T1 et T3 . 2. Représenter le cycle dans le diagramme de Clapeyron et prévoir le signe du travail total reçu par le gaz au cours d’un cycle. 3. Calculer les travaux et les énergies thermiques reçus par le gaz pour chacune des tranformations de ce cycle. XIV. Détermination d’un état final Une boite à parois adiabatiques est partagée en trois compartiments par deux pistons adiabatiques mobiles sans frottement. A l’état initial, chacun des compartiments A, B et C contient une mole de GP monoatomique, avec le volume V0 , à la pression P0 et à la température T0 . Une résistance R0 = 500 Ω placée dans A fournit une énergie thermique Q au gaz contenu dans A. On admet que le déplacement des pistons est suffisamment lent pour que l’on puisse considérer les transformations quasi-statiques. 1. Déterminer l’état final de chacun des gaz : pression (pensez à appliquer le premier principe au système A+B+C), volume et température. AN : P0 = 1 atm, T0 = 300 K, Q = 3500 J, γ = 5/3. 2. La résistance est parcourue par un courant d’intensité I0 = 0, 5 A pendant l’intervalle de temps τ . Calculer τ . 3. Calculer le travail reçu par C. 6 XV. Cylindre divisé en deux compartiments Un cylindre horizontal fermé aux deux extrémités, de volume invariable, est séparé en deux parties par un piston mobile sans frottement. Dans l’état initial les deux compartiments contiennent des volumes égaux d’un même gaz parfait. On donne la section S = 100 cm2 du cylindre, la longueur l = 20 cm de chaque compartiment, la température initiale T0 = 273 K et la pression initiale P0 = 1 atm des deux gaz. Leurs propriétés énergétiques sont caractérisées par la valeur de γ = 1, 4. On fournit de l’énergie thermique (notée Qd ) au gaz de droite, tandis que le gaz de gauche subit une transformation adiabatique. La suite des états du système est une suite d’états d’équilibre. 1. Calculer la température des deux gaz quand le piston s’est déplacé d’une longueur h = 5 cm. 2. Quelle est l’énergie thermique fournie au gaz de droite ? 3. Quel est le travail échangé par les deux gaz? 4. On supprime le chauffage et on remplace la paroi mobile adiabatique par une paroi mobile diathermane. Calculer les volumes, températures et pressions dans l’état final. 7
