outils mathématique

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ENSA de KENITRA
Électricité de base
Cours
Pr. : M. CHAFIK EL IDRISSI
Partie I

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TABLE DES MATIÈRES
OUTILS MATHÉMATIQUES 3
1. LES VECTEURS 3
2. LES SYSTÈMES DE COORDONNÉES 4
A- COORDONNÉES CARTÉSIENNES 4
B- COORDONNÉES CYLINDRIQUES. 5
C- COORDONNÉES SPHÉRIQUES. 5
3. ANALYSE VECTORIELLE 6
3.1. LES OPERATEURS : GRADIENT, DIVERGENCE ET ROTATIONNEL. 6
4. THÉORÈMES FONDAMENTAUX. 7
4.1 CIRCULATION D’UN VECTEUR. 7
4.2. FLUX D’UN VECTEUR À TRAVERS UNE SURFACE. 8
4.3. THÉORÈME DE STOKES. 8
4.4. THÉORÈME DE GREEN OSTROGRADSKI. 9

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Outils Mathématiques
1. Les vecteurs
Un vecteur est un objet mathématique qui possède une origine, un sens, une intensité et une
direction.
On désignera un vecteur au moyen d'un symbole surmonté d'une flèche (V ) et son intensité
par le symbole sans la flèche V.
La composante d'un vecteur sur un axe donné est la longueur de la projection du vecteur sur
l'axe.
Soit trois axes orthogonaux X, Y et Z. Un vecteur (tridimensionnel) est complètement
déterminé par ses composantes x, y, z sur les trois axes. On écrit )z,y,x(V . Cela dit, il est
important de remarquer que le vecteur est indépendant des axes choisis (c'est-à-dire du référentiel),
tandis que les composantes changent si l'on effectue une rotation des axes, par exemple.
Un vecteur unitaire est un vecteur dont la grandeur est égale à 1. On le désigne par une lettre
minuscule ( i,j,k, u, ...etc.). Pour tout vecteur V non nul,
V
V
u est un vecteur unitaire parallèle
à V. Les trois vecteurs unitaires ( i,j,k) sont portés par les axes X, Y, Z, respectivement et
manifestement, kzjyixV  (1.1)
 Le produit scalaire de deux vecteurs 1 Vet 2 V est un nombre, noté 1 V.2 V et est défini comme :
1
V.2 V= x1x2 + y1y2 + z1z2. (1.2)
On peut montrer que 1 V.2 V= V1 V2 cos . est l'angle entre 1 V et 2 V. Le produit 1 V.2 V est un
scalaire, en ce sens que sa valeur ne change pas si l'on effectue une rotation des axes x, y et z.
On a
2222 VzyxV.V  (1.3)
 Le produit vectoriel de 1 Vet 2 V est un vecteur, noté 1 VΛ2 V et défini comme :
k)xyyx(j)xzzx(i)yzzy(
222
111
21
212121212121
zyx
zyx
kii
VV  (1.4)
On peut montrer que 1 VΛ2 Vest un vecteur perpendiculaire au plan formé par 1 V et 2 V, dont
l’intensité est égale à V1.V2 |sin | et dont le sens est donné par la règle des trois doigts de la main
droite.
Il n'est pas difficile de montrer que :
1
VΛ 2 V = - 2 VΛ 1 V (1.5)
1
V. 2 V = 2 V. 1 V (1.6)
1
V. ( 2 VΛ3 V) =2 V. ( 3 V Λ 1 V) =3 V. ( 1 V Λ 2 V) (1.7)
1
V. ( 2 VΛ3 V) = ( 1 V.3 V). 2 V - ( 1 V.2 V). 3 V (1.8)

4
 La dérivée d'un vecteur par rapport à une variable s'effectue composante par composante. La
dérivée d'un produit scalaire ou d'un produit vectoriel suit les lois de la dérivée d'un produit
ordinaire.
2. Les systèmes de coordonnées
Rappel : L'intégrale d'une fonction f(x) entre deux bornes a et b est égale à l'aire sous la
courbe associée. Pour obtenir une valeur approximative de l'aire, on peut faire la construction
illustrée à la figure 1.1. On divise l'intervalle (a,b) en n sous intervalles égaux de longueur x, et on
évalue l'aire de chacun des rectangles indiqués.
Fig. 1.1: Approximation de l'aire sous une courbe.
On ainsi :
Aire sous la courbe = 
n
1i ix)x(f
(1.9)
Et donc 
n
1i i
n
b
ax)x(flimdx)x(f
(1.10)
Une fonction d'une variable peut être intégrée sur un intervalle. On effectue donc les calculs
dans l’espace à une dimension. De même, une fonction de deux variables peut être intégrée sur une
surface (on utilise dans ce cas l’intégrale double  ), les calculs sont réalisés dans l’espace à deux
dimensions. En fin, une fonction de trois variables peut être intégrée sur un volume (on utilise
l’intégrale triple  ) et on calcul donc dans l’espace à trois dimensions.
a- Coordonnées cartésiennes
M = M (x,y,z) Élément de volume
M
i
k
j
Y
X
Z
dx
i
k
j
Y
X
Z
dy
dz dv = dxdydz
f(x2)
f(xn)
f(x1)
xn x2 x1
a
b

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b- Coordonnées cylindriques.
M = M ( ,z) Élément de volume
En faisant varier de 0 à R, de 0 à 2 et z de 0 à une valeur h, le point M décrira un
cylindre d’axe OZ, de rayon R et de hauteur h. On écrit :
h2
2
R
dzdddzdddvv
2
R
0h 0
2
0vv
. C’est-à-dire que hRv 2
 qui est bien le
volume du cylindre. On peut obtenir la surface (donc deux dimensions) du même cylindre en fixant
dés le début = R. La surface s sera alors donnée par : Rh2dzRddss h
0
2
0s
.
Cas particulier : coordonnées polaires.
Quand z = 0, le système est réduit à deux dimensions et , que l’on note par habitude et
r. Dans ce cas on peut représenter OM ainsi que l’élément de surface ds dans le référentiel OXY.
c- Coordonnées sphériques.
M = M (r, ) Élément de volume
En faisant varier r de 0 à R, de 0 à et de 0 à 2 , le point M décrira une sphère de rayon
R et de centre O. On écrit :
rd
rsin d
dr
r
e
e
M
e
r
Y
X
Z
dv
Y
X
Z
dv = r
2
sin dr d d
y
O
x
dr
r d
r
X X
Y Y
O
M
x = r cos y = r sin
x2 + y2 = r2 ds = r dr d
ds
M
e
Y
X
Z
z
e
dz
Y
X
Z
d
dv = d d dz
z
e
d
d