Club de l’excellence Téléchargez nos exercices au : www.clubdelexcellence.com Adhérez au Club de l’Excellence et bénéficiez gratuitement d’un livre Concours Junior Polytech — Epreuve de mathématiques Session 2015 – Classes de Terminale Durée : 04 heures Veuillez lire attentivement la consigne. La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document. L’énoncé comporte deux problèmes indépendants. Il n’est pas obligatoire de traiter les questions dans l’ordre de l’énoncé, à condition d’indiquer clairement l’exercice et la question traitée en respectant l’indexation du texte. Pour poursuivre la résolution d’un exercice, les candidats peuvent admettre les résultats d’une question, à condition de l’indiquer clairement sur la copie. L’épreuve totale est notée sur 20 points : 12 pts pour le problème 1 et 8 pour le problème 2. Problème 1 (12 points) : Etude des surjections Ce problème a pour but de donner des expressions permettant de calculer l’ensemble des surjections d’un ensemble F dans un ensemble F. Première partie : Quelques définitions Soit f une application d’un ensemble E dans un ensemble F. 1) Ecrire mathématiquement ou en français le fait que : a) f soit injective. b) f soit surjective. c) f soit bijective. Adhérez au Club de l’Excellence au (+221) 77 465 32 33 – 77 433 84 99 – 77 353 34 13 – 77 454 59 14 1 Club de l’excellence Téléchargez nos exercices au : www.clubdelexcellence.com Adhérez au Club de l’Excellence et bénéficiez gratuitement d’un livre 2) On suppose que card(E) = n ⩾ 1 et card(F) = p ⩾ 1. Donner la condition sur n et p telle que : a) f soit injective. b) f soit surjective. c) f soit bijective. 3) On considère toujours que card(E) = n ⩾ 1 et card(F) = p ⩾ 1. Soit A l’ensemble des applications f de E dans F. Soit B = {f ∊ A, f bijective} et I = {f ∊ A, f injective}. Rappeler card(A), card(B) et card(I). Deuxième partie : Etude de 𝚂𝑛,𝑝 Soient E et F deux ensembles finis de cardinaux respectifs n ⩾ 1 et p ⩾ 1. On note 𝚂𝑛,𝑝 l’ensemble des surjections de E vers F. 1) Donner la valeur de 𝚂𝑛,𝑝 lorsque 𝑛 < 𝑝. 2) Donner la valeur de 𝚂𝑛,𝑛 et 𝚂𝑛,1. 3) On suppose p = 2 pour cette question. a) Rappeler l’expression de card(FE) égal au nombre d’applications de E vers F. b) Dénombrer les applications de E vers F qui ne sont pas surjectives. c) En déduire la valeur de 𝚂𝑛,2 . 4) On suppose 𝑛 > 𝑝 pour cette question et on fixe un élément x ∊ F. a) Calculer, en fonction de 𝚂𝑛−1,𝑝 , le nombre de surjections 𝑓 ∶ E ⟶ F telles que la restriction 𝑓|E−{𝑥} E − {𝑥} ⟶ F est surjective. b) Calculer, en fonction de S𝑛−1,𝑝−1, le nombre de surjections 𝑓 ∶ E ⟶ F telles que la restriction 𝑓|E−{𝑥} E − {𝑥} ⟶ F n’est pas surjective. c) En déduire que 𝚂𝑛,𝑝 = 𝑝𝚂𝑛−1,𝑝 + 𝑝𝚂𝑛−1,𝑝−1. d) Montrer alors que 𝚂𝑝+1,𝑝 = 𝑝(𝑝+1)! 2 et 𝚂𝑝+2,𝑝 = 𝑝(3𝑝+1)(𝑝+2)! 24 . e) En s’inspirant du triangle de Pascal, montrer qu’on peut construire une table des 𝚂𝑛,𝑝 . Construire cette table pour 0 < 𝑝 ⩽ 𝑛 ⩽ 7. Adhérez au Club de l’Excellence au (+221) 77 465 32 33 – 77 433 84 99 – 77 353 34 13 – 77 454 59 14 2 Club de l’excellence Téléchargez nos exercices au : www.clubdelexcellence.com Adhérez au Club de l’Excellence et bénéficiez gratuitement d’un livre f) Application : On répartit 5jetons, numérotés de 1 à 5 sur un tableau constitué de trois cases (chaque case pouvant contenir tous les 5 jetons). Calculer la probabilité qu’il y ait au moins un jeton dans chaque case. Troisième partie : Autre expression de 𝚂𝑛,𝑝 On suppose toujours 0 < 𝑝 ⩽ 𝑛. 𝑝 1) Montrer que ∑𝑘=0(−1)𝑘 𝙲𝑘𝑝 = 0. 𝑞 𝑞−𝑘 2) Montrer que 0 ⩽ 𝑘 ⩽ 𝑞 ⩽ 𝑝 ⟹ 𝙲𝑝 𝙲𝑘𝑞 = 𝙲𝑘𝑝 𝙲𝑝−𝑘 . 𝑝 𝑞 3) En déduire que si, 0 ⩽ 𝑘 < 𝑝, alors ∑𝑞=𝑘(−1)𝑞 𝙲𝑝 𝙲𝑘𝑞 = 0. Que se passe-t-il si k = p ? 4) En dénombrant les applications de E vers F de deux manières différentes, démontrer que : 𝑝 𝑝𝑛 = ∑ 𝙲𝑘𝑝 𝚂𝑛,𝑘 𝑘=1 5) En utilisant ce qui précède, montrer que : 𝑝 𝚂𝑛,𝑝 = (−1)𝑝 ∑(−1)𝑘 𝙲𝑘𝑝 𝑘 𝑛 𝑘=1 Indications : (i) Transformer le second membre à l’aide de la question précédente. 𝑝 𝑝 𝑝 (ii) Utiliser l’égalité ∑𝑘=1 ∑𝑘𝑞=1 … = ∑𝑞=1 ∑𝑘=𝑞 … Problème 2 (08 points) : Autour du noyAu et de l’intégrAle de Poisson Siméon Denis Poisson est un mathématicien et physicien français (1781 - 1840). Il a étudié des domaines aussi divers que les intégrales, les séries de Fourier, les variations de fonctions, les probabilités, la mécanique, l’astronomie, l’électricité et le magnétisme. Il a laissé son nom à différents objets (la loi de Poisson en probabilités, l’équation de Poisson en théorie du potentiel, le coefficient de Poisson en théorie de l’élasticité, le noyau et l’intégrale de Poisson que nous allons étudier ici, etc.). On appelle noyau de Poisson (en dimension 2) l’expression en la variable complexe z définie par 𝑝(𝑧) = Re ( 1+𝑧 1−𝑧 ), pour tout 𝑧 ≠ 1. Adhérez au Club de l’Excellence au (+221) 77 465 32 33 – 77 433 84 99 – 77 353 34 13 – 77 454 59 14 3 Club de l’excellence Téléchargez nos exercices au : www.clubdelexcellence.com Adhérez au Club de l’Excellence et bénéficiez gratuitement d’un livre Pour tout 𝑟 > 0, on définit alors la fonction P𝑟 de la variable θ par : 1 + 𝑟e𝑖θ 𝑖θ P𝑟 (θ) = 𝑝(𝑟e ) = Re ( ). 1 − 𝑟e𝑖θ La transformée de Poisson d’une fonction f est alors définie par : 1 π 𝑖θ 𝑢(𝑟e ) = ∫ P (θ − 𝑡)𝑓(e𝑖𝑡 ) d𝑡 2π −π 𝑟 Nous n’étudierons pas ici cette transformée de Poisson, notre but sera seulement de calculer l’intégrale de P𝑟 sur l’intervalle [−π ; π], permettant de s’assurer d’une certaine façon de la normalisation de la transformée de Poisson. Ensuite nous étudierons également l’intégrale de Poisson, dont le calcul peut se faire en se ramenant à l’intégrale du noyau de Poisson. Dans tout le problème, on suppose que 𝑟 ∈ ]−1 ; 1[. π Première partie : Calcul de ∫−π P𝑟 (θ)dθ Cette méthode est un calcul direct. 1) Montrer que pour tout 𝑧 = 𝑟e𝑖θ ≠ 1, on a : P𝑟 (θ) = 1−𝑟² 1−2𝑟 cos θ+𝑟² θ 2) Soit θ ∈ ]−π ; π[. Soit 𝑡 = tan ( ). Montrer que : cos θ = 2 1−𝑡² 1+𝑡² et sin θ = 2𝑡 1+𝑡² 2 3) Montrer que pour tout (𝑎 ; 𝑏) ∈ ℝ tel que −π < 𝑎 < 𝑏 < π, on a : 𝑏 ∫ P𝑟 (θ) dθ = 2 ∫ 𝑎 𝑏 tan( 2) 𝑎 tan( 2 ) 1 − 𝑟² d𝑡 (1 − 𝑟)2 + 𝑡²(1 + 𝑟)² π 4) En déduire que : ∫−π P𝑟 (θ)dθ = 2π 𝜋 Deuxième partie : Calcul de l’intégrale de poisson ∫−𝜋 ln(𝑟 2 − 2𝑟 cos θ + 1) dθ On note 𝑓θ (𝑟) = ln(𝑟 2 − 2𝑟 cos θ + 1). Ainsi, la fonction 𝑓θ est une fonction de la variable 𝑟. La notation 𝑓θ′ (𝑟) désigne donc la dérivée par rapport à la variable r. 12 1) a) Montrer que pour tout 𝑟 ∈ ]−1 ; 1[, |𝑓θ′′ (𝑟)| ⩽ (1−|𝑟|)4 . b) Soit R ∈ ]0 ; 1[. Déduire de la question précédente que pour tout 𝑟 ∈ ]−R ; R[ et ℎ ≠ 0 tel que 𝑟 + ℎ ∈ ]−R ; R[ on a : Adhérez au Club de l’Excellence au (+221) 77 465 32 33 – 77 433 84 99 – 77 353 34 13 – 77 454 59 14 4 Club de l’excellence Téléchargez nos exercices au : www.clubdelexcellence.com Adhérez au Club de l’Excellence et bénéficiez gratuitement d’un livre |𝑓θ (𝑟 + ℎ) − 𝑓θ (𝑟) − ℎ𝑓θ′ (𝑟)| ⩽ ℎ² 12 × 2 (1 − R)4 c) on définit ψ la fonction de la variable réelle 𝑟 ∈ ]−1 ; 1[ par : π π 2 ψ(𝑟) = ∫ ln(𝑟 − 2𝑟 cos θ + 1) dθ = ∫ 𝑓θ (𝑟) dθ −π −π Déduire de 1) b) que ψ est dérivable sur ]─1 ; 1[, et que π ∀ 𝑟 ∈ ]−1 ; 1[, π 2) Calculer ∫−π cos θ 𝑟 2 −2𝑟 cos θ+1 𝑟 − cos θ dθ 2 −π 𝑟 − 2𝑟 cos θ + 1 ψ′(𝑟) = 2 ∫ dθ à l’aide d’un changement de variable. π 3) En déduire que ψ′ (𝑟) = 0 sur ]─1 ; 1[, et en déduire la valeur de ∫−π 𝑓θ (𝑟) dθ sur ]─1 ; 1[. Nous vous informons que le Club de l’Excellence publiera de nouveaux fascicules pour tous les niveaux. Les documents seront disponibles à partir du 2 Janvier 2016. Le Club de l’Excellence remercie la Sous-Commission Junior Polytech de l’Ecole Polytechnique pour avoir bien voulu mettre à notre disposition cette épreuve. Adhérez au Club de l’Excellence au (+221) 77 465 32 33 – 77 433 84 99 – 77 353 34 13 – 77 454 59 14 5