87-td-dynamique

TD : PFD
Exercice 1 : ROBOT ( ROBY) Extrait CNC MP 2017
On considère dans un premier temps que le manipulateur Kuka est en cours de déploiement tel que seuls les axes A1 et A3 sont
actionnés. Le chariot et la plate-forme élévatrice sont à l’arrêt. Tenant compte des constituants du manipulateur Kuka
On adopte le schéma cinématique simplifié suivant en considérant que le ROBOT ROBY est constitué des solides indéformables
suivants :
(S1) ={Chariot} ; (S2) ={Embase (42) + Plate-forme élévatrice} ;
(S3) ={Colonne de rotation (43) + Epaule (44) } ; (S4) ={Bras (45) + Poignet (46) + Outil de travail}.
Données et Paramétrage :
Sol
(S0)
Supposé parfaitement horizontal, repère lié
0 0 0 0 0
R (O ,x ,y ,z )
supposé Galiléen, L’accélération de
pesanteur est
 0
gzg
.
(S1)
Fixe par rapport au sol (S0), Li (S1/S0): ponctuelle avec
frottement de normale
i0
(I ,z )
(i=1,2,3)
10
IO
,
1 1 0 1 0
2
I I c x d y
,
1 1 0 1 0
3
I I c x d y
,
(c1 , d1 constantes),
u
vecteur unitaire orientant la droite
(I1I3),
00
(x ,u)
avec α0 angle constant.
Masse m1 , centre d’inertie G1 tel que
1 1 0 1 0
1
I G a x b z
(a1 , b1 constantes)
(S2)
Fixe par rapport au chariot (S1).
L(S2/S1) : glissière bloquée ,
1 1 0 1 0
2
I O L x z z
(L1 , z1 constantes).
Masse m2 , centre d’inertie G2 tel que
2 2 0 2 0
2
O G a x b z
(a2 , b2 constantes)
(S3)
L(S3/S2) : pivot parfaite d’axe
30
(O ,z )
,
repère lié
3 3 3 3 0
R (O ,x , y ,z )
,
0 3 0 3
(x ,x ) (y ,y )
2 2 0 2 0
3
O O c x d z
(c2 , d2 constantes)
Masse m3 , centre d’inertie G3 tel que
3 3 3
3
O G L x
(L3 constante), matrice d’inertie
3 3 3
O3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 0
A F E
I (S ) F B D
E D C (x ,y ,z )
(S4)
L(S4/S3) : pivot parfaite d’axe
3
(A , y )
,
repère lié
4 4 3 4
R (A , x y ,z )
,
3 4 0 4
(x ,x ) (z ,z )
3 3 3
O A a x
(a3 constante)
Masse m4 , centre d’inertie G4 tel que
444
AG L x
(L4 constante) , matrice d’inertie
4
44
44 3 4
A
A 0 0
I (S ) 0 B 0
0 0 C (x , y ,z )
Sciences d’ingénieur CPGE Al Khansaa Page 1
Un moteur (M23) est monté entre (S2) et (S3), (M23) applique sur (S3) une action mécanique représentée par un torseur couple de
moment
m23 0
Cz
. Un moteur (M34) est monté entre (S3) et (S4), (M34) applique sur (S4) une action mécanique représentée par un torseur
couple de moment
m34 3
Cy
.
Les données de masse et d’inertie de (M23) sont inclues dans ceux des solides (S2) et (S3) de même pour (M34) dans ceux des solides (S 3) et
(S4).
 Question 1 :
a) Sachant que
3 3 0
(O ,x ,z )
est un plan de symétrie matérielle du solide (S3), simplifier la forme
de sa matrice d’inertie
O3 3
I (S )
.
b) Déterminer le moment cinétique au point A du solide (S4) dans son mouvement par rapport à (S0) :
σ40
(
AS /S )
.
 Question 2 :
a) Déterminer en fonction de , , leurs dérivées et des données du problème le couple Cm34 .
b) Sans effectuer aucun calcul, indiquer le système à isoler et l’unique équation scalaire issue des théorèmes généraux
de la dynamique à appliquer pour déterminer le couple Cm23.
La position la plus favorable de basculement est quand le manipulateur Kuka est complètement déployé suivant l’horizontale (
34
xx
) et
que
3
x
est orthogonal à
u
(voir le schéma suivant). Le basculement peut alors se produire autour de la droite (I1I3) (perte de contact au
point I2).
L’étude dynamique qui suit se fera à l’instant ou le manipulateur Kuka est dans cette position particulière, le système est représenté par les
deux schémas cinématiques spatial et plan de plus on prendra
θ=
constante.

TD : PFD
Sciences d’ingénieur CPGE Al Khansaa Page 2
Le but de l’étude est de déterminer l’expression de la vitesse angulaire limite de lacet
θ
Max, qui provoque le basculement
de ROBY autour de la droite (I1I3).
Les deux solides (S 3) et (S 4) forment un même solide noté (S 34)={ S 3 , S 4}. On note m34 la masse de (S 34), G34 son centre
d’inertie tel que
3 34 3
34
O G L x
et
O3 34
I (S )
sa matrice d’inertie telle que :
34 34
O3 34 34
34 34 3 3 0
A 0 E
I (S ) 0 B 0
E 0 C (x ,y ,z )
.
 Question 3 : Déterminer le moment cinétique au point I1 du solide (S34) dans son mouvement par rapport à (S0) :
σ34 0
1I(S /S )
.
 Question 4 :
a) Indiquer à l’instant de l’étude la relation entre
u
et
3
y
.
b) En appliquant Le théorème du moment dynamique au système (S)={S1 , S2 , M23 , S34 , M34 }
dans son mouvement par rapport à (S0) au point I1 , en projection sur
u
, déterminer
L2
1 0 1
u.M(I ,S S )
en
fonction de
θ
,
θ
et des données du problème.
On donnera le résultat sous la forme :
L2 2
1 0 1 1 2 3
u.M(I ,S S ) K K cos( ) K
 Question 5 :
a) A l’instant de l’étude, donner  en fonction de α0 , en déduire cos() en fonction de c1 et d1 .
b) Sachant qu’à l’instant de l’étude
23
K cos( ) K
, donner en fonction des données du problème l’expression de
la vitesse angulaire
θ
limite notée
Max
θ
qui provoque le basculement de ROBY.
Exercice 2 : Moto de trial électrique Electric Motion EM 5.7 (Extrait E3A MP 2016)
Problématique : nous cherchons à évaluer si le couple moteur est suffisant pour mettre la moto en mouvement sur la roue
arrière (Wheeling) sans effort du pilote lors d’une approche d’obstacle.

TD : PFD
Sciences d’ingénieur CPGE Al Khansaa Page 3
Exercice 3 : Discovery IGS 730 (Extrait CCP MP 2017)
Le Discovery IGS 730 (figure 1) est le premier système mobile d’imagerie interventionnelle. Embarquant un ensemble de logiciels de traitement
d’images pour les applications vasculaires, l’oncologie et la cardiologie et permettant un accès complet au patient, il guide les gestes de l’équipe
médicale tout au long de l’intervention chirurgicale.
Système d’imagerie robotisé Discovery IGS 730 en situation de travail (photo de gauche) et en mode parking (photo de droite)
TD : PFD

Sciences d’ingénieur CPGE Al Khansaa Page 4
1. Par application du théorème de la résultante dynamique à l’ensemble Σ suivant l’axe du mouvement, déterminer
l’expression de la composante tangentielle X01 appliquée à la roue motrice (1) en fonction de la décélération γ.
2. Par application du théorème du moment dynamique à la roue motrice (1) suivant l’axe (A, ) et en utilisant la relation
établie à la question précédente, déterminer l’expression du couple de freinage Cf en fonction de la décélération γ.
Dans la suite, le moment d’inertie J est négligé devant le terme mΣ r2 associé à la masse de l’ensemble.
3. Simplifier alors l’expression établie à la question précédente.
4. Déterminer l’expression du moment dynamique de l’ensemble Σ par rapport à R au point I2.
5. Par application du théorème du moment dynamique en I2, déterminer la relation liant l’accélération γ et la composante
normale Z01. En déduire l’expression de la décélération limite γNB,1 pour laquelle Z01 = 0. Réaliser l’application
numérique.
Exercice 4 : Station totale (extrait Centrale MP 2017)
Les mesures topographiques peuvent être réalisées au moyen de trois systèmes optiques, qui déterminent tous les coordonnées d’un point par
rapport à un repère de référence, mais avec des niveaux de précision différents parmi ces moyens en propose d’étudier la station totale.
La station totale, est un tachéomètre doté d’un système de communication et d’acquisition des mesures sans fil, ce qui permet la réalisation de
mesures en continu.
Dans la station totale, les deux axes d’azimut et d’élévation, motorisés et asservis en position angulaire, poursuivent en continu le prisme
rétro-réfléchissant déplacé par l’opérateur : dès que ce dernier s’immobilise au point qu’il a choisi pour effectuer une mesure, le système de
visée recale le faisceau au centre du prisme et informe l’opérateur qui peut alors déclencher la mesure à distance.
Le modèle choisi pour l’étude dynamique
TD : PFD

Sciences d’ingénieur CPGE Al Khansaa Page 5
Modélisation du comportement dynamique
1. Construire le graphe des liaisons du modèle proposé et y ajouter les différentes actions mécaniques mises en
évidence dans la présentation du modèle.
2. Répondre à cette question exclusivement sur le tableau suivant. Proposer, en la justifiant, une démarche de
résolution permettant d’exprimer, à l’aide de deux équations différentielles en 𝜑 et 𝜃, les équations de mouvement des solides
𝟏 et 𝟐 par rapport au bâti 𝟎 : il est attendu l’indication de l’ensemble isolé, du théorème utilisé en se limitant strictement au
PFD (résultante ou moment avec indication du point d’écriture) et de la direction de projection.
3. Mettre en œuvre la démarche explicitée question précédente et montrer que les équations de mouvement s’écrivent
TD : PFD