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Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone
triphasée
Objectifs:
Modéliser la machine synchrone dans le repère de Park,
Modéliser la machine synchrone à rotor bobiné dans le repère de Park,
Etablir les différents modèles de la machine synchrone à aimant permanant,
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Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
1. Modélisation et commande de la machine synchrone à aimant permanent
1.1. Description de la machine synchrone triphasée à aimant
La machine synchrone diffère par rapport à celui de la machine asynchrone au niveau du rotor,
ce dernier est constitué par:
 Une à réluctance variable (cas d’une machine synchrone à pôles saillants avec ou sans
excitation),
 Un circuit magnétique à réluctance constante (cas d’une machine synchrone à pôles lisses
avec excitation),
 Un aimant permanent.
Fig.3.1: Machine synchrone à aimant permanent enterré et superficiel
1.2. Hypothèses
On suppose que :
Le circuit magnétique de la machine n’est pas saturé et qu’il n’y a pas de présence des
phénomènes d’hystérésis, donc les inductances deviennent constantes,
La répartition du champ magnétique dans l’entrefer de la machine est sinusoïdale,
L’effet de peau (pédiculaires) est négligeable, donc les résistances de la machine sont
considérées comme des constantes.
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Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
1.3. Représentation de la machine synchrone dans les repères (abc, dq0)
c
ωp
vc
d
N

0
a
va
S
vb
q
b
Fig.3.2: Représentation de la machine synchrone dans le repère (abc)
Rs
f
d
Ld
id
ωp
vd

a
0
vq
Rs
Lq
iq
q
Fig.3.3: Représentation de la machine asynchrone dans le repère (dq0)
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Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
1.4. Relation des fréquences

Le champ magnétique tournant ( H s ) crée par les phases du stator tourne à la pulsation dénotée

( ωs ). Le champ magnétique tournant ( H r ) crée par l’aimant permanent (rotor ou roue polaire)
tourne à la pulsation dénotée ( ω r ). La condition des fréquences de la machine synchrone en
régime quelconque vaut électriquement: ωs =ωr , et vaut mécaniquement:
ωs
=Ωs .
p
1.5. Equations de fonctionnement réelle de la machine
Les équations de fonctionnement du moteur, par application de la loi de faraday sont :
d
dt
 vabc  =R s .i abc  + Φabc 
3.1
Les équations des flux sont données par :
Φ abc    s . i abc   M sr Φ f
3.2
Avec
 La
 s  =  mab
m
 ac
m ab
Lb
m bc
2π
2π 

M m +M 0cos(2θ- ) M m +M 0cos(2θ+ ) 
 L m +L 0cos(2θ)
3
3
m ac  

2π
2π
 
m bc  = M m +M 0 cos(2θ- ) L m +L 0 cos(2θ+ )
M m +M 0cos(2θ) 


3
3
L c  

2π 
 M +M cos(2θ+ 2π )
M
+M
cos(2θ)
L
+L
cos(2θ)
 m
0
m
0
m
0

3
3 



 cos(θ)



2π
 M sr  =M sf  cos(2θ- ) 
3

2π 
 cos(2θ+ ) 
3 

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Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
1.6. Equations de fonctionnement de la machine dans le repère de Park
d

 v dq0  =R s i dq0  +  Ld Lq L 0   idq0   +  L d L q
 dt

dθ

0
dt

dθ
L 0  0
 dt

0
0


 dΦ f 
0
 dt 



dθ 




0 i dq0  + Φ f

 dt 



0
0




Avec
3

 Ld = L m -M m + 2 L0

3

 Lq = L m -M m - L 0
2

 L0 = L m +2M m =0


3.3
 Equations des tensions
dΦ d

 v d =R Sid + dt -ωr Φq

 v =R i + dΦ q +ω Φ
r d
 q S q dt
3.4
 Equations des flux
Φd =Ldi d +Φ f

Φq =Lqi q
3.5
 Equations du couple
Te =p(Φ d iq -Φ qi d )
3.6
Te =p[(L d -L q )id iq +Φ f i q ]
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Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
1.7. Modèles d’état de la machine synchrone
Le modèle mathématique de la machine s’écrit sous la forme d’une équation d’état non linéaire
dans le repère de Park.
 di d
 dt

 di q

 dt
  - Rs
  L
d
=

L

d
  - ωr
  Lq
Lq

 1
ωr 

i


 d +  Ld
  
R  i
- s  q  0
L q 

Ld
0
1
Lq

0   vd 
 v 
Rs  q 
-  Φ 
Lq   f 
3.7
 Machine synchrone à pôles lisses ( (L d  L q  L s )
 di d
 dt

 di q

 dt

  - Rs
  Ls
=
  -ω
  r
 

 1
ωr 
id   Ls

  +
R s   iq  
- 
0
Ls 

0
1
Ls

0   vd
  vq
R 
- s Φ
Ls   f





3.8
Equations du couple
Te =p(Φ d i q -Φ q id )
3.9
Te =p(Φ f i q )
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Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
 Résultat de la simulation : MSAP liée au stator
6
400
vitesse wr
Couple Tr
5.5
5
4.5
4
0
0.1
0.2
0.3
Temps(s)
0.4
0
0.1
0.2
0.3
Temps(s)
0.4
200
0
-200
0
0.1
0.2
0.3
Temps(s)
0.4
100
Tension va
50
0
-50
4
100
2
50
0
0
iq
id
-100
-2
-4
-50
0
0.1
0.2
0.3
Temps(s)
-100
0.4
150
100
100
0.1
0.2
0.3
Temps(s)
0.4
0
0.1
0.2
0.3
Temps(s)
0.4
is
Te
200
0
0
-100
50
0
Electrotechnique avancée
0.1
0.2
0.3
Temps(s)
0.4
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0
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Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
 Résultat de la simulation : MSAP liée au champ tournant
6
5
vitesse wr
Couple Tr
5.5
5
4.5
4
0
0.5
Temps(s)
1
0
0.5
Temps(s)
1
0
-5
0
0.5
Temps(s)
1
100
Tension va
50
0
-50
-100
200
2
iq
4
id
300
100
0
0
0
0.2
0.4
0.6
Temps(s)
0.8
-2
1
15
0
0.2
0.4
0.6
Temps(s)
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
Temps(s)
0.8
1
300
10
is
Te
200
5
100
0
-5
0
0.2
Electrotechnique avancée
0.4
0.6
Temps(s)
0.8
1
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0
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Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
2. Modélisation de la machine synchrone à rotor bobiné
2.1. Description de la machine synchrone à rotor bobine
C’est une machine synchrone dont le circuit magnétique du rotor est à réluctance variable avec
excitation (machine synchrone à pôles saillants avec excitation),
S
N
N
S
Fig.3.4: Machine synchrone à pôles saillants avec excitation
2.2. Hypothèses
On gardera les mêmes hypothèses de la machine synchrone à aiment permanent.
2.3. Représentation de la machine synchrone dans les repères (abc, dq0)
c
vc
d

Lf

if


0

vf

a
va

vb
q
b
Fig.3.5: Représentation de la machine asynchrone dans le repère (abc)
Electrotechnique avancée
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Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
ωp
Ld
Lf
0
d
if
vf
vd
id
iq
Lq
vq
q
Fig.3.6: Représentation de la machine asynchrone dans le repère (dq0)
2.4. Relation des fréquences
La condition des fréquences de la machine synchrone en régime quelconque vaut
électriquement: ωp =ωr , et vaut mécaniquement:
ωp
p
=Ωs
2.5. Equations de fonctionnement réelles de la machine
Les équations de fonctionnement du moteur, par application de la loi de Faraday sont:
 Au stator:
d
dt
 vabc  =R s iabc  + Φabc 
3.10
 Au rotor:
v f =R f if +
dΦf
dt
Electrotechnique avancée
3.11
Page : 63
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Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
Les équations des flux sont données par :
Φabc  = ls .i abc  +  Msr .i f
T
Φ f =  M sr  .i abc  +L f .if
3.12
Avec
 La
Φabc  =  mab
m
 ac
Φ f =  m af
m ac   i a   M af 

  
m bc   i b  +  M bf  i f
 

Lc 
 i c   M cf 
m ab
Lb
m bc
m bf
3.13
ia 
m cf  i b  +L f i f
ic 
3.14
La matrice des inductances est :
 La
 s  =  mab
m
 ac
m ab
Lb
m bc
2π

M m +L 0cos(2θ- )
 L m +L 0cos(2θ)
3
m ac  
2π
2π
 
m bc  = M m +L0 cos(2θ- ) L m +L 0cos(2θ+ )

3
3
L c  
2π
 M m +L 0cos(2θ+ )
M m +L0 cos(2θ)
3

2π 
)
3 

M m +L0 cos(2θ) 


2π
Lm +L0 cos(2θ- ) 
3 
M m +L 0cos(2θ+
La matrice des mutuelles inductances est :


cos(θ)

 m af 


2π
 M sr  =  m bf  =Msf cos(θ- ) 
3
 m cf 

2π 
cos(θ+ ) 
3 

3.15
Les équations réduites du moteur en fonction des inductances et courants sont:
d
d
d
di
 vabc  =R s iabc  +  s  dt i abc  +( dt  s  ) i abc  +( dt M sr  )if +  Msr  ( dtf )
d
v f =R f if +   Msr  iabc  +Lf i f 
dt
Electrotechnique avancée
Page : 64
3.16
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Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
2.6. Equations de fonctionnement de la machine dans le repère de Park

Equations des tensions
dΦ d

 v d =R Sid + dt -ωr Φq

dΦ q

+ωr Φ d
 v q =R Siq +
dt

dΦf

 v f =R f i f + dt


3.17
Equations des flux
Φ d =Ld id +Mi f

Φ q =Lq iq

Φ f =Lf i f +Mi d

3.18
Equations du couple
Te =p(Φ di q -Φq id )
3.19
Te =p[(Ld -Lq )i di q +Mif iq ]
2.7. Modèles d’état de la machine synchrone à rotor bobiné
Le modèle mathématique de la machine s’écrit sous la forme d’une équation d’état non linéaire
dans le repère de Park.
 di d
 dt

 di q
 dt

 di f
 dt


  Lf R s
  M 2 -L L
d f
 
  Ld
 =  - L ωr
q
 
 
MR
 - 2 s
  M -L L

d f
Electrotechnique avancée
-
L f Lq
2
M -L d Lf
-
ωr
Rs
Lq
ML q
M 2 -L d L f
ω

Lf R f 
L

- 2 f
2
M -L d L f 
M
-L d L f
 id  


 
M
- ωr   i q  + 
0
Lq
  
  if  
M
Ld R f 

2

2

M
-L
M -L d L f 

d Lf
Page : 65
0
1
Lq
0

M

M -L d L f 
v 
 d 
0
  vq 
 
  vf 
L

- 2 d
M -Ld L f 
2
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Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
 Machine synchrone à pôles lisses
Pour une machine synchrone à pôles lisses, on a donc: L d =L q =L s .
 di d
 dt

 di q
 dt

 di f
 dt

  Lf R s
  M 2 -L L
s f
 
 
-ωr
=
 
  MR s
  - 2
  M -L s Lf
-
Lf L s
ωr
M 2 -L s L f
-
Rs
Ls
ML s
ωr
M 2 -L s Lf

Lf R f 
Lf

- 2
2
M -L s L f 
M
-Ls L f
 id  
  
M
- ωr   i q  + 
0
Ls
  
i
Ls R f   f  
M

 2
2

M -L s L f 
 M -Ls L f
0
1
Ls
0

M

M -L s L f 
v 
 d 
0
  vq 
 
  vf 
Ls
- 2

M -Ls L f 
2
 Equations du couple
Te =p(Φ d i q -Φ q id )
11.20
Te =pMi f i q
3. Conclusion
Il excite plusieurs types de commande telle que :
 La commande directe de couple (D.T.C),
 La commande scalaire, par exemple (à flux constant),
 En rajoutant la commande adaptatif (sachant que les paramétras de la machine varient
avec la température,
 En imposant aussi une loi de commande au démarrage,
 En rajoutant des régulateurs numériques de type (algorithmes basé sur la logique
floue, les réseaux de neurones…etc.).
4. Critères de choix d'un variateur
 Tension réseau, Tension moteur,
 Options (numérique, analogique, possibilité de dialogue...),
 Courant.
5. Applications
 Régulation de vitesse, Levage, asservissement de position,
 TGV, métros ….,
 Ascendeurs.
Electrotechnique avancée
Page : 66
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