Recueil A

Recueil d’exercices
Exercices pour les cours de calcul scientifique pour ingénieurs MTH2210A
Édition du 19 novembre 2018
Donatien N’Dri & Steven Dufour
École Polytechnique de Montréal

Copyright c 2009 DONATIEN N’DRI & STEVEN DUFOUR
License détaillée : http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/ca/legalcode.fr

Recueil d’exercices I
Avant-propos
Ce recueil d’exercices d’analyse numérique est un outil complémentaire aux exercices du
manuel de référence du cours, pour aider les étudiants des différentes versions du cours Cal-
cul scientifique pour ingénieurs (MTH2210x) de l’École Polytechnique de Montréal à se préparer
à réussir les examens. Il est conseillé de d’abord faire (et comprendre) tous les exercices sug-
gérés du manuel de référence Analyse numérique pour ingénieurs par André Fortin (cf. contenu
du cours disponible sur le site Internet du cours). Ceci devrait être suffisant pour bien faire
aux examens. Ensuite, si vous avez encore du temps pour mieux vous préparer, vous pouvez
consulter ce recueil pour raffiner votre préparation. L’idée n’est pas de faire tous ces exercices.
Il y en a beaucoup trop. Mais vous pouvez fureter dans ce recueil et choisir des exercices au
hasard pour voir si vous êtes bien préparés. Ces exercices proviennent de vieux examens. Ils
devraient donc vous donner une bonne idée de l’allure des examens.
La première section de ce recueil contient une banque d’exercices basée sur la matière du
cours MTH2210x. La deuxième section contient une série d’indices liés à ces exercices. Finale-
ment, une dernière section contient des solutions brèves à ces exercices. Lorsque ce document
est consulté en ligne à l’aide du logiciel Acrobat, des hyperliens vous permettront de naviguer
facilement entre ces trois sections.
Nous vous encourageons à ne pas vous référer trop rapidement aux solutions. Tentez
d’abord de vraiment résoudre les problèmes sur papier. Si vous n’êtes pas certains de vous,
vous pouvez ensuite consulter les indices. Ils devraient vous permettre de démarrer. Vous
pouvez finalement consulter les solutions brèves pour vérifier si vous avez bien résolu les
problèmes.
Ce recueil est dynamique. Nous sommes ouverts à toute suggestion de correction ou de
modification. Des mises-à-jour de ce document seront rendues disponibles sur une base
régulière. Consultez la date de l’édition pour voir si le document a été mis à jour. Dans le
but de créer des textes académiques, techniques et scientifiques de qualité, ce document est
protégé par une license « Creative Commons ».
Donatien N’dri & Steven Dufour
École Polytechnique de Montréal
Le 7 septembre 2009

Recueil d’exercices II
Table des matières
Questions
Introduction et analyse d’erreur
Définitions, développement de Taylor et erreur de troncature ................Q–1
Norme IEEE et erreur de représentation ........................................Q–8
Interpolation
Interpolation polynomiale .....................................................Q–14
Interpolation de Lagrange .....................................................Q–14
Interpolation de Newton .......................................................Q–17
Splines cubiques ...............................................................Q–20
Différentiation et intégration numérique
Différentiation numérique .....................................................Q–27
Quadratures de Newton-Cotes ................................................Q–30
Quadratures de Gauss .........................................................Q–33
Extrapolation de Richardson ..................................................Q–39
Équations différentielles ordinaires
Problèmes de conditions initiales ..............................................Q–44
Équations algébriques non linéaires
Méthode de la bissection .......................................................Q–57
Méthodes des points fixes ......................................................Q–59
Méthode de Newton ............................................................Q–70
Méthode de la sécante .........................................................Q–75
Méthode de l’interpolation inverse ............................................Q–77
Problèmes algébriques non linéaires ..........................................Q–77
Systèmes d’équations algébriques
Factorisations matricielles .....................................................Q–80
Conditionnement matriciel ....................................................Q–86
Méthodes itératives ............................................................Q–90
Systèmes d’équations algébriques non linéaires et méthode de Newton .....Q–93
Indices
Introduction et analyse d’erreur
Définitions, développement de Taylor et erreur de troncature .................I–1
Norme IEEE et erreur de représentation .........................................I–3
Interpolation
Interpolation polynomiale .......................................................I–5
Interpolation de Lagrange .......................................................I–5
Interpolation de Newton .........................................................I–6

Recueil d’exercices II
Splines cubiques ..................................................................I–7
Différentiation et intégration numérique
Différentiation numérique .......................................................I–9
Quadratures de Newton-Cotes .................................................I–10
Quadratures de Gauss ..........................................................I–11
Extrapolation de Richardson ...................................................I–13
Équations différentielles ordinaires
Problèmes de conditions initiales ...............................................I–14
Équations algébriques non linéaires
Méthode de la bissection ........................................................I–17
Méthodes des points fixes .......................................................I–18
Méthode de Newton .............................................................I–22
Méthode de la sécante ..........................................................I–23
Méthode de l’interpolation inverse .............................................I–24
Problèmes algébriques non linéaires ...........................................I–24
Systèmes d’équations algébriques
Factorisations matricielles ......................................................I–24
Conditionnement matriciel .....................................................I–26
Méthodes itératives .............................................................I–28
Systèmes d’équations algébriques non linéaires et méthode de Newton ......I–29
Solutions
Introduction et analyse d’erreur
Définitions, développement de Taylor et erreur de troncature .................S–1
Norme IEEE et erreur de représentation ........................................S–6
Interpolation
Interpolation polynomiale ......................................................S–10
Interpolation de Lagrange .....................................................S–10
Interpolation de Newton .......................................................S–12
Splines cubiques ................................................................S–15
Différentiation et intégration numérique
Différentiation numérique .....................................................S–20
Quadratures de Newton-Cotes .................................................S–22
Quadratures de Gauss .........................................................S–24
Extrapolation de Richardson ...................................................S–28
Équations différentielles ordinaires
Problèmes de conditions initiales ..............................................S–32
Équations algébriques non linéaires
Méthode de la bissection .......................................................S–41