Partie IV Cinétique des Solides La cinématique des solides s'est intéressée au mouvement des solides sans se préoccuper des masses à déplacer. Or il est plus facile de déplacer à une vitesse donnée un solide de faible masse qu’un solide de masse élevée. Il est donc nécessaire d'introduire des concepts qui associent mouvement des solides et masse des solides. Ces concepts sont basés sur l'introduction des notions de torseur cinétique, torseur dynamique et énergie cinétique. CHAPITRE 15 L'opérateur d'inertie La notion d'opérateur d'inertie que nous étudions dans ce chapitre, permettra d'exprimer simplement les divers torseurs (Chapitre 16) nécessaires à l'étude de la dynamique des solides. 15.1 INTRODUCTION DE L'OPÉRATEUR D'INERTIE 15.1.1 Opérateur associé à un produit vectoriel JG G Considérons deux vecteurs a et V , dont les composantes dans la base (b) = G G G (i , j , k ) sont : G G JG G G G G G a = ax i + a y j + az k , V = X i + Y j + Z k . (15.1) Le produit vectoriel des deux vecteurs s'écrit : G G G G JG a ∧ V = ( a y Z − azY ) i + ( az X − ax Z ) j + ( axY − a y X ) k . (15.2) G Si le vecteur a est un vecteur donné, nous constatons, que quel que soit le vecteur JG JG G JG V , nous passons de V au vecteur a ∧ V par une opération linéaire. En effet, nous avons : JG JG G G JG ∀λ ∈ \ et ∀V ∈ \3 , a ∧ ( λV ) = λ ( a ∧ V ) , (15.3) JJG JJG G JJG JJG G JJG G JJG ∀V1, V2 ∈ \3 , a ∧ (V1 + V2 ) = a ∧ V1 + a ∧ V2. JG G JG Il revient alors au même de dire que l'on passe du vecteur V au vecteur a ∧ V , en JG faisant agir sur V un opérateur linéaire A et d'écrire que : JG G JG a ∧V = AV . (15.4) Sous forme matricielle, l'expression (15.2) du produit vectoriel s'écrit dans la 228 Chapitre 15 L'opérateur d'inertie G G G base (i , j , k ) : ⎡ a y Z − a zY ⎤ ⎡ 0 ⎢a X − a Z ⎥ = ⎢ a x ⎥ ⎢ z ⎢ z ⎣⎢a xY − a y X ⎦⎥ ⎣⎢− a y −az 0 ax ay ⎤ ⎡X ⎤ ⎡X ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ −ax Y = A ⎢ Y ⎥ , ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ Z ⎥⎦ 0 ⎦⎥ ⎢⎣ Z ⎥⎦ en introduisant la matrice antisymétrique : −az ⎡ 0 ⎢ A = az 0 ⎢ ⎢⎣− a y ax ay ⎤ −ax ⎥ . ⎥ 0 ⎥⎦ (15.5) (15.6) G A est la matrice qui représente l'opérateur A (ou le produit vectoriel a ∧ ), dans la G G G base (b) = (i , j , k ) . Lorsqu'il n'y a qu'une base en jeu, la notation A n'est pas ambiguë. Par contre, s'il y a plusieurs bases, il sera nécessaire de préciser la notation, en écrivant par exemple : A(b), matrice représentant l'opérateur A dans la base (b). 15.1.2 Extension du résultat précédent Nous cherchons à déterminer maintenant le double produit vectoriel G ( G JG ) a ∧ a ∧ V . D'après le paragraphe précédent, nous pouvons écrire : JG JG JG G G JG G a ∧ ( a ∧ V ) = a ∧ (A V ) = A A V = A 2 V . (15.7) Le nouvel opérateur A 2 ainsi introduit est un opérateur linéaire. Il est repréG G G 2 senté par la matrice A dans la base (i , j , k ) : ( ⎡− a 2y + az2 ⎢ 2 ⎢ A = ax a y ⎢ ⎢ ax az ⎣ ) ax a y − ( ax2 + az2 ) a y az ⎤ ⎥ a y az ⎥ . ⎥ 2 2 ⎥ − ax + a y ⎦ ax az ( (15.8) ) La matrice A2 est une matrice symétrique. De même, nous pouvons écrire : JG JG G JG G G G JG a ∧ (V ∧ a ) = −a ∧ ( a ∧ V ) = −A 2 V = BV , (15.9) où l'opérateur B = −A 2 est représenté par la matrice B = − A 2 : ⎡a 2y + az2 ⎢ B = ⎢ −ax a y ⎢ ⎣⎢ −a x az −ax a y a x2 + az2 − a y az − ax az ⎤ ⎥ − a y az ⎥ . ⎥ a x2 + a 2y ⎦⎥ (15.10) 15.1 Introduction de l'opérateur d'inertie 229 z M G k O G i d m(M) y G j (S) x FIGURE 15.1. Solide. 15.1.3 Opérateur d'inertie Dans l'évaluation (Chapitre 16) des torseurs utilisés en dynamique, nous aurons à exprimer des vecteurs de la forme : JJG JJJJG JG JJJJG W1 = OM ∧ (V ∧ OM ) d m( M ) , (15.11) JJG W2 = ∫ ∫ (S ) (S ) JJJJG JG JG JJJJG OM ∧ [V ∧ (V ∧ OM )] d m( M ) . (15.12) Les intégrales sont calculées sur le solide (S) (linéique, surfacique ou volumique). Le point M (figure 15.1) est un point variable de (S), et d m( M ) est la masse de l'élément de (S) entourant le point M. Le point O est un point de JG référence du solide (S). Le vecteur V est indépendant du point M. D'après les résultats établis au paragraphe précédent, nous pouvons écrire : JJG JG W1 = IO ( S ) V , (15.13) en introduisant l'opérateur IO ( S ) , appelé opérateur d'inertie en O du solide (S). Cet opérateur est représenté dans une base (b) liée au solide par une matrice (b ) I O ( S ) , appelée matrice d'inertie en O et dans la base (b), du solide (S). Nous l'écrivons suivant l'une des formes : ( ) I Ob ( S ) ⎡ A = ⎢− F ⎢ ⎢⎣− E −F B − E ⎤ ⎡ I Ox − D⎥ = ⎢− POxy ⎥ ⎢ − D C ⎥⎦ ⎢⎣− POxz − POxy I Oy − POyz − POxz ⎤ − POyz ⎥ . ⎥ I Oz ⎥⎦ (15.14) Si (x,y,z) sont les coordonnées cartésiennes du point M dans le trièdre (O / b) = (Oxyz), nous avons : 230 Chapitre 15 L'opérateur d'inertie G JJJJG G G OM = x i + y j + z k , (15.15) et l'expression (15.10) nous permet d'écrire : ∫ = ∫ = ∫ I Ox = I Oy I Oz (S ) (S ) (S ) ∫ = ∫ = ∫ ( y 2 + z 2 ) d m(M ), POxy = ( x 2 + z 2 ) d m( M ), POxz ( x 2 + y 2 ) d m( M ), POyz (S ) (S ) (S ) xy d m( M ), xz d m( M ), (15.16) yz d m( M ). Les grandeurs IOx, IOy et IOz sont appelées les moments d'inertie du solide (S) JJG JJG JJG par rapport aux axes Ox, Oy, Oz, respectivement. Les grandeurs POxy, POyz et POxz sont les produits d'inertie du solide (S) par rapport aux plans (Oxy), (Oyz) et (Oxz), respectivement. JG Si (X, Y, Z) sont les composantes du vecteur V dans la base (b), les compoJJG santes (X1, Y1, Z1) du vecteur W1 dans la base (b) se déterminent d'après (15.13) par la relation matricielle : ⎡ X1 ⎤ ⎢Y ⎥ ⎢ 1⎥ ⎣⎢ Z1 ⎦⎥ (b ) ⎡X ⎤ (b ) ⎢ ⎥ = IO Y ⎢ ⎥ ⎣⎢ Z ⎦⎥ (b ) . (15.17) Soit : JJG G G G W1 = ( AX − FY − EZ ) i + (− FX + BY + DZ ) j + (− EX − DY + CZ ) k . JJG Le vecteur W2 (15.12) s'exprime de même sous la forme : JJG JG JG W2 = V ∧ IO ( S ) V (15.18) JG JG Remarque. IO ( S ) V représente le vecteur obtenu à partir du vecteur V en faisant JG agir l'opérateur IO ( S ) . L'écriture IO ( S ) V doit donc être lue "l'opérateur IO ( S ) JG agissant sur V ". Cette écriture est comparable à l'écriture f ( x), où f ( x) représente la valeur obtenue à partir de x par la fonction f. 15.2 CHANGEMENT DE REPÈRE Le changement de repère peut s'effectuer soit par le changement de son origine, soit par le changement de sa base. 15.2.1 Changement d'origine Nous cherchons l'influence d'un changement d'origine (figure 15.2). Soit (xO', yO', zO') les coordonnées cartésiennes de la nouvelle origine O' par rapport au 15.2 Changement de repère 231 trièdre (Oxyz). L'opérateur d'inertie en O' du solide (S) est représenté dans la base G G G (b) = (i , j , k ) par la matrice d'inertie en O' : ( ) I Ob′ ( S ) ⎡ I O′x = ⎢− PO′xy ⎢ ⎢⎣− PO′xz − PO′xy I O′y − PO′yz − PO′xz ⎤ − PO′yz ⎥ . ⎥ I O′z ⎥⎦ (15.19) Les éléments de cette matrice sont obtenus en remplaçant, dans les résultats JJJJG introduits au paragraphe 15.1.3, le vecteur OM par le vecteur : G JJJJG JJJJG JJJJG G G O′M = OM − OO′ = ( x − xO′ ) i + ( y − yO′ ) j + ( z − zO′ ) k . (15.20) Par exemple, nous avons : ∫ = ∫ I O′x = (S ) (S ) ⎡⎣( y − yO′ )2 + ( z − zO′ )2 ⎤⎦ d m( M ) ( y 2 + z 2 ) d m(M ) + yO2 ′ ∫ − 2 yO′ ∫ (S ) (S ) y d m( M ) − 2 zO′ d m( M ) + zO2 ′ ∫ (S ) ∫ (S ) d m( M ) z d m( M ). Soit en introduisant la masse m du solide et les coordonnées cartésiennes (xG, yG, zG) du centre de masse G du solide, exprimées en (12.34) : I O′x = I Ox + m ⎡⎣( yO2 ′ + zO2 ′ ) − 2 yO′ yG − 2 zO′ zG ⎤⎦ . (15.21) Les expressions de IO'y et IO'z s'en déduisent par permutation. De même nous trouvons : (15.22) PO′xy = POxy − m ( xO′ xG + yO′ yG − xO′ yO′ ) , et des relations analogues pour PO'xz etPO'yz . z z (S) y O' y O x x FIGURE 15.2. Changement d'origine du repère. 232 Chapitre 15 L'opérateur d'inertie 15.2.2 Relations de Huyghens Dans le cas où le point O' coïncide avec le centre de masse G du solide, les relations (15.21) et (15.22) se simplifient et la matrice d'inertie en G dans la base (b) peut s'écrire sous la forme : ( ) avec ( ) ( ) b ( ) I Gb ( S ) = I Ob ( S ) − DOG S , (15.23) ⎡m ( yG2 + zG2 ) −mxG yG −mxG zG ⎤ ⎢ ⎥ (b ) ( S ) = ⎢ − mxG yG DOG m ( xG2 + zG2 ) − myG zG ⎥ . ⎢ ⎥ − myG zG m ( xG2 + yG2 )⎥⎦ ⎢⎣ −mxG zG (15.24) L'expression (15.23) permet ainsi d'exprimer la matrice d'inertie en O en fonction de la matrice d'inertie en G, généralement plus facile à calculer : ( ) ( ) ( ) b ( ) I Ob ( S ) = I Gb ( S ) + DOG S . (15.25) Cette expression conduit aux six relations de Huyghens entre les moments et produits d'inertie : I Ox = I Gx + m ( yG2 + zG2 ) , I Oy = I Gy + m ( xG2 + zG2 ) , I Oz = I Gz + m ( xG2 + yG2 ) , POxy = PGxy + mxG yG , POxz = PGxz + mxG zG , (15.26) POyz = PGyz + myG zG . 15.2.3 Diagonalisation de la matrice d'inertie On déduit des propriétés des opérateurs linéaires symétriques les résultats fondamentaux suivants. L'opérateur d'inertie IO ( S ) possède au moins une base orthonormée de G G G vecteurs propres (u1, u2 , u3 ) appelée base principale d'inertie en O. G Les axes (O, ui ) sont appelés axes principaux d'inertie en O, et le repère G G G (O / u1, u2 , u3 ) est le repère principal d'inertie en O. G G G Dans la base (u1, u2 , u3 ) , la matrice d'inertie en O est une matrice diagonale, appelée matrice principale d'inertie en O. Ses termes non nuls sont les moments principaux d'inertie en O. Dans la base principale (p), la matrice d'inertie s'écrit donc : ⎡I1 ( p )( ) ⎢ IO S = 0 ⎢ ⎢⎣ 0 0 I2 0 0⎤ 0⎥, ⎥ I 3 ⎥⎦ (15.27) où I1, I2 et I3 sont les moments principaux d'inertie en O. Nous en déduisons : 15.2 Changement de repère G 233 G IO ( S ) u1 = I1 u1, G G IO ( S ) u2 = I 2 u2 , G G IO ( S ) u3 = I3 u3 . (15.28) Les moments principaux d'inertie Ii (i = 1, 2, 3) peuvent donc être recherchés en exprimant les relations (15.28) sous la forme : G G IO ( S ) ui = Ii ui . (15.29) Dans la base (b) non principale, cette relation s'écrit : ⎡A ⎢− F ⎢ ⎣⎢− E − F − E ⎤ ⎡ ui ⎤ ⎡ ui ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ B − D vi = I i ⎢ vi ⎥ , ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − D C ⎥⎦ ⎢⎣wi ⎥⎦ ⎣⎢wi ⎦⎥ (15.30) G en introduisant les composantes (ui, vi , wi ) dans la base (b) du vecteur propre ui . L'expression précédente s'écrit : ⎡ A − Ii ⎢ −F ⎢ ⎢⎣ − E −F B − Ii −D − E ⎤ ⎡ ui ⎤ ⎡0⎤ − D ⎥ ⎢ vi ⎥ = ⎢0⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ C − I i ⎥⎦ ⎢⎣wi ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ . (15.31) G Les vecteurs ui étant différents du vecteur nul, ce système admet des solutions si : ⎡ A − Ii det ⎢ − F ⎢ ⎢⎣ − E −F B − Ii −D −E ⎤ −D ⎥ = 0 . ⎥ C − I i ⎥⎦ (15.32) Cette équation permet de déterminer les moments principaux I1, I2 et I3. Les directions principales sont ensuite déterminées en reportant I1, I2 et I3 dans la relation (15.30). 15.2.4 Changement de base G G G G G G Soit deux bases (b1 ) = (i1, j1, k1 ) et (b2 ) = (i2 , j2 , k2 ) liées par le changement de base : G G ⎡ i2 ⎤ ⎡ i1 ⎤ ⎢G ⎥ ⎢G ⎥ (15.33) ⎢ Gj2 ⎥ = A ⎢ Gj1 ⎥ , ⎢k ⎥ ⎢k ⎥ ⎣ 2⎦ ⎣ 1⎦ où A est la matrice de changement de base. Les expressions des matrices d'inertie permettent d'établir la relation qui exprime la matrice d'inertie I (Ob2)( S ) en O dans la base (b2) en fonction de la matrice d'inertie dans la base (b1). Cette relation s'écrit sous la forme : (b1)( ) t I (Ob2)( S ) = A IO S A, (15.34) où At est la matrice transposée de la matrice A. 234 Chapitre 15 L'opérateur d'inertie 15.3 MOMENTS D'INERTIE PAR RAPPORT À UN POINT, UN AXE, UN PLAN 15.3.1 Définitions On appelle moment d'inertie d'un solide (S) par rapport à un point (par rapport à un axe ou par rapport à un plan) l'intégrale : ∫ (S ) l 2d m( M ), (15.35) où l est la distance (par exemple figure 15.3) du point M variable du solide (S) au point (à l'axe ou au plan). Si (x, y, z) sont les coordonnées du point M dans un trièdre d'origine O, les expressions des mouvements d'inertie du solide (S) sont d'après (15.35) : 1. Moment d'inertie par rapport au point O : IO ( S ) = ∫ (S ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) d m( M ) . (15.36) JJG JJG JJG 2. Moments d'inertie par rapport aux axes Ox, Oy, Oz, (déjà exprimés en 15.16) : ∫ = ∫ = ∫ I Ox = I Oy I Oz (S ) (S ) (S ) ( y 2 + z 2 ) d m(M ), ( x 2 + z 2 ) d m( M ), (15.37) ( x 2 + y 2 ) d m(M ). z z M M l l y O O x x z M O l y x FIGURE 15.3. Distances par rapport à un point, un axe, un plan. y 15.3 Moments d'inertie par rapport à un point, un axe, un plan 235 3. Moments d'inertie par rapport aux plans (Oxy), (Oyz), (Oxz) : ∫ = ∫ = ∫ I Oxy = I Oyz I Oxz (S ) (S ) (S ) z 2d m( M ), x 2d m( M ), (15.38) y 2d m( M ). 15.3.2 Relations entre les moments d'inertie Par addition des intégrales (15.36) à (15.38), nous obtenons les propriétés suivantes : 1. La somme des moments d'inertie d'un solide par rapport à trois axes trirectangulaires issu d'un même point est égale au double du moment d'inertie du solide par rapport à ce point : (15.39) I Ox + I Oy + I Oz = 2 I O . 2. La somme des moments d'inertie d'un solide par rapport à deux plans perpendiculaires est égale au moment d'inertie du solide par rapport à l'axe intersection de ces deux plans : I Oxy + I Oxz = I Ox , I Oxy + I Oyz = I Oy , (15.40) I Oxz + I Oyz = I Oz . 15.3.3 Cas d'un solide plan Dans le cas d'un solide plan, de plan (Oxy) (figure 15.4), le point M du solide a pour coordonnées (x, y, 0) et les moments d'inertie se réduisent à : ∫ = ∫ = ∫ = ∫ IO = I Ox I Oy I Oz (S ) (S ) ( x 2 + y 2 ) d m(M ), y 2d m( M ), (15.41) 2 (S ) (S ) x d m( M ), ( x 2 + y 2 ) d m(M ). Entre les moments d'inertie, nous avons la relation : I Oz = I O = I Ox + I Oy . (15.42) 236 Chapitre 15 L'opérateur d'inertie z O (S) y M x FIGURE 15.4. Solide plan. 15.3.4 Moment d'inertie par rapport à un axe quelconque Exprimons le moment d'inertie du solide (S) par rapport à un axe (∆) de vecteur G directeur unitaire u et passant par le point O (figure 15.5). Soit d'après (15.35) : I∆ = ∫ (S ) HM 2d m( M ) , (15.43) où H est la projection orthogonale du point M sur l'axe (∆). Nous avons donc : G JJJJG HM = u ∧ OM . (15.44) D'où : HM 2 = ( β z − γ y ) + (γ x − α z ) + (α y − β x) , (15.45) G en introduisant les composantes (α, β, γ) du vecteur u et les coordonnées (x, y, z) du point M. Les composantes (α, β, γ) du vecteur directeur unitaire de l'axe (∆) sont également appelées les cosinus directeurs de l'axe. En reportant la relation 2 2 2 z (∆) M (S) O y x FIGURE 15.5. Moment d'inertie par rapport à un axe quelconque. 15.4 Détermination des matrices d'inertie 237 (15.45) dans l'expression (15.43), nous obtenons : I∆ = α 2 I Ox + β 2 I Oy + γ 2 I Oz − 2αβ POxy − 2 βγ POyz − 2αγ POxz . (15.46) Cette relation peut également s'exprimer, en introduisant l'opérateur d'inertie en O, sous la forme : G G I∆ = u ⋅ IO ( S ) u , (15.47) ou sous la forme matricielle : I∆ = [α β ⎡ I Ox γ ] ⎢⎢− POxy ⎢⎣− POxz − POxy I Oy − POyz − POxz ⎤ ⎡α ⎤ − POyz ⎥ ⎢β ⎥ . ⎥⎢ ⎥ I Oz ⎦⎥ ⎢⎣γ ⎥⎦ (15.48) Dans le cas où l'opérateur d'inertie est rapporté à ses axes principaux, la relation (15.46) se réduit à : I∆ = α12 I1 + α 22 I 2 + α 32 I 3 , (15.49) où (α1, α2, α3) sont les cosinus directeurs de l'axe (∆) par rapport aux axes principaux au point O. 15.4 DÉTERMINATION DES MATRICES D'INERTIE 15.4.1 Solides à symétries matérielles Dans le cas où les solides possèdent des symétries matérielles, ces symétries facilitent la recherche des repères principaux d'inertie. Il en résulte une simplification du calcul de la matrice d'inertie. 15.4.1.1 Plan de symétrie Supposons que le solide (S) possède un plan de symétrie matérielle, par exemple le plan (Oxy) (figure 15.6a). Il en résulte que les produits d'inertie : POxz = ∫ (S ) xz d m( M ) et POyz = ∫ (S ) yz d m( M ) sont nuls, puisque l'on peut associer deux à deux les éléments qui ont même valeur de x (ou de y) et des valeurs opposées de z (figure 15.6a). Il en résulte que : ⎡ I Ox ⎢− P ⎢ Oxy ⎢⎣ 0 ou − POxy I Oy 0 0 ⎤ ⎡0⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 = 0 = I Oz ⎢0⎥ , ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1⎥⎦ I Oz ⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ ⎢⎣I Oz ⎥⎦ G (15.50) G IO ( S ) k = IOz k . (15.51) 238 Chapitre 15 L'opérateur d'inertie z z M' axe de symétrie M M O y O y (a) x x M' (a) (b) FIGURE 15.6. Symétries matérielles. JJG Il en résulte que l'axe Oz est axe principal d'inertie. D'où le résultat : Tout axe orthogonal à un plan de symétrie matérielle est axe principal d'inertie en chacun des points du plan. 15.4.1.2 Axe de symétrie Supposons que le solide (S) possède un axe de symétrie matérielle, par JJG exemple l'axe Oz (figure 15.6b). Il en résulte que les produits d'inertie : POxz = ∫ (S ) xz d m( M ) et POyz = ∫ (S ) yz d m( M ) sont nuls, puisque l'on peut associer deux à deux les éléments qui ont même valeur de z et des valeurs opposées de x (ou de y) (figure 15.6b). Comme dans le JJG paragraphe précédent, l'axe Oz est axe principal d'inertie. D'où le résultat : Tout axe de symétrie matérielle est axe principal d'inertie en chacun des points de l'axe. 15.4.1.3 Conséquences 1. Tout trièdre trirectangle, dont deux de ses plans sont plans de symétrie matérielle d'un solide, est trièdre principal d'inertie du solide. 2. Tout trièdre trirectangle, dont deux de ses axes sont axes de symétrie matérielle d'un solide, est trièdre principal d'inertie du solide. 15.4 Détermination des matrices d'inertie 239 15.4.2 Solide ayant une symétrie de révolution 15.4.2.1 Propriétés générales Dans le cas d'un solide (cylindre, cône, disque, etc.) possédant un axe de JJG révolution, par exemple l'axe Oz , les plans Oxz et Oyz sont plans de symétrie matérielle le trièdre (Oxyz) est un trièdre principal d'inertie (quels que soient les JJG etJJG axes Ox et Oy ). La matrice s'écrit : 0 ⎤ ⎡I Ox 0 (b ) ⎢ I O ( S ) = 0 I Oy 0 ⎥ , (15.52) ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 IOz ⎥⎦ avec I Ox = I Oy du fait de la symétrie de révolution. Par ailleurs, il est généraJJG lement plus facile de calculer le moment d'inertie IOz par rapport à l'axe Oz , puis d'introduire le moment d'inertie IOxy par rapport au plan (Oxy). En effet d'après (15.40) nous avons : I Oz = I Oxz + I Oyz = I Ox + I Oy − 2 I Oxy , (15.53) soit : I Ox = I Oy = I Oxy + 1 I . 2 Oz (15.54) Dans le cas d'un solide plan de révolution, cette relation se réduit d'après (15.42) à la relation : 1 I Ox = I Oy = I Oz . (15.55) 2 15.4.2.2 Matrice d'inertie d'un disque Nous déterminons la matrice d'inertie d'un disque de rayon a et de masse m JJG (figure 15.7a). Le moment d'inertie par rapport à l'axe Oz s'écrit : I Oz = ∫ (S ) ( x 2 + y 2 ) d m( M ) = ∫ ( x 2 + y 2 ) ρ s d S ( M ) , (S ) (15.56) où ρs est la masse surfacique du disque et d S ( M ) l'aire d'un élément de surface. Le calcul de l'intégrale est facilité en introduisant les coordonnées polaires (r, α) du point M (figure 15.7a). L'élément de surface est obtenu en faisant croître r de dr et et α de dα (figure 15.7b), et l'intégrale (15.56) s'écrit, dans le cas d'un disque homogène (ρs indépendant du point M) : I Oz = ρ s Soit : a 2π r =0 α =0 ∫ ∫ r 3d r dα . (15.57) 240 Chapitre 15 L'opérateur d'inertie z y d S(M) = r d α d r a y O α r r dα d S(M) r r + dr α M x O x (b) (a) FIGURE 15.7. Disque. a4 a2 =m , (15.58) 2 2 en introduisant la masse m du disque. La matrice d'inertie s'écrit donc : I Oz = ρ sπ ⎡ a2 ⎢m 4 ⎢ (b ) ⎢ IO ( S ) = ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣ 0 a2 4 m 0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥. ⎥ a2 ⎥ m ⎥ 2⎦ (15.59) 15.4.2.3 Matrice d'inertie d'un cylindre Soit à calculer la matrice d'inertie d'un cylindre de rayon a, de hauteur h et de JJG masse m (figure 15.8a). Le moment d'inertie par rapport à l'axe Oz s'exprime suivant : I Oz = ∫ (S ) ( x 2 + y 2 ) d m( M ) = ∫ ( x 2 + y 2 ) ρ d V ( M ) , (S ) (15.60) où ρ est la masse volumique du cylindre et d V ( M ) le volume d'un élément de volume. Le calcul de IOz se simplifie en introduisant les coordonnées cylindriques (r, α, z) du point M (figure 15.8a). L'élément de volume est obtenu en faisant croître respectivement de dr , dα et dz les coordonnées cylindriques (figure 15.8b). L'intégrale (15.60) s'écrit alors dans le cas d'un cylindre homogène : I Oz = ρ 2π a ∫ ∫ ∫ r =0 h α =0 z =0 r 3d r dα d z . (15.61) Soit : I Oz = ρπ a4 a2 h=m , 2 2 (15.62) 15.4 Détermination des matrices d'inertie 241 z z d V(M) = r d α d r d z z dr M O O α x y r y r α x dr (a) dα (b) FIGURE 15.8. Cylindre. en introduisant la masse m du cylindre. Le moment d'inertie par rapport au plan Oxy s'écrit : I Oxy = ρ a 2π ∫ ∫ ∫ r =0 h α =0 z =0 z 2 r d r dα d z = m h2 . 3 (15.63) Nous en déduisons, d'après (15.54) : ⎛ a 2 h2 ⎞ I Ox = I Oy = m ⎜ + ⎟ . ⎝ 4 3⎠ (15.64) 15.4.3 Solide ayant une symétrie sphérique 15.4.3.1 Propriétés générales Dans le cas d'un solide à symétrie sphérique (sphère pleine, sphère creuse, etc.) de centre O, tout trièdre (Oxyz) est trièdre principal d'inertie, et les moments d'inertie par rapport aux axes sont égaux. Il est alors plus commode de calculer le moment d'inertie IO par rapport au point O et d'exprimer les moments en tenant compte de la relation (15.39), soit : 2 I Ox = I Oy = I Oz = I O . (15.65) 3 15.4.3.2 Matrice d'inertie d'une boule Soit à déterminer la matrice d'inertie d'une boule de masse m et de rayon a (figure 15.9a). Le calcul du moment d'inertie par rapport au point O se simplifie 242 Chapitre 15 L'opérateur d'inertie z z M R cos β y β y O β α x R cos β d α R dβ R O d V(M) = R2cos β d α d β d R α dα x (b) (a) FIGURE 15.9 Boule. L'élément de volume est obtenu par accroissement des coordonnées sphériques de dR , dα et dβ respectivement. Soit d V ( M ) = R 2 cos β dα dβ dR . (15.66) Le moment d'inertie par rapport au point O s'exprime alors suivant : IO = a 2π ∫ ∫ ∫ π 2 π R =0 α =0 β =− ρ R 4cosβ dα dβ d R . (15.67) 2 Dans le cas d'une sphère homogène, nous obtenons : 4 3 I O = π a 5 ρ = ma 2 , (15.68) 5 5 en introduisant la masse m de la boule. Nous en déduisons les moments d'inertie par rapport aux axes : 2 I Ox = IOy = I Oz = ma 2 . (15.69) 5 15.4.4 Associativité Dans le cas où un solide (S) est constitué de la réunion de plusieurs solides (Si), la matrice d'inertie en un point est la somme des matrices d'inertie de chaque solide (Si) en ce même point. Cette propriété est une conséquence de la définition des moments et produits d'inertie (propriété d'intégration sur un domaine) et permet de décomposer le calcul dans le cas de solides complexes. Nous avons donc la relation : ( ) I Ob ( S ) n = ∑ IO(b)(Si ) . i =1 (15.70) 15.4 Détermination des matrices d'inertie 243 z a h y O x FIGURE 15.10. Cylindre évidé. Un exemple d'application est celui du calcul de la matrice d'inertie d'un cylindre évidé (figure 15.10). Le cylindre plein (S1) peut être considéré comme la réunion du cylindre (S) évidé et du cylindre (S2) qui a été enlevé. La propriété d'associativité s'écrit : ( ) ( ) ( ) I Ob ( S1 ) = I Ob ( S ) + IOb ( S2 ) . D'où la matrice d'inertie du cylindre évidé : ( ) ( ) ( ) I Ob ( S ) = IOb ( S1 ) − I Ob ( S2 ) . (15.71) La matrice d'inertie du cylindre (S1) de masse m1 est d'après les expressions (15.62) et (15.64) : ⎡ ⎛ a2 h2 ⎞ ⎤ 0 0 ⎥ ⎢m1 ⎜⎝ 4 + 3 ⎟⎠ ⎢ ⎥ ⎛ a 2 h2 ⎞ ( ) I Ob ( S1 ) = ⎢ (15.72) m1 ⎜ + ⎟ 0 0 ⎥ . ⎝ 4 3⎠ ⎢ 2⎥ a ⎢ m1 ⎥ 0 0 ⎣ 2⎦ La matrice d'inertie du cylindre (S2) de masse m2 qui a été enlevé, s'exprime d'après (15.25) : 2⎞ ⎡ ⎛ a 2 h2 ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ 2 ⎤ 0 0 ⎥ ⎢m2 ⎜ a + h ⎟ 0 0 ⎥ ⎢m2 ⎜⎝ 16 + 3 ⎟⎠ 4⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎝ 4 ⎥ 2 2⎞ ⎛ (b ) a h h2 ah m2 ⎜ + ⎟ 0 ⎥ + ⎢ m2 0 0 − m2 ⎥ IO ( S2 ) = ⎢ ⎝ 16 3 ⎠ 4 4⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ah a2 ⎥ a2 ⎥ ⎢ m2 0 −m2 m2 ⎥ ⎢ 0 0 ⎢⎣ 4 4 ⎥⎦ 8⎦ ⎣ (15.73) 244 Chapitre 15 L'opérateur d'inertie Par ailleurs, les masses des cylindres sont liées à la masse m du cylindre évidé par les relations : 4 m m1 = m, m2 = . (15.74) 5 5 D'où la matrice du cylindre évidé : ( ⎡ m 11 a 2 + 3h 2 ⎢ 20 4 ⎢ ( ) I Ob ( S ) = ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ ) 0 ( m 15 2 a + 3h 2 20 4 ) m ah 20 0 ⎤⎥ ⎥ m ⎥ ah . 20 ⎥ a2 ⎥ m ⎥ 4 ⎦ (15.75) 15.5 MATRICES D'INERTIE DE SOLIDES HOMOGÈNES Nous rassemblons dans ce paragraphe les matrices d'inertie de divers solides G G G homogènes. Les matrices d'inertie sont données dans la base (b) = (i , j , k ) associée pour chaque solide au repère choisi, généralement repère principal d'inertie. 15.5.1 Solides linéiques 15.5.1.1 Segment de droite (figure 15.11) La longueur du segment de droite est AB = l. Le centre de masse est donné par : JJJG l G AG = i . 2 La matrice d'inertie au point A est : 0 ⎡0 ⎢ ( ) l2 I Ab ( S ) = ⎢0 m 3 ⎢ ⎢ ⎢0 0 ⎣ 0 ⎤ ⎥ 0 ⎥. ⎥ 2⎥ l m ⎥ 3⎦ (15.76) y A G B z FIGURE 15.11. Segment de droite. x 15.5 Matrices d'inertie de solides homogènes 245 y a α O G x −α z FIGURE 15.12. Arc de cercle. 15.5.1.2 Arc de cercle (figure 15.12) L'arc de cercle est caractérisé par son rayon a et son angle 2α. La position du centre de masse et la matrice d'inertie sont exprimées par : JJJG sin α G (15.77) OG = a i, α ( ⎡ a2 sin 2α ⎢m 2 1 − 2α ⎢ ⎢ (b ) 0 IO ( S ) = ⎢ ⎢ 0 ⎣⎢ ) 0 m ( sin 2α a2 1+ 2 2α 0 ) ⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥. ⎥ ma 2 ⎦⎥ (15.78) Cas particuliers — Demi-cercle : α = π 2 JJJG 2a G OG = i, π ⎡ a2 ⎢m 2 ⎢ (b ) ⎢ IO ( S ) = ⎢ 0 ⎢ ⎣⎢ 0 0 m a2 2 0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥. ⎥ ma 2 ⎦⎥ (15.79) — Cercle (cas du cerceau) : α = π Le centre de masse est en O et la matrice d'inertie en O est la même que dans le cas du demi-cercle. 15.5.2 Solides surfaciques 15.5.2.1 Secteur circulaire (figure 15.13) Comme l'arc de cercle, le secteur circulaire est caractérisé par son rayon et son angle 2α. La position du centre de masse et la matrice d'inertie sont exprimées par : 246 Chapitre 15 L'opérateur d'inertie y a O α G x −α z FIGURE 15.13. Secteur circulaire. JJJG 2 sin α G OG = a i , α 3 ( ⎡ a2 sin 2α ⎢m 4 1 − 2α ⎢ ⎢ (b ) 0 IO ( S ) = ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣ ) (15.80) 0 m ( a2 sin 2α 1+ 4 2α ) 0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥. ⎥ a2 ⎥ m ⎥ 2⎦ (15.81) Cas particuliers — Demi-disque : α = π 2 JJJG 4a G OG = i, 3π ⎡ a2 ⎢m 4 ⎢ (b ) ⎢ IO ( S ) = ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣ 0 m a2 4 0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥. ⎥ a2 ⎥ m ⎥ 2⎦ (15.82) — Disque : α = π Le centre de masse est en O et la matrice d'inertie en O a la même expression que celle d'un demi-disque. — Couronne limitée par deux cercles concentriques de rayon a1 et a2. La matrice d'inertie se déduit de la propriété d'associativité : ⎡ m (a 2 + a 2 ) 2 ⎢4 1 ⎢ ( ) I Ob ( S ) = ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎣⎢ 0 m( 2 a + a22 ) 4 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥. 0 ⎥ m( 2 2 ⎥ a + a2 )⎥ ⎦ 2 1 0 (15.83) 15.5 Matrices d'inertie de solides homogènes 247 z a O α G x −α y FIGURE 15.14. Segment circulaire. 15.5.2.2 Segment circulaire (figure 15.14) Le segment circulaire est défini par son rayon a et son angle 2α. La position du centre de masse est donnée par : JJJG 2 G sin 3 α OG = a i. 3 α − sin α cos α (15.84) Le trièdre (Oxyz) est trièdre principal d'inertie en O. Les moments d'inertie principaux sont : α − 2 sin 2α + 1 sin 4α a2 3 6 , I Ox = m 4 α − sin α cos α α − 1 sin 4α a2 2 , I Oy = m (15.85) 4 α − sin α cos α α − 1 sin 2α − 1 sin 4α a2 3 6 . I Oz = m 2 α − sin α cos α 15.5.2.3 Rectangle (figure 15.15) Le centre de masse est au centre O du rectangle. La matrice d'inertie est : ⎡ m b2 ⎢12 ⎢ ( ) I Ob ( S ) = ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢⎣ 0 0 m 2 a 12 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥. 0 ⎥ m( 2 2 )⎥ a +b ⎥ ⎦ 12 0 (15.86) 15.5.2.4 Triangle (figure 15.16) Le triangle est défini par : JJJG G OA = − a i , JJJG G OB = b i , JJJG G OC = h j . (15.87) 248 Chapitre 15 L'opérateur d'inertie y x O b z a FIGURE 15.15. Rectangle. La position du centre de masse est donnée par : JJJG b − a G h G OG = i + j. 3 3 (15.88) Les matrices d'inertie au point O et au centre de masse s'expriment suivant : m 2 ⎡ h ⎢ 6 ⎢ m ( ) I Ob ( S ) = ⎢− h (b − a) ⎢ 12 ⎢ 0 ⎢⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥, 0 ⎥ m( 2 2 2 )⎥ a − ab + b + h ⎥ ⎦ 6 (15.89) m ( ⎡ m h2 ⎤ 0 h b − a) ⎢ 18 ⎥ 36 ⎢ ⎥ ( ) m m( 2 ⎥. 0 a + ab + b 2 ) I Gb ( S ) = ⎢ h (b − a ) 18 ⎢ 36 ⎥ ⎢ m( 2 2 2 )⎥ 0 0 a + ab + b + h ⎥ ⎢⎣ ⎦ 18 (15.90) − m ( h b − a) 12 m( 2 a − ab + b 2 ) 6 0 0 y C G B O A z FIGURE 15.16. Triangle. x 15.5 Matrices d'inertie de solides homogènes 249 Cas particuliers — Triangle isocèle : a = b ⎡ m h2 ⎤ 0 0 ⎢6 ⎥ ⎢ ⎥ JJJG h G ( ) m 2 ⎥. (15.91) IOb ( S ) = ⎢ 0 0 OG = j , a 3 6 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ m( 2 0 a + h 2 )⎥ ⎢⎣ 0 ⎦ 6 — Triangle rectangle : a = 0 ⎡ m h 2 − m hb ⎤ 0 ⎢ 6 ⎥ 12 ⎢ ⎥ JJJG b G h G ( ) m m 2 ⎥ . (15.92) I Ob ( S ) = ⎢− hb 0 OG = i + j , b 3 3 6 ⎢ 12 ⎥ ⎢ m( 2 2 )⎥ 0 b +h ⎥ ⎢⎣ 0 ⎦ 6 15.5.2.4 Ellipse (figure 15.17) Le centre de masse est au centre de l'ellipse, et la matrice d'inertie en son centre est exprimée par : ⎡ m b2 ⎤ 0 0 ⎢4 ⎥ ⎢ ⎥ ( ) m 2 ⎥. 0 I Ob ( S ) = ⎢ 0 (15.93) a 4 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ m( 2 0 a + b 2 )⎥ ⎢⎣ 0 ⎦ 4 15.5.3 Solides volumiques 15.5.3.1 Calotte sphérique (figure 15.18) La calotte se situe sur la sphère de centre C et est définie par sa hauteur h et le y b O a z FIGURE 15.17. Ellipse. x 250 Chapitre 15 L'opérateur d'inertie z h G y O a x C FIGURE 15.18. Calotte sphérique. rayon a de la sphère de base. Son volume est : V= π 3 h 2 (3a − h) , (15.94) et son centre de masse est défini par : JJJG 3 ( 2a − h)2 G CG = a k. 4 3a − h (15.95) Le trièdre (Oxyz) est trièdre principal d'inertie et les moments d'inertie sont : m h ⎛ 2 ah h 2 ⎞ ⎜a − + ⎟, 3 a−h⎝ 4 20 ⎠ 2 3 3 h = m a 2 − ah + h 2 . 3 a−h 4 20 I Ox = IOy = I Oz ( ) (15.96) Cas particuliers — Demi-boule Les points C et O sont confondus et le rayon du cercle de base est le rayon de la demi-boule. JJJG 3 G 2 OG = a k , I Ox = I Oy = I Oz = ma 2 . (15.97) 8 5 — Boule La matrice d'inertie a été déterminée au paragraphe 15.4.3.2. Son expression est identique à celle de la demi-boule. 15.5.3.2 Cône (figure 15.19) Le cône est défini par sa hauteur h et le rayon a du cercle de base. Le centre de masse et la matrice d'inertie sont donnés par : JJJG 3 G (15.98) OG = h k . 4 15.5 Matrices d'inertie de solides homogènes 251 z a G h y O x FIGURE 15.19. Cône. ⎡ 3 m ( a 2 + 4h 2 ) 0 0 ⎤ ⎢ 20 ⎥ ⎢ ⎥ (b ) 3 2 2 0 0 ⎥. IO ( S ) = ⎢ m ( a + 4h ) 20 ⎢ ⎥ 3 ⎢ 0 0 ma 2 ⎥ ⎣ ⎦ 20 (15.99) 15.5.3.3 Cylindre (figure 15.20) Le centre de masse est au centre du cylindre et la matrice d'inertie est : JJJG h G OG = k , 2 ⎡ ⎛ a2 h2 ⎞ ⎤ 0 0 ⎥ ⎢m ⎜⎝ 4 + 3 ⎟⎠ ⎢ ⎥ ⎛ a 2 h2 ⎞ (b ) ⎢ ( ) 0 0 ⎥ IO S = m⎜ + ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ 4 3⎠ ⎢ 2⎥ a ⎢ 0 0 m ⎥ ⎣ 2⎦ z a G h O x FIGURE 15.20. Cylindre. y (15.100) 252 Chapitre 15 L'opérateur d'inertie 15.5.3.4 Parallélépipède rectangle (figure 15.21) Le centre de masse est au centre du parallélépipède : JJJG a G b G c G OG = i + j + k , 2 2 2 (15.101) et la matrice d'inertie au centre de masse est : ⎡ m (b 2 + c 2 ) ⎤ 0 0 ⎢12 ⎥ ⎢ ⎥ ( ) m ( 2 2) ⎥. I Gb ( S ) = ⎢ a +c 0 0 12 ⎢ ⎥ ⎢ m( 2 2 )⎥ a +b ⎥ 0 0 ⎢⎣ ⎦ 12 (15.102) La matrice d'inertie au point O, un des sommets du parallélépipède, se déduit de la matrice au centre de masse en appliquant les relations d'Huyghens. Nous obtenons : ⎡ m (b 2 + c 2 ) ⎢3 ⎢ ( ) m I Ob ( S ) = ⎢ − ab 4 ⎢ ⎢ m ⎢⎣ − 4 ac − m ab 4 m ( 2 2) a +c 3 m − bc 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ m ( 2 2 )⎥ a +b ⎥ ⎦ 3 m ac 4 m − bc 4 − (15.103) z c G y O a x b FIGURE 15.21 Parallélépipède rectangle. Exercices 253 EXERCICES 15.1 Déterminer la matrice d'inertie principale au centre d'une plaque rectangulaire de faible épaisseur (figure 15.22). En déduire le moment d'inertie par rapport JJGà un axe (∆) contenu dans le plan de la plaque et faisant un angle θ avec l'axe Ox . 15.2 Exprimer la matrice d'inertie d'un quart de disque. Étudier la variation du moment d'inertie par rapport à un axe contenu dans le plan du disque. 15.3 Déterminer la matrice d'inertie d'un cylindre homogène creux, de rayon intérieur a1, de rayon extérieur a2 et de hauteur h. 15.4 Déterminer la matrice d'inertie d'un solide (figure 15.24) constituée d'un cylindre de hauteur h et d'une demi-boule de rayon a. y (∆) b x θ O a FIGURE 15.22. Plaque rectangulaire. z a (S2) h y O x (S1) FIGURE 15.23. Association d'un cylindre et d'une demi-boule. 254 Chapitre 15 L'opérateur d'inertie 15.5 Déterminer la matrice d'inertie d'un parallélépipède non homogène (figure 15.25) constitué de quatre parallélépipèdes de côtés 2a, b, c, et de masses respectives m1 et m2. En déduire le moment d'inertie par rapport à une diagonale. 15.6 Exprimer la matrice d'inertie d'une boule avec un trou sphérique de rayon moitié, passant par le centre de la sphère. 15.7 Déterminer la matrice d'inertie d'une plaque rectangulaire homogène de longueur a et largeur b, percée en son centre d'un trou de rayon c ( c < b/2 ). z 2a m1 m2 O y 2c m2 x m1 2b FIGURE 15.24. Parallélépipède rectangle non homogène. COMMENTAIRES L'opérateur d'inertie intervient dans les expressions du torseur cinétique et du torseur dynamique qui seront introduits dans le chapitre suivant. L'utilisation de l'opérateur d'inertie est particulièrement importante. Cet opérateur est représenté dans une base donnée liée au solide considéré par la matrice d'inertie symétrique 3 × 3, dont les termes diagonaux sont les moments d'inertie et les autres termes sont les produits d'inertie du solide par rapport à trois axes trirectangles. Le lecteur devra maîtriser parfaitement tous les concepts introduits dans le présent chapitre.
