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electrocinetique regimes transitoires

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MPSI - Électrocinétique I - Circuits linéaires en régime transitoire
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Circuits linéaires en régime
transitoire
1
– la continuité de l’intensité du courant dans la bobine (sinon u = L
vers l’infini ce qui est physiquement impossible).
di
tendrait
dt
Conditions initiales et continuité
On va étudier ce qui se passe entre entre deux régimes continus = régime transitoire. Les grandeurs électriques ne sont plus constantes. Rappelons les conventions
et résultats pour la bobine et le condensateur :
2
2.1
Régime libre du circuit RC
Évolution de la tension aux bornes du condensateur
L
i
I
u
E
C
u=L
R
E
C
i
u
R
di
dt
L inductance en henry (H).
Le condensateur est initialement chargé sous une tension E. En régime continu,
le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert U = E et I = 0 (E/R
dans la résistance).
A t = 0, on ouvre l’interrupteur, le condensateur se décharge dans la résistance :
C
i
U
q
q
u
u = Ri = −R
q = Cu i =
dq
du
=C
dt
dt
C capacité en farad (F ).
Les circuits étant linéaires, toute grandeur électrique x(t) est décrite par
une équation différentielle linéaire à coefficient constant.
On détermine les constantes d’intégration grâce aux conditions initiales en
utilisant :
du
– la continuité de la tension aux bornes du condensateur (sinon i = C
dt
tendrait vers l’infini ce qui est physiquement impossible) ;
Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007
dq
du
= −RC
dt
dt
du u
+ = 0 avec
dt
τ
τ = RC
La solution est de la forme u(t) = A exp(−t/τ ).
u(0) = A = E par continuité de la tension aux bornes du condensateur.
Finalement
u(t) = E exp(−t/τ )
MPSI - Électrocinétique I - Circuits linéaires en régime transitoire
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u(t)
i(t)
E
R
E
t
τ
t
τ
Le condensateur assure la continuité de la tension à ses bornes mais pas celle de
l’intensité du courant.
du
dt
t=0
=−
E
τ
E
La tangente à l’origine d’équation − t + E coupe l’axe des abscisses en t = τ .
τ
D’autre part :
pour t = τ , u = E exp(−1) = 0, 37E
pour t = 2τ , u = E exp(−1) = 0, 14E
pour t = 3τ , u = E exp(−1) = 0, 05E
2.3
Étude énergétique
Calculons l’énergie reçue (on est bien en convention récepteur pour la résistance)
et dissipée par effet Joule dans la résistance :
Z
Z
Z
E2 ∞
E 2 exp(−2t/τ ) ∞
W = Pdt = uidt =
exp(−2t/τ )dt =
R 0
R
−2/τ
0
1
W = CE 2 énergie emmagasinée dans le condensateur.
2
3
2.2
Régime libre du circuit RL
Évolution de l’intensité du courant
3.1
Évolution de l’intensité du courant
du
dq
i = − = −C , ce qui donne
dt
dt
R
Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007
R
i
L
E
E
i(t) = exp(−t/τ )
R
I
U
L
u
MPSI - Électrocinétique I - Circuits linéaires en régime transitoire
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En régime continu, la bobine se comporte comme un interrupteur fermé U = 0 et
I = E/R.
A t = 0, on supprime E :
u(t)
τ
t
di
u = L = −Ri
dt
di
i
+ = 0 avec
dt τ
τ = L/R
La solution est de la forme i(t) = A exp(−t/τ ).
i(0) = A = E/R par continuité de l’intensité du courant dans la bobine.
Finalement
i(t) =
E
exp(−t/τ )
R
−E
3.3
Étude énergétique
Calculons l’énergie reçue (on est en convention générateur pour la résistance) et
dissipée par effet Joule dans la résistance :
i(t)
E
R
W =
W =
4
t
τ
4.1
Z
Pdt =
Z
E2
−uidt =
R
Z
∞
0
E 2 exp(−2t/τ ) ∞
exp(−2t/τ )dt =
R
−2/τ
0
1
1 E2 L
= LI 2 énergie emmagasinée dans la bobine.
2 R R
2
Régime libre du circuit RLC série
Équation différentielle
R
3.2
Évolution de la tension aux bornes de la bobine
q
E
di
u = L , ce qui donne
dt
C
u(t) = −E exp(−t/τ )
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L
i
u
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u(t)
di
(1) u = Ri + L
dt
dq
q
dq
d2 q
avec u = q/C et i = −
donne
= −R − L 2 soit
dt
C
dt
dt
(2)
E
1
d2 q R dq
+
+
q=0
dt2
L dt
LC
t
Avec q = Cu, (2) donne
1
d2 u R du
+
+
u=0
2
dt
L dt
LC
En dérivant (1) et en utilisant u = q/C et i = −
dq
, on obtient
dt
La pseudo-période est égale à T =
1
d2 i R di
+
+
i=0
2
dt
L dt LC
4.2
2π
2π
=p 2
=
ω
ω0 − α 2
2π
r
1
ω0 1 −
4Q2
Différents régimes
régime
1
Q>
2
pseudo-périodique
1
Q<
2
apériodique
1
Q=
2
critique
d2 u
du
+ 2α
+ ω02 u = 0
2
dt
dt
1
ω0
R
et Q =
2α = , ω02 =
L
LC
2α
−αt
u = e (A cos(Ωt) + B sin(Ωt))
4.3
Étude énergétique
En multipliant (1) par i, on obtient
ui = Ri2 + L
Ω2 = ω02 − α2
′
′
u = e−αt (A′ eΩ t + B ′ e−Ω t )
Ω′2 = α2 − ω02
dq
et q = Cu, on a
dt
u = e−ω0 t (A′′ t + B ′′ )
Q s’appelle le facteur de qualité.
On détermine les constantes grâce aux conditions initiales en utilisant la continuité de la tension aux bornes du condensateur et la continuité de l’intensité du
courant dans la bobine.
Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007
comme i = −
di
i
dt
−Cu
d
dt
di
du
= Ri2 + L i
dt
dt
1 2 1 2
Cu + Li
2
2
= −Ri2
L’énergie emmagasinée dans le condensateur et la bobine à un instant t, W (t) =
1 2 1 2
Cu + Li , diminue au cours du temps, elle est dissipée par effet Joule dans la
2
2
résistance.
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5
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Réponse d’un circuit RC à un échelon de tension
5.1
Évolution de la tension aux bornes du condensateur
R
Évolution de l’intensité du courant
i=+
dq
du
=C
ce qui donne
dt
dt
E
exp(−t/τ )
R
R
I
E
5.2
U
C
E
u
q
i
i(t)
C
E
R
Le condensateur est initialement déchargé (Régime continu U = 0 et I = 0).
A t = 0, on ferme l’interrupteur et le condensateur se charge :
E = Ri + u = RC
du u
E
+ =
dt
τ
τ
avec
du
+u
dt
τ = RC
t
τ
La solution est de la forme u(t) = u(h) + u(p) = A exp(−t/τ )+E.
u(0) = A + E = 0 par continuité de la tension aux bornes du condensateur.
Finalement
u(t) = E(1 − exp(−t/τ ))
5.3
Bilan énergétique
Multiplier E = Ri + u par i donne
Ei = Ri2 + ui
u(t)
E
τ
Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007
t
où Ei est la puissance fournie par le générateur (E(-i) puissance reçue) ;
Ri2 est la puissance reçue et dissipée dans la résistance ;
ui est la puissance reçue et emmagasinée dans le condensateur.
Z ∞
Z
E2 ∞
E2
Eidt =
RC = CE 2
exp(−t/τ )dt =
R
R
0
0
Z ∞
2 Z ∞
E 2 RC
1
E
exp(−2t/τ )dt = R 2
= CE 2
Ri2 dt = R 2
R 0
R 2
2
0
Z ∞
Z ∞
2
2
E
RC
1
E
uidt =
(RC −
) = CE 2
(exp(−t/τ ) − exp(−2t/τ ))dt =
R 0
R
2
2
0
L’énergie fournie par le générateur se répartit équitablement entre la résistance
et le condensateur.
MPSI - Électrocinétique I - Circuits linéaires en régime transitoire
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Réponse d’un circuit RL à un échelon de tension
6.1
Évolution de l’intensité du courant
I
R
u=L
di
ce qui donne
dt
u(t) = E exp(−t/τ )
L
E
U
Évolution de la tension aux bornes de la bobine
i
R
L
E
6.2
u(t)
u
E
Régime continu U = 0 et I = 0.
A t = 0, on ferme l’interrupteur :
E = Ri + L
i
E
di
+ =
dt τ
L
avec
di
dt
τ = L/R
E
La solution est de la forme i(t) = i(h) + i(p) = A exp(−t/τ ) + .
R
E
i(0) = A +
= 0 par continuité de l’intensité du courant dans la bobine.
R
Finalement
E
i(t) = (1 − exp(−t/τ ))
R
i(t)
t
τ
6.3
Bilan énergétique
Multiplier E = Ri + u par i donne
Ei = Ri2 + ui
où Ei est la puissance fournie par le générateur (E(-i) puissance reçue) ;
Ri2 est la puissance reçue et dissipée dans la résistance ;
ui est la puissance reçue et emmagasinée dans la bobine.
Quand t → ∞ Un nouveau régime continu s’établit avec I = E/R donc :
Z ∞
Eidt → ∞
E
R
0
Z
∞
Ri2 dt → ∞
0
τ
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t
Z
∞
uidt =
0
E2
R
Z
0
∞
(exp(−t/τ ) − exp(−2t/τ ))dt =
L
1
E2 L
( −
) = LI 2
R R 2R
2
MPSI - Électrocinétique I - Circuits linéaires en régime transitoire
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7.1
Réponse d’un circuit RLC série à un échelon de
tension
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7.2
Bilan énergétique
Multiplier E = L
Tension aux bornes du condensateur
di
+ Ri + u par i donne
dt
Ei = L
L
R
E
q
C
di
du
i + Ri2 + C u
dt
dt
où Ei est la puissance fournie par le générateur (E(-i) puissance reçue) ;
di
L i est la puissance reçue et emmagasinée dans la bobine ;
dt
Ri2 est la puissance reçue et dissipée dans la résistance ;
ui est la puissance reçue et emmagasinée dans le condensateur.
Quand t → ∞ Un nouveau régime continu s’établit avec U = E et I = 0 donc :
Z ∞
1 2 ∞
di
Li
=0
L idt =
dt
2
0
0
Z ∞
1 2 ∞ 1
du
Cu
C udt =
= CE 2
dt
2
2
0
0
i
u
Le condensateur est initialement déchargé.
A t = 0, on ferme l’interrupteur :
di
E = L + Ri + u soit
dt
1
E
d2 q R dq
+
+
q=
2
dt
L dt
LC
L
u et i vérifient la même équation.
La solution est de la forme q(t) = q (h) + q (p) .
Pour q (h) voir régime libre.
q (p) = CE.
Par exemple en régime pseudo-périodique :
Pour les deux autres intégrales, il faut expliciter u(t) et i(t) :
u(t) = e−αt (A cos(Ωt) + B sin(Ωt)) + E
comme i(t) = C
du
, on a
dt
i(t) = C −αe−αt (A cos(Ωt) + B sin(Ωt)) + e−αt (−AΩ sin(Ωt) + BΩ cos(Ωt))
u(t)
u(0) = A + E = 0 ⇒ A = −E
i(0) = C(−αA + BΩ) = 0 ⇒ B =
−αE
d’où
Ω
i(t) = CEe
Z
E
−αt
sin(Ωt)
α2
+Ω
Ω
∞
Eidt = CE 2
0
t
Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007
(voir calcul MAPLE) donc en utilisant le bilan, la dernière intégrale vaut
Z ∞
1
Ri2 dt = CE 2
2
0
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