MPSI - Électrocinétique I - Circuits linéaires en régime transitoire page 1/8 Circuits linéaires en régime transitoire 1 – la continuité de l’intensité du courant dans la bobine (sinon u = L vers l’infini ce qui est physiquement impossible). di tendrait dt Conditions initiales et continuité On va étudier ce qui se passe entre entre deux régimes continus = régime transitoire. Les grandeurs électriques ne sont plus constantes. Rappelons les conventions et résultats pour la bobine et le condensateur : 2 2.1 Régime libre du circuit RC Évolution de la tension aux bornes du condensateur L i I u E C u=L R E C i u R di dt L inductance en henry (H). Le condensateur est initialement chargé sous une tension E. En régime continu, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert U = E et I = 0 (E/R dans la résistance). A t = 0, on ouvre l’interrupteur, le condensateur se décharge dans la résistance : C i U q q u u = Ri = −R q = Cu i = dq du =C dt dt C capacité en farad (F ). Les circuits étant linéaires, toute grandeur électrique x(t) est décrite par une équation différentielle linéaire à coefficient constant. On détermine les constantes d’intégration grâce aux conditions initiales en utilisant : du – la continuité de la tension aux bornes du condensateur (sinon i = C dt tendrait vers l’infini ce qui est physiquement impossible) ; Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007 dq du = −RC dt dt du u + = 0 avec dt τ τ = RC La solution est de la forme u(t) = A exp(−t/τ ). u(0) = A = E par continuité de la tension aux bornes du condensateur. Finalement u(t) = E exp(−t/τ ) MPSI - Électrocinétique I - Circuits linéaires en régime transitoire page 2/8 u(t) i(t) E R E t τ t τ Le condensateur assure la continuité de la tension à ses bornes mais pas celle de l’intensité du courant. du dt t=0 =− E τ E La tangente à l’origine d’équation − t + E coupe l’axe des abscisses en t = τ . τ D’autre part : pour t = τ , u = E exp(−1) = 0, 37E pour t = 2τ , u = E exp(−1) = 0, 14E pour t = 3τ , u = E exp(−1) = 0, 05E 2.3 Étude énergétique Calculons l’énergie reçue (on est bien en convention récepteur pour la résistance) et dissipée par effet Joule dans la résistance : Z Z Z E2 ∞ E 2 exp(−2t/τ ) ∞ W = Pdt = uidt = exp(−2t/τ )dt = R 0 R −2/τ 0 1 W = CE 2 énergie emmagasinée dans le condensateur. 2 3 2.2 Régime libre du circuit RL Évolution de l’intensité du courant 3.1 Évolution de l’intensité du courant du dq i = − = −C , ce qui donne dt dt R Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007 R i L E E i(t) = exp(−t/τ ) R I U L u MPSI - Électrocinétique I - Circuits linéaires en régime transitoire page 3/8 En régime continu, la bobine se comporte comme un interrupteur fermé U = 0 et I = E/R. A t = 0, on supprime E : u(t) τ t di u = L = −Ri dt di i + = 0 avec dt τ τ = L/R La solution est de la forme i(t) = A exp(−t/τ ). i(0) = A = E/R par continuité de l’intensité du courant dans la bobine. Finalement i(t) = E exp(−t/τ ) R −E 3.3 Étude énergétique Calculons l’énergie reçue (on est en convention générateur pour la résistance) et dissipée par effet Joule dans la résistance : i(t) E R W = W = 4 t τ 4.1 Z Pdt = Z E2 −uidt = R Z ∞ 0 E 2 exp(−2t/τ ) ∞ exp(−2t/τ )dt = R −2/τ 0 1 1 E2 L = LI 2 énergie emmagasinée dans la bobine. 2 R R 2 Régime libre du circuit RLC série Équation différentielle R 3.2 Évolution de la tension aux bornes de la bobine q E di u = L , ce qui donne dt C u(t) = −E exp(−t/τ ) Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007 L i u MPSI - Électrocinétique I - Circuits linéaires en régime transitoire page 4/8 u(t) di (1) u = Ri + L dt dq q dq d2 q avec u = q/C et i = − donne = −R − L 2 soit dt C dt dt (2) E 1 d2 q R dq + + q=0 dt2 L dt LC t Avec q = Cu, (2) donne 1 d2 u R du + + u=0 2 dt L dt LC En dérivant (1) et en utilisant u = q/C et i = − dq , on obtient dt La pseudo-période est égale à T = 1 d2 i R di + + i=0 2 dt L dt LC 4.2 2π 2π =p 2 = ω ω0 − α 2 2π r 1 ω0 1 − 4Q2 Différents régimes régime 1 Q> 2 pseudo-périodique 1 Q< 2 apériodique 1 Q= 2 critique d2 u du + 2α + ω02 u = 0 2 dt dt 1 ω0 R et Q = 2α = , ω02 = L LC 2α −αt u = e (A cos(Ωt) + B sin(Ωt)) 4.3 Étude énergétique En multipliant (1) par i, on obtient ui = Ri2 + L Ω2 = ω02 − α2 ′ ′ u = e−αt (A′ eΩ t + B ′ e−Ω t ) Ω′2 = α2 − ω02 dq et q = Cu, on a dt u = e−ω0 t (A′′ t + B ′′ ) Q s’appelle le facteur de qualité. On détermine les constantes grâce aux conditions initiales en utilisant la continuité de la tension aux bornes du condensateur et la continuité de l’intensité du courant dans la bobine. Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007 comme i = − di i dt −Cu d dt di du = Ri2 + L i dt dt 1 2 1 2 Cu + Li 2 2 = −Ri2 L’énergie emmagasinée dans le condensateur et la bobine à un instant t, W (t) = 1 2 1 2 Cu + Li , diminue au cours du temps, elle est dissipée par effet Joule dans la 2 2 résistance. MPSI - Électrocinétique I - Circuits linéaires en régime transitoire 5 page 5/8 Réponse d’un circuit RC à un échelon de tension 5.1 Évolution de la tension aux bornes du condensateur R Évolution de l’intensité du courant i=+ dq du =C ce qui donne dt dt E exp(−t/τ ) R R I E 5.2 U C E u q i i(t) C E R Le condensateur est initialement déchargé (Régime continu U = 0 et I = 0). A t = 0, on ferme l’interrupteur et le condensateur se charge : E = Ri + u = RC du u E + = dt τ τ avec du +u dt τ = RC t τ La solution est de la forme u(t) = u(h) + u(p) = A exp(−t/τ )+E. u(0) = A + E = 0 par continuité de la tension aux bornes du condensateur. Finalement u(t) = E(1 − exp(−t/τ )) 5.3 Bilan énergétique Multiplier E = Ri + u par i donne Ei = Ri2 + ui u(t) E τ Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007 t où Ei est la puissance fournie par le générateur (E(-i) puissance reçue) ; Ri2 est la puissance reçue et dissipée dans la résistance ; ui est la puissance reçue et emmagasinée dans le condensateur. Z ∞ Z E2 ∞ E2 Eidt = RC = CE 2 exp(−t/τ )dt = R R 0 0 Z ∞ 2 Z ∞ E 2 RC 1 E exp(−2t/τ )dt = R 2 = CE 2 Ri2 dt = R 2 R 0 R 2 2 0 Z ∞ Z ∞ 2 2 E RC 1 E uidt = (RC − ) = CE 2 (exp(−t/τ ) − exp(−2t/τ ))dt = R 0 R 2 2 0 L’énergie fournie par le générateur se répartit équitablement entre la résistance et le condensateur. MPSI - Électrocinétique I - Circuits linéaires en régime transitoire 6 page 6/8 Réponse d’un circuit RL à un échelon de tension 6.1 Évolution de l’intensité du courant I R u=L di ce qui donne dt u(t) = E exp(−t/τ ) L E U Évolution de la tension aux bornes de la bobine i R L E 6.2 u(t) u E Régime continu U = 0 et I = 0. A t = 0, on ferme l’interrupteur : E = Ri + L i E di + = dt τ L avec di dt τ = L/R E La solution est de la forme i(t) = i(h) + i(p) = A exp(−t/τ ) + . R E i(0) = A + = 0 par continuité de l’intensité du courant dans la bobine. R Finalement E i(t) = (1 − exp(−t/τ )) R i(t) t τ 6.3 Bilan énergétique Multiplier E = Ri + u par i donne Ei = Ri2 + ui où Ei est la puissance fournie par le générateur (E(-i) puissance reçue) ; Ri2 est la puissance reçue et dissipée dans la résistance ; ui est la puissance reçue et emmagasinée dans la bobine. Quand t → ∞ Un nouveau régime continu s’établit avec I = E/R donc : Z ∞ Eidt → ∞ E R 0 Z ∞ Ri2 dt → ∞ 0 τ Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007 t Z ∞ uidt = 0 E2 R Z 0 ∞ (exp(−t/τ ) − exp(−2t/τ ))dt = L 1 E2 L ( − ) = LI 2 R R 2R 2 MPSI - Électrocinétique I - Circuits linéaires en régime transitoire 7 7.1 Réponse d’un circuit RLC série à un échelon de tension page 7/8 7.2 Bilan énergétique Multiplier E = L Tension aux bornes du condensateur di + Ri + u par i donne dt Ei = L L R E q C di du i + Ri2 + C u dt dt où Ei est la puissance fournie par le générateur (E(-i) puissance reçue) ; di L i est la puissance reçue et emmagasinée dans la bobine ; dt Ri2 est la puissance reçue et dissipée dans la résistance ; ui est la puissance reçue et emmagasinée dans le condensateur. Quand t → ∞ Un nouveau régime continu s’établit avec U = E et I = 0 donc : Z ∞ 1 2 ∞ di Li =0 L idt = dt 2 0 0 Z ∞ 1 2 ∞ 1 du Cu C udt = = CE 2 dt 2 2 0 0 i u Le condensateur est initialement déchargé. A t = 0, on ferme l’interrupteur : di E = L + Ri + u soit dt 1 E d2 q R dq + + q= 2 dt L dt LC L u et i vérifient la même équation. La solution est de la forme q(t) = q (h) + q (p) . Pour q (h) voir régime libre. q (p) = CE. Par exemple en régime pseudo-périodique : Pour les deux autres intégrales, il faut expliciter u(t) et i(t) : u(t) = e−αt (A cos(Ωt) + B sin(Ωt)) + E comme i(t) = C du , on a dt i(t) = C −αe−αt (A cos(Ωt) + B sin(Ωt)) + e−αt (−AΩ sin(Ωt) + BΩ cos(Ωt)) u(t) u(0) = A + E = 0 ⇒ A = −E i(0) = C(−αA + BΩ) = 0 ⇒ B = −αE d’où Ω i(t) = CEe Z E −αt sin(Ωt) α2 +Ω Ω ∞ Eidt = CE 2 0 t Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007 (voir calcul MAPLE) donc en utilisant le bilan, la dernière intégrale vaut Z ∞ 1 Ri2 dt = CE 2 2 0 MPSI - Électrocinétique I - Circuits linéaires en régime transitoire Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007 page 8/8
