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(Aide-mémoire de lingénieur) Dursapt, Michel - Métrologie dimensionnelle aide-mémoire-Dunod, LUsine nouvelle (2009)

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Michel Dursapt
Aide-mémoire
Métrologie
dimensionnelle
Aide-mémoire
Métrologie
dimensionnelle
Pierre Bourdet, Fabien Schneider
Spécification géométrique
des produits
2007, 312 p.
Michel Dursapt
Aide-mémoire
Métrologie
dimensionnelle
Illustration de couverture :
© Guénhaël Le Quilliec - Fotolia.com
© Dunod, Paris, 2009
ISBN 978-2-10-053686-3
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
PRÉFACE
Comme beaucoup de disciplines, la métrologie dimensionnelle à subit
des pics d’évolutions dus, soit à des demandes de plus en plus pressantes
des secteurs qui l’utilisaient, soit à des avancées technologiques qui lui
ouvraient des perspectives interdites jusqu’alors. Pour illustrer ce propos
évoquons la venue de la production en très grandes séries qui, accompagnée
de la standardisation des pièces mécaniques, a obligé les métrologues à
spécifier les pièces, à faire évoluer les matériels de mesure ainsi que les
stratégies de contrôle. Parmi ces matériels, les machines à mesurer tridimensionnelles ont amené les métrologues à redéfinir l’approche conceptuelle de la métrologie. De nombreuses recherches ont abouti à des
traitements informatiques de données s’appuyant sur des outils mathématiques qui, a priori, ne semblaient pas devoir intervenir dans ce type
d’application. Loin d’être stérile, comme c’est parfois le cas, la conceptualisation de la métrologie dimensionnelle a conduit à clarifier de nombreux
problèmes, notamment du point de vue tridimensionnel, à en apporter une
bonne compréhension et à proposer des solutions. Pour s’en convaincre, il
n’est qu’à évoquer l’évolution de la normalisation ces dernières années.
L’ouvrage proposé traite, de façon concrète, un grand nombre des
aspects qui viennent d’être évoqués. L’auteur, Michel DURSAPT, enseigne cette discipline depuis de nombreuses années à l’ENI de SaintÉtienne. Il en possède une profonde connaissance des aspects théoriques. Sa connaissance des matériels et de leur utilisation, qu’il pratique
au quotidien au Laboratoire de métrologie de son établissement, n’est
pas moins grande. Ceci, associé à une forte implication dans le monde
industriel, en fait un auteur idéal.
V
En bon pédagogue l’auteur commence par préciser le vocabulaire associé
aux notions qui sont à la base du contrôle, mais qui souvent sont confuses
dans les esprits. Ceux qui débutent dans cette discipline n’y trouveront
que des avantages. La structuration du livre invite le lecteur à une approche
progressive qui s’appuie sur une logique issue de la pratique. Ainsi, par
exemple, l’auteur en évoquant la nécessité des spécifications en arrive-t-il
naturellement à la normalisation de ces dernières, ensuite il pose la
nécessité de leur contrôle le plus objectif possible, de façon à éviter les
litiges entre fabricants et clients. Il applique ceci au contrôle des pièces
mécaniques et aux machines outils. Concernant les pièces mécaniques,
les aspects macro- et microgéométriques des surfaces sont développés.
L’auteur s’appuie sur une démarche rigoureuse, mettant bien en évidence
les outils mathématiques indispensables aux approches actuelles du
contrôle dimensionnel. Toutefois, il sait n’en dire que ce qui est nécessaire,
rendant ces outils très abordables pour quiconque, ce qui rassurera les
lecteurs peu enclins aux mathématiques. Ces derniers, ainsi que les autres,
trouveront agréable le propos de Michel DURSAPT qui mêle de façon
harmonieuse théorie, technologie et pratique, ces trois éléments se complétant pour aboutir à un exposé clair et convaincant. Les nombreux exemples qui illustrent les différents chapitres, rendant concrets les concepts
introduits, ne sont pas les derniers à fortement contribuer à cet objectif.
Tous ceux qui pratiquent le Génie mécanique, les personnels de l’industrie,
les enseignants, les étudiants, trouveront dans cet ouvrage un outil de
qualité pour aborder le contrôle dimensionnel, que l’auteur en soit remercié.
J.-P. CORDEBOIS
Professeur honoraire
du Conservatoire national des arts et métiers
VI
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
TABLE DES MATIÈRES
Préface
V
Remerciements
XI
Avant-propos
1
1 • Généralités sur la métrologie dimensionnelle
3
1.1
Pourquoi la métrologie dimensionnelle en génie mécanique ?
1.2
Quelques notions de base concernant la caractérisation
géométrique des produits
1.3
Mesure et contrôle
13
1.4
Bibliographie
15
2 • Mesure des longueurs
3
4
17
2.1
Le mètre étalon
2.2
Notion d’incertitude de mesure
27
2.3
Bibliographie
39
3 • Estimation des incertitudes
17
41
3.1
Rappels et notations
41
3.2
Estimation d’une incertitude de mesure simple
46
3.3
Estimation des incertitudes composées
51
3.4
Cas où les variables ne sont pas indépendantes
58
VII
3.5
3.6
3.7
Exemple de détermination d’incertitude
Remarque importante
Bibliographie
4 • Méthodes d’association
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Rappels
Métrologie de la droite
Application à des surfaces simples
Association d’une surface théorique quelconque
à un nuage de points
Bibliographie
5 • Spécifications géométriques
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
Caractéristiques d’une surface
Tolérances dimensionnelles
Tolérances de forme
Tolérances de position
Une spécification de position implique toujours
une spécification de forme
Bibliographie
6 • Mesure tridimensionnelle
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Principe de la mesure tridimensionnelle
Référentiel
Saisie de points appartenant à l’élément réel
Exemple de gamme de contrôle en mesure tridimensionnelle
Bibliographie
7 • Mesure et caractérisation des états de surface
7.1
7.2
7.3
7.4
VIII
Généralités sur les défauts géométriques des surfaces
Relevé d’un profil sur une surface réelle
Observation et traitement du signal obtenu
Critères principaux de chiffrage des défauts d’état de surface
62
68
69
71
71
71
77
80
95
97
97
99
103
106
114
115
117
117
118
123
137
143
145
145
149
155
159
7.5
7.6
7.7
Caractérisation tridimensionnelle des états de surface
Indications d’états de surface sur les dessins
Bibliographie
8 • La métrologie des machines-outils
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
Pourquoi la métrologie des machines-outils
Mesure des défauts d’une liaison glissière
Mesure des défauts angulaires des axes
Le ballbar
Les essais en charge
Bibliographie
176
182
183
185
185
189
205
210
214
217
219
Index alphabétique
221
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Annexe
IX
REMERCIEMENTS
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Je ne saurais commencer cet ouvrage sans adresser mes remerciements
les plus vifs et les plus sincères à Alain LOMBARD sans la disponibilité et
le talent duquel je ne me serais jamais sorti du maquis que représentent
pour moi les différentes structures de l’imagerie informatique, ainsi qu’à
Bernard GUEYTE pour l’aide efficace qu’il m’a apporté dans la réalisation
des différentes photographies dont la présence m’a semblé intéressante
pour une meilleure présentation et une meilleure compréhension.
XI
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
AVANT-PROPOS
Le génie mécanique, terme issu du verbe s’ingénier c'est-à-dire mettre en
œuvre tous les moyens disponibles pour arriver à un but, est donc une
discipline transversale qui à chaque étape de la vie d’un produit industriel (conception, fabrication, contrôle, utilisation) nécessite de
maîtriser rigoureusement les caractéristiques des objets. Parmi ces
caractéristiques, la géométrie (les formes et les dimensions) est d’une
importance capitale puisque c’est l’un des deux seuls domaines, avec
celui des matériaux, dans lesquels les mécaniciens vont pouvoir agir afin
d’optimiser la fonctionnalité des produits. La métrologie dimensionnelle
est l’outil qui va permettre la connaissance de cette géométrie, c’est pourquoi elle doit être maîtrisée par tous les acteurs (opérateurs, techniciens,
ingénieurs) du génie mécanique.
L’ouvrage proposé a été bâti à partir des cours de métrologie dimensionnelle dispensés aux étudiants de génie mécanique de l’École nationale
d’ingénieurs de Saint-Étienne dans le but de les amener à comprendre
que les moyens techniques mis en œuvre avec succès par les métrologues des différentes entreprises de la mécanique ont toujours comme
point de départ, même si les habitudes et l’habileté professionnelle des
opérateurs font que cela est très souvent inconscient, une modélisation
géométrique d’éléments réels et que de la pertinence de cette modélisation
dépendra la précision avec laquelle cette géométrie sera connue.
L’objectif visé est de relier aussi simplement et aussi clairement que
possible les pratiques de la mesure dimensionnelle avec les théories qui en
sont à l’origine et qui les régissent, chacun pouvant aborder l’ouvrage
1
Avant-propos
par la notion qui lui est la plus familière. D’où les différentes parties
proposées et la succession de celles-ci : Pourquoi la métrologie dimensionnelle ? La mesure des longueurs et l’incertitude sur cette mesure,
l’écriture et la lecture des spécifications, les méthodes d’association, la
métrologie tridimensionnelle, la caractérisation des états de surface et la
métrologie des machines-outils.
L’intérêt que pourrait présenter un tel ouvrage m’est apparu en constatant que les impératifs de la formation actuelle ne permettent plus aux
étudiants, techniciens, techniciens supérieurs, ingénieurs et même à ceux
de la formation continue, d’aborder leurs études avec une culture technologique suffisante pour comprendre le fonctionnement des moyens de
mesure et de contrôle performants qu’ils sont appelés à mettre en œuvre.
Naturellement, c’est avec plaisir que je verrais mes collègues enseignants
intéressés utiliser cet ouvrage comme support à leurs cours si cela peut les
aider dans leur travail. En espérant qu’au moins une partie de l’objectif
envisagé sera atteinte, c’est avec beaucoup d’intérêt que je recevrai toutes
les remarques et les suggestions que cet ouvrage fera apparaître.
2
1 • GÉNÉRALITÉS SUR LA
MÉTROLOGIE DIMENSIONNELLE
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
1.1 Pourquoi la métrologie dimensionnelle
en génie mécanique ?
Le génie industriel a pour objet la mise en œuvre de tous les moyens
permettant l’obtention de produits dans un domaine industriel donné.
Le génie mécanique a donc pour but la conception, la production et le
contrôle de produits et de biens d’équipement dans le domaine de la
mécanique au sens le plus large du terme (automobile, machines-outils,
aéronautique, électroménager, instrumentation médicale, etc.)
La métrologie étant la discipline qui consiste à mesurer des grandeurs
physiques (toutes les grandeurs physiques sont mesurables), on rappelle
que mesurer une grandeur c’est comparer cette grandeur avec une autre
arbitrairement choisie comme étalon. La métrologie dimensionnelle est
donc la discipline qui traite du domaine de la mesure des longueurs.
Tout produit mécanique quel qu’il soit est constitué par l’assemblage
d’un certain nombre d’objets élémentaires (vis, bille, carter, pignon…) que
l’on appelle couramment pièces. Chacune de ces pièces est conçue de
façon à remplir un certain nombre de fonctions et ceci dans des domaines
extrêmement variés.
– La mécanique : transmission d’efforts, résistance aux contraintes…
– La physique : conductivité thermique ou électrique, masse, couleur…
3
1 • Généralités sur la
métrologie dimensionnelle
–
–
–
–
–
1.2 Quelques notions de base concernant
la caractérisation géométrique des produits
La chimie : comportement vis-à-vis de l’environnement…
La production : contraintes de fabrication…
L’économie : coût, disponibilité des matières premières…
L’esthétique : aspect…
L’usage : facilité d’utilisation…
Afin d’obtenir un objet capable de remplir au mieux ces différentes fonctions, le concepteur va pouvoir agir dans deux domaines principaux :
– Les matériaux : en quoi sera réalisé l’objet (métal, polymère, céramique,
matériau composite…) ?
– La géométrie : quelles seront les formes et les dimensions à donner à
cet objet ?
Naturellement, les deux paramètres ne sont pas forcément indépendants. Par exemple si l’on doit concevoir un câble devant supporter une
certaine charge, la section de ce câble dépendra directement du matériau choisi pour sa réalisation (chanvre, acier, nylon). Par contre sa
longueur dépendra uniquement du déplacement que l’on doit faire
subir à la charge.
L’étude des matériaux fait partie intégrante de la formation des ingénieurs et des techniciens et elle ne sera pas abordée dans cet ouvrage.
Par contre, nous imaginons sans difficulté le besoin pour l’ingénieur en
mécanique d’être capable de définir, de caractériser, de réaliser et de
mesurer la géométrie des produits fabriqués. La métrologie dimensionnelle va lui permettre de connaître et de mettre en œuvre les moyens
d’assurer cette caractérisation et cette vérification.
1.2 Quelques notions de base concernant
la caractérisation géométrique
des produits
Un objet quelconque est donc un volume de matière limité par une ou
plusieurs surfaces. Cet objet ne nous est accessible, visuellement ou
tactilement, que par l’intermédiaire de la ou des surfaces qui le limite.
4
1 • Généralités sur la
métrologie dimensionnelle
1.2 Quelques notions de base concernant
la caractérisation géométrique des produits
De même, ce sont les surfaces d’une pièce mécanique, et elles seules,
qui sont le siège des transmissions de forces et de mouvements, ainsi
que des transferts de flux électrique ou thermique, ce sont d’elles dont
dépendent en grande partie les qualités optiques ou biomécaniques
d’un objet. Enfin, c’est en générant des surfaces de géométries particulières, par formage ou par enlèvement de matière, que le fabriquant
va donner naissance à l’objet désiré. On comprend donc bien la nécessité absolue pour le mécanicien de maîtriser parfaitement cet élément
géométrique essentiel qu’est une surface.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
1.2.1 Définition d’une surface
Une surface réelle, qui peut être définie comme étant la séparation entre
deux milieux, la matière constituant l’objet considéré et son environnement, généralement de l’air, est en réalité une zone extrêmement
complexe dans laquelle se déroulent un grand nombre de phénomènes
physico-chimiques [1.1] qu’il est donc très difficile de détecter avec
précision (voir figure 1.1). Prenons par exemple la surface constituée
par le plateau d’une table en bois. Pour des raisons fonctionnelles, cette
surface, donc la séparation entre le bois de la table et l’air ambiant,
devrait être un plan. Dans la réalité, tous les points appartenant à cette
surface réelle ne se situeront pas dans un plan, à grande échelle (déformations du plateau) ou à petite échelle, rappelons que le bois est un
matériau composite formé de fibres de cellulose noyées dans une
matrice de lignine et d’hémicellulose d’où la présence inévitable d’irrégularités aux jonctions entre ces différents constituants. De plus, le bois
du plateau ne sera pas directement en contact avec l’air ambiant mais il
sera revêtu, volontairement ou involontairement, de polluants, d’enduits
de protection, de produits d’entretien, etc. On notera également que l’état
de la surface va évoluer dans le temps (déformations, rayures, coupures,
piqûres, poussières, salissures, taches, nettoyage, entretien…). Ainsi on
imagine bien à travers cet exemple simple la complexité que va présenter
l’étude des surfaces réelles et notamment en ce qui nous intéresse de
leur géométrie.
5
1 • Généralités sur la
métrologie dimensionnelle
3 nm
10 nm
10 µm
1.2 Quelques notions de base concernant
la caractérisation géométrique des produits
Contaminants
Oxydes, nitrures
Couche écrouie
Structure polycristalline
Figure 1.1 – Coupe imagée d’une surface métallique
(échelle non respectée).
Dans ce qui va suivre, nous choisirons une définition purement géométrique pour caractériser une surface, celle-ci sera le lieu d’un point se
déplaçant de façon continue dans l’espace. La trajectoire de ce point
permettant de caractériser la forme de la surface. Par exemple, si le
déplacement d’un point P dans un référentiel orthonormé est tel que
ses coordonnées obéissent toujours à la fonction xP2 + yP2 + zP2 = R2, la
surface décrite par ce point sera une sphère parfaite de rayon R centrée
sur l’origine. On notera qu’une surface géométrique n’a pas d’existence
réelle et qu’on peut simplement savoir si un point de l’espace se situe
sur la surface théorique ou bien s’il se trouve d’un coté ou de l’autre et à
quelle distance de celle-ci. Dans l’exemple considéré, un point M de
coordonnées xM, yM, zM se situera du côté de la concavité de la sphère si
xM2 + yM2 + zM2 < R2 ou du côté de sa convexité si xM2 + yM2 + zM2
> R2.
1.2.2 Surface théorique
Pour des raisons fonctionnelles, le concepteur va déterminer la forme
que devrait théoriquement présenter une surface pour que son comportement en service donne pleinement satisfaction à l’utilisateur. Cette
forme théorique peut être simple (plane, sphérique, cylindrique, conique) plus ou moins complexe (torique, hélicoïdale, de révolution, surface
réglée…) ou totalement quelconque (élément de carrosserie, pale d’hélice,
6
1 • Généralités sur la
métrologie dimensionnelle
1.2 Quelques notions de base concernant
la caractérisation géométrique des produits
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
aube de turbine, objet d’art…). On a précédemment défini cette forme
idéale comme le lieu géométrique sur lequel doit se trouver l’infinité des
points qui constituent cette surface. Selon ce que l’on connaît de cette
forme théorique, on pourra considérer deux cas généraux permettant de
la définir.
Les surfaces pour lesquelles il sera possible de trouver une fonction
continue représentant le lieu théorique des points de la surface. Dans ce cas
c’est l’expression de cette fonction qui caractérisera la géométrie idéale de la
surface considérée. Par exemple si les coordonnées d’un point Mth
appartenant à une surface S satisfont à une équation de la forme :
a◊xMth + b◊yMth + c◊zMth – d = 0 dans un référentiel orthonormé
(O,1x,1y,1z ) que l’on appellera référentiel de définition, le lieu de ce point
Mth lors de la variation de x, y et z est un plan.
Les surfaces à propos desquelles on connaîtra seulement la position
d’un certain nombre de points particuliers. Dans ce cas, il s’agira de ce
que l’on appelle des surfaces numérisées, c’est-à-dire que leur définition
se présentera sous la forme du fichier d’un nombre fini n de points dont
on exprimera les coordonnées dans le référentiel de définition. Très
souvent, on ajoutera une information supplémentaire, l’orientation
théorique de l’élément de surface entourant chacun des points définis.
Cette orientation est généralement caractérisée par les cosinus directeurs de la normale extérieure à cet élément de surface (voir figure 1.2).
z
zi
xi
ui
ni = vi
wi
Mth i
O
yi
y
x
Figure 1.2 – Numérisation d’un point Mthi d’une surface.
7
1 • Généralités sur la
métrologie dimensionnelle
1.2 Quelques notions de base concernant
la caractérisation géométrique des produits
Par exemple la définition numérique de la surface S dans (O,1x,1y,1z ) sera
exprimée par :
1 x1 y1 z1 u1 v1 w1
2 x2 y2 z2 u2 v2 w2
· · · · · · ·
· · · · · · ·
i xi yi zi ui vi wi
· · · · · · ·
· · · · · · ·
n xn yn zn un vn wn
(O,1x,1y,1z )
Le principal inconvénient que présente ce type de définition est que
l’on ne connaît pas la position que devraient occuper des points appartenant à la surface et qui seraient situés entre les n points caractéristiques. On sait bien sûr qu’il existe des outils de lissage couramment
employés en CAO [1.2] qui permettant d’obtenir une continuité de
la surface. Le problème est que, suivant l’outil de lissage choisi, les
surfaces théoriques seront légèrement différentes les unes des autres
pour des mêmes points caractéristiques.
Quoi qu’il en soit on voit que, d’une façon plus ou moins rigoureuse, il
sera toujours possible d’indiquer quelle devrait être la géométrie théorique
d’une surface donnée.
m 1.2.3 Surface réelle
Le fabricant va s’efforcer de réaliser les surfaces théoriques demandées en
utilisant des moyens appropriés ; ces moyens dépendront notamment, de
la nature et des dimensions de la surface à obtenir, des matériaux qui
supportent celle-ci, des équipements industriels disponibles, du savoirfaire local ou des conditions économiques du moment. Malgré tout le
soin apporté par le fabricant, une surface réelle sera toujours une surface
de forme quelconque qui se rapprochera plus ou moins de la surface
théorique souhaitée. À ce stade il est très important d’introduire la notion
8
1 • Généralités sur la
métrologie dimensionnelle
1.2 Quelques notions de base concernant
la caractérisation géométrique des produits
d’échelle, c’est-à-dire que même si une surface réelle nous apparaît comme
étant géométriquement parfaite, il existera toujours une échelle d’observation qui nous permettrait d’y déceler des irrégularités.
Imaginons par exemple la surface limitant un monocristal de fer à
température ambiante. Cette surface représente ce que l’on peut théoriquement réaliser de mieux sur ce métal même si sa réalisation pratique
est extrêmement difficile. Si cette surface était scrupuleusement nettoyée,
c’est-à-dire rigoureusement débarrassée de toute impureté ou polluant, elle
semblerait à échelle humaine être un plan parfait. Un examen à échelle
nanométrique la ferait pourtant apparaître comme une juxtaposition
régulière de sphères (ces sphères modélisant les couches externes de
circulation des électrons autour du noyau de l’atome de fer) positionnées
aux sommets des mailles de cristallisation [1.3], figure 1.3.
0,287 nm
r = 0,126 nm
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Figure 1.3 – Aspect théorique de la surface d’un monocristal de fer.
Les mécaniciens ont l’habitude de ranger arbitrairement les irrégularités
des surfaces réelles selon six ordres. Les quatre premiers sont purement
géométriques, ce sont eux que la métrologie dimensionnelle nous
permettra de quantifier. Les deux derniers ordres sont de type physicochimique (arrangements de grains, déformations cristallographiques…)
et seront donc caractérisés par l’étude des matériaux [1.4].
1.2.4 Surface extraite
Si l’on veut caractériser une surface réelle, il faut naturellement dans un
premier temps récupérer une information relative à cette surface, c’est
9
1 • Généralités sur la
métrologie dimensionnelle
1.2 Quelques notions de base concernant
la caractérisation géométrique des produits
cette information que l’on appelle l’élément extrait. Dans la réalité
l’information obtenue sera toujours partielle, ce qui veut dire que selon
la nature et le volume de cette information on pourra avoir des connaissances différentes d’un même élément réel. C’est la raison pour laquelle il
faudra choisir avec soin les moyens les mieux adaptés à ce que l’on veut
savoir d’un élément géométrique réel. En pratique, une surface extraite
se traduira par un certain nombre n de points Mr appartenant à la
surface réelle et dont on connaîtra les coordonnées dans un référentiel
appelé référentiel de mesure. Bien entendu, pour un même élément
géométrique, plus n sera grand plus l’information dont on disposera
sera complète. La figure 1.4 représente un élément extrait d’une surface
théoriquement plane mesurée dans le référentiel (O,1x,1y,1z ). Cet élément
extrait est un nuage de n points Mri appartenant à la surface réelle et dont
on a mesuré les coordonnées dans le référentiel de mesure.
z
Mr i = (x i , y i ,zi )
Mri
O
y
x
Figure 1.4 – Élément extrait d’une surface théoriquement plane.
1.2.5 Surface associée
Après récupération de l’information il va être nécessaire de la traiter. À
cet effet nous allons introduire un nouveau type d’élément géométrique :
l’élément associé. On appelle élément associé à un élément réel (ou plus
exactement à l’élément extrait qui est la seule information dont on
10
1 • Généralités sur la
métrologie dimensionnelle
1.2 Quelques notions de base concernant
la caractérisation géométrique des produits
dispose relativement à cet élément réel) un élément théorique, de la
nature souhaitée, et qui est placé de telle façon qu’il rende compte le
mieux possible de cet élément réel. Cette définition peut apparaître
comme insatisfaisante mais nous nous en contenterons pour l’instant.
Par la suite, nous verrons quelques méthodes pratiques permettant de
réaliser cette association. La figure 1.5 montre un plan associé à l’élément
extrait précédemment mesuré. Ce plan va traverser le nuage de points de
façon à en modéliser la position le plus fidèlement possible. On pourrait
alors connaître, si le besoin s’en faisait sentir, son équation dans le référentiel de mesure.
z
Plan P associé au nuage de points Mr i
y
x
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
O
Figure 1.5 – plan associé à un élément extrait.
1.2.6 Écarts et défauts
Il devient alors possible de calculer la distance entre chacun des n points
Mri constituant l’élément extrait et l’élément qui leur est associé, dans
notre cas le plan P [1.6]. On appelle ces distances des écarts (figure 1.6).
On relèvera donc le même nombre d’écarts que de points constituant
l’élément extrait. Après avoir arbitrairement choisi un sens positif
(conventionnellement on prend le sens positif sortant de la matière), on
notera un certain nombre d’écarts positifs et un certain nombre d’écarts
négatifs (figure 1.7).
11
1 • Généralités sur la
métrologie dimensionnelle
1.2 Quelques notions de base concernant
la caractérisation géométrique des produits
On appellera défaut de forme de l’élément considéré (ici un défaut de
planéité) la grandeur égale à la somme de l’écart positif maximum et de la
valeur absolue de l’écart négatif maximum. On voit qu’il est ainsi possible
de chiffrer le défaut de forme d’une surface réelle par une valeur numérique
analogue à une longueur. La métrologie dimensionnelle peut donc nous
permettre de caractériser la forme géométrique des surfaces et bien sûr,
plus le défaut de forme sera petit plus la surface réelle s’approchera de la
surface théorique.
Mr i = (x i , y i , z i )
n
Mr i
Hi
z
d
Équation du plan P
a.x + b.y +c.z + d = 0
e
n i , vecteur unitaire normal
au plan P de composantes :
a, b, c
P
y
e = (OMri . ni) – d
x
O
Figure 1.6 – Calcul de l’écart entre un point Mri et un plan P.
z
Plan P
Écart négatif
point Mr i au dessous de P
y
Écart positif
point Mr i au-dessus de P
O
x
Figure 1.7 – Chaque point Mri possède un écart
par rapport à l’élément associé.
12
1 • Généralités sur la
métrologie dimensionnelle
1.3 Mesure et contrôle
1.2.7 Surface spécifiée
Le concepteur, sachant que l’élément réel fabriqué sera différent de
l’élément théorique souhaité, va déterminer expérimentalement ou par
le calcul les valeurs maximales que pourront prendre les défauts de celui-ci
afin que la surface réelle puisse tout de même remplir la fonction désirée.
Ce sont ces valeurs maximales admissibles que l’on appelle les tolérances
de forme [1.7] qui seront spécifiées sur les dessins de définition.
0,08
Figure 1.8 – Exemple de l’indication
d’une spécification de forme.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
1.3 Mesure et contrôle
Même si les termes mesure et contrôle sont souvent associés dans le
milieu industriel, il devient maintenant important de bien préciser la
différence entre les deux mots. Dans le cas de la mesure, on veut connaître
avec une précision plus ou moins grande les valeurs numériques caractérisant un élément géométrique, son diamètre, sa longueur ou son épaisseur,
son défaut de forme ou son défaut de position (voir figure 1.9). Dans
le cas du contrôle de cet élément on ne cherche absolument pas à
connaître les valeurs numériques caractérisant cet élément, on désire
simplement savoir si celles-ci sont situées à l’intérieur des zones de tolérances prescrites par le concepteur. Pour cette opération on pourra se
contenter d’utiliser des calibres à dimensions fixes (jauges, tampons
lisses doubles, calibres à mâchoires, etc.) d’une utilisation simple et rapide,
figure 1.10.
13
1 • Généralités sur la
métrologie dimensionnelle
1.3 Mesure et contrôle
Figure 1.9 – Mesure du diamètre d’un cylindre à l’aide d’un micromètre.
Figure 1.10 – Contrôle du diamètre du cylindre
à l’aide d’un calibre à mâchoires.
Bien entendu, il peut être nécessaire de réaliser des mesures en dehors
de toute notion de contrôle : on veut connaître avec plus ou moins de
précision les valeurs de certaines caractéristiques. Il peut également être
nécessaire de contrôler des dimensions sans avoir besoin de connaître
leurs grandeurs exactes, on veut simplement savoir si les « cotes sont
bonnes ». Mais il peut également arriver que l’on pratique des mesures
14
1 • Généralités sur la
métrologie dimensionnelle
1.4 Bibliographie
afin de s’assurer que les grandeurs mesurées sont comprises à l’intérieur
des limites fixées par les spécifications demandées, c’est ce que l’on
appelle le contrôle par mesures.
1.4 Bibliographie
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
[1.1] Frottement usure et lubrification, J.-M. GEORGES, Eyrolles, CNRS
Éditions, 2000, p. 133 à 152.
[1.2] Fabrication par usinage, J.-P. CORDEBOIS et coll., Industrie et technologie, Dunod, 2003, p. 147 à 166.
[1.3] Métallurgie. Tome 1 : alliages métalliques, C. Chaussin, G. HILLY,
Dunod, 1978.
[1.4] ISO 4287, Spécification géométrique des produits (GPS). État de
surface : Méthode du profil. Termes, définitions et paramètres d’état
de surface, AFNOR, 2002.
[1.5] ISO 14660-1, Spécifications géométriques des produits (GPS).
Éléments géométriques. Partie 1 : termes généraux et définitions,
AFNOR 1999.
[1.6] Mathématiques, géométrie cours et exercices, A. WARUSFEL,
P. ATTALI, M. COLLET, C. GAUTIER, S. NICOLAS, Vuibert, 2002.
[1.7] NF E 04-552, Tolérancement géométrique, Généralités, définitions,
symboles, indications sur les dessins, AFNOR, 2002.
15
2 • MESURE DES LONGUEURS
2.1 Le mètre étalon
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
2.1.1 Bref historique
Comme nous l’avons rappelé dans le chapitre précédent, mesurer c’est
comparer une grandeur physique avec une autre grandeur arbitrairement
choisie comme étalon. Dans le système métrique, unanimement adopté
dans le monde à l’exception de trois pays, les États-Unis, le Liberia et
l’Union du Myanmar (ex-Birmanie), l’unité de longueur utilisée est le
mètre. L’expérience douloureuse qu’a représentée pour les Américains
en 1999 la perte de la sonde Mars Climate Orbiter suite à une incompréhension entre deux équipes d’ingénieurs, l’une ayant employé les unités
anglaises l’autre les unités du système métrique, illustre de façon spectaculaire la nécessité de disposer d’un système d’étalons commun à tous les
acteurs de la vie industrielle et commerciale. La longueur du mètre à été
adoptée officiellement pour la première fois en 1795 par la Convention
comme étant égale à la dix-millionième partie du quart du méridien terrestre. Cette définition comporte deux qualités fondamentales pour un étalon,
son invariance dans le temps et son invariance dans l’espace.
Avant cette date chaque pays, chaque province, chaque ville, voire chaque
corporation, disposait de ses propres unités de mesure de longueur, perche,
coudée, pied, toise… mais aussi de volume ou de masse [2.1] si bien
que lors des transactions commerciales une des deux parties au moins
avait la très nette impression d’avoir été flouée. On peut d’ailleurs rappeler
que la création d’un système unique des poids et mesures était l’une des
17
2 • Mesure des longueurs
2.1 Le mètre étalon
principales revendications des fameux cahiers de doléances prélude à la
révolution de 1789. Faute d’une base indiscutable, toutes les tentatives
d’unification précédentes furent vouées à l’échec. C’est alors qu’en 1790,
la Convention s’adressa à l’Académie royale des sciences de Paris afin
d’établir le nouvel étalon de longueur sur une base rigoureusement scientifique, parfaitement reproductible et acceptable par tous. La longueur
d’un pendule battant la seconde, la longueur de l’équateur ou celle d’un
méridien terrestre furent les propositions le plus souvent évoquées. Le
choix d’une fraction de méridien fut la solution choisie pour des raisons
essentiellement scientifiques et pratiques. En effet la solution du pendule
aurait nécessité de mesurer très rigoureusement la seconde et n’aurait pu
satisfaire à la condition d’universalité dans l’espace (la fréquence d’oscillation d’un pendule dépend essentiellement de sa longueur et de l’attraction
terrestre, or on sait que celle-ci varie en fonction de la latitude) quant à
la mesure de l’équateur elle était très difficilement réalisable à l’époque. Ce
sont là les deux principales raisons qui expliquent le choix du méridien.
Contrairement aux idées reçues, à l’époque on savait depuis très longtemps que la terre était sphérique et on avait une bonne estimation de
son périmètre. La première mesure connue fut réalisée en 250 avant JésusChrist par Érastostène à Alexandrie. Depuis le milieu du XVIIIe siècle, on
connaissait le léger aplatissement du globe et des mesures plus précises
avaient déjà été effectuées (Cassini, La Caille). La mesure officielle fut
réalisée par deux éminents astronomes, Delambre et Méchain de 1792
à 1798 le long du méridien de Paris entre Dunkerque et Barcelone (la
fameuse méridienne verte). La méthode employée fut la triangulation,
méthode très couramment utilisée en topographie, qui est basée sur le
principe géométrique bien connu selon lequel, dans un triangle quelconque si l’on connaît un côté et les trois angles au sommet on peut
déterminer la longueur des deux autres cotés, figure 2.1.
Après la construction d’une chaîne de triangles dont les sommets
étaient des points géodésiques remarquables (dôme du Panthéon, tour
de Montléry…) et la mesure des angles aux sommets de ces triangles, il
suffit alors de mesurer le côté d’un seul des triangles (la base) pour
pouvoir calculer les côtés de tous les autres triangles. Dans la réalité, deux
18
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2 • Mesure des longueurs
2.1 Le mètre étalon
bases furent mesurées afin de permettre de corréler les résultats obtenus.
Des calculs de géométrie sphérique permirent ensuite de relier les
longueurs des côtés des triangles avec la longueur de l’arc du méridien
mesuré [2.2] [2.3].
A
a
b
c
=
=
sinA sinB sinC
c
B
b
a
C
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Figure 2.1 – Relations trigonométriques dans le triangle quelconque.
En 1795, la Convention fit donc adopter la définition de la longueur du
mètre étalon à partir de la mesure d’un méridien terrestre.
En 1889, la conférence des poids et mesures de Paris le définit comme
étant la distance entre deux traits gravés sur le prototype en platine
iridié déposé au pavillon de Breteuil à Sèvres. La loi du 11 juillet 1903
précisa que le mètre était la distance moyenne entre les deux traits tracés
sur l’étalon mesurée à une température de 0 oC.
En 1960, le mètre fut défini comme étant égal à 1 650 763,73 fois la
longueur d’onde dans le vide de la radiation correspondant à la transition
entre les niveaux 2p10 et 5d5 de l’atome de krypton 86.
Enfin, depuis 1983, la définition officielle est la suivante : le mètre est la
longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée
de 1/299 792 458 seconde. Cette dernière définition possède l’avantage de
relier la longueur de l’étalon à une constante fondamentale de la physique,
la vitesse de la lumière dans le vide. Elle nécessite cependant de savoir
définir avec une très grande précision la durée de la seconde ce qui est
actuellement réalisable par l’intermédiaire des horloges atomiques.
À noter que les définitions légales successives de la longueur du mètre
n’ont jamais altéré la valeur de celle-ci ; elles n’ont eu pour but que de
rendre l’accessibilité à cette grandeur de référence plus sûre et plus précise.
19
2 • Mesure des longueurs
2.1 Le mètre étalon
2.1.2 Les étalons de longueur
m L’étalon primaire
À partir du mètre théorique, dix millionième partie du quart du méridien
terrestre, il fallut bien établir un mètre pratique de façon à ce que les utilisateurs puissent s’y référer. En 1799, le mètre étalon prit la forme d’une
règle de platine (métal considéré à l’époque comme indestructible) de
section rectangulaire (25,3 mm par 4 mm) dont les extrémités étaient
distantes l’une de l’autre d’un mètre à 0,001 pour cent près. Ce premier
étalon de longueur fut conservé aux Archives nationales et c’est à partir de
cet étalon primaire que, pour généraliser l’emploi du système métrique,
furent fabriqués les étalons de marbre que l’on scella en de nombreux
endroits sur les murs de la ville de Paris et des villes de province (il reste
un exemplaire de l’un d’entre eux rue de Vaugirard à Paris).
Avec le développement des moyens de comparaison, la qualité du mètre
étalon des archives se révéla insuffisante : on ne pouvait guère en espérer
une précision meilleure que le centième de millimètre. Une commission
internationale fut donc réunie en 1869 pour remédier à cet inconvénient. C’est suite aux travaux de cette commission que naquit en 1889 le
fameux prototype en platine iridié déposé au pavillon des poids et mesures
de Breteuil à Sèvres et qui fut en vigueur jusqu’en 1960. Ce prototype
possédait une section en X, profil de Tresca, qui présentait l’avantage de
conserver une rigidité optimale (figure 2.2). La distance comprise entre
deux traits gravés sur deux petites aires soigneusement polies situées sur
la fibre neutre près de chacune des extrémités, mesurée à une température
de 0˚C, représentait la longueur exacte du mètre étalon.
Fibre neutre
Figure 2.2 – Profil du mètre étalon du pavillon de Breteuil.
20
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2 • Mesure des longueurs
2.1 Le mètre étalon
La définition de 1889 présentait l’inconvénient de se rapporter à un
objet unique susceptible d’être perdu ou endommagé, il apparut alors
nécessaire de recourir à une longueur reproductible de façon rigoureuse
à n’importe quel endroit (retour à la philosophie du départ qui avait
conduit à rechercher une référence universelle et permanente).
Le développement des connaissances en physique amena certains
savants à émettre l’idée que la longueur d’onde λ d’une radiation lumineuse pouvait fournir un étalon de longueur d’une précision remarquable. C’est ainsi qu’on arriva à la définition de 1960 qui matérialisait la
longueur du mètre étalon par l’intermédiaire de la mesure de la longueur
d’une onde électromagnétique.
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La détermination de la vitesse de la lumière dans le vide c, considérée
comme une constante universelle de la physique et l’apparition des
lasers, excellentes sources de radiations monochromatiques, amenèrent
les scientifiques à établir en 1983 la matérialisation de la longueur du
mètre étalon à partir de cette vitesse de la lumière dans le vide. Un des
avantages principaux de cette définition est qu’elle permet de matérialiser la
longueur de l’étalon de longueur à partir de toute source lumineuse
dont on peut connaître et stabiliser la fréquence d’émission f, (on
c
rappelle que λ = - ) [2.4].
f
Le BNM (Bureau national de la métrologie) est l’organisme chargé en
France de la conservation des étalons primaires et donc de celle du mètre
étalon. Il utilise généralement pour reproduire celui-ci la radiation émise
par un laser convenablement asservi en fréquence.
m Multiples et sous-multiples du mètre
Par opposition aux nombreux systèmes préexistants, le système métrique
présente l’avantage supplémentaire d’être un système décimal, c’est-àdire qu’il est toujours possible d’employer comme unités de mesure de
longueur les multiples ou les sous-multiples du mètre d’une façon parfaitement légale tout en restant dans le système métrique, tableau 2.1 [2.5]
[2.6].
21
2 • Mesure des longueurs
2.1 Le mètre étalon
Tableau 2.1 – Principaux multiples et sous-multiples du mètre.
10n
Nom
Symbole
Nombre
En m
1015
Pétamètre
Pm
Billiard
1 000 000 000 000 000
1012
Téramètre
Tm
Billion
1 000 000 000 000
109
Gigamètre
Gm
Milliard
1 000 000 000
106
Mégamètre
Mm
Million
1 000 000
103
Kilomètre
km
Mille
1 000
102
Hectomètre
hm
Cent
100
101
Décamètre
dm
Dix
10
100
Mètre
m
Un
1
10 –1
Décimètre
dm
Dixième
0,1
10 –2
Centimètre
cm
Centième
0,01
10 –3
millimètre
mm
Millième
0,001
10 –6
micromètre
µm
Millionième
0,000 001
10 –9
nanomètre
nm
Milliardième
0,000 000 001
10 –12
picomètre
pm
Billionième
0,000 000 000 001
10 –15
femtomètre
fm
Billiardième
0,000 000 000 000 001
m Les étalons de travail
L’opérateur chargé d’effectuer une mesure dimensionnelle dans un
atelier de production ou dans un laboratoire de métrologie va utiliser
pour réaliser cette mesure des étalons de longueur dit étalons de travail.
On distingue généralement les étalons de travail à traits (réglets, pieds
à coulisse, micromètres, règles optiques…) et les étalons de travail à
bouts (cales étalons, piges, bagues, broches…), figure 2.3. Ces étalons lors
de leur acquisition doivent être accompagnés d’un certificat délivré par le
BNM, ou par un organisme habilité, qui définit leurs caractéristiques
exactes par rapport à l’étalon primaire.
22
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2 • Mesure des longueurs
2.1 Le mètre étalon
Figure 2.3 – Étalons à bouts (à gauche) et étalons à traits (à droite).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Par exemple une cale-étalon (étalon à bouts fréquemment utilisé par les
mécaniciens) se présente sous la forme d’un prisme de bonne qualité
géométrique réalisé dans un matériau dur résistant à l’usure (acier
traité, carbure, quartz, céramique…) dont les deux faces fonctionnelles
sont considérées comme étant parfaitement planes et parallèles entre
elles. Ce qui signifie que tous les points appartenant à la face supérieure
devraient être à égale distance de la face inférieure. Cette distance correspond à la valeur marquée sur la cale, 20 mm dans l’exemple représenté
par la figure 2.4.
20
Figure 2.4 – Cale étalon de 20 mm.
Naturellement, la cale réelle n’est pas parfaite, c’est-à-dire que les faces
inférieures et supérieures ne seront ni rigoureusement planes ni parfaitement parallèles, entre elles, et donc que les dimensions de la cale
seront différentes selon l’endroit où elles seront mesurées. La normalisation
actuellement en vigueur [2.7] range les cales étalons dans quatre classes
d’étalonnage suivant les défauts mesurés sur celles-ci, la figure 2.5 et le
23
2 • Mesure des longueurs
2.1 Le mètre étalon
tableau correspondant 2.2 illustrent ce classement pour une cale-étalon
de 20 mm.
Tableau 2.2 – Exemple de classe d’étalonnage
pour une cale-étalon de 20 mm.
Classe K
Classe 0
Classe 1
Classe 2
Longueur
nominale
en mm
te µm
tv µm
te µm
tv µm
te µm
tv µm
te µm
tv µm
20
0,3
0,05
0,14
0,1
0,3
0,16
0,6
0,3
te
te
20
tv
lc
lc est la longueur mesurée au milieu de la cale
Figure 2.5 – Géométrie réelle d’une cale-étalon de 20 mm.
Normalement, tous les instruments et tous les étalons destinés à la
mesure dimensionnelle sont pareillement classés par la normalisation, si
bien que lorsque l’on fait l’acquisition de l’un d’entre eux, on sait exactement quelles sont ses caractéristiques et quelles performances on doit
en attendre.
m La chaîne d’étalonnage
Pour être recevable et pour pouvoir valablement être comparée à la
même mesure effectuée sur un site différent, toute mesure doit donc se
référer à l’étalon primaire du BNM. Les certificats établis par des organismes agréés ou habilités qui sont obligatoirement joints aux étalons et
aux matériels de mesure attestent de la conformité de ceux-ci au
moment de leur acquisition. Cependant, une utilisation plus ou moins
24
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2 • Mesure des longueurs
2.1 Le mètre étalon
intensive dans des conditions plus ou moins bonnes peut provoquer
une dégradation des caractéristiques géométriques des étalons de travail
et donc de leurs dimensions, d’où une nécessaire requalification de ceuxci au cours de leur existence. C’est le rôle de la chaîne d’étalonnage qui
permettra de relier n’importe quel étalon de travail à l’étalon universel
par l’intermédiaire des services de métrologie habilités et des centres
agréés par le BNM (figure 2.6).
Conservation
et amélioration
des étalons
LABORATOIRE PRIMAIRE
du BNM
Étalon
primaire
CENTRE
D’ÉTALONNAGE AGRÉE
Diffusion de
la métrologie
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Mesure et contrôle
Étalons
de transfert
SERVICES DE
MÉTROLOGIE
HABILITÉS
ENTREPRISES INDUSTRIELLES
OU LABORATOIRES
Étalons
de travail
Figure 2.6 – Chaîne d’étalonnage.
2.1.3 Gestion des appareils de mesure
et de contrôle
Il est donc absolument indispensable pour toutes les entreprises industrielles de connaître à chaque instant l’état des appareils et des étalons
utilisés dans leurs opérations de mesure ou de contrôle afin de pouvoir
déterminer si leurs caractéristiques se sont dégradées dans le temps et
comment leurs performances ont évolué. C’est pourquoi elles devront
impérativement mettre en place un système de gestion de ceux-ci.
25
2 • Mesure des longueurs
2.1 Le mètre étalon
Quelles que soient les procédures en usage dans l’entreprise ce système
comporte toujours les deux étapes suivantes :
m Identification
À l’arrivée d’un nouvel équipement de mesure ou de contrôle dans l’entreprise on procédera aux opérations suivantes :
– Vérification de la conformité à la commande.
– Existence et validité du certificat d’étalonnage.
– Identification de l’équipement (marquage indélébile suivant les règles
en vigueur dans l’entreprise).
– Introduction de l’appareillage dans l’inventaire des moyens métrologiques.
– Établissement de la « fiche de vie de l’instrument ».
Établissement d’une fiche de vie
Les fiches de vie, qu’elles soient papier ou informatisées, permettent de
réaliser la traçabilité des équipements utilisés dans l’entreprise lors des
opérations de mesure et de contrôle, elles doivent obligatoirement
comporter les éléments suivants :
– Nom de l’entreprise.
– Nom et caractéristiques de l’instrument.
– Marque et type.
– Identification de l’instrument.
– Classe de l’instrument.
– Identification du certificat d’étalonnage.
– Date de mise en service.
– Affectation de l’instrument.
– Référence aux procédures d’entretien.
– Périodicité des opérations d’entretien.
– Références aux procédures d’étalonnage et de vérification.
– Périodicité des opérations d’étalonnage ou de vérification.
– Dates des interventions effectuées.
26
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2 • Mesure des longueurs
2.2 Notion d’incertitude de mesure
– Résultats des interventions effectuées.
– Dates des prochaines interventions à effectuer.
m Périodicité des vérifications ou des étalonnages
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Selon le type d’appareil concerné, la normalisation en vigueur préconise un
intervalle de temps entre deux étalonnages ou deux vérifications. Cet
intervalle est donné en mois ou mieux en heures d’utilisation. Nous
proposons plutôt de déterminer cet intervalle pour chaque appareil en
fonction des conditions réelles d’utilisation de celui-ci, en considérant les
paramètres suivants :
– La précision du travail qui lui est demandé, en appliquant une pondération allant par exemple, de 1 pour la mesure la plus grossière à 5 pour
la mesure la plus rigoureuse.
– La fréquence de son utilisation, avec une pondération s’étendant de 1
pour une utilisation occasionnelle à 5 pour une utilisation très
fréquente.
– Les conditions dans lesquelles il est employé, en pondérant de 1 si les
conditions sont idéales à 5 pour des conditions d’utilisation particulièrement contraignantes.
En faisant la somme des valeurs affectées à chacun de ces trois paramètres, il est alors possible d’attribuer à chaque moyen de mesure ou de
contrôle un poids P, poids qui pourrait varier dans les conditions de notre
exemple entre 3 et 15. La valeur de ce poids permet de fixer la périodicité des étalonnages ou des vérifications, ce qui donne par exemple :
– lorsque P < 7
: étalonnage tous les ans.
– lorsque 7 ≤ P < 12 : étalonnage tout six mois.
– lorsque P ≥ 12
: étalonnage tous les trois mois.
2.2 Notion d’incertitude de mesure
2.2.1 Erreur de mesure et incertitude
Si l’on considère la mesure d’une grandeur réelle R, le résultat brut de
cette mesure M (la valeur fournie par l’appareillage utilisé) sera toujours
entachée d’une erreur e. Pour se convaincre de la validité de cette affirma27
2 • Mesure des longueurs
2.2 Notion d’incertitude de mesure
tion, il suffirait de demander à n personnes de mesurer de façon totalement indépendante une grandeur réelle R donnée, on constaterait alors
que l’on obtiendrait n résultats Mi différents, ce qui signifie qu’aux moins
n – 1 personnes ont commis une erreur en effectuant leur mesure. Les
raisons de ces erreurs proviennent essentiellement de l’imperfection des
processus mis en œuvre pour réaliser les mesures (figure 2.7).
erreur e1
Résultat de la mesure 1, M 1
erreur e2
Résultat de la mesure 2, M 2
erreur e3
Résultat de la mesure 3, M 3
Grandeur réelle à mesurer R (inconnue)
Figure 2.7 – Représentation des erreurs de mesure.
Nous aurons donc pour chaque mesure R = Mi – ei. La valeur de
l’erreur étant par définition inconnue, ceci entraîne que la valeur de la
grandeur réelle R est rigoureusement inaccessible. Par contre l’analyse
des causes de l’erreur de mesure et des résultats des différentes mesures
réalisées peuvent nous permettre d’estimer une valeur d’étendue 2U,
l’incertitude de la mesure (on appelle conventionnellement U l’incertitude élargie) telle que nous ayons : (M – U) ≤ R ≤ (M + U) (voir
figure 2.8).
Nous voyons donc que pour être exploitable, le résultat d’une mesure
doit impérativement comprendre les trois composantes suivantes :
– Une valeur numérique chiffrant le résultat de la mesure.
– L’indication de l’unité dans laquelle est exprimé ce résultat.
– L’étendue U de l’incertitude élargie sur le résultat exprimé.
Il est donc fondamental de savoir d’où provient l’incertitude et comment
évaluer son étendue, naturellement l’incertitude sera exprimée dans la
même unité que la grandeur observée.
28
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2 • Mesure des longueurs
2.2 Notion d’incertitude de mesure
U
U
Mesure 1 M 1
Mesure 2 M 2
U
U
U
U
Mesure 3 M 3
Grandeur réelle à mesurer R (inconnue)
Figure 2.8 – Illustration de la nécessité d’utiliser l’incertitude de mesure.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
2.2.2 Origine de l’incertitude de mesure
Il ne faut surtout pas confondre les termes incertitude et erreur. Cependant, c’est parce qu’une mesure est toujours entachée d’une erreur que
l’on doit faire intervenir la notion d’incertitude afin de prendre en
compte les effets de cette erreur sur le résultat. L’étendue de l’incertitude
de mesure est donc directement fonction des causes qui sont à l’origine
des erreurs de mesure. Elle dépend donc d’un très grand nombre de
paramètres, parmi ceux-ci nous retiendrons essentiellement :
– L’environnement dans lequel la mesure a été réalisée (température
ambiante, température des objets mesurés, degré hygrométrique de
l’air, pression atmosphérique, vibrations mécaniques, champs électromagnétiques…). On pourra diminuer l’étendue de l’incertitude due
aux conditions de mesure par filtrage (régulation de la température,
isolement électromagnétique, filtration des vibrations…) ou (et) en
réalisant les corrections nécessaires à partir de la mesure des perturbations qui affectent la mesure et des lois physiques qui régissent les
effets dus à ces perturbations.
– Le soin apporté par l’opérateur, souvent négligé volontairement ou
involontairement ; il est pourtant évident que le facteur humain est
particulièrement important lorsque l'on veut réaliser une mesure
avec un bon niveau de confiance. On diminuera l’étendue de l’incer29
2 • Mesure des longueurs
2.2 Notion d’incertitude de mesure
titude due à l’opérateur par une bonne formation de celui-ci et par le
respect des procédures de travail.
– Les performances de l’appareillage utilisé : naturellement l’incertitude
sur une mesure dépendra directement des moyens matériels mis en
œuvre pour la réaliser, par exemple elle ne sera pas la même si l’on
mesure le diamètre d’un objet cylindrique avec un réglet, un pied à
coulisse ou un micromètre.
2.2.3 Part de l’incertitude résultant
de l’appareillage utilisé
La partie de l’incertitude résultant des performances de l’appareillage
utilisé afin d’effectuer une opération de mesure dépend elle aussi de
nombreux paramètres propres à la conception et à l’état de cet appareillage. Parmi ceux-ci, nous retiendrons essentiellement les trois suivants
qui sont probablement les plus influents même si l’on pourrait en relever
un grand nombre d’autres.
m Résolution d’un appareil de mesure
Un appareil de mesure quel qu’il soit comporte toujours au moins un
capteur, c’est-à-dire un moyen permettant de comparer la grandeur
mesurée avec la grandeur choisie comme étalon, et un afficheur qui
permet à l’utilisateur de connaître le résultat de cette comparaison,
l’affichage pouvant se présenter sous une forme numérique ou sous une
forme analogique. On appelle résolution d’un appareil de mesure la
plus petite variation de la grandeur mesurée que l’afficheur et capable
de faire apparaître. On conçoit facilement qu’il serait tout à fait impossible d’exprimer le résultat d’une mesure avec une incertitude inférieure
à cette résolution. Bien sûr, dans le cas d’un affichage analogique,
l’acuité visuelle de l’opérateur peut influencer le résultat de façon significative, mais pour des opérateurs aguerris ceci peut être considéré
comme parfaitement négligeable. Prenons l’exemple d’un mesureur de
longueur du type de celui qui est schématisé par la figure 2.9 : l’afficheur indique que la longueur à mesurer est comprise entre 16 mm et
17 mm, dans ce cas on peut dire que le résultat de la mesure serait :
30
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2 • Mesure des longueurs
2.2 Notion d’incertitude de mesure
longueur = 16,5 mm avec une incertitude élargie U égale à 0,5 mm ; un
opérateur plus expérimenté proposerait plutôt comme résultat une
longueur de 16,75 mm avec une incertitude élargie U égale à 0,25 mm,
naturellement on voit que les deux expressions ne sont absolument pas
contradictoires.
Afficheur
Capteur
Longueur à mesurer l
Étalon à traits
0
20
10
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Figure 2.9 – Schéma d’un mesureur de longueur.
Le système du vernier utilisé depuis longtemps sur de nombreux appareils de mesure (pieds à coulisse, rapporteurs, tambours gradués…) permet
de réduire sensiblement la valeur de l’étendue de l’incertitude élargie
sur le résultat d’une mesure exprimée par l’intermédiaire d’un afficheur
analogique. Le principe de fonctionnement d’un vernier consiste à
découper l’intervalle compris entre deux traits de l’étalon en un certain
nombre de parties égales, ce principe est rappelé sur les figures 2.10
et 2.11.
0
1
Vernier au 1/10 mm
Pas de graduation = 0,9 mm
Règle étalon graduée en mm
0
10
20
Figure 2.10 – Structure d’un vernier au 1/10 mm.
31
2 • Mesure des longueurs
2.2 Notion d’incertitude de mesure
0
10 A
10
20
B
30
M
0
C
M = A + B + C → M = 16 + 7 − 7 ⋅ (0,9) → M = 23 − 6,3 = 16,7
Figure 2.11 – Principe de la mesure
à l’aide d’un vernier au 1/10 mm.
Très souvent, on interpose un système de traitement de l’information
entre le capteur et l’afficheur. Le traitement que l’on va faire subir
à l’information sera tout d’abord un filtrage, afin d’en éliminer les
composantes parasites, mais surtout une amplification du signal reçu
afin d’augmenter la résolution de l’appareil de mesure (figure 2.12).
L’amplification d’une mesure permet donc d’améliorer parfois considérablement la résolution d’un appareil. Pendant longtemps, des technologies mécaniques (voir figure 2.13) ou pneumatiques ont été utilisées
avec succès, aujourd’hui les technologies électroniques sont de loin les
plus fréquemment employées à cet usage (voir figure 2.14).
Capteur
Prise de
l’information
Filtrage
Amplification
Affichage
Traitement de
l’information
Figure 2.12 – Structure générale de la plupart des appareils de mesure.
32
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2 • Mesure des longueurs
2.2 Notion d’incertitude de mesure
Afficheur
Capteur
Figure 2.13 – Appareil de mesure à amplification mécanique.
Circuit électrique
Composant
électrique
variable
Afficheur
Capteur
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Figure 2.14 – Appareil de mesure à amplification électronique
m Justesse d’un appareil de mesure
Un appareil de mesure quel qu’il soit doit toujours être étalonné avant
son utilisation. Concrètement, étalonner un appareil consiste à placer une
grandeur étalon, c’est-à-dire une grandeur considérée comme rigoureusement exacte, connue sous son capteur et à lui faire afficher la valeur
de cette grandeur. Un appareil de mesure correctement utilisé est donc
parfaitement juste à son point d’étalonnage. Cependant les mesures
sont réalisées sur un certain intervalle que l’on appelle plage d’utilisation
ou course de l’appareil. Le problème consiste donc à savoir si l’équipement de mesure reste juste dans la totalité de sa plage d’utilisation. On
33
2 • Mesure des longueurs
2.2 Notion d’incertitude de mesure
définira l’erreur de justesse instantanée eji comme étant égale à la valeur
affichée Mi moins la valeur vraie Ri de la grandeur mesurée
eji = Mi – Ri
Une façon simple et efficace permettant de mettre en évidence les
erreurs de justesse d’un appareillage de mesure tout au long de sa course
consiste à tracer sa courbe de justesse. La figure 2.15 représente la courbe
de justesse d’un comparateur, elle indique en ordonnées les valeurs lues
sur l’afficheur de l’appareil en fonction des valeurs réelles mesurées par
celui-ci. Les valeurs réelles portées en abscisses ont été obtenues à partir de
grandeurs étalons (par exemple des cales étalons s’il s’agit d’un comparateur de longueur) considérées comme étant de dimensions parfaites. On
fera l’hypothèse que la variation de la justesse est linéaire entre deux points
d’étalonnage successifs.
60
40
valeurs lues
20
0
– 60
– 40
– 20
0
20
40
– 20
– 40
Uj
– 60
valeurs réelles
Figure 2.15 – Courbe de justesse d’un comparateur.
34
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60
2 • Mesure des longueurs
2.2 Notion d’incertitude de mesure
Cette courbe de justesse peut être utilisée pour corriger les résultats
d’une mesure, pour choisir la partie de la plage d’utilisation dans
laquelle l’erreur de justesse est la plus faible, ou pour déterminer l’incertitude globale Uj due à la non-justesse de l’appareil sur la totalité de la
course étudiée.
m Fidélité d’un appareil de mesure
On dit qu’un appareil de mesure est parfaitement fidèle si lorsque l’on
mesure n fois la même grandeur il donne n fois exactement le même
résultat. Si l’on veut mettre en évidence la non-fidélité d’un système de
mesure on va mesurer n fois la même grandeur avec l’appareil étudié et
examiner les résultats de ces n mesures.
Soit : xi le résultat d’une mesure, on écrira :
n
1
x = --- ∑ x i
n
1
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
x la moyenne arithmétique des n valeurs obtenues peut être considérée
comme un très bon estimateur de la valeur vraie de la grandeur mesurée
(surtout si le nombre de mesures n est grand) on posera alors :
efi (erreur instantanée de fidélité pour une mesure i) = xi – x
On obtiendra ainsi n erreurs instantanées de fidélité xi que l’on pourra
traiter afin de déterminer une valeur vraisemblable de Uf, incertitude
propre de l’appareil due à sa non-fidélité. Il sera par exemple possible
d’estimer cette incertitude par une des façons suivantes :
n
1
Uf = --- ∑ ef i
n
1
Uf = ef i max
Uf = 3 σ = avec σ = écart type de la distribution des efi.
35
2 • Mesure des longueurs
2.2 Notion d’incertitude de mesure
Ces résultats sont bien entendu différents les uns des autres, mais
chacun résulte d’hypothèses particulières, certes discutables comme toutes
les hypothèses, mais tout aussi acceptables les unes que les autres.
m Incertitude globale d’un appareil de mesure
À partir des remarques précédentes, nous voyons qu’il est possible de mettre
en évidence de façon expérimentale les composantes principales de
l’incertitude d’un appareil de mesure. L’incertitude globale sur toutes les
mesures effectuées avec cet appareil sera une fonction de ces incertitudes
partielles
Uglobale = f(Uenvironnement, Uopérateur, Urésolution, Ujustesse, Ufidélité)
La principale difficulté que présente cette écriture est la méconnaissance
de la fonction qui relie les différentes composantes entre elles. Dans le
chapitre 3 nous verrons de façon plus détaillée des moyens pratiques
permettant d’estimer efficacement la valeur des incertitudes et de les
combiner entre elles, ce qui pourra nous permettre de résoudre ce
problème de façon satisfaisante.
À noter que la normalisation en vigueur, les organismes certificateurs,
ainsi que certains donneurs d’ordre concernés, proposent des méthodes
expérimentales basées sur des outils statistiques et qui permettent d’estimer
l’incertitude globale d’un instrument de mesure avec une très bonne
crédibilité.
2.2.4 Capabilité des appareils de mesure et de contrôle
m Capabilité d’un appareil de mesure
Un problème qui se pose fréquemment au responsable d’un laboratoire de métrologie ou d’un service de contrôle est de savoir si
l’appareillage de mesure dont on envisage l’utilisation est apte à réaliser
une mesure ou un contrôle donnés. Comme pour les équipements de
production, il est possible de déterminer ce que l’on appelle la capabilité d’un appareil de mesure : cette capabilité s’obtient en comparant
l’incertitude globale du système de mesure avec l’étendue de la tolérance
sur la grandeur que l’on veut mesurer. Par exemple on voit clairement
36
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2 • Mesure des longueurs
2.2 Notion d’incertitude de mesure
sur la figure 2.16 que l’appareillage de mesure en question sera capable
de contrôler la grandeur considérée seulement si IT > 2 U. À partir de
cette constatation il possible de calculer, pour un appareillage de mesure
donné et pour une mesure particulière, ce que l’on appelle le coefficient
de capabilité de l’appareil. Ce coefficient que l’on note Capp détermine
IT
son aptitude à réaliser cette mesure, on l’obtient en posant : Capp = ------- ,
2U
naturellement l’appareillage sera estimé capable si Capp > 1. Longtemps
on a prétendu que cette valeur devait être égale à 10 (l’appareil de mesure
doit être dix fois plus précis que la tolérance sur la grandeur à mesurer,
disait-on alors). Les normes actuelles traitant du contrôle industriel préconisent de choisir une valeur de 4 comme coefficient de capabilité. Quoi
qu’il en soit, la seule chose importante est de connaître la valeur de ce
coefficient afin de pouvoir déterminer les valeurs limites d’acceptation
de la grandeur mesurée à partir des grandeurs limites admissibles.
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Limite d’acceptation
mini
Limite d’acceptation
maxi
U
U
IT Intervalle de tolérance
Valeur mini
admissible
Valeur maxi
admissible
Figure 2.16 – Capabilité d’un appareil de mesure
dont l’incertitude élargie est U.
37
2 • Mesure des longueurs
2.2 Notion d’incertitude de mesure
m Capabilité d’un appareil de contrôle
Ce qui vient d’être exposé à propos des appareils de mesure peut naturellement être appliqué au matériel utilisé lors des opérations de
contrôle (calibres, tampons, jauges…). On conçoit aisément que si l’on
considère, par exemple, le côté « n’entre pas » d’un calibre à mâchoires
destiné à contrôler un arbre dont l’intervalle de tolérance est égal à IT,
la tolérance IT¢ sur la dimension du calibre doit être nettement inférieure à IT (figure 2.17). La normalisation en vigueur préconise que
pour un diamètre à contrôler de 60h7 (ce qui signifie une valeur de l’IT
égale à 30 µm), l’intervalle de tolérance IT¢ sur la dimension « n’entre
pas » du calibre soit de 4 µm, ce qui donne un coefficient de capabilité
30
égal à : ------ = 7,5. Bien entendu on tiendra le même raisonnement lors4
que l’on considérera le côté « entre » du calibre.
Valeur mini du diamètre à contrôler
Dimension
Coté n’entre
pas
du calibre
Valeur maxi du diamètre à contrôler
IT
Figure 2.17 – Capabilité d’un instrument de contrôle.
38
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2 • Mesure des longueurs
2.3 Bibliographie
2.3 Bibliographie
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
[2.1] Introduction à la métrologie historique, B. GARNIER, J.-C. HOCQUET,
D. WORONOFF, Economica, 1989.
[2.2] Le mètre du monde, D. GUEDJ, Le seuil, 2000.
[2.3] Mesurer le monde, K. ALDER, Flammarion, 2005.
[2.4] Optique instrumentale, P. BOUCHAREINE, Les éditions de la physique,
1997, p. 237 à 306.
[2.5] Étalons et unités de mesure, BNM, 1996.
[2.6] Étalons et grandeurs, B. DUPONT, J.-P. TROTIGNON, Nathan, 1994.
[2.7] ISO 3650 :1998. Spécification géométrique des produits (GPS),
Étalons de longueur, Cales étalons, AFNOR, 2002.
[2.8] Métrologie dans l’entreprise, outil de la qualité, 2e édition, Mouvement
francais pour la qualité – AFNOR, 2003.
[2.9] Vérification des produits et calibres lisses, M. VIAUD, J. LASNIER,
CETIM, 1992.
39
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3 • ESTIMATION DES INCERTITUDES
3.1 Rappels et notations
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
3.1.1 Généralités sur les incertitudes
Nous avons vu précédemment que la connaissance exacte d’une grandeur réelle R était totalement impossible, et que pour s’en convaincre il
suffisait de réaliser plusieurs fois la mesure de cette grandeur dans les
mêmes conditions. Nous nous rendions compte alors que nous obtenions autant de résultats différents que nous avions réalisé de mesures.
Pourquoi ces différences ? Parmi tous les résultats obtenus y en a-t-il un
qui est le bon ? Si oui, lequel ? Si non, comment déterminer une valeur
la plus proche possible de la réalité ? C’est à cet ensemble de questions
que nous allons essayer de répondre dans la suite de ce chapitre.
Un premier élément de réponse à toutes ces questions se trouve dans ce
qui précède : nous avons suggéré que nous travaillions toujours dans les
mêmes conditions, or en réalité les conditions ne sont jamais rigoureusement les mêmes. C’est ce que nous avons évoqué dans le chapitre 2
lorsque nous avons prétendu que l’étendue de l’erreur de mesure dépendait notamment de l’environnement dans lequel était réalisée la mesure
ainsi que de l’opérateur qui effectuait celle-ci. Dans la même partie, nous
avons également montré que les performances du matériel employé pour
réaliser la mesure affectaient considérablement les résultats obtenus. Il faut
aussi faire remarquer que la grandeur que l’on doit mesurer n’est pas
toujours définie sans aucune ambiguïté ce qui va naturellement aussi se
répercuter sur le résultat.
41
3 • Estimation
des incertitudes
3.1 Rappels et notations
À partir de ces remarques, nous avions fait ressortir que pour être recevable le résultat d’une mesure M devait absolument être accompagné
d’une grandeur que l’on appelle l’incertitude de mesure, incertitude que
l’on note conventionnellement U, de telle façon que l’on ait :
M–U<R<M+U.
La difficulté que nous avions soulevée et que nous nous proposons de
traiter dans ce chapitre, consiste à déterminer aussi vraisemblablement
que possible la valeur de U. Pour la suite de ce travail nous adopterons
les définitions et les notations suivantes :
– R = valeur vraie de la grandeur à mesurer (inaccessible).
– M = résultat brut issu de la mesure.
– e = erreur de mesure avec e = R – M, R étant inconnue, e est toujours
inconnue.
– U = étendue de l’incertitude que l’on appelle conventionnellement
incertitude élargie.
– u = incertitude type, notation qui présente une analogie certaine avec
l’écart type d’une distribution. On admettra que, dans les calculs,
l’incertitude type se manipule comme un écart type.
– k = facteur d’élargissement tel que l’on ait U = k◊u.
U
– -------- incertitude fractionnaire ou incertitude relative.
M
Comme nous l’avons déjà remarqué, c’est parce qu’on commet toujours
une erreur de mesure, aussi minime soit-elle, qu’il y a nécessité d’introduire la notion d’incertitude, mais l’erreur commise étant par définition
inconnue il n’est pas possible de calculer la valeur de l’incertitude à
partir de l’examen d’hypothétiques grandeurs d’erreurs. La définition
que nous retiendrons pour l’incertitude est celle proposée par la normalisation [3.1] : paramètre caractérisant la dispersion des valeurs pouvant
raisonnablement être attribuées à une grandeur soumise à un mesurage
(mesurande). C’est donc l’examen des résultats de différentes mesures
réalisées qui nous permettra de donner une valeur vraisemblable à l’étendue
de l’incertitude de mesure.
42
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3 • Estimation
des incertitudes
3.1 Rappels et notations
Le deuxième point délicat que soulèvent les définitions précédentes
concerne la valeur de k, celle-ci doit être choisie de telle façon que l’on
ait une certaine probabilité p pour que la valeur réelle de l’incertitude
soit inférieure ou égale à U. Afin de réaliser efficacement ce choix, il
serait nécessaire de connaître avec précision la loi de répartition des résultats des différentes mesures effectuées, ce qui est en réalité très rarement le
cas ; dans la pratique les valeurs 1, 2 ou 3 préconisées par la normalisation
sont très souvent choisies comme coefficient k. On rappelle ci-dessous
quelques lois de distribution auxquelles on peut raisonnablement assimiler de nombreuses distributions réelles de résultats de mesure ainsi
que les niveaux de probabilité qui leur sont associés. L’opportunité de
l’emploi de ces lois ainsi que leurs propriétés peuvent donc permettre
d’éventuellement proposer des valeurs réalistes pour k.
3.1.2 Quelques lois de distribution intéressantes
m Loi de distribution rectangulaire
L’emploi de cette loi suppose que la variable x ait la même probabilité
de prendre n’importe quelle valeur dans l’intervalle ]–U, + U[.
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f (x )
–U
x
+U
x
Figure 3.1 – Courbe de distribution d’une loi rectangulaire.
Les calculs donnent comme valeur de l’écart type d’une distribution
I
rectangulaire équiprobable dans un intervalle de largeur I, s = ---------- ; ce
2 3
43
3 • Estimation
des incertitudes
3.1 Rappels et notations
2U
qui appliqué à notre problème d’incertitude donnerait : u = ---------- soit u
2 3
U
= ------- et donc U ª 1,73 u.
3
Dans notre cas l’interprétation que l’on peut faire de ce qui précède est
la suivante : dans un intervalle ] x – u, x + u[ c’est-à-dire pour k = 1, il y
aurait une probabilité p = 0,577 de trouver le résultat de la mesure xi, dans
un intervalle ] x – 2u, x + 2u[ c’est-à-dire pour k = 2 cette probabilité
serait bien entendu de 1.
m Loi de distribution triangulaire
Les calculs donnent comme valeur de l’écart type d’une distribution
I
triangulaire symétrique dans un intervalle de largeur I, s = ---------- ; ce
2 6
2U
qui, appliqué à notre problème d’incertitude donnerait u = ---------- soit
2 6
U
u = ------- et donc U ª 2,45 u.
6
f(x)
–U
+U
x
Figure 3.2 – Courbe de distribution d’une loi triangulaire.
44
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3 • Estimation
des incertitudes
3.1 Rappels et notations
L’interprétation que l’on peut faire de ce qui précède est la suivante :
dans un intervalle ] x – u, x + u[ c’est-à-dire pour k = 1, il y aurait une
probabilité p = 0,65 de trouver le résultat de la mesure xi ; et dans un
intervalle ] x – 2u, x + 2u[ c’est-à-dire pour k = 2 cette probabilité
serait de 0,965 ; naturellement dans un intervalle. ] x – 3u, x + 3u[
c’est-à-dire pour k = 3 la probabilité serait de 1.
m Loi de distribution normale
L’emploi de cette loi suppose que la variable x se distribue suivant une
loi de Gauss, Laplace, appelée aussi loi normale ou loi du hasard. Cette
loi de distribution se retrouvant dans de nombreux cas de la vie réelle,
et donc de la vie scientifique et industrielle ; il est essentiel d’en connaître au moins les caractéristiques principales, celles-ci sont rappelées en
annexe.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
f (x)
–U
x
+U
x
Figure 3.3 – Courbe de distribution
d’une loi normale.
Dans ce cas nous savons que dans un intervalle ] x –u, x + u[, c’est-àdire pour k = 1, il y aura une probabilité p = 0,683 de trouver le résultat
de la mesure xi ; dans un intervalle ] x – 2u, x + 2u[ , c’est-à-dire pour k
= 2 cette probabilité sera de 0,954 ; et dans un intervalle ] x – 3u,
x + 3u[ , c’est-à-dire pour k = 3 on trouvera xi avec une probabilité de
0,9973 c’est-à-dire pratiquement de 1.
45
3 • Estimation
des incertitudes
3.2 Estimation d’une incertitude de mesure simple
3.2 Estimation d’une incertitude de mesure
simple
3.2.1 Composantes de l’erreur de mesure
En traitant de la mesure des longueurs et en faisant apparaître la nécessité d’introduire la notion d’incertitude, nous avons mis en cause la
présence de l’erreur de mesure pour justifier l’existence de cette incertitude. Il est donc important de connaître la structure des erreurs de mesure
si l’on veut déterminer la valeur de l’incertitude. Quelle que soit la grandeur d’une erreur de mesure et le nombre des paramètres qui en seront
à l’origine, celle-ci comprendra toujours deux parties distinctes, voir
figure 3.4.
Zone
d’erreur
mesures
Composante
systématique
évolutive
Composante
aléatoire
Composante systématique
constante
Valeur vraie de la mesure
temps
instant t 1
instant t 2
Figure 3.4 – Composantes d’une erreur de mesure.
m Une partie systématique
Cette forme d’erreur se répétera toujours de la même façon et dans le
même sens. Elle peut être constante, quand elle est due par exemple au
défaut de dimension d’un étalon, ou évolutive, si elle provient par exemple
de la dilatation thermique de la pièce mesurée. Elle peut être minimisée
46
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3 • Estimation
des incertitudes
3.2 Estimation d’une incertitude de mesure simple
lorsque l’on connaît avec précision ses origines en réalisant les corrections
appropriées sur les résultats de la mesure.
m Une partie aléatoire
C’est-à-dire que cette forme d’erreur se reproduira d’une façon et
dans un sens totalement imprévisibles, elle provient de la multiplicité
des paramètres indépendants qui interviennent lors de la réalisation de
la mesure. De par sa nature aléatoire, elle est souvent régie par des lois
de probabilité, notamment la loi normale, dont on peut estimer les
paramètres en utilisant des méthodes statistiques afin de déterminer
approximativement son étendue.
3.2.2 Méthodes d’évaluation d’une incertitude simple
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
L’incertitude étant le moyen de prendre en compte les erreurs inévitables que l’on commet lors de la mesure, erreurs que l’on ne connaît
pas (en effet si l’on connaissait ces erreurs il suffirait alors d’effectuer les
corrections nécessaires pour obtenir la valeur vraie). En aucun cas on ne
pourra calculer une valeur exacte de l’étendue de l’incertitude. On ne
pourra qu’estimer une valeur plus ou moins proche de la réalité. Deux
types de méthodes sont couramment utilisés afin d’estimer la grandeur
d’une incertitude.
m Les méthodes de type A
Les valeurs seront estimées à partir d’outils statistiques, c’est-à-dire en
considérant les résultats de plusieurs mesures xi (échantillon) en faisant des
hypothèses sur les lois de distribution de ces mesures, et en réalisant les
calculs correspondants. En général, les résultats issus de cette méthode
seront exprimés par une moyenne m(xi) et un écart type σ(xi). Naturellement, dans les calculs d’incertitudes par une méthode de type A on
admettra que u(xi) est égale à σ(xi).
Application : Voici un exemple de la détermination par une méthode de
type A de l’incertitude accompagnant toutes les mesures de longueur
effectuées avec un pied à coulisse. Afin de tenir compte de la justesse du
47
3 • Estimation
des incertitudes
3.2 Estimation d’une incertitude de mesure simple
pied à coulisse sur toute sa plage d’utilisation on réalisera les mesures de
n cales étalons (dans notre exemple 9) couvrant la totalité de sa course.
Et pour tenir compte de sa fidélité on répétera chaque mesure m fois
(dans notre exemple 8). Pour que la méthode soit valide toutes les
mesures doivent être effectuées de façon totalement indépendante les
unes des autres, le résultat de chaque mesure est noté xij, tableau 3.1.
Tableau 3.1 – Résultats des mesures permettant l’estimation de l’incertitude.
Cale i
Mesure j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
2
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
3
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
4
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
5
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
6
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
7
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
8
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
X11
Xi
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
Wi
W1
W2
W3
W4
W5
W6
W7
W8
W9
Ci
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
C9
Ri
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
j=m
x
j=1 ij
Les grandeurs X i sont obtenues en faisant : X i = ∑
----------------- . Elles reprém
sentent un bon estimateur de la longueur vraie de chacune des cales Ci
48
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3 • Estimation
des incertitudes
3.2 Estimation d’une incertitude de mesure simple
réellement mesurée par le pied à coulisse. Cet estimateur sera d’autant plus
proche de la réalité que m sera grand. L’analyse de ces valeurs permettra
de prendre en compte l’erreur de justesse de l’appareil de mesure.
Les valeurs Wi sont obtenues en calculant pour chaque colonne
l’étendue Wi = xij max – xij min. Elles indiquent l’étendue des m mesures de la même grandeur Ci, elles permettront de prendre en compte la
fidélité de l’outil de mesure. L’écart type de l’erreur de fidélité se calculera
i=n
Wi
W
i=1
à partir de W i = ∑
------------------ en faisant : σ F = -------i , b est déterminé à
n
b
partir de la théorie concernant les petits échantillons, il dépend de la
taille de l’échantillon c’est-à-dire du nombre n, pour n = 9 on prendra
b = 2,97 [3.2].
Pour estimer le décalage J dû à la non-justesse du pied à coulisse, on
calculera la moyenne des différences entre la mesure considérée comme
bonne de chacune des cales mesurées X i et la longueur réelle de cette
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
i=n
( Xi – Ci )
i=1
cale Ci en faisant : J = ∑
--------------------------------- . Attention de bien faire X i – C i
n
et non l’inverse afin de savoir si le moyen de mesure à tendance à
augmenter la grandeur mesurée ou à la diminuer.
Ensuite, on calculera les valeurs R i = ( X i – C i ) qui nous permettront
d’estimer une valeur vraisemblable de l’écart type de l’erreur de justesse
Ri
∑i=n
i=1
en faisant comme précédemment : R = ------------------- puis en calculant
n
R
σ J = --- avec toujours pour b une valeur qui dépend de la taille de
b
l’échantillon n.
Il sera alors possible de calculer l’écart type de l’erreur globale, c’est-àdire de l’erreur tenant compte à la fois de la justesse et de la fidélité de
l’appareil, σG en utilisant un résultat issu de la théorie de l’analyse de la
49
3 • Estimation
des incertitudes
3.2 Estimation d’une incertitude de mesure simple
2
2
variance en posant σ G = σ F + σ J , on admettra alors comme
proposé précédemment que uG = σG, connaissant la valeur et le signe
de J il sera possible de corriger toutes les mesures réalisées avec le pied à
coulisse en écrivant :
Grandeur mesurée = Résultat de la mesure – J, cette grandeur étant
exprimée avec une incertitude élargie U = k◊uG.
m Les méthodes de type B
Elles concernent tous les moyens autres que statistiques qui permettront
l’estimation des caractéristiques de l’incertitude (expérience des opérateurs,
examens de résultats précédents, documentations constructeurs…).
Naturellement, la détermination de l’incertitude par des méthodes
statistiques, c’est-à-dire les méthodes de type A, est la seule qui donne des
résultats proches de la réalité, mais c’est une méthode qui demande un
grand nombre de mesures et un traitement parfois délicat de ces mesures. C’est la raison pour laquelle il sera nécessaire d’employer les méthodes de type B chaque fois qu’il ne sera pas souhaitable, pour des raisons
économiques ou techniques, d’utiliser une méthode statistique. Comme
précédemment, les valeurs d’incertitude déterminées à partir d’une
méthode type B seront exprimées par une valeur u(xi) qui est la notation
d’une incertitude type.
Application : Estimation de l’incertitude type correspondant à la résolution d’un appareil de mesure à affichage numérique.
Un comparateur à amplification électronique et à affichage numérique
indique comme résultat brut d’une mesure de longueur : 20,024 mm.
En l’absence de toute information complémentaire sur le fonctionnement de cet appareil, on ne peut qu’affirmer que la grandeur affichée
par le comparateur est comprise entre 20,023 mm et 20,025 mm, soit
une étendue de la zone d’incertitude de 2 µm, ce qui donne U, incertitude élargie, égale à 1 µm. Dans ce cas, il est raisonnable d’assimiler la
loi de distribution de l’incertitude de mesure à une loi rectangulaire,
c’est-à-dire que toutes les valeurs à l’intérieur de U on la même probabilité de distribution, ce qui nous permettra d’estimer une valeur pour
50
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3 • Estimation
des incertitudes
3.3 Estimation des incertitudes composées
U
l’incertitude type u, en posant : u = ------- , ce qui donnera :
3
1
u = ------- ≈ 0,577 , soit u = 0,577 µm.
3
3.3 Estimation des incertitudes composées
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Souvent la grandeur que l’on veut mesurer n’est accessible que par l’intermédiaire de la mesure d’un certain nombre d’autres grandeurs qui la
composent : par exemple la surface d’un rectangle ne peut être connue
qu’à partir des mesures de sa longueur et de sa largeur. Le problème
consiste dans ce cas à déterminer l’incertitude sur la grandeur résultante
à partir des incertitudes connues des grandeurs composantes.
M (grandeur dont on veut connaître l’incertitude) est une fonction de
plusieurs autres grandeurs X, Y, Z… qui, elles, sont mesurables directement et dont on a pu déterminer les incertitudes UX, UY, UZ… soit par
des méthodes de type A soit par des méthodes de type B telles que nous
les avons évoquées précédemment.
M = f(X, Y, Z…)
3.3.1 Méthode du maximum et du minimum
C’est une méthode qui présente les avantages d’être très simple et de
convenir dans tous les cas, même lorsque les étendues des incertitudes
sont très grandes. Elle consiste à se placer dans les cas limites, c’est-àdire que l’on calcule les valeurs maximales et minimales que prendrait la
grandeur résultante M si toutes les mesures des variables composantes
se trouvaient simultanément aux valeurs maxi et mini de façon à maximaliser ou à minimiser M.
Exemple : Détermination de l’incertitude sur le volume d’un cylindre à
partir des mesures directes de son diamètre et de sa hauteur.
D, diamètre = 50mm, avec UD = 0,02 mm soit, Dmaxi = 50,02 mm et
Dmini = 49,98 mm.
51
3 • Estimation
des incertitudes
3.3 Estimation des incertitudes composées
h, hauteur = 60 mm, avec Uh = 0,05 mm soit, hmaxi = 60,05 mm et
hmini = 59,95 mm.
2
π ⋅ D max i ⋅ h max i
Volume maxi possible Vmaxi = ------------------------------------Æ Vmaxi
4
= 118 002 mm3
2
π ⋅ D min i ⋅ h min i
- Æ Vmini = 117 617mm3
Volume mini possible Vmini = -----------------------------------4
Ce qui permet de déterminer l’incertitude sur V : 2UV = Vmaxi – Vmini,
d’où 2UV = 385 mm3 ce qui donnera, UV = 192,5 mm3.
Cette méthode que l’on pourra toujours employer sans crainte a pour
principal inconvénient de maximaliser l’étendue de l’incertitude sur la
mesure résultante M. En effet, elle fait l’hypothèse que toutes les variables sont simultanément aux valeurs maximales et minimales les plus
perturbantes, ce qui est d’autant plus improbable que le nombre des
variables est grand.
3.3.2 Méthodes adaptées à des fonctions particulières simples
Ces méthodes donnent les mêmes résultats que la méthode précédente,
mais elles évitent d’avoir à calculer les valeurs maximales et minimales
de la grandeur résultante : elles dépendent de la nature de la fonction
qui lie M avec les mesures composantes. Nous allons considérer les trois
fonctions le plus souvent rencontrées.
m Fonction somme
Si la fonction est une somme ou une différence, M = X + Y + Z, ou M
= X – Y – Z, on écrira : UM = UX + UY + UZ ce résultat est facilement
vérifiable à partir de la méthode précédente.
m Fonction produit
Si la fonction est un produit ou un quotient, M = X◊Y◊Z, ou M = X◊Y/Z,
on écrira :
52
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3 • Estimation
des incertitudes
3.3 Estimation des incertitudes composées
UM
U
U
U
------- = ------X- + ------Y + ------ZM
X
Y
Z
Exemple : Nous allons vérifier cette proposition en recherchant l’incertitude US sur la surface d’un rectangle, dont nous avons mesuré la
longueur L et la largeur l, avec L = 20mm (UL = 0,1mm) et l = 15 mm
(Ul = 0,08mm) :
Sth = L·l Æ Sth = 20◊15 = 300 mm2
U L 0,1
U
U
0,08
------ = ------- = 0,005, -----l = ---------- = 0,00533 Æ ------S = 0,01033
L
l
S
20
15
Æ US = 3,1 mm2
Vérification par la méthode du maximum et du minimum :
S maxi possible,
Smaxi = 20,1◊15,08 = 303,108 Æ Smaxi = 303,108 mm2.
S mini possible, Smini = 19,9◊14,92 = 296,908 Æ Smini = 296,908mm2.
Soit : 2US = 6,2 mm2 Æ US = 3,1 mm2.
m Fonction puissance
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Si la fonction est une puissance, M = Xn par exemple, on peut écrire :
UM
U
------- = n ------X- .
M
X
Exemple : Si nous appliquons cette relation en recherchant l’incertitude
US de la surface S d’un cercle dont nous avons mesuré le diamètre D,
D = 40 mm (UD = 0,15 mm).
2
2
π⋅D
π ⋅ 40
Sth = -------------- Æ Sth = ---------------- Sth = 1 256,64 mm2
4
4
U
U
0,15
------D- = ---------- = 0,003 75 Æ ------S = 2◊0,003 75 = 0,007 5
D
S
20
Æ US = 9,425 mm2
53
3 • Estimation
des incertitudes
3.3 Estimation des incertitudes composées
Vérification par la méthode du maximum et du minimum :
2
40,15 ⋅ π
S maxi possible, Smaxi = ----------------------- = 1 266,08
4
Æ Smaxi = 1 266,08 mm2.
2
39,85 ⋅ π
S mini possible, Smini = ----------------------- = 1 247,23
4
Æ Smini = 1 247,23 mm2.
Soit 2 US = 18,85 Æ US = 9,425 mm2.
3.3.3 Méthode de la différentielle totale
Il est toujours possible de combiner les différentes propositions précédentes dans le cas où le résultat de la mesure le nécessiterait. Si nous
considérions, par exemple, la détermination de l’incertitude de mesure
sur le volume du cylindre que nous avons déjà calculée au paragraphe
3.3.1 en souhaitant employer la méthode relative aux fonctions particulières, cela donnerait :
U
U
U
0,02
------V- = 2 ⋅ ------D- + -----h- = 2 ⋅ ---------- + 0,05
---------- = 0,00163
V
D
50
h
60
Æ UV = 0,001 63 ◊ V = 192,5 Æ UV = 192,5mm3
Une méthode élégante et efficace, surtout dans le cas où les incertitudes
sont faibles, consiste à faire appel au calcul différentiel, cette méthode
qu’il faut absolument connaître nous sera très utile pour la suite de ce
chapitre.
m Rappel
Soit une fonction y = f(x), un accroissement dx de la variable x provoquera un accroissement dy de y tel que : dy = f(x + dx) – f(x).
On sait que le principe de la différentielle consiste à linéariser la
fonction y = f(x) sur un petit intervalle, c’est-à-dire d’approximer la valeur
de dy en écrivant dy = y¢◊dx (voir figure 3.5). C’est cette approximation,
54
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3 • Estimation
des incertitudes
3.3 Estimation des incertitudes composées
très utilisée en physique, que l’on va employer dans ce mode de calcul
de l’incertitude.
y
dy
y’.dx
x
x
dx
Figure 3.5 – Rappel sur la différentielle.
m Principe
Dans le cas où M = f(X, Y, Z…) avec UX, UY, UZ… connues, on
commencera par différencier M par rapport à chacune des variables qui
la définissent.
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∂M
∂M
∂M
dM = ⎛ --------⎞ dX + ⎛ --------⎞ dY + ⎛ --------⎞ dZ + …
⎝ ∂X ⎠
⎝ ∂Y ⎠
⎝ ∂Z ⎠
On prendra ensuite les valeurs absolues des différentielles calculées et
on remplacera les dX, dY, dZ… par les incertitudes correspondantes
UX, UY, UZ…
∂M
∂M
UM = ∂M
-------- U X + -------- U Y + -------- U Z + …
∂Y
∂Z
∂X
Exemple : Application à la détermination de l’incertitude sur le volume
d’un cylindre :
Si D = 50 mm avec UD = 0,02 mm et h = 60 mm avec Uh = 0,05 mm :
2
π
V = ⎛ --- ⋅ D ⋅ h⎞
⎝4
⎠
55
3 • Estimation
des incertitudes
3.3 Estimation des incertitudes composées
2
π⋅D⋅h
π⋅D
∂M
Nous aurons : -------- = ⎛ --------------------⎞ dD et ∂M
-------- = ⎛ --------------⎞ dh
⎝ 4 ⎠
⎝
2 ⎠
∂D
∂h
2
⋅D⋅h
π⋅D
D’où : U V = π
-------------------- U D + -------------- U h = 94,3 + 98,2 = 192,5
2
4
Soit UV = 192,5mm3.
La figure 3.6 illustre l’application de ce calcul dans le cas de la détermination de l’incertitude sur le volume d’un cylindre, naturellement une telle
illustration pourrait être utilisée dans n’importe quel cas.
D
U V1 = π ⋅ D ⋅ h ⋅
UV 2 =
UD /2
UD
2
π ⋅ D2
⋅U h
4
h
Uh
UV = U V1 + U V2
Figure 3.6 – Visualisation de la détermination de l’incertitude.
3.3.4 Optimisation de l’incertitude composée
Toutes les méthodes que nous avons exposées précédemment peuvent
être utilisées sans risque, on a vu que leurs résultats sont équivalents et
elles fournissent des valeurs tout à fait acceptables. Elles présentent
cependant toutes l’inconvénient que nous avons déjà évoqué et qui
consiste à considérer le cas très improbable où toutes les incertitudes
sont simultanément aux conditions limites les plus perturbantes, ce qui
comme nous l’avons vu, conduit à surestimer la valeur de l’incertitude
résultante. Pour éliminer en partie cet inconvénient, nous allons faire
appel à des outils issus du calcul des probabilités, et notamment à la
théorie de l’analyse de la variance qui nous permettrait d’écrire dans le
56
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3 • Estimation
des incertitudes
3.3 Estimation des incertitudes composées
cas où une variable X serait fonction de plusieurs variables aléatoires X1,
X2, X3… : d’écarts types respectifs σx1, σx2, σx3…
2
2
2
2
σ X = σ X1 + σ X2 + σ X3 + …
Dans l’application de cette méthode, nous voyons tout l’intérêt qu’il y a
de considérer l’incertitude type u qui, comme nous l’avons déjà remarqué, se comportera de la même façon qu’un écart type (rappelons que
U = ku).
Dans ce cas, la relation exprimée dans le paragraphe 3.3.3, pourrait
s’écrire sous la forme suivante :
2
∂M
∂M
∂M
u M = ⎛ -------- ⋅ u X⎞ + ⎛ -------- ⋅ u Y⎞ + ⎛ -------- ⋅ u Z⎞ + …
⎝ ∂X
⎠
⎝ ∂Y
⎠
⎝ ∂Z
⎠
2
2
2
Exemple : Application à la détermination de l’incertitude sur le volume
du cylindre précédent, nous choisirons de prendre k = 2 :
uD = 0,02/2 = 0,01 mm et uh = 0,05/2 = 0,025 mm
2
π⋅D⋅h
π⋅D
∂M
-------- = ⎛ --------------------⎞ dD et ∂M
-------- = ⎛ --------------⎞ dh
⎝ 4 ⎠
⎝
2 ⎠
∂D
∂h
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2
2
2
π⋅D⋅h
π⋅D
u V = ⎛ -------------------- ⋅ u D⎞ + ⎛ -------------- ⋅ u h⎞
⎝
⎠
⎝ 4
⎠
2
2
2
2
2
π ⋅ 50 ⋅ 60
π ⋅ 50
u V = ⎛ ------------------------ ⋅ 0,01⎞ + ⎛ ---------------- ⋅ 0,025⎞
⎝
⎠
⎝ 4
⎠
2
= 2 220,66 + 2 409,57 = 4 630 Æ uV = 68
2
Ce qui donne UV = k ◊ uV = 2 ◊ 68 = 136 Æ UV = 136 mm3.
Ce type de calcul est celui qui donne l’estimation de UM la plus proche
de la réalité et c’est celui que l’on devrait privilégier. Cependant, quel que
soit le cas auquel on l’applique, il présente l’inconvénient de ne pas
prendre en compte d’éventuelles interactions lorsque les mesures ne
seraient pas indépendantes les unes des autres.
57
3 • Estimation
des incertitudes
3.4 Cas où les variables ne sont pas indépendantes
3.4 Cas où les variables ne sont pas
indépendantes
S’il est facile d’imaginer que lorsque l’on mesure le diamètre puis la
hauteur d’un cylindre les deux mesures sont totalement indépendantes
l’une de l’autre, il peut exister des situations dans lesquelles il est fort
possible qu’il y ait une influence relative quelconque entre les résultats
de certaines mesures. Ce peut être le cas par exemple lorsque l’on
mesure le courant et la tension dans un circuit électrique, ou lorsque
l’on mesure la température et la pression dans une enceinte.
Les corrélations entre plusieurs mesures peuvent présenter un grand
nombre de formes, nous nous intéresserons exclusivement à la corrélation linéaire qui suppose que l’on ait entre deux variables X et Y une relation du type Y = aX + b. Cette corrélation peut être mise en évidence à
partir de l’examen de la covariance entre X et Y.
3.4.1 Covariance et corrélation linéaire
Soit deux variables aléatoires X et Y, on sait que [3.3] :
n
∑1 xi
x (moyenne de la réalisation des n mesures xi de X) = ----------- et σx (écart
n
n
type de la distribution des n xi) =
∑1 ( xi – x )
2
-------------------------- et que : y (moyenne de la
n
n
∑1 yi
réalisation des n mesures yi de Y) ----------- , et σy (écart type de la distribution
n
n
des n yi) =
58
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∑1 ( yi – y )
2
-------------------------- .
n
3 • Estimation
des incertitudes
3.4 Cas où les variables ne sont pas indépendantes
On appelle covariance entre X et Y, que l’on note σxy, un nombre réel
tel que :
n
∑1 ( xi – x ) ⋅ ( yi – y )
σ xy = ---------------------------------------------n
On appelle coefficient de corrélation linéaire entre X et Y le nombre r
tel que :
σ XY
r = ---------------σX ⋅ σY
Si r = – 1 ou si r = 1, il existe une relation linéaire affine entre X et Y
c’est-à-dire qu’il faudra tenir compte de l’influence réciproque des
deux variables lors du calcul d’incertitude. Si r = 0, X et Y sont
linéairement indépendantes (ce qui ne veut pas dire qu’il n’y a pas de
relation d’un autre type entre elles).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
En réalité des valeurs de r proches de 1 ou de – 1 indiquent une forte
probabilité de corrélation linéaire alors que des valeurs de r proches de
0 laissent supposer qu’il y a peu ou pas de corrélation linéaire entre les
variables X et Y.
Exemple : On réalise 8 mesures sur deux grandeurs X et Y et on
voudrait savoir s’il existe une forte corrélation linéaire entre X et Y,
tableau 3.2.
832
X = 528
--------- = 66 , Y = --------- = 104 , σ X =
8
8
σY =
66
------ = 2,87 ,
8
112
--------- = 3,74 , σ XY = 84
------ = –10,5
8
8
10,5
10,5
Ce qui donnerait : r = – ------------------------ = – ------------ = – 0,98 .
2,87 ⋅ 3,74
10,73
59
3 • Estimation
des incertitudes
3.4 Cas où les variables ne sont pas indépendantes
Tableau 3.2 – Résultats des mesures sur les variables X et Y.
N˚ mesure
Xi
Yi
Xi – X
Yi – Y
(Xi – X ) ◊ (Yi – Y )
1
70
100
4
–4
–16
2
62
110
–4
6
–24
3
66
104
0
0
0
4
64
106
–2
2
–4
5
68
102
2
–2
–4
6
63
108
–3
4
–12
7
70
98
4
–6
–24
8
65
104
–1
0
0
sommes
528
832
–84
Il existe donc probablement une forte corrélation linéaire négative entre les
variables X et Y dont il faudrait tenir compte dans le cas où ces variables
entrent en ligne de compte dans un calcul d’incertitudes.
3.4.2 Calcul des incertitudes sur des variables corrélées
Soit une grandeur M fonction de la mesure de deux variables aléatoires
X et Y, éventuellement non indépendantes, dont les incertitudes types
uX et uY ont put être estimées. L’incertitude type uM sur la grandeur M
se déterminera alors de la façon suivante :
2
2
2
∂M
∂M
∂M ∂M
u M = ⎛ -------- ⋅ u X⎞ + ⎛ -------- ⋅ u Y⎞ + 2 -------- ⋅ -------- ⋅ u XY
⎝ ∂X
⎠
⎝ ∂Y
⎠
∂X ∂Y
On voit que s’il existe une corrélation linéaire entre X et Y, celle-ci sera
prise en compte dans le dernier terme de l’équation. Naturellement,
on voit que si la covariance est nulle (pas de corrélation), ce dernier terme
sera nul et l’on reviendra à ce qui était écrit en 3.3.4.
60
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3 • Estimation
des incertitudes
3.4 Cas où les variables ne sont pas indépendantes
m Cas de plus de deux variables
Si une grandeur M est fonction de la mesure de plusieurs variables aléatoires X, Y, Z dont les incertitudes type uX, uY, uZ… ont pu être déterminées, l’incertitude type uM sur la grandeur M se calculera de la façon
suivante :
On commencera par rechercher les corrélations éventuelles deux à deux
entre toutes les variables :
n
1
u XY = --- ∑ ( X i – X ) ⋅ ( Y i – Y )
n
1
n
1
u XZ = --- ∑ ( X i – X ) ⋅ ( Z i – Z )
n
1
n
1
u ZY = --- ∑ ( Z i – Z ) ⋅ ( Y i – Y )
n
1
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Puis on écrira :
2
2
2
2
∂M
∂M
∂M
∂M ∂M
u M = ⎛ -------- ⋅ u X⎞ + ⎛ -------- ⋅ u Y⎞ + ⎛ -------- ⋅ u Z⎞ + 2 -------- ⋅ -------- ⋅ u XY
⎝ ∂X
⎠
⎝ ∂Y
⎠
⎝ ∂Z
⎠
∂X ∂Y
∂M ∂M
∂M ∂M
+ 2 -------- ⋅ -------- ⋅ u XZ + 2 -------- ⋅ -------- ⋅ u ZY
∂Z ∂Y
∂X ∂Z
m Application
Soit une mesure M, fonction des deux variables corrélées X et Y dont les
résultats des mesures sont inscrits dans le tableau 3.2, telle que M = X◊Y
(fonction produit). Quelle est l’incertitude type uM sur la mesure M ?
On calculera cette incertitude tout d’abord en ne tenant pas compte de la
corrélation entre X et Y, puis en tenant compte de cette corrélation.
Calcul sans prendre en compte la corrélation :
2
2
2
∂M
∂M
u M = ⎛ -------- ⋅ u X⎞ + ⎛ -------- ⋅ u Y⎞
⎝ ∂X
⎠
⎝ ∂Y
⎠
61
3 • Estimation
des incertitudes
3.5 Exemple de détermination d’incertitude
∂M
∂M
M = X ◊ Y Æ -------- = Y et -------- = X
∂X
∂Y
2
soit : u M = (Y ◊ uX)2 + (X ◊ uY)2 = (104 ◊ 2,87)2 + (66 ◊ 3,74)2 = 149 813
Æ uM = 387
Calcul en tenant compte de la corrélation entre X et Y :
2
2
2
∂M
∂M
∂M ∂M
u M = ⎛ -------- ⋅ u X⎞ + ⎛ -------- ⋅ u Y⎞ + 2 -------- ⋅ -------- ⋅ u XY
⎝ ∂X
⎠
⎝ ∂Y
⎠
∂X ∂Y
2
soit : u M = (Y ◊ uX)2 + (X ◊ uY)2 + 2(X ◊ Y ◊ uXY)
2
u M = 149 813 – 144 144 = 5 669 Æ uM = 75.
Cet exemple montre que la prise en compte de l’interaction éventuelle
entre les résultats de plusieurs mesures permettant la détermination
d’une grandeur peut faire apparaître que l’incertitude réelle probable
sur cette grandeur est en réalité plus faible que ce qui apparaîtrait si l’on
négligeait cette interaction (cas notamment de la corrélation négative).
3.5 Exemple de détermination
d’incertitude
On désire mesurer l’angle α dont la valeur théorique est de 60˚ sur la
pièce représentée par le dessin de la figure 3.8. Afin de réaliser cette mesure
on utilise la méthode des piges, méthode bien connue des mécaniciens (on
rappelle qu’une pige est un cylindre considéré comme géométriquement
parfait, c’est-à-dire que ses défauts sont négligeables par rapport aux
grandeurs que l’on veut mesurer, et que son diamètre est connu et donc
rigoureusement constant). Le principe de la mesure est illustré par le dessin
de la figure 3.8.
62
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3 • Estimation
des incertitudes
15
A
3.5 Exemple de détermination d’incertitude
60°
23,9 0+0,2
0,1 A
59,98 0+0,4
Figure 3.7 – Mesure d’un angle entre deux faces.
C
O
H
A
R
B
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Figure 3.8 – Mesure d’un angle sur piges.
D’après la figure 3.8 nous voyons que l’on peut écrire : tg(α/2) = CH/OH
avec : CH = R – r et OH = B + r-A-R d’où α = 2Arc tg(R – r/B – A – R
+ r).
Nous admettrons les résultats de mesures suivants :
D (diamètre de la pige de grand diamètre) = 20 mm avec une incertitude UD = 4 µm, soit R = 10 mm avec une incertitude UR = 2 µm.
d (diamètre de la pige de petit diamètre) = 6 mm avec une incertitude
Ud = 4 µm, soit r = 3 mm avec une incertitude Ur = 2 µm.
A = 59,545mm avec une incertitude UA = 6 µm.
B = 78,660 mm avec une incertitude UB = 6 µm.
63
3 • Estimation
des incertitudes
3.5 Exemple de détermination d’incertitude
Soit la valeur mesurée de tg(α/2) = 7/12,115 = 0,577796.
Ce qui donnerait α/2 = 30,019 155˚ soit a = 60,038 31˚.
3.5.1 Détermination de l’incertitude par la méthode
du maxi-mini
RM – rm
7,004
tg --α- M = ---------------------------------------------------- = --------------- = 0,578 890 8
2
Bm + rm – AM – RM
12,099
Rm – rM
7,004
tg --α- M = ----------------------------------------------------- = ---------------- = 0,576 704 3
2
BM + rM – Am – Rm
12,099
Ce qui donne : 2Utgα/2 = 0,0021865 soit Utgα/2 = 0,001 093 25.
3.5.2 Détermination de l’incertitude par la méthode
des fonctions particulières
UCH = UR + Ur = 0,002 + 0,002 = 0,004 mm.
UOH = UB + Ur + UA + UR = 0,006 + 0,002 + 0,006 + 0,002
= 0,016 mm.
U CH U OH
U tgα
On peut écrire : ---------- = ----------- + ------------ = 0,001 892 105.
tg α
CH
OH
Ce qui donnera : Utgα/2 = 0,001 892 105◊tgα/2 soit 0,001 093 25, ce
qui est bien semblable à la valeur trouvée précédemment.
3.5.3 Détermination de l’incertitude par la méthode
la différentielle
U
R–r
U′V – UV′- on
tg --α- = ------------------------------ de la forme y = ---- → y′ = -------------------------2
2
V
B+r–A–R
V
aura donc :
64
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3 • Estimation
des incertitudes
3.5 Exemple de détermination d’incertitude
∂tg --αr–R
–( R – r ) ⋅ ( 1 )
2
------------ = --------------------------------------2 dB = --------------------------------------2 dB
∂B
(B + r – A – B)
(B + r – A – B)
∂tg --αR–r
–( R – r ) ⋅ ( 1 )
2
------------ = --------------------------------------2 dA = --------------------------------------2 dA
∂A
(B + r – A – B)
(B + r – A – B)
∂tg --α(B + r – A – R) – (r – R)
B–A
2- dR = -------------------------------------2 dR
----------= ---------------------------------------------------------2
∂R
(B + r – A – B)
(B + r – A – B)
∂tg --α(– B – r + A + R) – (R – r)
A–B
2- dr = -------------------------------------2 dr
----------= --------------------------------------------------------------2
∂R
(B + r – A – B)
(B + r – A – B)
R – r⎞
A – B-⎞
B – A-⎞
r – R⎞
Soit : dtg --α- = ⎛ ----------dB + ⎛ ----------dA + ⎛ -----------dr + ⎛ -----------dR
⎝ V2 ⎠
⎝ V2 ⎠
⎝ V2 ⎠
⎝ V2 ⎠
2
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Et donc : U
α
tg --2
–RU + R–rU + A–BU + B–AU
= r-------------------------------- r ------------ R
B
A
2
2
2
2
V
V
V
V
Application numérique : U
α
tg --2
= 0,001 093 5 ce qui est toujours
conforme à ce qui avait été établi précédemment. Nous obtiendrons
alors comme valeurs :
tg --α- = 0,577 796 avec une incertitude de 0,001 093 5.
2
et donc tg --α- comprise entre 0,576 702 5 et 0,578 889 5.
2
d’où --α- compris entre : 29,972 16˚ et 30,066 01˚
2
Ce qui donnera a compris entre : 59,944 31˚ et 60,132 02˚
65
3 • Estimation
des incertitudes
3.5 Exemple de détermination d’incertitude
3.5.4 Optimisation de l’incertitude
Il est absolument certain que lorsque l’on mesure le diamètre de
chacune des piges ou les longueurs A et B, les mesures sont totalement
indépendantes les unes des autres et qu’il ne peut donc exister aucune
interaction entre les différents résultats obtenus, nous utiliserons donc
la relation suivante :
2
2
2
2
–R
R–r
A–B
B–A
⎛ U ⎞ 2 = ⎛ r----------- ⋅ u r⎞ + ⎛ ------------ ⋅ u R⎞
⋅ u B⎞ + ⎛ ----------⋅ u A⎞ + ⎛ -----------⎝ V2
⎠
⎝ V2
⎠
⎝ V2
⎠ ⎝ V2
⎠
⎝ tg --α-⎠
2
Application numérique : Nous choisirons une valeur de k (coefficient
d’élargissement) égale à 2. Ce qui donnera : uA = 3 µm, uB = 3 µm, uR
= 1 µm et ur = 1 µm, on obtient alors : u α = 0,000 27, en prenant
tg --2
toujours k = 2 cela donnera : U
α
tg --2
= 0,000 54.
Nous aurons alors :
tg --α- = 0,577 796 avec une incertitude de 0,000 54.
2
et donc tg --α- comprise entre 0,577 256 et 0,578 336.
2
d’où --α- compris entre : 29,995 95˚ et 30,042 34˚.
2
Ce qui donnerait a compris entre : 59,991 9˚ et 60,084 68˚.
3.5.5 Capabilité du procédé de mesure
L’analyse de la cotation de la pièce représentée sur la figure 3.9 conformément à la normalisation en vigueur [3.7] nous permet de calculer les
valeurs maximale et minimale que peut prendre l’angle a sans affecter le
fonctionnement de la pièce (tolérances angulaires).
66
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3 • Estimation
des incertitudes
3.5 Exemple de détermination d’incertitude
α maxi
α mini
24
0,1
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Figure 3.9 – Calcul des tolérances angulaires.
Les angles aigus des triangles grisés représentent les tolérances angulaires respectivement maximale et minimale admissibles sur l’angle
théorique de 60˚ que nous souhaitons mesurer.
Ces angles étant petits, on peut considérer que leur sinus et leur tangente
sont égaux, soit :
– sin tolérance angulaire maxi = tg tolérance angulaire maxi
= 0,1◊cos 30˚/24 = 0,003 608 44,
– tg tolérance angulaire mini = sin tolérance angulaire mini
= 0,1◊cos 30˚/24 = 0,003 608 44,
soit une tolérance angulaire de : ± 0,206 74˚ ce qui donne un intervalle
de tolérance angulaire de 0,413 5˚.
Nous pouvons ainsi calculer le coefficient de capabilité du processus de
mesure :
Sans optimisation de l’incertitude Cp = 0,413 5/0,18 = 2,29
Avec optimisation de l’incertitude, Cp = 0,413 5/0,092 78 = 4,45
Valeurs qui sont supérieures à 1 et qui indiquent donc que le procédé
de mesure convient pour cette application quelle que soit la méthode de
détermination des incertitudes que nous avons utilisée.
Compte tenu de la tolérance angulaire que nous venons de calculer,
pour être acceptable, l’angle théorique de 60˚ devrait être compris entre
59,5865˚ et 60,4135˚. Nous pouvons donc conclure également que,
quelles que soient les hypothèses retenues pour effectuer nos calculs
67
3 • Estimation
des incertitudes
3.6 Remarque importante
d’incertitudes, les résultats des mesures montrent que l’angle réel mesuré
sur la pièce est acceptable.
3.6 Remarque importante
Il arrive souvent que l’on soit amené à devoir représenter des résultats de
mesures sur un graphique. Il est habituel dans ce cas de noter le résultat
de chacune des mesures par un point ou par une croix, un exemple de ce
type de représentation est illustré par la figure 3.10.
Résultat de la mesure
Numéro de la mesure
Figure 3.10 – Représentation graphique
de résultats de mesures.
D’après ce qui précède, nous nous rendons compte que cette façon de
faire n’est pas satisfaisante puisqu’elle ne prend pas en compte l’inévitable incertitude qui doit accompagner chaque résultat de mesure. Une
représentation beaucoup plus en accord avec la réalité, et que l’on
devrait donc privilégier, consiste à remplacer les points par des barres
verticales dont la hauteur correspond à l’incertitude qui affecte chaque
résultat de mesure (figure 3.11).
Dans les chapitres suivants il va nous arriver à de nombreuses reprises
d’être amenés à devoir représenter graphiquement des résultats de
mesures. Afin de faciliter la compréhension des problèmes exposés nous
ferons souvent le mauvais choix d’utiliser une croix ou un point pour
indiquer le résultat d’une mesure. Cette représentation simplifiée et
incomplète ne peut être acceptable que si nous admettons qu’il s’agit
d’un estimateur de la valeur la plus probable de la mesure et qu’à celle-ci
68
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3 • Estimation
des incertitudes
3.7 Bibliographie
Résultat de la mesure
Etendue de
l’incertitude
Numéro de la mesure
Figure 3.11 – Représentation graphique de l’incertitude de mesures.
doit être, dans la réalité, associée un intervalle correspondant à l’incertitude existante, même si cette incertitude est considérée comme négligeable pour la compréhension du problème traité.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
3.7 Bibliographie
[3.1] ISO 14253-2, Spécification géométrique des produits (GPS), Vérification par la mesure des pièces et des équipements de mesure, Partie
2 : guide pour l’estimation de l’incertitude dans les mesures GPS,
dans l’étalonnage des équipements de mesure et dans la vérification des
produits, AFNOR, 1999.
[3.2] Le contrôle statistique de la qualité, J. HUSSON, PYC ÉditionDesforges, 1979, page 124.
[3.3] Probabilités, Statistique, F. DRESS, Dunod, 1998, p. 37 à 46.
[3.4] Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure, X 07-020,
AFNOR, 1996.
[3.5] Estimer l’incertitude, C. PERRUCHET, M. PRIEL, AFNOR, 2000.
[3.6] Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques, J.
TAYLOR, Masson Sciences, Dunod, 2000
[3.7] NF E 04-552, Dessins techniques, Tolérancement géométrique, Généralités, définitions, symboles, indications sur les dessins, AFNOR,
2002.
69
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4 • MÉTHODES D’ASSOCIATION
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
4.1 Rappels
Dans le premier chapitre, nous avons montré la nécessité de mettre en
place ce que nous avons appelé les éléments associés que nous avons
définis comme étant des éléments théoriques donnant la meilleure image
possible de l’élément réel. Il est important de rappeler que très souvent
la connaissance que l’on a de l’élément réel n’est que partielle (élément
extrait) et donc que l’élément associé sera en réalité une image de l’élément
extrait plutôt que de l’élément réel.
La difficulté pour le métrologue sera de réaliser l’association de manière
à ce que celle-ci constitue un modèle représentant la réalité de la façon
la plus vraisemblable possible, cette association sera soit physique soit
virtuelle, selon la technique et les moyens de mesure et de calcul utilisés.
4.2 Métrologie de la droite
Pour évoquer différentes méthodes d’association possibles très souvent
utilisées par les métrologues, nous proposons de traiter tout d’abord la
mesure d’un défaut de rectitude, problème qui présente l’avantage d’être
un problème plan simple dont les résultats sont facilement représentables
et vérifiables. Dans la réalité, on peut trouver des lignes théoriquement
droites, soit en les extrayant d’une surface prétendument plane ou
d’une surface réglée, soit en considérant les génératrices de cônes ou de
cylindres (qui sont des surfaces réglées particulières). Dans l’exemple
71
4 • Méthodes d’association
4.2 Métrologie de la droite
choisi, nous chercherons à caractériser la rectitude d’une règle (en métrologie une règle est une surface théoriquement plane dont la largeur est
suffisamment petite devant la longueur pour que l’on puisse assimiler
le plan à une droite), voir figure 4.1.
y
x
Règle
Figure 4.1 – Mesure du défaut de rectitude d’une règle.
4.2.1 Élément extrait
Nous avons vu dans le chapitre 1 que l’élément extrait se présente suivant
un nuage de points appartenant à l’élément réel mesuré, points dont on
relèvera les coordonnées dans un référentiel appelé référentiel de mesure.
Ce référentiel sera matérialisé par l’équipement utilisé pour réaliser la
mesure, naturellement la qualité de la mesure dépendra en grande partie de
la qualité du référentiel de mesure. Les éléments réels étant des éléments
en trois dimensions, les référentiels de mesure seront des référentiels
volumiques, le plus souvent on utilisera des référentiels orthonormés mais
on pourra aussi choisir des référentiels cylindriques voire sphériques.
Comme il est possible de passer sans grandes difficultés d’un type de
repère à un autre [4.1], nous considérerons seulement le cas du référentiel
de mesure orthonormé, mais quel que soit le repère employé la marche
à suivre sera identique.
Dans le cas de notre exemple, la règle est posée sur un marbre (en
métrologie le marbre est une surface plane réalisée avec soin par usinage
72
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4 • Méthodes d’association
4.2 Métrologie de la droite
puis polissage sur un bloc de fonte ou de granit et dont le défaut de
planéité peut être considéré comme parfaitement négligeable) dans une
direction approximativement parallèle à celui-ci. Puis l’on mesure à
l’aide d’un comparateur la variation d’altitude par rapport à la surface
du marbre de n points Mi appartenant à la règle mesurée (figure 4.1).
Pour faciliter la visualisation du résultat obtenu on fera un changement
d’origine en considérant le premier point mesuré M1 à 0, soit M 1( yx == 00 ) .
Le profil de la règle sera alors connu par l’intermédiaire d’un nuage
constitué de n points Mi. Dans notre cas, l’épaisseur de la règle étant
négligée, nous nous trouvons ramenés à un problème plan. Le référentiel
de mesure sera matérialisé par une droite parallèle au marbre (axe Ox) et
par le déplacement de la touche du comparateur, lequel devra être installé
de façon à ce que ce déplacement soit rigoureusement perpendiculaire
au marbre (axe Oy), figure 4.2.
y
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Mi
x
O
Figure 4.2 – Nuage de points représentant l’élément extrait
dans le référentiel de mesure
(les incertitudes de mesure sont négligées).
Chaque point Mi a pour abscisse x = (i – 1).p (p est le pas de la mesure,
il dépend de la finesse avec laquelle on veut représenter le profil réel), et
pour ordonnée y (y est la variation d’altitude lue par le comparateur).
L’image du profil est généralement anamorphosée du fait du choix d’unités
différentes sur chacun des axes, ceci permettant de visualiser de façon plus
nette la forme réelle de la règle mesurée.
73
4 • Méthodes d’association
4.2 Métrologie de la droite
4.2.2 Association par la méthode de l’enveloppe
On appelle élément enveloppe d’un élément géométrique réel l’élément
théorique, géométriquement parfait, situé du coté libre de matière, et étant
le plus près possible de l’élément réel sans jamais le couper (figure 4.3).
y
ei
D1
Mi
O
x
Figure 4.3 – Association par une droite enveloppe.
La droite D1 est la droite associée selon le critère de l’enveloppe aux n
points Mi représentant le profil extrait de la règle, il est alors possible
de mesurer l’écart ei entre chaque point Mi et la droite associée D1.
Comme nous l’avons défini dans le chapitre 1, le défaut de rectitude
mesuré sera alors égal à : l’écart positif maxi moins la valeur absolue de
l’écart négatif maxi, dans le cas de l’enveloppe l’écart positif maxi étant
par définition toujours nul, le défaut de rectitude est égal à : | 0 – ei |
maxi, soit drec = | ei maxi |.
On peut remarquer que, dans le cas d’éléments réels convexes par exemple, il peut exister plusieurs modèles associés possibles. Dans ce cas la
normalisation [4.2] nous propose de choisir la position de l’élément
enveloppe qui minimisera le défaut de forme.
4.2.3 Association à partir de points particuliers
En géométrie, les éléments théoriques peuvent être totalement définis par
un nombre optimal de points, par exemple deux points pour une droite,
trois points non alignés pour un cercle ou pour un plan, etc. C’est cette
propriété qui est utilisée dans ce mode d’association. Dans la pratique,
74
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4 • Méthodes d’association
4.2 Métrologie de la droite
on choisira des points éloignés le plus possible les uns des autres afin
d’obtenir une stabilité maximale. Ce qui donnerait pour notre exemple le
choix de la droite D2 passant par les points extrêmes de l’élément extrait
comme étant une droite associée à cet élément (figure 4.4).
y
d rect
Mi
D2
O
x
Figure 4.4 – Association par une droite passant par les points extrêmes.
Il est ensuite facile de mesurer l’écart entre chacun des n points constituant l’élément extrait et la droite D2 pour pouvoir déterminer le défaut
de rectitude drec de la règle concernée.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
4.2.4 Association selon le critère de Gauss
On peut imaginer que l’on va mettre en place un élément théorique de
telle façon que la somme des carrés des écarts de tous les points constituant l’élément extrait avec cet élément associé soit minimale, ce qui
revient en fait à minimiser l’écart type de la distribution de ces écarts.
Cet élément que l’on appelle également élément des moindres carrés
donne une excellente image de l’élément réel (figure 4.5).
y
d rect
Mi
D3
O
x
Figure 4.5 – Association par la droite des moindres carrés.
75
4 • Méthodes d’association
4.2 Métrologie de la droite
On trouve les méthodes permettant de calculer les paramètres de
l’équation de la droite des moindres carrés associée à n points Mi dans
de nombreux ouvrages traitant de statistique [4.3]. Les programmes
correspondants sont également présents dans la plupart des calculatrices
de poche.
Soit, équation de la droite D3 : y = a ◊ x + b, avec
∑ xi ⋅ ∑ yi – n ⋅ ∑ xi ⋅ y-i
a = ----------------------------------------------------------2
2
( ∑ xi ) – n ⋅ ∑ xi
∑ xi ⋅ ∑ xi ⋅ yi –∑ yi ⋅ ∑ x-i
b = ----------------------------------------------------------------2
2
( ∑ xi ) – n ∑ xi
2
Il ne reste plus alors qu’à calculer les écarts de chacun des points avec la
droite D3 pour pouvoir déterminer le défaut de rectitude drec de la
règle.
4.2.5 Association selon le critère de Tchebytchev
Le critère du minimax, ou critère de Tchebytchev, utilise une méthode de
calcul par itération dont l’application en métrologie permet de minimiser
la distance entre deux éléments géométriques théoriques contenant
l’ensemble des points constituant l’élément extrait. Dans le cadre de
notre exemple, il s’agira de trouver la position de deux droites parallèles
entre lesquels se situera la totalité des n points mesurés, de façon à ce que
la distance entre les deux droites soit la plus petite possible, figure 4.6.
L’association selon le critère de Tchebytchev est particulièrement intéressante car c’est celle qui se rapproche le plus des exigences de la norme.
En effet, minimiser l’espace entre les deux éléments géométriques idéaux
parallèles revient bien à optimiser la valeur du défaut de forme mesuré.
Cependant l’utilisation de cette méthode nécessite de disposer de logiciels spécialisés afin d’effectuer les calculs nécessaires, c’est la raison pour
laquelle elle est relativement peu employée.
76
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4 • Méthodes d’association
4.3 Application à des surfaces simples
y
Espace de Tchebytchev, plus petit
espace contenant les n points mesurés
Mi
O
d rec
x
Figure 4.6 – Association selon le critère de Tchebytchev.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
4.2.6 Remarque
On voit que la détermination d’un défaut de forme à partir d’un élément
extrait donné dépend en grande partie du mode d’association utilisé.
Il reviendra donc au métrologue de choisir la technique la mieux
adaptée en considérant la fonction de l’élément, sa cotation, ainsi que
les moyens de mesure et de calcul dont il dispose. La normalisation
précise à ce sujet qu’il faut choisir la méthode qui permet de minimiser
la valeur du défaut mesuré. Il est cependant très important de bien
remarquer que la valeur d’un défaut déterminée à partir d’une méthode
d’association quelconque sera toujours supérieure à la valeur du défaut
réel. Il n’y a donc aucun risque lorsque l’on réalise une mesure dans le
but d’effectuer un contrôle d’être amené à accepter une pièce défectueuse,
tout au plus pourrait-on être amené à devoir refuser une pièce correcte.
4.3 Application à des surfaces simples
4.3.1 Association par la méthode de l’enveloppe
Chaque fois que l’on pose une surface réelle sur une surface de même
nature théorique dont le défaut est négligeable devant celui de la surface
réelle, la surface considérée comme parfaite devient l’enveloppe de la
surface réelle. Ceci est très souvent mis en pratique par les métrologues,
notamment lors de la métrologie sur marbre : les surfaces enveloppes
77
4 • Méthodes d’association
4.3 Application à des surfaces simples
peuvent être alors matérialisées par des marbres, des mandrins expansibles,
des piges ou des pinces. Naturellement, l’élément enveloppe peut également être virtuel, il est alors obtenu par des calculs géométriques à
partir des n points Mi. La figure 4.7 montre l’application du principe
de l’enveloppe à une surface prétendument plane, les figures 4.8 et 4.9
représentent l’application du principe de l’enveloppe à des éléments réels
théoriquement cylindriques, dans ces cas le cylindre associé est le cylindre
circonscrit ou le cylindre inscrit à la surface réelle.
Surface réelle Sr
Le plan du marbre est le plan
associé à la surface réelle Sr
par la méthode de l’enveloppe
Figure 4.7 – Association d’un plan enveloppe
à une surface réelle.
Arbre réel
Axe du cylindre
associé
Cylindre circonscrit
associé à l’arbre réel
par la méthode de
l’enveloppe
Figure 4.8 – Association d’un cylindre enveloppe
à un arbre réel.
78
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4 • Méthodes d’association
Axe du cylindre
associé
4.3 Application à des surfaces simples
Cylindre inscrit associé
à l’alésage réel par la
méthode de l’enveloppe
Alésage réel
Figure 4.9 – Association d’un cylindre enveloppe
à un alésage réel.
4.3.2 Association par la méthode des points particuliers
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
La mesure de la section droite d’un alésage à l’aide d’un micromètre d’intérieur revient à mesurer le diamètre du cercle associé passant par les points
de contact des trois touches de l’alésomètre avec l’alésage, figure 4.10.
Section de l’alésage réel
Cercle associé passant par
les trois points de contact.
Touches de l’alésomètre
Figure 4.10 – Association à un alésage réel d’un cercle
passant par trois points.
79
4 • Méthodes d’association
4.4 Association d’une surface théorique
quelconque à un nuage de points
Une méthode couramment employée pour la mesure d’un défaut de
planéité consiste à positionner la surface à mesurer sur un marbre par
l’intermédiaire de trois appuis réglables (vérins VA, VB et VC). En jouant
sur le réglage des vérins, on amène les trois points opposés aux contacts,
A, B et C à égale distance du marbre (voir figure 4.11). Le plan ABC
étant alors parallèle au marbre, l’exploration complète de la surface à
mesurer par le comparateur permettra d’en mesurer le défaut de planéité
(déviation totale lue par le comparateur) en choisissant le plan ABC
comme plan associé à la surface réelle.
SR
C
B
A
VC
VA
VB
Figure 4.11 – Association d’un plan par trois points.
4.4 Association d’une surface théorique
quelconque à un nuage de points
4.4.1 Méthode employée
m Surface théorique
Comme nous l’avons proposé dans le chapitre 1, nous caractériserons la
forme d’une surface théorique par l’intermédiaire d’un certain nombre
n de points Mthi lui appartenant et dont on donnera les coordonnées
(xi, yi, zi) dans un repère de cotation orthonormé R(O, 1x, 1y, 1z) lié au
solide qui supporte cette surface. Nous définirons également pour chacun
80
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4 • Méthodes d’association
4.4 Association d’une surface théorique
quelconque à un nuage de points
des n points les cosinus directeurs (ui, vi, wi) de la normale extérieure à
l’élément de surface dsi entourant ce point. La surface théorique quelconque se présentera donc sous la forme de ce que nous avons appelé une
surface numérisée, naturellement plus le nombre de points sera élevé
plus, la définition de la surface théorique sera fine.
M Surface mesurée
La mesure sera réalisée par l’intermédiaire d’un moyen disponible adapté
(mesure sur marbre, mesureur de circularité, machine à mesurer tridimensionnelle…) et elle consistera à rechercher l’écart ai existant entre
chacun des points Mthi et le point appartenant à la surface réelle Mri
lui correspondant. Cette mesure se fera suivant la normale à l’élément
1 i (figure 4.12) ;
de surface dsi entourant le point théorique considéré n
nous obtiendrons alors : a = Mth i ,Mr i ⋅ n i . Bien entendu cette mesure
sera effectuée dans le repère de mesure, repère qui dépend des moyens
techniques utilisés, mais comme la position de la surface réelle, donc
d’un référentiel qui lui serait attaché, par rapport au référentiel de
mesure peut être connue, il sera tout à fait possible de passer d’un
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
y
ni
Mr i
ds i
Mth i
O
x
z
Figure 4.12 – Mesure d’un point Mri appartenant à une surface réelle.
81
4 • Méthodes d’association
4.4 Association d’une surface théorique
quelconque à un nuage de points
repère à l’autre en utilisant les méthodes de calcul habituelles que nous
avons évoquées précédemment, ce qui fait que dans la suite de ce chapitre nous ne distinguerons pas le repère de mesure du repère de cotation.
M Surface associée
Afin de mettre en place une surface associée au nuage de points représentant la surface réelle nous allons déplacer une surface idéale initialement confondue avec la surface théorique de façon à l’amener à être le
plus près possible de ces points. Le critère d’association que nous nous
proposons de retenir est le critère des moindres carrés, cependant il
serait tout à fait possible d’en choisir un autre si nous le désirions.
Nous caractériserons le déplacement à effectuer par le déplacement
d’un repère lié à la surface associée R¢ (O¢, x¢, y¢, z¢) (figure 4.13).
y’
y
ni
ei
Mth i
O
Mr i
Mth’ i
O’
x
z’
x’
z
Figure 4.13 – Association d’une surface idéale au nuage de points Mri.
La surface réelle étant par définition très proche de la surface théorique
nous pourrons employer dans nos calculs la méthode dite des petits
déplacements [4.4], nous exprimerons donc le mouvement de R¢ par
rapport à R sous la forme habituelle d’un torseur de petits déplacements :
82
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4 • Méthodes d’association
{ D ( R′ ⁄ R ) } O
4.4 Association d’une surface théorique
quelconque à un nuage de points
⎧
⎪
= ⎨ W ( R′ ⁄ R )
⎪ U(O ⁄ R)
⎩
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭O
Nous rappelons que l’intérêt que présente cet outil dans l’étude de
déplacement de solides est que dans le cas où les déplacements en rotation sont faibles (quelques degrés), le champ des vecteurs déplacements
de tous les points du solide considéré peut se mettre sous la forme d’un
torseur (torseur des petits déplacements). Il est ainsi possible lorsque
l’on connaît l’expression des composantes de ce torseur en un point
quelconque, de déterminer très facilement le déplacement de n’importe
quel autre point du solide sans passer par des calculs fastidieux.
Mth′ i position du point Mthi après optimisation, la méthode des petits
déplacements nous permet d’écrire : Mthi,Mth¢i = O,O¢ + (Mthi,OŸW).
Soit ei l’écart entre un point Mri et la surface associée :
ei = ai – Mthi,Mth¢i ◊ ni
Donc : ei = ai – [O,O¢ ◊ ni + (Mthi,OŸW)ni]
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
avec :
ni =
ui
dx
dα x
vi , O,O¢ = dy, W = dαy, Mthi,O =
wi
dz
dα z
–xi
–yi
–zi
d αy ◊ zi – d αz ◊ yi
Mthi,OŸW = dαz ◊ xi – dαx ◊ zi
d αx ◊ y i – d α y ◊ x i
ei = ai – [(dx ◊ ui + dy ◊ vi + dz ◊ wi)+(dαy ◊ zi – dαz ◊ yi) ◊ ui
+ (dαz ◊ xi – dαx ◊ zi) ◊ vi + (dαx ◊ yi – dαy ◊ xi)◊wi]
ei = ai – [(dx + dαy ◊ zi – dαz ◊ yi) ◊ ui –(dy + dαz ◊ xi – dαx ◊ zi) ◊ vi
–(dz + dαx ◊ yi – dαy ◊ xi) ◊ wi]
83
4 • Méthodes d’association
4.4 Association d’une surface théorique
quelconque à un nuage de points
Nous arrivons ainsi à une forme générale :
ei = ai – (dx + dαy◊zi – dαz◊yi)◊ui – (dy + dαz◊xi – dαx◊zi) ◊vi
– (dz + dαx◊yi – dαy◊xi)◊wi
(1)
L’association sera considérée comme optimisée selon le critère de Gauss
lorsque la somme des carrés de tous les écarts ei sera minimum, pour
réaliser le calcul nous allons utiliser une fonction F telle que :
i=n
F =
∑ ei
2
i=1
F sera donc une fonction de 6 variables, dx, dy, dz, dαx, dαy, dαz, elle
passera par un minimum lorsque les dérivées partielles par rapport à
chacune de ces variables s’annuleront, il nous faudra donc calculer
successivement :
∂F
∂F
∂F
∂F
∂F
∂F
------------- = 0, ------------ = 0, ------------ = 0, -------- = 0, -------- = 0, --------=0
∂dαx
∂dαy
∂dαz
∂dx
∂dy
∂dz
Ceci nous donnera un système de 6 équations à 6 inconnues dont la
résolution nous fournira la valeur à affecter aux composantes du torseur
des petits déplacements (les variables du système) afin que le balançage
soit optimisé. En reportant ces valeurs dans l’expression (1) il sera ainsi
possible de calculer les différents écarts ei et d’en déterminer le défaut
de forme de la surface mesurée.
4.4.2 Applications
m Détermination du défaut de rectitude d’une règle
Nous nous proposons maintenant d’appliquer ce qui précède à la
mesure de la rectitude d’une règle, le problème a déjà été traité en 4.2, cela
nous permettra de valider les résultats obtenus. La règle est posée sur un
marbre, elle est calée à ses deux extrémités de façon à être approximativement parallèle à la surface du marbre. La mesure des écarts se fait à
l’aide d’un comparateur dans une direction perpendiculaire au marbre,
84
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4 • Méthodes d’association
4.4 Association d’une surface théorique
quelconque à un nuage de points
le profil de la règle sera donc connu par l’intermédiaire des 5 points Mri
lui appartenant (figure 4.14).
yi mm
0
50
100
150
200
ai µm
0
+2
+7
+5
+8
z
ni
Mr i
y
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Règle
y i mm
0
50
100
150
200
a i µm
0
+2
+7
+5
+8
Figure 4.14 – Mesure du défaut de rectitude d’une règle.
Le balançage se fera en déplaçant une droite initialement confondue
avec l’axe Oy dans le plan y, O, z de façon à l’amener à être associée aux
n points de l’élément extrait.
da x 0
ui = 0
nous aurons : ni = vi = 0 et {D(R¢/R)}O = 0 dy
wi = 0
0 dz O
Les valeurs de ui et vi étant égale à 0, celle de wi étant égale à 1, dx, day
et daz étant nulles (1n perpendiculaire au marbre et le problème est un
problème plan) de (1) nous tirons alors : ei = ai – dz – dax ◊ yi.
85
4 • Méthodes d’association
4.4 Association d’une surface théorique
quelconque à un nuage de points
Si le critère d’association est celui des moindres carrés nous écrirons :
i=n
F =
∑ ei → F =
2
i=1
i=n
∑ ( ai – dz – d α x ⋅ yi ) .
2
i=1
∂F
Pour que F passe par un minimum il faudrait que : --------- = 0
∂dz
∂F = 0
et que : -----------∂d α x
∂F
--------- =
∂dz
i=n
∂F
------------ =
∂d α x
i=n
2
i=n
∂e i
- = 2 ∑ ( a i – dz – d α x ⋅ y i ) ( – 1 )
∑ -------∂dz
i=1
i=1
2
i=n
∂e i
= 2 ∑ ( a i – dz – d α x ⋅ y i ) ( – y i )
∑ -----------∂d α x
i=1
i=1
∂F
--------- = 0 →
∂dz
∂F
------------ = 0 →
∂d α x
i=n
i=n
i=n
i=1
i=1
i=1
∑ dz +
∑ d α x ⋅ yi –
i=n
i=n
i=1
i=1
∑ dz ⋅ yi +
∑ ai
∑ d α x ⋅ yi –
2
= 0
(2)
i=n
∑ ai ⋅ yi
= 0
(3)
i=1
1
2
3
4
5
S
yi
0
50
100
150
200
500
ai
0
+0,002
+0,007
+0,005
+0,008
0,022
ai ◊ yi
0
0,1
0,7
0,75
1,6
3,15
yi2
0
2 500
10 000
22 500
40 000
75 000
86
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4 • Méthodes d’association
4.4 Association d’une surface théorique
quelconque à un nuage de points
soit en reportant les valeurs numériques dans (2) et (3) :
5 dz + 500 dαx – 0,022 = 0
500 dz + 75 000 dαx – 3,15 = 0
d’où : dαx = 0,000 038 rd et dz = 0,6 µm
Ce qui permet alors de calculer les différents écarts ei en utilisant :
ei = ai – dz – dαx◊yi
yi
0
50
100
150
200
ai µm
0
2
7
5
8
dz µm
0, 6
0,6
0,6
0,6
0,6
dαx ◊ yi µm
0
1,9
3,8
5,7
7,6
ei mm
–0,6
–0,5
2,6
–1,3
–0,2
Ce qui donnera un défaut de rectitude de : 2,6 ± 1,3 = 3,9 µm
Défaut de rectitude
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
z
Droite associée
dz
O
0
50
10
15
20
y
Figure 4.15 – Représentation du défaut de rectitude de la règle.
m Détermination du défaut de circularité d’une section droite
d’un cylindre de révolution
Le cylindre est monté entre pointes sur un diviseur angulaire, la mesure
des écarts se fait tous les 40 degrés dans la direction 1ni à l’aide d’un
comparateur à touche plate (figure 4.16).
87
4 • Méthodes d’association
4.4 Association d’une surface théorique
quelconque à un nuage de points
x
ni
Mr i
θi
O
y
Figure 4.16 – Mesure de la circularité d’une section droite d’un cylindre.
Résultats des mesures :
θi
0
40
80
120
160
200
240
280
320
ai µm
0
+12
–25
–2
–11
–14
–14
+10
+15
Le balançage se fera en déplaçant un cercle initialement centré en O
dans le plan x,O,y, ce cercle devenant le cercle associé selon le critère de
Gauss.
0 dx
ui = cos qi
et {D(R¢/R)}O = 0 dy
nous aurons : ni = vi = sin qi
wi = 0
0 0 O
Dans ce cas l’équation générale (1) s’écrira alors : ei = ai – dx◊cosθi
– dy◊sinθi
i=n
nous aurons donc : F =
∑ ( ai – dx ⋅ cos θi – dy ⋅ sin θi )
2
.
i=1
∂F
∂F
Le balançage sera optimisé lorsque : -------- = 0 et -------- = 0.
∂dx
∂dy
∂F
--------- = 2 ( a – dx ⋅ cos θ i – dy ⋅ sin θ i ) ( sin θ i )
∂dx
∂F
--------- = 2 ( a – dx ⋅ cos θ i – dy ⋅ sin θ i ) ( – cos θ i )
∂dy
88
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4 • Méthodes d’association
4.4 Association d’une surface théorique
quelconque à un nuage de points
i=n
– ∑ dx ⋅ cos θ i ⋅ sin θ i –
i=1
i=n
∑ dx ⋅ cos θi +
2
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
i=1
i=n
∑ dy ⋅ sin θi +
2
i=1
i=n
∑ dy ⋅ sinθi ⋅ cos θi –
i=1
i=n
∑ ai ⋅ sin θi
= 0
(4)
= 0
(5)
i=1
i=n
∑ ai ⋅ cos θi
i=1
θi
cosθi
sinθi
cosθi ◊ sinθi
cos2θi
sin2θi
ai ◊ cosθi
ai ◊ sinθi
0
1
0
0
1
0
0
0
40
0,766
0,6428
0,49237
0,58675
0,4132
9,192
7,7136
80
0,1736
0,9848
0,17096
0,03013
0,96983
–4,34
–24,62
120
–0,5
0,866
–0,433
0,25
0,745
1
–1,732
160
–0,9397
0,3420
–0,32137
0,8830
0,117
10,3367
–3,762
200
–0,9397
–0,3420
0,32137
0,8830
0,117
13,1558
4,788
240
–0,5
–0,866
0,433
0,25
0,745
7
12,124
280
0,1736
–0,9848
–0,17096
0,03013
0,96983
1,736
–9,848
320
0,766
–0,6428
–0,49237
0,58675
0,4132
11,49
–9,642
S
0
0
0
4,5
4,5
49,57
–24,98
soit en reportant les valeurs numériques dans (4) et (5):
4,5dx – 49,57 = 0
– 4,5dy – 24,98 = 0
d’où : dx = 11,01 µm et dy = – 5,55 µm
89
4 • Méthodes d’association
4.4 Association d’une surface théorique
quelconque à un nuage de points
Ce qui permet de calculer les différents ei en utilisant :
ei = ai – dx◊cosθi – dy◊sin θi
θi
0
40
80
120
160
200
240
280
320
ai
0
12
–25
–2
–11
–14
–14
10
15
dx ◊ cosθ
11,1
8,43
1,91
–5,50
–10,34
–10,34
–5,50
1,91
8,43
dy ◊ sinθi
0
–3,56
–5,46
–4,80
–1,90
1,90
4,80
5,46
3,56
ei
–11,11
7,13
–21,45
8,30
1,24
–5,56
–13,30
2,63
3,01
Ce qui donnera un défaut de circularité de : 8,30 ± 21,45 = 29,75 µm
x
320°
40°
280°
80°
O
y
dx
240°
120°
160°
200°
dy
Figure 4.17 – Représentation du défaut de circularité de la section mesurée.
m Détermination du défaut de planéité d’une surface
La surface à mesurer est posée sur un marbre et l’on mesure dans une
direction 1ni perpendiculaire au marbre l’altitude ai de 15 points régulièrement répartis sur la surface (figure 4.18). Les résultats des mesures
sont présentés dans le tableau 4.1.
90
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4 • Méthodes d’association
4.4 Association d’une surface théorique
quelconque à un nuage de points
Tableau 4.1 – Résultats des mesures.
6
7
xi
0 50 100 150 200
mm
1
2
3
4
5
0
50
yi
0
mm
8
9
10
11
12
13
100 150 200
0
50
100 150 200
0
0
0
0
50 50
50
50
50
ai
0 10
mm
10
40
30
10 –10
0
20
30
14
15
100 100 100 100 100
0
–20 –30 –10 –20
z
ni
y
11
6
1
O
2
7
12
13
8
3
9
4
15
14
10
5
x
Figure 4.18 – Mesure du défaut de planéité d’une surface.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
M Association par un plan passant par trois points
Pour les raisons de stabilité déjà évoquées nous choisissons de prendre le
plan passant par les points 1, 5 et 15 comme plan associé. Cette association sera virtuelle c’est-à-dire que nous allons la réaliser en simulant
deux rotations, une première autour de l’axe Oy puis une seconde
autour de l’axe Ox, de façon à amener les points 5 et 15 à l’altitude du
point 1, c’est-à-dire zéro.
Première rotation autour de Oy
On va imaginer que l’on fait tourner la surface autour de Oy jusqu’à ce
que le point 5 se retrouve à l’altitude 0, on remarque que dans ce cas la
rotation sera positive d’un angle dont la tangente sera 30/200 000
(l’angle étant petit on peut considérer que day = 3/20 000 rd). Il est
facile de voir que les points 5, 10 et 15 descendront de 30 µm, que les
91
4 • Méthodes d’association
4.4 Association d’une surface théorique
quelconque à un nuage de points
points 3, 8 et 13 descendront eux de 15 µm et ainsi de suite, alors qu’on
peut raisonnablement estimer que les points 1,6 et 11 sont suffisamment
proches de l’axe de rotation pour que leur déplacement soit négligeable.
Les résultats de la simulation de la première rotation apparaissent dans
le tableau 4.2.
Tableau 4.2 – Coordonnées des points après une première rotation autour de Oy.
1
2
3
4
5
6
7
xi
0 50 100 150 200
mm
0
yi
0
mm
0
0
0
0
50
ai
0
mm
2
–5
17
0
8
9
10
11
12
13
14
15
50
100 150 200
0
50
100 150 200
50
50
50
50
10 –18 –15
–3
0
100 100 100 100 100
0
–28 –45 –33 –50
Seconde rotation autour de Ox
De la même façon on va simuler une rotation autour de l’axe Ox afin
d’amener le point 15 à l’altitude 0. Ici la rotation sera positive d’un
angle dont la tangente sera égale à 50/100 000. Un raisonnement du
même type que celui qui a été tenu lors de la rotation autour de Oy
donnera les résultats du tableau 4.3.
Tableau 4.3 – Coordonnées des points après une seconde rotation autour de Ox.
1
2
6
7
10
11
12
13
xi
0 50 100 150 200
mm
0
50 100 150 200
0
50
100 150 200
yi
0
mm
0
0
0
0
50 50
50
50
50
100 100 100 100 100
ai
0
mm
2
–5
17
0
33
8
20
23
50
92
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3
4
5
5
8
9
22
5
14
17
15
0
4 • Méthodes d’association
4.4 Association d’une surface théorique
quelconque à un nuage de points
Dans ce cas on calculerait un défaut de planéité égal à : 50 ± 5 = 55
soit : 55 µm.
M Association par un plan des moindres carrés
Dans le cas traité ui = 0, vi = 0 et wi = 1 l’équation générale (1) devient :
ei = ai – dz – dax ◊ yi + day ◊ xi
n
Soit : F =
∑ ( ai – d α x ⋅ yi + d α x ⋅ xi )
2
1
n
∂F-------= 2 ∑ ( a i – dz – d α x ⋅ y i + d α y ⋅ x i ) ( – 1 ) =
∂dz
1
n
2 ∑ ( – a i + dz + d α x ⋅ y i + d α y ⋅ x i )
1
n
∂F
------------ = 2 ∑ ( a i – dz – d α x ⋅ y i + d α y ⋅ x i ) ( – y i ) =
∂d α x
1
n
2 ∑ ( – a i ⋅ y i + dz ⋅ y i + d α x ⋅ y i – d α y ⋅ x i ⋅ y i )
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
2
1
n
∂F
-----------= 2 ∑ ( a i – dz – d α x ⋅ y i + d α y ⋅ x i ) ( x i ) =
∂d α y
1
n
2 ∑ ( a i ⋅ x i – dz ⋅ x i – d α x ⋅ y i ⋅ x i + d α y ⋅ x i )
2
1
D’où les trois équations suivantes :
n
n
n
n
1
1
1
1
– ∑ a i + ∑ dz + ∑ d α x ⋅ y i – ∑ d α y ⋅ x i = 0
93
94
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0
2
0
0
0,5
0
1
0
yi2
xi ◊ yi 0
ai ◊ xi 0
ai ◊ yi 0
0
0,01
1
0
0
0,01
3
0
6
0
0
0,04
4
0
6
0
0
0,03
0
50
100
8
0,03
50
200
10
–0,5
–0,5
0
0
2 500 5 000
1
3
7 500
2 500
0,03
5
0,01
6
–0,01
7
0
8
–0,03
100
100
13
–0,01
100
150
14
–0,02
100
200
15
0,06
750
1500
S
2 500 10 000 22 500 40 000 225 000
–0,02
100
50
12
1,5
6
1 000
0
0
0
0,02
9
0,03
10
0
11
–2
–1
12
–3
–3
–0,03
13
–1
14
–2
–4
–0,01
–1,5
–0,02
15
–5,5
12,5
1 000 15 000 20 000 75 000
–0,02
5 000
2 500 10000 10 000 10 000 10 000 10 000 62 500
0
0
100
0
11
Tableau 4.5 – Résultats du calcul des écarts.
0,5
0
0
0,02
50
150
9
2500 10 000 22 500 40 000
–0,01
50
50
7
2 500 2 500 2 500
0
0,01
50
0
6
ei –0,012 –0,006 –0,010 0,015 0,001 0,015 –0,010 –0,004 0,012 0,018 0,021 –0,003 –0,017 –0,001 –0,015
ai
0 2 500 10 000 22 500 40 000
0,04
0
xi2
0,01
0
0 0,01
0
200
ai
0
150
5
0
100
4
yi
50
3
0
2
xi
1
Tableau 4.4 – Tableau de calcul.
4 • Méthodes d’association
4.4 Association d’une surface théorique
quelconque à un nuage de points
4 • Méthodes d’association
n
n
4.5 Bibliographie
n
n
– ∑ a i ⋅ y i + ∑ dz ⋅ y i + ∑ d α x ⋅ y i – ∑ d α y ⋅ x i ⋅ y i = 0
2
1
n
1
n
1
n
1
n
∑ ai ⋅ xi + ∑ dz ⋅ xi + ∑ d α x ⋅ yi ⋅ xi – ∑ d α y ⋅ xi = 0
2
1
1
1
1
Les valeurs contenues dans le tableau 4.4 vont permettre de numériser
ces trois équations.
Les équations précédentes deviennent :
– 0,06 + 15 dz + 750 dax – 1 500 day = 0
5,5 + 750 dz + 62 500 dax – 75 000 day = 0
12,5 – 1 500 dx – 75 000 dax + 225 000 day = 0
La résolution de ce système permet d’obtenir :
dz = 0,012, day = – 0,0000866 et dax = – 0,00034
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
À partir de l’équation de départ ei = ai – dz – dax ◊ yi + day ◊ xi, il est
possible en lui injectant les valeurs que l’on vient de calculer de trouver
les écarts après optimisation, voir le tableau 4.5.
D’où un défaut de planéité égal à : 0,021 ± 0,017 = 0,038 soit : 38 µm.
4.5 Bibliographie
[4.1] Cours de physique, mathématiques pour la physique, Y. NOIROT,
J.-P. PARISOT, N. BROUILLET, Dunod, 1997, p. 83 à 106.
[4.2] NF E 10-105, Méthodes de mesurage dimensionnel, 6e partie :
Établissent des références spécifiées, AFNOR 1990.
[4.3] Cours de physique, mathématiques pour la physique, Y. NOIROT,
J.-P. PARISOT, N. BROUILLET, Dunod, 1997, p. 151 à 158.
[4.4] Liaisons, mécanismes et assemblages, P. AGATI, F. LEROUGE,
M. ROSSETO, Dunod, 1994, p. 19 à 24.
95
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5 • SPÉCIFICATIONS GÉOMÉTRIQUES
5.1 Caractéristiques d’une surface
5.1.1 Rappels et généralités
Comme nous l’avons montré précédemment dans le chapitre 1, tout objet
technique élémentaire (communément appelé pièce chez les mécaniciens)
est un solide de matière limité par une ou plusieurs surfaces (exemple
l’arbre porte-fraise représenté sur la photographie de la figure 5.1). Nous
avons vu également que de la forme, des dimensions et des positions
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Cône
Plan
Cylindre
Figure 5.1 – Tout objet technique est un volume limité par des surfaces.
97
5 • Spécifications
géométriques
5.1 Caractéristiques d’une surface
respectives de ces surfaces (figure 5.2) va dépendre directement la
fonctionnalité de l’objet. Il est donc essentiel pour tous les acteurs du
génie mécanique de pouvoir définir les caractéristiques de chacune des
surfaces qui définissent la géométrie d’une pièce quelconque aussi
rigoureusement que possible.
Plan perpendiculaire à l’axe du cône
Cylindre de diamètre
22 mm
Coaxial avec le cône
Cône de conicité 7/24
Figure 5.2 – Les surfaces doivent avoir des dimensions théoriques
définies et occuper des positions particulières
les unes par rapport aux autres.
La spécification géométrique des produits est donc un domaine important du génie mécanique qui concerne aussi bien les concepteurs (écriture) que les fabricants et les contrôleurs (lecture). L’expérience montre
que de nombreux problèmes liés à la qualité des productions industrielles
ont leur origine dans la confusion que peuvent faire les différents intervenants de la chaîne de réalisation d’un produit quant à la signification
ou à l’interprétation des informations données. C’est pour tenter de
remédier à cet état de fait que les responsables de la normalisation ont mis
en place le système GPS (spécification géométrique des produits) [5.1]. Ce
système est basé sur une matrice double entrée qui permet de retrouver
de façon univoque les normes concernées lors des différentes étapes de
la vie d’un produit industriel. Seule la lecture attentive des nombreuses
normes existantes permettra aux différents utilisateurs de les écrire et de
98
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5 • Spécifications
géométriques
5.2 Tolérances dimensionnelles
les déchiffrer sans ambiguïté. Cette consultation est d’autant plus
nécessaire que les normes sont amenées à évoluer constamment. Dans
cet ouvrage nous n’expliquerons donc pas le pourquoi et le comment de
la normalisation, nous nous contenterons de préciser certains points
qui nous paraissent importants pour la lire et pour la comprendre dans
le but d’essayer d’éviter les erreurs que nous avons le plus souvent cru
relever chez de nombreux utilisateurs.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
5.1.2 Principe de l’indépendance
Pour chaque surface il sera tout d’abord indispensable d’indiquer la nature
théorique de celle-ci, c’est-à-dire la forme aussi bien à l’échelle macroscopique qu’à l’échelle microscopique, qu’elle doit présenter afin de
remplir correctement la, ou les, fonctions qui lui sont dévolues (guidage,
étanchéité, aspect, résistance à une pression mécanique…) ainsi que ses
dimensions idéales. Il faudra ensuite définir la flexibilité acceptable sur
ces informations, c’est-à-dire les tolérances que l’on pourra admettre
sans perturber de façon inacceptable la fonction dévolue à cette surface.
Enfin il sera nécessaire d’indiquer la position que devra occuper cette
surface par rapport aux autres surfaces de la pièce. La normalisation
actuelle [5.2] nous impose, sauf notation contradictoire (enveloppe, maximum de matière) sur lesquelles nous reviendrons par la suite, d’appliquer
le principe de l’indépendance qui, comme son nom l’indique, précise que
toutes les spécifications doivent être considérées indépendamment les
unes des autres.
5.2 Tolérances dimensionnelles
5.2.1 Rappels
Tout d’abord, il est essentiel de rappeler qu’une dimension est toujours
une dimension locale, c’est-à-dire qu’elle correspond à la distance
séparant deux points diamétralement opposés dans le cas de surfaces
théoriquement de révolution ou deux points en vis-à-vis dans le cas
d’éléments prismatiques. Autrement dit, le respect d’une condition
99
5 • Spécifications
géométriques
5.2 Tolérances dimensionnelles
dimensionnelle dans le cas de l’indépendance ne préjuge absolument pas
de la forme de l’élément considéré.
Une spécification dimensionnelle comprend toujours, une longueur
exprimée en unité de longueur, la valeur nominale, une information
quant à la flexibilité admissible sur cette longueur, l’intervalle de tolérance, et la position de cet intervalle de tolérance par rapport à la valeur
nominale, l’écart. L’ensemble des valeurs que peut prendre une dimension
s’appelle la cote, la normalisation nous autorise un grand nombre de
façons d’écrire ces informations, voir un exemple figure 5.3.
Valeur nominale de la cote
écart supérieur
écart inférieur
IT
Valeur minimale de la cote
Valeur maximale de la cote
Figure 5.3 – représentation d’une cotation dimensionnelle
Par exemple si dans la représentation de la figure 5.3 la valeur nominale
est 40 mm, l’écart supérieur +15 µm, l’écart inférieur –10 µm, l’intervalle de tolérance (IT) sera donc égal à 25 µm, la normalisation nous
autorisera toutes les écritures ci-dessous, même si certaines d’entre elles
sont plus souvent utilisées et plus pratiques que les autres :
+0,015
40 –0,010,
0
40,015 –0,025,
+0,025
39,99 0
,
+0,0125
40,0025 –0,0125
5.2.2 Système ISO de tolérancement
Depuis de nombreuses années, la normalisation a imaginé un système de
tolérancement standard ; ce système initialement destiné à faciliter
l’interchangeabilité entre les différents constituants d’un assemblage est
utilisable dans tous les cas d’écriture de tolérances dimensionnelles [5.3].
On rappelle qu’un ajustement est un assemblage de deux pièces mécaniques, un contenant ou alésage et un contenu ou arbre. Le système de
100
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5 • Spécifications
géométriques
5.2 Tolérances dimensionnelles
dimensionnement ISO conçu également dans le but de limiter les
outillages de fabrication (fraises, forets, alésoirs…) ou de contrôle (tampons,
bagues…) comporte trois composantes. La première est un nombre
exprimant la valeur nominale de la cote, ce nombre est de préférence à
choisir parmi une série de nombres normalisés (séries Renard). La
deuxième est une lettre, majuscule pour un alésage minuscule pour un
arbre, cette lettre correspond à la position de l’intervalle de tolérance
par rapport à la dimension nominale. La troisième composante de la
cote est un nombre qui indique l’étendue de cet intervalle de tolérance.
Par exemple en utilisant ce système d’écriture un arbre cylindrique dont
la cotation serait celle de la figure 5.3 serait indiqué : ∆ 40 j 7.
L’écriture 50H7 signifierait qu’il s’agit d’un alésage dont la dimension
considérée doit présenter une valeur nominale de 50 mm, un écart
supérieur de 0,025 mm et un écart inférieur de 0 mm.
Alors que 32g6 signifierait qu’on parle d’un arbre dont la dimension
considérée doit présenter une valeur nominale de 32 mm, un écart
supérieur de – 0,009 mm et un écart inférieur de – 0,025 mm.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
5.2.3 Signification de l’indépendance
La spécification de diamètre représentée sur la figure 5.4 précise que les
résultats de toutes les mesures réalisées entre deux points diamétralement opposés appartenant à la surface cylindrique doivent être compris
entre 19,9 mm et 20,2 mm, ceci n’impliquant aucune contrainte sur la
forme réelle de la surface.
∅ 20+−00,,21
Figure 5.4 – Cotation du diamètre d’un cylindre.
Ce qui fait que la surface réelle peut, par exemple, présenter la forme que
l’on voit sur la figure 5.5 et être tout à fait conforme à la spécification
101
5 • Spécifications
géométriques
5.2 Tolérances dimensionnelles
dimensionnelle imposée, toutes les mesures entre deux points diamétralement opposés étant contenues dans l’espace spécifié. On constate donc à
travers ce cas simple qu’il est très difficile de définir la valeur du diamètre
d’un cylindre réel à partir d’une spécification purement dimensionnelle.
S’agit-il, par exemple, de la valeur moyenne d’un grand nombre de mesures
effectuées entre des points diamétralement opposés ? ce qui n’aurait pas
beaucoup de sens si l’on considère la remarque précédente, il faudrait
plutôt dire que le diamètre de l’élément réel est compris entre la plus grande
valeur mesurée et la plus petite sans autre précision. Pour contraindre la
surface réelle à se rapprocher d’un cylindre théorique il serait nécessaire
de lui ajouter une spécification de forme.
Figure 5.5 – Ce que la cotation de la figure 5.4
peut permettre.
5.2.4 État de surface
Indépendamment des défauts de forme sur lesquels nous allons revenir,
les procédés de réalisation d’une surface réelle vont produire une
certaine rugosité sur cette surface. Bien entendu cette rugosité correspond également à une différence entre la surface théorique et la surface
réelle, c’est donc un défaut de forme, mais ce défaut se détecte à une échelle
d’observation beaucoup plus fine c’est pourquoi il est rangé arbitrairement
102
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5 • Spécifications
géométriques
5.3 Tolérances de forme
dans ce que l’on appelle les défauts d’état de surface. Ce problème sera
évoqué en détail dans le chapitre 7 qui traite de la mesure et de la caractérisation des états de surface et qui fera apparaître notamment la
façon d’exprimer les tolérances de rugosité conformément à la normalisation en vigueur, nous ne nous étendrons donc pas davantage sur cette
question maintenant.
5.3 Tolérances de forme
5.3.1 Principe de notation
Les spécifications de formes se rapportent à des éléments géométriques
qui peuvent être linéaires ou surfaciques. Elles indiquent un espace à
l’intérieur duquel doit se trouver la totalité de l’élément réel concerné,
cet espace peut être un espace plan (en deux dimensions) ou un espace
volumique (en trois dimensions).
L’information doit indiquer la largeur de cet espace et la forme de ses
limites. La norme ISO 1101 [5.4] indique le code d’écriture utilisé pour
préciser cette spécification.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
m Exemple 1
Si nous voulons contraindre le cylindre de la figure 5.4 à se rapprocher
d’un cylindre théorique, nous pouvons tolérancer la rectitude de ses
génératrices ou de son axe selon la fonction qu’il doit remplir, voir
figures 5.6a et 5.6b.
Le schéma de la figure 5.6a signifie que chaque génératrice de la surface
réelle doit être contenue entre deux droites rigoureusement parallèles
entre elles, distantes de 0,1mm l’une de l’autre et situées dans un plan
passant par l’axe.
Le schéma de la figure 5.6b signifie que les centres des cercles associés
à toutes les sections droites de la surface réelle doivent être contenus à
l’intérieur d’un cylindre théorique de diamètre 0,1 mm.
103
5 • Spécifications
géométriques
5.3 Tolérances de forme
0,1
∅ 20+−00,,21
a
∅ 0,1
∅ 20+−00,,21
b
Figure 5.6 – a : Tolérances de rectitude ;
b : Tolérances de rectitude.
m Exemple 2
La tolérance de circularité représentée sur la figure 5.7 signifie que tous
les points appartenant à une section droite du cylindre réel concerné,
donc quelconque, doivent se trouver dans l’espace compris entre deux
cercles théoriques concentriques distants l’un de l’autre de 0,1 mm.
0,1
0,1
Figure 5.7 – Représentation d’une tolérance
de circularité.
104
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5 • Spécifications
géométriques
5.3 Tolérances de forme
m Exemple 3
L’écriture de la tolérance de forme d’une surface théoriquement plane
est représentée sur la figure 5.8. Elle signifie que tous les points appartenant
à la surface réelle doivent se trouver entre deux plans parallèles distants de
0,08 mm l’un de l’autre.
0,08
0,08
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Figure 5.8 – Écriture d’une tolérance de planéité.
5.3.2 Exigence de l’enveloppe
Ce principe se substitue au principe de l’indépendance lorsqu’il est nécessaire d’instituer une interdépendance entre la dimension et la géométrie de
l’élément considéré. C’est naturellement le concepteur qui décidera
pour des raisons fonctionnelles (souvent des conditions liées à l’assemblage) d’imposer ce type de cotation, on peut rappeler que le principe
de l’enveloppe s’apparente au principe de Taylor qui a été utilisé préférentiellement pendant de nombreuses années. Cette exigence est indiquée, soit par une information concernant la norme utilisée dans le
cartouche du dessin, soit par un symbole portant la lettre E inscrit à la
suite de la cote concernée (voir figure 5.9).
105
5 • Spécifications
géométriques
5.4 Tolérances de position
m Exemple pour un cylindre
∅ 40h8 E
∅ 40
Figure 5.9 – Cotation d’un cylindre selon l’exigence de l’enveloppe.
La surface réelle dont le diamètre ne doit jamais être inférieur à la valeur
minimale admissible (ici 39,961 mm) doit être entièrement située à
l’intérieur d’un cylindre parfait ayant le diamètre maximal admissible (ici
40 mm). On voit que dans l’exemple choisi l’exigence de l’enveloppe
implique qu’en aucun cas le défaut de rectitude d’une génératrice ou
le défaut de circularité d’une section droite ne puisse excéder une valeur
de 0,039 mm. À noter que lorsque la surface réelle est à son diamètre
maximum, ceci implique que son défaut de cylindricité admissible
soit nul.
5.4 Tolérances de position
Mis à part quelques rares produits (une bille de roulement par exemple), une pièce mécanique est toujours limitée par plusieurs surfaces
élémentaires dont on a indiqué la forme théorique et les dimensions.
Pour que la géométrie soit complètement définie, il sera nécessaire de
préciser aussi les positions relatives que devraient théoriquement occuper
106
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5 • Spécifications
géométriques
5.4 Tolérances de position
ces surfaces. Naturellement, une surface ne peut être positionnée que par
rapport à une ou plusieurs surfaces déjà définies et appartenant au même
solide réel (surface(s) de référence).
5.4.1 Éléments de référence
Une surface ne peut donc être positionnée que par rapport à une ou
plusieurs autres surfaces appartenant au même solide, ces surfaces constituent le système de référence et elles doivent être très clairement précisées. La normalisation propose d’indiquer les surfaces choisies pour
construire les systèmes de référence de la façon suivante (figure 5.10).
A
A
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Le plan associé à la surface
quelconque A est utilisé
comme élément de référence.
L’axe du cylindre associé à
la surface quelconque A est utilisé
comme élément de référence.
Figure 5.10 – Éléments de référence.
Les systèmes de référence seront construits à partir des surfaces réelles
par l’intermédiaire d’éléments théoriques associés à ces surfaces réelles.
Les méthodes d’association seront choisies bien sûr en fonction de la
cotation, mais aussi en fonction des moyens techniques dont on disposera pour réaliser la fabrication ou la mesure. Les méthodes d’association par l’enveloppe ou par les moindres carrés sont le plus souvent
employées. Les références choisies peuvent être simples, communes ou
ordonnées.
107
5 • Spécifications
géométriques
5.4 Tolérances de position
5.4.2 Références communes
L’élément spécifié est positionné par rapport à une référence formée à partir
de deux ou plusieurs éléments réels. L’ordre dans lequel on considérera ces
éléments réels n’a aucune importance.
∅ 0,2
A
A-B
B
Figure 5.11 – Écriture d’une coaxialité par rapport à une référence commune.
Le cylindre associé à la surface réelle référencée doit être coaxial avec
une tolérance de 0,2 mm à la droite passant par les centres de deux
cercles A et B associés aux surfaces réelles repérées. Ce qui signifie que
l’axe du cylindre associé à la surface référencée réelle doit être entièrement situé à l’intérieur d’un cylindre théorique, coaxial à la droite A-B
et de diamètre 0,2 mm. Dans ce cas, le système de référence est construit à partir d’un ensemble d’éléments réels sans tenir compte de
l’ordre d’écriture des éléments de référence dans la cotation (ceux-ci sont
inscrits dans la même case et ils sont séparés par un tiret). On verra par la
suite que ce type de spécification des éléments de référence peut prêter à
confusion et qu’il vaut souvent mieux lui préférer le système de références
ordonnées.
5.4.3 Références ordonnées
m Intérêt d’utiliser un système de références ordonnées
Pour faire apparaître l’intérêt qu’il y a d’utiliser de préférence un système
de références ordonnées, nous allons considérer un problème simple à
108
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5 • Spécifications
géométriques
5.4 Tolérances de position
savoir le positionnement d’un trou poinçonné dans une plaque mince.
L’épaisseur de la plaque étant négligeable, nous traiterons le problème
comme un problème plan à deux dimensions plus facile à visualiser,
nous verrons par la suite que cette problématique peut être étendue à
n’importe quel cas réel tridimensionnel.
+0,1
30−0,1
30
+0,1
20−0,1
20
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Figure 5.12 – Cotation dimensionnelle de la position du poinçonnage.
La cotation de la figure 5.12 est relativement habituelle, elle consiste à
utiliser des spécifications dimensionnelles pour localiser le poinçonnage.
Rappelons qu’il s’agit des dimensions locales et que ceci ne correspond
peut-être pas tout à fait à ce que souhaitait exprimer le concepteur. La
zone de tolérance à l’intérieur de laquelle doit se situer le centre du cercle
associé au poinçonnage est un carré de 0,2 mm de côté centré sur la
position nominale.
La cotation de la figure 5.13 utilise une tolérance de localisation à partir
d’un système de références communes. On voit bien sur la partie droite
de la figure que du fait que les références réelles A et B ne sont ni
géométriquement parfaites ni rigoureusement perpendiculaires entre
elles, il existe une infinité de possibilités pour leur associer un référentiel
orthonormé permettant de localiser le centre du poinçonnage. Une fois
ce centre théorique trouvé (on rappelle que selon la normalisation, une
dimension encadrée portée sur un dessin signifie qu’il s’agit d’une
valeur théorique c’est-à-dire sans tolérance) la zone de tolérance à l’intérieur de laquelle doit se situer le centre du cercle associé au poinçonnage
est un cercle de 0,2 mm de diamètre centré sur la position nominale.
109
5 • Spécifications
géométriques
5.4 Tolérances de position
∅ 0,2
A-B
B
30
30
20
20
A
Figure 5.13 – Localisation de la position du poinçonnage, références communes.
L’utilisation d’un système de références ordonnées permet de lever
toutes les ambiguïtés que présente le système des références communes
exposé précédemment. Dans cette écriture, les éléments de référence
sont inscrits dans des cases séparées et dans l’ordre de leur prise en
compte (voir figures 5.14 et 5.15). Cet ordre imposé par le concepteur
pour des raisons fonctionnelles doit être respecté lors de toutes les
étapes de la production c’est-à-dire pendant la fabrication et pour le
contrôle. Dans le cas de la figure 5.14 l’ordre est A-B, c’est-à-dire que
l’on devra commencer par associer un axe du référentiel cartésien de
∅ 0,2 A
B
B
30
30
20
A
20
Figure 5.14 – Localisation du poinçonnage, références ordonnées A-B.
110
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5 • Spécifications
géométriques
5.4 Tolérances de position
∅ 0,2
B
A
B
30
30
20
A
20
Figure 5.15 – Localisation du poinçonnage, références ordonnées B-A.
positionnement à l’élément A puis le second à l’élément B. La zone de
tolérance à l’intérieur de laquelle doit se situer le centre du cercle associé
au poinçonnage est un cercle de 0, 2 mm de diamètre centré sur la position nominale. Par contre, dans le cas de la cotation de la figure 5.15
l’ordre exigé est B-A, c’est-à-dire que l’on devra commencer par associer
un axe du référentiel de positionnement à l’élément B puis le second à
l’élément A.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
m Utilisation d’un système de références ordonnées en trois dimensions
Le système de référence sera construit en considérant dans l’ordre les
surfaces associées aux surfaces réelles A, B,C (figure 5.16).
1. Le plan associé à la surface réelle A déterminera le plan Ox, Oz, l’axe
Oy sera donc normal au plan Ox, Oz.
2. Un plan normal au plan Ox, Oz associé à la surface réelle B déterminera le plan Ox, Oy ; son intersection avec le plan Ox, Oz permettra
d’obtenir l’axe Ox. Le référentiel étant un référentiel orthonormé,
l’axe Oz sera perpendiculaire aux deux autres axes Ox et Oy.
3. Un plan normal aux plans Ox, Oz et Ox, Oy associé à la surface
réelle C déterminera le plan Oy, Oz ; son intersection avec l’axe Ox
donnera l’origine du référentiel O.
111
5 • Spécifications
géométriques
30
5.4 Tolérances de position
∅ 0,2
A
B
C
C
40
A
B
Figure 5.16 – Localisation d’un alésage
Comme rappelé précédemment, les dimensions encadrées sont des valeurs
théoriques, elles ne sont donc pas tolérancées, elles permettent de définir la
position que devrait théoriquement occuper l’axe de l’alésage par rapport
au système de référence construit. C’est la spécification de localisation,
cylindre de diamètre 0,2 mm, qui déterminera l’espace de tolérance à
l’intérieur duquel devra se situer la totalité de l’axe du cylindre associé
à l’alésage.
5.4.4 Écriture des spécifications de position
Comme en ce qui concerne les spécifications de forme, les spécifications
de position détermineront un espace à l’intérieur duquel devront se trouver
tous les points appartenant à l’élément référencé. L’élément référencé
pouvant être réel (surface) ou virtuel (axe d’un cylindre associé à un alésage,
plan de symétrie…). L’espace de tolérance sera mis en place à partir de la
position théorique souhaitée par rapport au système de référence spécifié.
Il est bon de rappeler que sauf indication contraire (par exemple dans
le cas des tolérances projetées) on devra toujours considérer que c’est la
totalité de l’élément spécifié qui doit se trouver à l’intérieur de l’espace
de tolérance.
112
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5 • Spécifications
géométriques
5.4 Tolérances de position
La zone de tolérance dans
laquelle doit se trouver l’axe
de l’alésage référencé est un
cylindre de diamètre 0,2 mm
perpendiculaire au plan Ox,Oz
et dont l’axe passe par le point
de coordonnées x = 30 mm,
y = 0 et z = 40 mm.
y
∅ 0,2
O
x
z
40
30
Figure 5.17 – Signification géométrique de la localisation d’un alésage.
m Exemple, tolérance d’inclinaison (figure 5.18)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
0,3
A
0,3
A
60°
60°
Figure 5.18 – Écriture et signification d’une inclinaison.
Dans le cas représenté sur la figure 5.18 tous les points appartenant à la
surface inclinée doivent se trouver entre deux plans théoriques parallèles,
113
5 • Spécifications 5.5 Une spécification de position implique toujours
une spécification de forme
géométriques
distants l’un de l’autre de 0,3 mm, et formant un angle de 60˚ avec le plan
associé à la surface A.
5.5 Une spécification de position implique
toujours une spécification de forme
Les exemples traités ci-dessus montrent qu’une spécification de position
ou d’orientation d’un élément réel implique toujours un défaut de forme
maximal admissible pour cet élément. La valeur de ce défaut de forme
ne peut excéder la valeur de la tolérance de position spécifiée. Naturellement si des contraintes fonctionnelles exigent que le défaut de forme
maximal admissible soit inférieur à la tolérance de forme, il sera nécessaire
de le mentionner.
5.5.5 Exemple, tolérance de perpendicularité.
A
0,3
0,3
A
Figure 5.19 – Écriture et signification d’une perpendicularité.
Lorsque la spécification d’orientation est respectée le défaut de planéité
de la surface spécifiée ne peut excéder 0,3 mm (figure 5.19), si pour des
raisons fonctionnelles il doit être plus faible (par exemple 0,1 mm) il
faudra rajouter une information supplémentaire (figure 5.20).
114
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5 • Spécifications
géométriques
5.6 Bibliographie
A
0,3
0,1
0,3
A
Tous les points de la surface référencée
sont situés entre deux plans parallèles
distants de 0,1 mm, l’ensemble devant
rester entre les deux plans perpendiculaires à A, distants de 0,3 mm.
Figure 5.20 – Écriture et signification d’une tolérance de planéité
associée à une tolérance de perpendicularité.
5.6 Bibliographie
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
[5.1] FD CR ISO/TR 14638, AFNOR, 1996.
[5.2] Dessins techniques ; principe de tolérancement de base, ISO 8015 (
NF E 04-561), AFNOR, 1991.
[5.3] Système ISO de tolérance et d’ajustement, ISO 286, AFNOR, 1993.
[5.4] Dessins techniques, Tolérancement géométrique, Généralités, définitions, symboles ; Indications sur les dessins, ISO 1101 (NF E 04-552),
AFNOR, 1983.
[5.5] ISO/TR 17450-1, Spécification géométrique des produits (GPS),
Concepts généraux, Partie 1 : Modèle pour la spécification et la vérification géométrique, AFNOR, 2000.
[5.6] Cotation tridimensionnelle des systèmes mécaniques, A. CLÉMENT,
A. RIVIÈRE, M. TEMERMAN, PYC Éditions, 1994.
115
5 • Spécifications
géométriques
5.6 Bibliographie
[5.7] Tolérancement et métrologie dimensionnelle, P. BOURDET, L. MATHIEU,
CETIM, 1998.
[5.8] Comprendre et maîtriser la localisation, M. GEORGE, AFNOR Technique, 1991.
116
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6 • MESURE TRIDIMENSIONNELLE
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
6.1 Principe de la mesure
tridimensionnelle
Les appareils de métrologie dimensionnelle classiques ou évolués
(pied à coulisse, comparateurs, micromètres, interféromètres linéaires…) permettent de mesurer des longueurs avec des incertitudes que
l’on peut estimer assez rigoureusement. Cependant, les surfaces réelles
sont toujours des éléments volumiques, d’où la nécessité de combiner
les résultats de différentes mesures linéaires afin de déterminer leurs
caractéristiques géométriques exactes. Ces combinaisons sont parfois
délicates et vont naturellement constituer de nouvelles sources d’erreurs
et donc augmenter les valeurs des incertitudes de mesure. Le développement des systèmes de calcul a permis la mise au point des machines à
mesurer tridimensionnelles actuelles qui réalisent automatiquement les
mesures ainsi que les traitements nécessaires, et qui sont donc d’une très
grande utilité pour la mesure et le contrôle de la géométrie des produits
industriels.
Le principe de la mesure tridimensionnelle consiste à manipuler des
modèles géométriques théoriques associés à des éléments extraits des
surfaces réelles qui limitent les produits à mesurer (figure 6.1). Trois
éléments sont nécessaires pour réaliser efficacement ce travail : un référentiel volumique, un système de saisie de points appartenant aux surfaces
réelles, et enfin un outil permettant d’effectuer les calculs nécessaires
(associations et combinaison d’éléments géométriques entre eux).
117
6 • Mesure
tridimensionnelle
6.2 Référentiel
Élément associé aux n points M i
y
Élément réel
⎧ xi
⎪
Mi ⎨ y i
⎪
⎩ zi
Points appartenant
à l’élément réel
O
x
Référentiel de mesure
z
Figure 6.1 – Principe de la mesure tridimensionnelle.
L’élément associé va permettre dans un premier temps de déterminer le
défaut de forme de l’élément réel après calcul des différents écarts. Puis
il sera ensuite utilisé comme modèle de cet élément réel afin de pouvoir
éventuellement déterminer sa position par rapport à d’autres éléments
appartenant au produit à mesurer, construire des systèmes de référence, ou
effectuer toutes les opérations nécessaires pour valider ou la géométrie
du produit à partir de l’analyse de sa cotation.
6.2 Référentiel
6.2.1 Matérialisation du référentiel de mesure
Le référentiel de mesure est matérialisé par la structure de la machine à
mesurer tridimensionnelle. Il s’agira donc nécessairement d’un référentiel
volumique. Généralement, on choisit d’utiliser un système de coordonnées
118
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6 • Mesure
tridimensionnelle
6.2 Référentiel
cartésiennes, mais on peut également construire un système de coordonnées cylindriques ou polaires ce qui ne présente aucune difficulté et
ne nécessite pas de connaissances supplémentaires puisqu’il est possible,
comme nous l’avons rappelé au chapitre 4 de passer d’un système de référence à un autre par les méthodes de calcul traditionnelles. La figure 6.2
représente schématiquement la structure d’une machine à mesurer à
portique, qui est le type de machine le plus répandu actuellement. Les
déplacements rectilignes des éléments mobiles matérialisent les directions
des axes de mesure.
– Le déplacement du portique par rapport au bâti matérialise la direction
Oy.
– Le déplacement du chariot sur le portique matérialise la direction
Ox.
– Le déplacement vertical du bras par rapport au chariot matérialise la
direction Oz.
z
z
y
O
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
x
x
P
y
Figure 6.2 – La structure d’une machine à mesurer tridimensionnelle
réalise un référentiel spatial.
119
6 • Mesure
tridimensionnelle
6.2 Référentiel
Un système de mesure plus ou moins évolué des déplacements le long
de chacun des axes permet de déterminer la variation de la position de
chaque élément mobile en grandeur et en sens. Il suffira alors de choisir
arbitrairement un point zéro qui donnera l’origine du système de référence pour connaître à chaque instant les coordonnées d’un point P
(point piloté) dans le référentiel de mesure O, 1x, 1y, 1z.
6.2.2 Qualité du référentiel de mesure
Les calculs géométriques devant être effectués dans un référentiel idéal,
la matérialisation de celui-ci doit être aussi parfaite que possible. Ceci va
nécessiter une rectitude rigoureuse des directions de déplacement des
différents mobiles, ainsi qu’une excellente orthogonalité entre elles. Sur
une machine analogue à la machine à portique de la figure 6.2 on note
vingt et un paramètres dépendants de la conception et de la construction
de cette machine qui vont influencer la qualité des mesures réalisées
avec celle-ci.
m Quinze paramètres liés à la rectitude des liaisons
Sur chacun des axes on dénombre cinq paramètres qui vont permettre
de caractériser la non-rectitude de la liaison glissière qui matérialise cet
axe, par exemple pour l’axe Ox (figure 6.3) :
– Deux petites translations Ty et Tz perpendiculaires à Ox.
– Une petite rotation Rx autour de Ox (roulis de la liaison).
– Une petite rotation Ry autour de Oy (lacet de la liaison).
– Une petite rotation Rz autour de Oz (tangage de la liaison).
C’est naturellement la qualité de la réalisation des liaisons glissières lors
de la fabrication de la machine qui permettra de minimiser les valeurs
de ces paramètres, soit pour les trois axes de la machine 3 ¥ 5 = 15 paramètres. La solution la plus souvent retenue pour la construction des
machines de mesure est celles d’éléments mobiles équipés de patins
aérostatiques se déplaçant sur des glissières prismatiques de géométrie
rigoureuse, réalisées en granit, en alliage d’aluminium, en céramique ou
parfois en matériaux composites (structures en polymères renforcées de
120
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6 • Mesure
tridimensionnelle
6.2 Référentiel
fibres de carbone). Le choix de ces matériaux s’explique par la nécessité
d’obtenir des structures très rigides et peu sensibles aux perturbations
extérieures comme des sollicitations mécaniques ou des variations de
température. L’emploi d’éléments de guidage pneumatiques permet de
réaliser des liaisons sans contacts et de limiter au maximum les efforts
nécessaires aux déplacements, ainsi que les frottements et l’usure.
y
Ty
Rx
Ry
Rz
z
O
x
Tz
Figure 6.3 – Paramètres caractérisant les défauts
d’une liaison glissière d’axe Ox.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
m Trois paramètres liés à l’orthogonalité des axes
Les perpendicularités respectives de Ox avec Oy, de Ox avec Oz et de Oz
avec Oy correspondront à trois nouveaux paramètres qui vont naturellement aussi conditionner la qualité du référentiel de mesure (le référentiel
doit être orthonormé). Dans la pratique c’est lors de la construction de
la machine et au moment de son installation sur le site de travail que les
défauts d’orthogonalité seront minimisés (voir figure 6.4).
y
O
x
z
Figure 6.4 – Les défauts d’orthogonalités entre les trois axes du référentiel
doivent être minimisés.
121
6 • Mesure
tridimensionnelle
6.2 Référentiel
m Trois paramètres liés à la mesure de la position le long de chaque axe
Nous avons vu qu’il était nécessaire de pouvoir mesurer avec précision
les déplacements sur chacun des axes de façon à connaître aussi rigoureusement que possible la position du point piloté. Si sur les machines à
mesurer des premières générations on utilisait des systèmes vis-écrou et
tambours gradués, actuellement on emploie le plus souvent des systèmes
de mesure par règle optique ou par interférométrie laser sur des machines
de grande précision. Quelle que soit la technologie employée, la mesure des
déplacements se fera toujours avec une certaine incertitude. L’existence
de cette incertitude sur chaque axe nous amènera à prendre en compte
trois paramètres supplémentaires. Nous retrouvons donc bien les 15 + 3
+ 3 = 21 paramètres mentionnés plus haut, paramètres qui conditionnent l’incertitude des mesures effectuées sur une machine à mesurer
tridimensionnelle.
m Incertitude totale sur les mesures réalisées par une machine à mesurer
tridimensionnelle
La normalisation traitant des machines à mesurer tridimensionnelles [6.1]
propose aux fabricants de machines d’exprimer l’incertitude élargie U sur
toutes les mesures réalisées dans le volume de travail de la machine de la
façon suivante :
U = A + L/K
avec :
U incertitude élargie en microns.
A est une constante exprimée elle aussi en µm fournie par le constructeur
de la machine (souvent comprise entre 1,5 et 2,5).
K est une constante sans dimensions données elle aussi par le constructeur
de la machine (généralement comprise entre 250 à 500).
L est la longueur mesurée en mm.
La normalisation définit également des procédures permettant de caractériser les incertitudes affectant les mesures effectuées sur une machine
donnée. Ces procédures consistent à mesurer des étalons appropriés
(souvent des cales étagées) placés dans des positions particulières ; toutes
les mesures réalisées sur ces étalons devront présenter des erreurs inférieures
122
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6 • Mesure
tridimensionnelle
6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel
à l’incertitude déclarée de la machine U. Naturellement des vérifications
périodiques doivent être prévues comme pour tous les appareils de mesure
et de contrôle [6.2].
6.3 Saisie de points appartenant
à l’élément réel
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
La surface réelle, qui est donc une surface quelconque, sera toujours
saisie par l’intermédiaire d’un nombre fini de points (élément extrait).
Ce nombre de points peut varier de quelques-uns (le nombre minimum imposé par la géométrie, par exemple trois points non alignés
pour définir un plan) à un très grand nombre ce qui peut parfois donner
l’impression qu’elle est connue dans sa totalité. À noter qu’un trop
faible nombre de points saisi, s’il peut suffire à caractériser l’orientation
de la surface observée, ne permettra pas une bonne connaissance de sa
géométrie réelle.
La mesure peut se faire de façon tactile, par l’intermédiaire d’un
palpeur à contact, ou sans contact, généralement au moyen d’un
capteur optique. L’exploration peut être discontinue (mesure en point
à point) ou continue (procédés de scanning).
6.3.1 Système de palpage tactile point à point
Dans la méthode de palpage tactile point à point, une touche généralement sphérique vient successivement en contact avec des points Mri
appartenant à la surface à explorer. Le double intérêt d’utiliser une
touche sphérique est, d’une part que le contact sphère surface est un
contact ponctuel, d’autre part qu’une sphère permet l’accès à une surface
suivant une infinité de directions. Après chaque contact, la lecture des
déplacements sur les différents axes de la machine permettra de connaître le vecteur 7OPi définissant la position Pi du point piloté P dans le
référentiel de mesure. Nous appellerons Ci un point de la touche de
mesure tel qu’au moment du contact, si il n’y a pas de glissement, Ci et
Mri soient confondus.
123
6 • Mesure
tridimensionnelle
6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel
Les coordonnées du point piloté Pi, c’est-à-dire les composantes du
vecteur 7OPi, sont donc lues par la machine au moment exact du
contact. Or ce qui intéresse l’opérateur ce sont les coordonnées du
point Ci qui correspondent à celles du point Mi qui appartient à la
surface réelle, nous pouvons alors écrire : 7OCi = 7OPi + 7PiCi (figure 6.5).
Il est donc nécessaire de fournir à la machine les composantes du vecteur
6PCi afin de permettre à celle-ci d’effectuer le calcul. Si nous appelons Ti
le centre de la bille de palpage au moment du contact, nous pourrons
écrire : 7PiCi = 7PiTi + 8TiCi.
y
Pi
Surface
réelle
Mr i
¥Ti
Ci
O
x
z
Figure 6.5 – Saisie tactile d’un point Mri appartenant à une surface réelle.
6 C
m Détermination du vecteur T
6 C
M Norme de T
La norme du vecteur 7TC est naturellement égale au rayon de la bille de
palpage. Bien entendu il sera indispensable que tous les rayons de celleci soient identiques c’est-à-dire qu’elle présente un défaut de sphéricité
négligeable. En raison des différents éléments intermédiaires que l’on
doit placer pour des raisons pratiques entre le point piloté et la touche
de palpage (tête de mesure, support, corps du palpeur, rallonges…).
Il est plus efficace de déterminer la valeur de la norme de 6TC réellement
124
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6 • Mesure
tridimensionnelle
6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel
prise en compte en mesurant un volume étalon, généralement une sphère
de diamètre connu (figure 6.6) ou plus rarement un cube étalon considéré comme parfait. Rappelons que le but de l’opération est de connaître le diamètre de la bille de palpage d pris en compte par la machine,
on fait tout d’abord l’hypothèse que ce diamètre est égal à une valeur
d’avec d¢ = d + ε, ε étant l’erreur que l’on commet en approximant d
par d’. On mesure ensuite une sphère étalon parfaite de diamètre D
connu en n points, à chaque point de contact bille sphère Ci correspond
une position du centre de la bille de palpage Ti. La machine détermine
ensuite par calcul une sphère associée aux n points Ti, sphère dont le
diamètre sera égal à M, il lui suffira alors de soustraire à ce diamètre M
la grandeur d¢ pour obtenir la valeur d’un diamètre D¢ qui correspond
au résultat de la mesure de la sphère étalon avec une touche sphérique
de diamètre d’. Nous aurons alors : D¢ = M – d Æ D¢ = M –(d + e). Or
en réalité D¢ devrait être égal à D = M – d (D, diamètre connu de la
sphère étalon) d’où D – D¢ = e, ce qui permet de déterminer la valeur
exacte de d que devra utiliser la machine dans ses calculs en faisant :
d = d¢ – e.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Touche de palpage
de diamètre d
Ti
Ci
Sphère étalon
de diamètre D
Sphère de diamètre M
associée
aux n points Ti
Figure 6.6 – Détermination pratique
du rayon de la bille de palpage.
125
6 • Mesure
tridimensionnelle
6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel
6 C
M Direction et sens de T
La direction et le sens de 6TC seront déterminés après association.
Prenons comme exemple le cas de la mesure d’une ligne prétendument
droite. Après la saisie de n points Ci appartenant à la ligne à mesurer, la
machine va associer une droite aux n points Ti correspondants aux positions successives du centre de la bille de palpage ; elle déplacera ensuite
cette droite vers l’élément réel (sens du déplacement) d’une distance
égale au rayon de la bille dans une direction normale à l’élément associé.
Cette direction sera assimilée à la direction du vecteur 6TC (figure 6.7),
la droite déplacée étant assimilée à la droite associée aux n points de
contact Ci.
Droite associée aux n centre de bille Ti
Ti
Ci
Direction deTC
Ligne réelle à mesurer
Droite associée aux n points C i
appartenant à la ligne réelle
Figure 6.7 – Détermination de la direction du vecteur 6TC.
6 T
m Détermination du vecteur P
M Cas où l’on utilise un seul palpeur
Dans le cas où l’utilisation d’un seul palpeur est suffisante, c’est-à-dire
dans le cas où le vecteur 6PT sera constant, il n’est pas nécessaire de tenir
compte de ce vecteur. En effet quelle que soit la valeur de 6PT on constate que toutes les positions prises par les points Ti subiront une translation rectiligne égale à 6TP. L’exemple représenté par la figure 6.8 montre
qu’une translation 6TP effectuée sur les points de mesure Ti des sommets
d’un triangle quelconque ne modifie absolument pas la forme et les
dimensions de celui-ci, et donc que le fait d’ignorer le vecteur 6PT ne
perturbera absolument pas les résultats des mesures.
126
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6 • Mesure
tridimensionnelle
6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel
P2
P1
T2
P3
T1
T3
Figure 6.8 – Lorsque 6TP est constant l’élément mesuré
subit une translation rectiligne.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
M Cas où il est nécessaire d’utiliser plusieurs palpeurs
Par contre il peut arriver que, notamment pour des raisons d’accessibilité aux différentes surfaces mesurées, il soit nécessaire d’utiliser
plusieurs palpeurs pour réaliser la mesure d’un produit industriel. Par
plusieurs palpeurs il faut entendre non seulement le cas où le changement du palpeur sera effectif (manuellement ou automatiquement)
mais aussi lorsque l’on devra utiliser des palpeurs à touches multiples
(touches étoiles – photo 6.9a), ou employer des systèmes permettant
des mises en positions différentes pour un même palpeur (têtes orientables – photo 6.9b). C’est-à-dire toutes les situations dans lesquelles le
vecteur 6TP ne restera pas constant pendant toutes les opérations de
a
b
Figure 6.9 – Utilisation de palpeurs à touches multiples.
127
6 • Mesure
tridimensionnelle
6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel
mesure. Naturellement, dans tous ces cas il ne sera plus possible d’ignorer les caractéristiques du vecteur 6TP (figure 6.10).
Point piloté P
Palpeur 2
Figure 6.10 – Qualification
de deux touches différentes.
T2
Palpeur 1
PT1 ≠ PT2
T1
C’est lors de la qualification de chaque palpeur ou de chaque touche de
palpeur que seront déterminées, en même temps que les diamètres réellement pris en compte, les caractéristiques d’un vecteur appelé 9On,O1
permettant de corriger toutes les mesures effectuées avec le palpeur Tn
afin de les translater dans la zone de calcul du palpeur T1, considéré
alors comme étant le palpeur de référence (figures 6.11 et 6.12) et de
pouvoir manipuler entre eux les résultats obtenus en utilisant les différentes touches.
m Détection du point de contact
Que les machines à mesurer point à point soient des machines à déplacements manuels ou automatisés, il est impératif de détecter avec le
maximum de rigueur l’instant précis où la touche du palpeur entre en
contact avec la surface à explorer. À cet instant, le système de lecture des
déplacements relèvera les coordonnées du point piloté P afin de pouvoir
calculer les coordonnées du point C (donc de Mr) dans le référentiel de
mesure. Le signal reçu provoquera également l’arrêt des déplacements
motorisés afin d’éviter la détérioration des organes de palpage. Dans la
pratique on utilise deux types de palpeurs permettant de déceler
l’instant exact du contact.
128
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6 • Mesure
tridimensionnelle
Ti1 lors
Lieu du point
de la qualification du
palpeur 1
6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel
Lieu du point Pi lors de la
qualification du palpeur 1
1
O
Vecteur de correction O 2,O 1
O2
Lieu du point T j2 lors
Lieu du point Pj lors de la
de la qualification du
palpeur 2
qualification du palpeur 2
Sphère étalon fixe dans le
référentiel de mesure
Figure 6.11 – Principe de qualification
de deux touches T1 et T2.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
P21
P11
T11
P32corrigé
T21
T32
Les points 1 et 2 sont mesurés avec le
palpeur 1. P se trouve alors respectivement
en P11 et en P21, le point 3 est mesuré avec
le palpeur 2, au moment de la mesure P
2
2
se trouve en P 3 , en appliquant à P 3 une
2
1
correction O ,O ce point se retrouvera
en P32corrigé ce qui permettra alors de
reconstituer l’objet mesuré sans modification
des formes et des dimensions de celui-ci.
P32
Figure 6.12 – Correction d’une mesure
effectuée avec la touche 2.
129
6 • Mesure
tridimensionnelle
6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel
M Palpeurs dynamiques
On appelle palpeur dynamique un palpeur qui se déplace à vitesse constante en direction de la surface à mesurer et qui déclenche à la volée un
signal au moment précis où la touche entre en contact avec l’élément
exploré (figure 6.13). Lorsque la machine reçoit ce signal, elle enregistre
les coordonnées du point piloté P et stoppe le déplacement du palpeur
afin d’éviter sa dégradation.
Déplacement
Corps
Contacts mécaniques
et électriques
Capteur
Pièce
Touche sphérique
Figure 6.13 – Principe de fonctionnement
d’un palpeur dynamique.
Concrètement, la solution la plus souvent mise en œuvre consiste à
réaliser une liaison isostatique entre le capteur et le corps (généralement
une liaison de BOYS, c’est-à-dire un tripode en appui sur six billes)
dans laquelle un contact électrique de faible puissance est associé à
chacun des six contacts mécaniques. Lorsque la touche vient au contact
de la surface à mesurer, le capteur étant considéré comme rigoureusement indéformable, il se produit la rupture du contact sur au moins un
point d’appui de la liaison isostatique ce qui entraîne alors l’apparition du
signal électrique désiré. Les avantages de la mesure à la volée sont : le faible
130
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6 • Mesure
tridimensionnelle
6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel
encombrement du palpeur, la relativement grande vitesse d’acquisition
possible (de l’ordre de 0,5 m/mn), le coût modéré de l’équipement et la
robustesse de celui-ci. Par contre l’incertitude élargie due à la répétabilité du palpeur est de l’ordre de 4 µm. Des capteurs à technologie piézoélectrique à quartz présentent les mêmes avantages que le type de capteur
décrit précédemment moins la robustesse mais avec une incertitude
élargie inférieure à 2 µm.
M Palpeurs statiques
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Toutes les têtes de mesure statique sont basées sur le même principe, à
savoir un parallélogramme flexible qui réalise pour de faibles déplacements une liaison sans jeux ni frottements, voir figure 6.14. Un double
système de mesure permet de réguler l’effort de contact et de mesurer le
déplacement induit par celui-ci. Il suffit alors d’empiler trois équipements
identiques perpendiculaires entre eux pour obtenir la mesure des déviations
du palpeur suivant les trois axes de mesure. Selon le type de tête utilisé
deux systèmes peuvent être envisagés :
– Les têtes à point zéro : le capteur oscille jusqu’à atteindre une position
d’équilibre au point zéro ; à ce moment la machine stoppe les déplacements et relève les coordonnées exactes du point P.
Déplacement
0
Mesure du déplacement
Contrôle de l’effort
Touche sphérique
Pièce
Figure 6.14 – Principe de fonctionnement d’un palpeur statique.
131
6 • Mesure
tridimensionnelle
6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel
– Les têtes mesurantes : tant que les mouvements du palpeur restent
dans les limites fixées (environ 2,5 mm) le calculateur ajoute les
déplacements lus sur chaque axe de la tête à ceux lus sur chacun des axes
de la machine afin de déterminer les coordonnées exactes du point P.
L’intérêt que présente l’utilisation des têtes statiques est, d’une part une
incertitude de mesure inférieure à celle que l’on observe sur les têtes
dynamiques (U = 1 µm, voire moins) et d’autre part de pouvoir éventuellement réaliser des mesures en continu. Par contre, leur coût est
élevé, elles sont relativement fragiles et dans le cas des têtes à point zéro
le temps de réponse est allongé (recherche du point d’équilibre).
6.3.2 Système de palpage en continu par scanning
Le procédé de scanning ou mesure en continu n’est possible, comme nous
l’avons vu, qu’avec une tête de mesure statique. Il consiste à parcourir
des lignes sur la surface à mesurer et à relever à intervalles, réguliers ou
non (pas de digitalisation) les coordonnées du point de contact courant.
C’est un moyen qui permet d’explorer des surfaces de formes complexes
(aubes de turbines, pales d’hélice, éléments de carrosserie…) et d’en
mesurer leur forme et leurs défauts avec une bonne résolution surtout
lorsque le pas de mesure est faible. À noter que si l’exploration est
linéairement continue, elle est forcément discontinue d’une ligne à
l’autre (pas de mesure) et chaque ligne étant elle-même digitalisée, l’élément
extrait obtenu se présente donc bien toujours sous la forme d’un nuage
de n points (voir figure 6.15).
Pas de digitalisation
Pas de mesure
Direction de
scanning
Figure 6.15 – Acquisition d’une surface extraite par scanning.
132
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6 • Mesure
tridimensionnelle
6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel
6.3.3 Saisie par palpeurs sans contact
Les capteurs optiques bien que moins universels que les capteurs à
contact et donnant dans le cas de la mesure tridimensionnelle des résultats généralement affectés d’une incertitude plus importante, permettent toutefois d’obtenir une bonne connaissance de la macrogéométrie
des surfaces. Ils sont indispensables pour mesurer des surfaces trop
souples qui seraient susceptibles d’être déformées par un contact mécanique et présentent également l’avantage d’accepter des vitesses de balayage
très importantes. Par contre, leur réponse varie en fonction des qualités
optiques de la surface explorée. Les surfaces diffusantes donnent les
meilleurs résultats, l’optimum étant une surface mate et blanche, alors
qu’une surface très réfléchissante sera difficilement mesurable. Le dépôt
d’une fine couche régulière d’un dépôt approprié peut grandement
améliorer les résultats. On distingue principalement deux types de
capteurs optiques.
m Mesure de points par triangulation
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Un capteur optique par triangulation est formé d’un émetteur (généralement une diode laser) qui éclaire la surface à explorer par un rayon de
lumière cohérente, et d’un récepteur linéaire (une barrette CCD) qui
mesure la hauteur de la tache lumineuse (voir figures 6.16 et 6.17).
Figure 6.16 – Tête de mesure optique par triangulation.
133
6 • Mesure
tridimensionnelle
6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel
Déviation angulaire α lue par le récepteur
Récepteur
Objectif
Tête de
mesure
h
Emetteur
Etendue de mesure
Référence
angulaire ϕ
Mi
Pièce
Distance mesurée d
Figure 6.17 – Principe de mesure de la tête de mesure optique
par triangulation.
L’angle j et la hauteur h sont des constantes du capteur. La mesure de la
déviation a permet de connaître la distance mesurée d à partir des
propriétés du triangle rectangle. Naturellement un étalonnage préalable
sur une sphère étalon est nécessaire afin de paramétrer le système et de
retrouver les coordonnées de Mi dans le référentiel machine. Sur ce type de
tête, l’étendue de mesure est de l’ordre de 50 mm et la résolution de quelques dizaines de microns en fonction des qualités optiques de la surface
observée. La commande numérique de la machine permet d’explorer des
surfaces de formes complexes et de grandes dimensions sans sortir de
l’étendue de mesure. Ce modèle de capteur permet la mesure aussi bien
en point à point qu’en scanning.
m Mesure par digitalisation d’un profil optique
Ce procédé consiste à couper la surface à explorer par un plan optique
matérialisé par un balayage laser, puis à relever les profils obtenus par
caméra CCD (figure 6.18) et enfin à digitaliser ces profils. Généralement,
les systèmes industriels comportent deux caméras qui combinent leurs
résultats afin de visualiser des parties qui pourraient être cachées à l’une
d’entre elle (concavité, contre-dépouille…). Naturellement, un étalonnage
préalable sur une sphère est indispensable avant toute nouvelle utilisation.
134
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6 • Mesure
tridimensionnelle
6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel
Déplacement
Caméra
CCD A
Caméra
CCD B
Plan laser
Profondeur
de champ
Profils obtenus
Largeur
d’exploration
Figure 6.18 – Principe de mesure par digitalisation d’un profil optique.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
On sait qu’une caméra CCD est une sorte de grille qui permet de repérer un point présent ou absent (pixel) sur une maille de la grille. La
résolution du système sera donc directement fonction du nombre et
de la taille des pixels de la caméra CCD utilisée (figure 6.19). Elle sera
Profil visualisé par une caméra CCD
Profil digitalisé par une caméra CCD
Figure 6.19 – Principe de la digitalisation par une caméra CCD.
135
6 • Mesure
tridimensionnelle
6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel
également fonction, comme nous l’avons déjà signalé, des qualités optiques de la surface mesurée sur les systèmes actuellement employés en
mesure industrielle. L’incertitude relevée est de quelques dizaines de
microns.
6.3.4 Détermination de la normale au point mesuré
Lorsque l’on veut contrôler une surface (la forme théorique de cette
surface étant connue), il est possible de donner à la machine les valeurs
des cosinus directeurs de la normale à l’élément de surface entourant le
point mesuré afin que le contact se fasse aussi rigoureusement que possible et avec un minimum de glissement. Il en va différemment lorsque
l’on veut mesurer une surface totalement inconnue, dans ce cas on peut
envisager deux hypothèses.
m Surface digitalisée avec un pas de petite longueur
Lorsque le pas de digitalisation de la surface est faible, de l’ordre du millimètre, il est facile à la machine de déterminer un élément plan approchant l’élément de surface entourant chaque point mesuré à partir de
trois points voisins (figure 6.20) puis de calculer la direction de la
normale à ce plan.
ni
Mi
Figure 6.20 – Approximation de la normale locale
pour une surface digitalisée.
m Surface saisie en point à point
Lorsque la surface à été saisie en point à point, que l’acquisition ait été
tactile ou optique, un sous-programme présent sur la plupart des logiciels
136
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6 • Mesure
tridimensionnelle
6.4 Exemple de gamme de contrôle
en mesure tridimensionnelle
de calcul permet de déterminer avec une assez bonne approximation
une direction pour la normale recherchée. La machine détermine un
triangle équilatéral centré sur le point mesuré Mi en effectuant le
palpage de trois points équidistants autour de ce point (figure 6.21).
La normale au plan défini par ce triangle est assimilée à la normale à
l’élément de surface réel.
ni
Mi
Figure 6.21 – Détermination de la normale à l’élément de surface
entourant un point mesuré.
6.4 Exemple de gamme de contrôle
en mesure tridimensionnelle
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
6.4.1 Structure d’une gamme de mesure
Une gamme de mesure sur machine à mesurer tridimensionnelle comportera toujours trois parties distinctes. Ces parties ne se succédent pas
forcément les unes aux autres mais peuvent être imbriquées entre elles.
m 1re partie : saisie des éléments géométriques réels
Il sera tout d’abord nécessaire de faire connaître à la machine tous les
éléments constituant l’objet observé dont elle aura besoin pour définir les
caractéristiques géométriques à mesurer. Généralement, ces éléments
réels sont des surfaces dont on connaît la forme théorique. Cette information se présentera toujours sous la forme d’un élément extrait, c’està-dire des coordonnées d’un certain nombre n de points appartenant à
la surface réelle dans le référentiel de mesure. La position et le nombre
137
6 • Mesure
tridimensionnelle
6.4 Exemple de gamme de contrôle
en mesure tridimensionnelle
de ces points est choisie par le métrologue en fonction de la finesse avec
laquelle il veut connaître l’élément ainsi que du temps et des moyens
qu’il souhaite consacrer à la mesure. Le calculateur de la machine réalisera ensuite l’association de l’élément théorique souhaité au nuage de
points obtenu. Le critère d’association retenu dépendra, soit de la cotation lorsqu’il s’agira d’un contrôle, soit de la fonction que doit
remplir la surface mesurée si l’on ne possède pas d’autres informations
particulières la concernant.
L’élément réel est donc connu de la machine par l’intermédiaire de son
élément associé qui sera le modèle géométrique que va utiliser le calculateur dans la suite des opérations. L’association permettra à la machine de
calculer le défaut de forme de l’élément réel, le calculateur conservant en
mémoire l’équation de l’élément associé dans le référentiel de mesure en
vue d’utiliser cette information pour des traitements ultérieurs.
m 2e partie : construction d’éléments géométriques virtuels
À partir des éléments géométriques déjà connus par la machine, il sera
souvent nécessaire de construire d’autres éléments géométriques afin de
permettre la caractérisation d’un objet réel. Ce pourra être par exemple la
droite intersection de deux plans, le point intersection d’un axe avec un
plan, ou la projection de ce point intersection sur un autre plan. Naturellement, ce sont les spécifications que l’on veut mesurer ou contrôler
qui détermineront le nombre et la nature des différents éléments
géométriques à construire.
m 3e partie : les questions posées à la machine
Il ne restera plus alors qu’à demander à la machine de calculer les grandeurs que l’on veut connaître et qui permettront de définir la géométrie
de l’objet mesuré. Ce seront par exemple des calculs d’angles entre
différents éléments géométriques (droites ou plan) réels ou construits,
ou bien des distances entre d’autres éléments géométriques (plans,
centres de cercles, axes de cylindres ou de cônes…). Là encore, ce seront
les informations que l’on veut connaître qui fourniront les questions à
poser.
138
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6 • Mesure
tridimensionnelle
6.4 Exemple de gamme de contrôle
en mesure tridimensionnelle
6.4.2 Exemple de mesure sur MMT
Pour illustrer ce qui vient d’être exposé précédemment, nous proposons
d’étudier brièvement la gamme de mesure, sur une machine à mesurer
tridimensionnelle, des spécifications géométriques indiquées sur
l’exemple représenté par la figure 6.22. Il s’agit de mesurer un alésage de
diamètre spécifié 28 H8 dont la localisation est donnée à partir d’un
système de références ordonnées A, B, C.
30
∅ 28 H8 E
∅ 0,2
A
B
C
C
40
A
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
B
Figure 6.22 – Spécifications géométriques à contrôler.
m Saisie des éléments réels
L’examen de la cotation nous indique que quatre éléments réels doivent
être impérativement connus par la machine, trois éléments prétendument plans, les faces A, B, et C, ainsi que l’alésage de diamètre
28 mm. L’ordre dans lequel ces éléments doivent être saisis est sans
importance : l’opérateur choisira selon les critères qu’il jugera les mieux
appropriés, en décidant peut-être d’optimiser les déplacements de la
machine.
On commencera par exemple par saisir un certain nombre de points appartenant à la surface A. L’élément géométrique devant être associé à ces
139
6 • Mesure
tridimensionnelle
6.4 Exemple de gamme de contrôle
en mesure tridimensionnelle
points étant un plan, la géométrie nous impose de connaître un minimum de trois points, suivant la connaissance de la géométrie réelle de
l’élément que veut avoir l’opérateur. Suivant l’utilisation qu’il souhaite en
faire par la suite, ce nombre de points sera plus ou moins important, le
bon sens suggère de les choisir régulièrement répartis sur la surface réelle.
Une fois cette opération réalisée on demandera à la machine d’associer
un plan au nuage de points obtenu. Le critère d’association semblant le
plus approprié à la cotation proposée nous paraît être l’enveloppe, mais
une association selon les moindres carrés ne modifierait probablement
pas les résultats ultérieurs de façon notable. La machine connaîtra
alors la surface A par l’intermédiaire du plan 1 qui lui est associé.
La même démarche sera utilisée en ce qui concerne les surfaces B et C
qui seront connues par les plans qui leur seront respectivement associés 2 et 3. À noter que l’association peut, si besoin est, permettre de
déterminer le défaut de planéité de chacune des surfaces réelles mesurées.
Un certain nombre de points seront ensuite saisis dans l’alésage de
diamètre 28 mm. Cinq points sont indispensables du point de vue
géométrique, mais là encore un nombre de points important régulièrement répartis dans l’alésage nous en fournira une meilleure image. Un
cylindre théorique sera ensuite associé au nuage de points mesurés
(cylindre 1). Le critère de l’enveloppe (cylindre inscrit) devra être
privilégié en raison de l’exigence du principe de l’enveloppe utilisé pour
l’indication du diamètre (lettre E). Le cylindre associé possède un axe de
révolution qui semble tout à fait convenir pour modéliser l’axe de
l’alésage. On peut également considérer que le diamètre du cylindre
associé peut être assimilé au diamètre de l’alésage surtout si le défaut de
cylindricité de l’alésage est faible. Toutefois on notera bien qu’il s’agit
d’une valeur moyenne du diamètre et que cela n’est pas conforme aux
exigences imposées par la normalisation.
Un examen un peu plus complet de la cotation fait ressortir que les
caractéristiques de l’alésage, notamment sa position, doivent être mesurées sur sa longueur totale et qu’il serait donc nécessaire d’indiquer à la
machine la position de la surface opposée à A de façon à pouvoir limiter
le cylindre associé en longueur. Il faudrait donc saisir également cette
surface qui serait alors modélisée par son plan associé, le plan 4.
140
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6 • Mesure
tridimensionnelle
6.4 Exemple de gamme de contrôle
en mesure tridimensionnelle
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
m Création d’éléments géométriques
La cotation de la position de l’alésage de diamètre 28 mm est donnée
par rapport à un système de références ordonnées formé par les surfaces A,
B et C. Dans ce cas, il serait opportun de construire un référentiel cartésien local à partir des trois plans associés à ces surfaces en respectant
bien l’ordre imposé par la cotation.
La direction de l’axe Oz serait prise normale au plan 1 (plan appui).
On construirait ensuite la droite intersection du plan 2 avec le plan 1,
ce qui fournirait alors la direction de l’axe Ox (orientation).
La direction de l’axe Oy est alors automatiquement déterminée (pour
un référentiel orthonormé Oy perpendiculaire à Ox et à Oz).
L’origine du référentiel serait alors fournie par l’intersection de l’axe Oz
avec le plan 1, l’intersection de l’axe Ox avec le plan 3 (butée) et l’intersection de l’axe Oy avec le plan 2.
Le sens des axes sera généralement choisi de façon à ce que le trièdre
formé par Ox, Oy, Oz soit un trièdre direct.
On pourra ensuite construire dans ce référentiel le point de coordonnées
(30, 40, 0) point 1, qui correspond à la position théorique de l’intersection
de l’axe de l’alésage avec la surface A. Rappelons qu’une cote encadrée
par un rectangle est une valeur théorique exacte et qu’elle ne comporte
donc pas de tolérance.
On établira alors la position réelle de l’axe de l’alésage en construisant :
L’intersection de l’axe du cylindre 1 avec le plan 1 Æ Point 2.
L’intersection de l’axe du cylindre 1 avec le plan 4 Æ Point 3.
m Questions
M Position de l’alésage
Pour que la position de l’alésage soit conforme aux exigences imposées
par la cotation, son axe doit se situer à l’intérieur d’un cylindre de
diamètre 0,2 mm, perpendiculaire à A et dont l’axe passe par le point 1
(voir spécification des éléments géométriques). Cette condition sera
respectée si la distance entre le point 1 et le point 2 est inférieure ou
égale à 0,1 mm, et si la distance entre le point 1 et la projection du
141
6 • Mesure
tridimensionnelle
6.4 Exemple de gamme de contrôle
en mesure tridimensionnelle
point 3 dans le plan 1 (point 4) est également inférieure ou égale à
0,1 mm (figure 6.23) dans ce cas aucun des points de l’axe du cylindre 1
ne sera à une distance supérieure à 0,1 mm de sa position théorique, la
condition de localisation sera alors respectée.
z
x
O
Pt2
Pt4
y
Pt1
Axe du cylindre 1
Plan 4
Pt3
Figure 6.23 – Représentation géométrique de la mesure.
M Diamètre de l’alésage
La spécification du diamètre de l’alésage signifie que toutes les mesures
entre deux points diamétralement opposés doivent être comprises entre
28 mm et 28,033 mm (28H8). L’exigence de l’enveloppe impose en
plus que dans tous les cas, un cylindre parfait de diamètre 28 mm
correspondant au maximum de matière puisse pénétrer dans l’alésage, ce
qui conditionne donc son défaut de cylindricité. Ceci nous permet de
compléter ce qui a été avancé précédemment :
Le diamètre du cylindre associé (cylindre inscrit) doit impérativement
être égal ou supérieur à 28 mm.
142
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6 • Mesure
tridimensionnelle
6.5 Bibliographie
Le diamètre du cylindre associé plus deux fois le défaut de cylindricité
mesuré ne doit pas dépasser 28,033 mm. Cette dernière vérification peut
être négligée lorsque le défaut de forme mesuré est faible devant la tolérance
dimensionnelle.
6.5 Bibliographie
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
[6.1] Métrologie par coordonnées, Partie 2 : Évaluation des performances
des machines à mesurer tridimensionnelles, ISO 10 360-2, AFNOR,
1995.
[6.2] Vérification périodique d’une machine à mesurer tridimensionnelle, J.-P. SENELAER, Club de la métrologie 1991.
[6.3] Mesure sans contact, état de l’art, X. CARNIEL, J.-L. CHARRON,
A. TROUVE, W. YOUSSEF, Éditions du CETIM. 1999.
[6.4] Fabrication mécanique, partie 6 : La machine à mesurer tridimensionnelle, M. DURSAPT, Jeriko, Cours multimédia. 1995.
[6.5] Informatique et métrologie, M. GONDRAN, Éducalivre.1990.
[6.6] Techniques de mesure sur machines à mesurer tridimensionnelles,
Groupe de travail métrologie du Grand Sud, Mouvement français
pour la qualité. 1998.
143
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7 • MESURE ET CARACTÉRISATION
DES ÉTATS DE SURFACE
7.1 Généralités sur les défauts
géométriques des surfaces
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
7.1.1 Rappels et définitions
Nous avons vu précédemment qu’une surface théorique était définie
par le concepteur pour des raisons fonctionnelles et qu’elle correspondait à
un modèle géométrique simple (plan, cylindre, sphère…), ou complexe.
Nous avons rappelé également que la surface réelle obtenue en fabrication, quel que soit le procédé utilisé, est toujours une surface de forme
quelconque qui va donc présenter un certain nombre d’irrégularités qui
font que cette surface réelle s’écarte plus ou moins de sa forme théorique.
L’observation attentive d’une surface réelle montre que ces irrégularités
peuvent présenter des amplitudes et des pas très divers. La normalisation
en vigueur classe arbitrairement les défauts géométriques des surfaces dans
quatre ordres en fonction de leur importance :
– Défauts du premier ordre : défauts de forme.
– Défauts du deuxième ordre : défauts d’ondulation.
– Défauts du troisième et du quatrième ordre : défauts de rugosité.
Les défauts de forme proviennent généralement, soit des anomalies géométriques des machines et des outillages utilisés lors de la réalisation de la
surface, soit des déformations de la pièce supportant la surface observée
145
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.1 Généralités sur les défauts
géométriques des surfaces
elle-même ; déformations qui peuvent être permanentes ou évolutives et
qui sont causées notamment par des contraintes d’origine mécanique ou
thermique. La mesure et la caractérisation de ce type de défauts ne seront
pas étudiées dans ce chapitre puisque nous les avons évoqués précédemment et que nous sommes donc capables de les évaluer de façon plus ou
moins satisfaisante.
Les défauts d’ondulation sont eux le plus souvent générés par les phénomènes vibratoires qu’occasionnent toujours les procédés mis en œuvre lors
de l’obtention de la surface. Ils peuvent également avoir pour origine
des causes particulières liées à certains procédés de fabrication (avance par
tour dans certains cas de fraisage par exemple). Ce sont des irrégularités
périodiques que l’on qualifiera de basse fréquence.
Les défauts de rugosité du troisième ordre sont eux directement issus du
mode de réalisation de la surface (géométrie de la partie active de
l’outil, vitesse d’avance, grosseur de grain d’abrasif…) ce sont des défauts
pseudo-périodiques mais de fréquence plus élevée et d’amplitude généralement plus faible que ceux que l’on a classée parmi les ondulations.
Les défauts de rugosité du quatrième ordre sont des petites irrégularités
(piqûres, arrachements…) apparaissant en relief ou en creux sur une
surface de façon totalement anarchique. Leurs causes sont accidentelles
et peuvent se produire lors de la réalisation, des manipulations ou du
fonctionnement des surfaces (chocs, rayures…).
À noter que les irrégularités classées en ondulations et en rugosité sont
bien entendu elles aussi des défauts de forme, mais qu’elles sont observées à une échelle beaucoup plus petite que les irrégularités classées dans
le premier ordre. Ce sont ces ondulations et ces rugosités que l’on appelle
en mécanique les défauts d’état de surface.
m 7.1.2 Profil d’une surface
On appelle profil d’une surface l’intersection de cette surface avec un
plan défini qui lui est généralement perpendiculaire ou qui est perpendiculaire au plan tangent à la surface à l’endroit considéré (figure 7.1).
Suivant la forme théorique de la surface analysée on connaît la forme que
devrait théoriquement présenter le profil (droite, cercle, ellipse…).
L’analyse de l’un de ses profils peut nous aider à caractériser la géométrie
146
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7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.1 Généralités sur les défauts
géométriques des surfaces
locale d’une surface, de même que le réassemblage de plusieurs de ses
profils peut nous permettre de reconstituer une surface.
Plan de coupe
Profil
Surface
Support
Figure 7.1 – Profil d’une surface.
m Profil brut
On appelle profil brut le profil tel qu’il apparaît dans la réalité. Il est
constitué de la somme de sa composante de forme, de sa composante
d’ondulation, et de sa composante de rugosité (voir figure 7.2).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
300 µm
200 µm
100 µm
0
0
2,5
5
7,5
10 mm
Figure 7.2 – Image d’un profil brut
issu d’une surface théoriquement plane.
m Composante de forme
Des techniques sur lesquelles nous reviendrons par la suite permettent
de faire un tri entre les différentes composantes d’un profil. La figure 7.3
représente la composante de forme du profil précédent, c’est-à-dire celle
147
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.1 Généralités sur les défauts
géométriques des surfaces
qui fait apparaître la différence entre la forme réelle du profil et sa forme
théorique qui dans l’exemple choisi devrait être une droite. On observe
un bombé d’environ quatre cents microns de hauteur.
300 µm
200 µm
100 µm
0
0
2,5
5
7,5
10 mm
Figure 7.3 – Composante de forme du profil observé.
m Composante d’ondulation
La figure 7.4 représente la composante d’ondulation du profil. Elle fait
apparaître une succession de petites irrégularités d’une vingtaine de
microns de hauteur et d’un pas d’environ 1,10 mm réparties à peu près
régulièrement le long de la forme du profil.
300 µm
200 µm
pas
100 µm
0
0
2,5
5
7,5
10 mm
Figure 7.4 – Composante de l’ondulation
du profil observé.
m Composante de rugosité
La figure 7.5 représente la composante de la rugosité du profil. Cette
rugosité est constituée d’un grand nombre d’irrégularités de hauteurs
variant de quelques microns à quelques dizaines de microns et dont les pas
sont compris entre quelques dizaines et quelques centaines de microns.
148
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7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.2 Relevé d’un profil sur une surface réelle
40 µm
30 µm
20 µm
10 µm
0
0
2,5
5
7,5
10 mm
Figure 7.5 – Composante de la rugosité du profil observé.
7.2 Relevé d’un profil sur une surface réelle
Il existe des appareils appelés profilomètres qui permettent de récupérer, sous la forme d’un signal électrique, un profil appartenant à
une surface quelconque. L’analyse du signal obtenu permettra par la
suite de quantifier ce profil.
7.2.1 Saisie du profil d’une surface
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
m Filtrage mécanique
La saisie du profil consiste à déplacer un palpeur le long de ce profil
et d’en mesurer les déplacements verticaux en fonction de sa position
horizontale. Elle se fait soit par un procédé tactile soit par un procédé
optique. Quelle que soit la nature du palpeur employé il se produira
toujours un effet de filtrage de l’information lors de l’acquisition de
celle-ci, c’est-à-dire qu’une partie de l’information ne sera pas prise en
compte par le capteur. Nous voyons sur la figure 7.6 un schéma représentant la saisie tactile d’un profil dont les irrégularités de rugosité périodiques ont une profondeur r de 15 microns et un pas p de 200 microns.
Sur la partie gauche de la figure, nous observons que l’emploi d’un
palpeur sphérique de rayon R nous donnerait une valeur de profondeur
d’irrégularité mesurée u pour une profondeur réelle r, c’est-à-dire que le
palpeur sphérique filtrerait l’information d’une valeur (r – u). Nous
voyons que l’effet du filtrage sera d’autant plus important que R sera grand
et que le pas des irrégularités sera petit, par exemple si R = 1 500 µm (le
149
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.2 Relevé d’un profil sur une surface réelle
Palpeur sphérique
De rayon R
u
r
Palpeur
conique
p
Figure 7.6 – Saisie tactile d’un profil de rugosité.
diamètre de la touche équipant habituellement la plupart des comparateurs
est de 3 mm) nous aurons pour un pas p de 200 microns :
2
2
p 2
R = ⎛ ---⎞ + ( r – u )
⎝ 2⎠
soit u = 3 µm environ, d’où un filtrage de près de quatre-vingts pour
cent de l’information. Par contre nous observons dans la partie droite
de la figure que l’utilisation d’un palpeur conique, quel que soit son
angle au sommet, n’aurait quasiment pas provoqué de filtrage mécanique de la mesure. À noter que dans la réalité le palpeur n’est jamais un
cône parfait, c’est-à-dire qu’il présentera toujours un léger rayon à son
sommet et que ce rayon provoquera bien évidemment un filtrage mécanique, mais à une échelle beaucoup plus petite que celle représentée sur
la figure. On admet en première approximation que les irrégularités
dont le pas est inférieur au rayon de bec du palpeur ne sont pas prises en
compte par celui-ci. Les palpeurs employés en profilométrie sont généralement des cônes à pointe de diamant dont le rayon de bec est compris
entre 1 µm et 10 µm.
Dans le cas de l’utilisation de méthodes optiques, l’altitude des points
du profil est mesurée à partir de celle de la tache de focalisation d’un
faisceau lumineux sur la surface explorée. Le faisceau va en réalité focaliser sur une altitude moyenne des aspérités de rugosité locales. On admet
que les irrégularités dont le pas est inférieur au rayon de la tache de focalisation seront filtrées mécaniquement lors de l’acquisition.
150
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7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.2 Relevé d’un profil sur une surface réelle
m Référence de mesure
L’exploration du profil se fait en déplaçant le palpeur dans la direction générale du profil, selon le type des appareils utilisés les écarts verticaux sont
mesurés, soit par rapport à une référence externe idéale, soit à partir de
l’enveloppe du profil mesuré.
M Mesure par rapport à une référence externe
Le mieux est de réaliser la saisie des altitudes des points du profil à partir
d’une référence linéaire parfaite (axe x). Cela permettra de connaître la
totalité des défauts du profil. Cette configuration, dont une application est
représentée par la figure 7.7, est celle que l’on trouve sur tous les appareils
performants actuellement disponibles sur le marché. Elle a été rendue
possible par la conception et la fabrication de palpeurs possédant à la fois
Stylet
Bras
Mouvement d’avance
Profil
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Plan idéal matérialisant une
référence linéaire parfaite
x
Figure 7.7 – Saisie d’un profil à partir d’une référence externe.
151
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.2 Relevé d’un profil sur une surface réelle
une excellente résolution (quelques nanomètres) ainsi qu’une grande
amplitude de mesure (plusieurs millimètres).
M Mesure par rapport à l’enveloppe du profil
Compte tenu des faibles hauteurs des aspérités à mesurer, les capteurs
employés pour la saisie des profils d’états de surface doivent avoir une
très bonne résolution. Les défauts de forme des surfaces sur lesquelles sont
mesurés ces profils peuvent être d’amplitudes bien supérieures. Pendant
longtemps les fabricants concernés avaient beaucoup de difficultés pour
proposer des palpeurs possédant à la fois une bonne résolution et une
grande amplitude de mesure, c’est la raison qui nécessita la mise au
point des capteurs à patin : la solution retenue consiste à faire glisser un
patin solidaire du bras articulé supportant le palpeur le long du profil afin
de mesurer les écarts verticaux à partir de ce patin (figure 7.8). Ce système
Stylet
Bras
Patin
Mouvement d’avance
x
Profil
Figure 7.8 – Saisie d’un profil à partir d’une référence interne.
152
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7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.2 Relevé d’un profil sur une surface réelle
permet de filtrer mécaniquement les défauts de forme et d’éviter ainsi la
saturation du capteur, celui-ci ne prenant plus alors en compte que les
écarts de faible amplitude et de pas réduits correspondants à l’ondulation et à la rugosité.
7.2.2 Amplification du signal
Les écarts dus aux irrégularités d’un profil sont généralement très
faibles (quelques microns, parfois moins). Le rôle du capteur sera de les
transformer en signaux électriques afin de pouvoir les amplifier puis de
pouvoir les traiter et d’être ainsi en mesure de calculer des paramètres
permettant de caractériser ce profil. On retrouve les technologies d’amplification habituellement utilisées pour les mesures de longueurs dans les
capteurs de mesure d’état de surface.
m Capteur inductif
Les écarts verticaux du palpeur sont transformés en signaux électriques
en utilisant le phénomène de variation d’induction électromagnétique
provoqué par le déplacement d’un noyau de ferrite à l’intérieur d’une
bobine. C’est le système le plus employé en raison de sa très bonne résolution et des grandes amplitudes de mesure possibles (figure 7.9).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Bobine
Déplacement
Profil
Figure 7.9 – Schéma de principe d’un capteur à amplification inductive.
m Capteur optoélectronique
Les déplacements verticaux du palpeur sont transformés en signaux
électriques par l’intermédiaire d’une cellule photoélectrique dont
153
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.2 Relevé d’un profil sur une surface réelle
l’orientation par rapport à l’axe d’un faisceau lumineux varie avec
l’altitude du palpeur (figure 7.10). Cette variation d’inclinaison provoque
la variation de la quantité de lumière reçue par la cellule et donc celle de
l’intensité du courant produit.
Rayon lumineux
Cellule photoélectrique
Déplacement
Profil
Figure 7.10 – Schéma de principe d’un capteur
à amplification optoélectronique.
m Capteur piézo-électrique
Les contraintes induites dans un monocristal de quartz par les déplacements verticaux du palpeur provoquent un signal électrique dû au
phénomène piézo-électrique (figure 7.11). L’intensité du courant produit
dépend de l’intensité des contraintes donc de l’amplitude des déformations
du monocristal.
Elément piézo-électrique
Déplacement
Profil
Figure 7.11 – Schéma de principe d’un capteur
à amplification piézo-électrique.
154
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7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.3 Observation et traitement du signal obtenu
7.3 Observation et traitement du signal
obtenu
7.3.1 Forme et composition du signal
Le signal électrique obtenu correspond donc à une image du profil
exploré. Il se présente sous la forme d’une fonction exprimant l’altitude
z des différents points du profil réel en fonction de leur position x le
long du profil théorique (voir figure 7.12). Sur les premiers profilomètres
apparus en Angleterre vers 1940 le signal se présentait sous une forme
analogique ; depuis 1980 la plupart des appareils fournissent les profils
sous une forme numérique.
z
Rugosité
λr
Forme
Ondulation
λo
x
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
λf
Figure 7.12 – Composantes du signal issu d’un profilomètre.
Comme nous l’avons précisé précédemment, ce signal, directement issu
de la mesure que l’on appelle profil brut, contient généralement toutes
les composantes du profil. On voit sur la figure 7.12 qu’il est facile de
distinguer ces différentes composantes entre elles en considérant leur
longueur d’onde. Les petites longueurs d’onde lr correspondent à la
rugosité, les longueurs d’onde moyennes lo à l’ondulation et les grandes
longueurs d’onde lf caractérisent le défaut de forme du profil. Naturellement les termes petites, moyennes ou grandes longueurs d’onde ne
signifient rien dans l’absolu, les valeurs numériques seront choisies en
155
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.3 Observation et traitement du signal obtenu
fonction des dimensions des surfaces mesurées et des informations proposées par la normalisation en vigueur [7.1]. On peut néanmoins prendre
comme ordre de grandeur en première approximation : lr < 0,5 mm,
0,5 mm < lo < 2,5 mm et lf > 2,5 mm.
7.3.2 Anamorphose du signal
En profilométrie, il est souvent intéressant d’observer l’allure générale
des graphiques traduisant la forme des profils mesurés pour se faire une
idée des caractéristiques de la surface dont ils sont issus. La profondeur
des irrégularités de rugosité étant très faible (souvent de l’ordre du
micron, voire moins), il est nécessaire d’amplifier considérablement le
signal correspondant afin de disposer d’une image exploitable. Cependant, si nous conservons la même amplification pour l’échelle horizontale que celle choisie pour l’échelle verticale, nous allons nous retrouver
devant des graphiques d’une longueur considérable et qui seront visuellement totalement inexploitables. C’est la raison pour laquelle des échelles
différentes sont utilisées sur chacun des axes, ce qui fait que nous serons
amenés à examiner des graphiques fortement anamorphosés ; ainsi le
tracé du profil ci-dessous dont les aspérités nous paraissent être très
escarpées présente en réalité des irrégularités relativement peu accidentées
aux pentes très douces (figure 7.13). Ceci n’affecte bien entendu pas les
Profil anamorphosé issu de l’appareil enregistreur
10 µm
7,5 µm
5 µm
2,5 µm
0 µm
0
1
2
3
4
5 mm
Forme réelle de l’aspérité
Figure 7.13 – Visualisation de l’anamorphose d’un profil de rugosité.
156
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7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.3 Observation et traitement du signal obtenu
résultats des calculs effectués, mais pourrait nous amener à faire des
interprétations totalement erronées quant à la réalité du profil considéré
(géométrie des outils de coupe, forme des abrasifs, comportement des
aspérités, etc.).
7.3.3 Filtrage du profil
Si nous désirons séparer les différents ordres des défauts présents sur un
profil, il sera nécessaire de filtrer celui-ci. Nous avons vu que l’utilisation
d’un palpeur à patin pouvait déjà permettre de réaliser un filtrage mécanique des défauts de forme, mais la plupart du temps les profils seront
acquis sans aucun filtrage mécanique (mesure sans patin) et le traitement
se fera sur le signal obtenu (signal brut). La première opération consistera à redresser le profil. Ce redressement aura pour but de ramener la
direction générale du profil dans une direction parallèle à l’axe Ox.
Les électroniciens et les automaticiens sont très souvent confrontés aux
problèmes posés par le filtrage d’un signal électrique. Ils ont donc mis
au point un grand nombre de méthodes pour aborder efficacement ce
genre de problèmes, ce sont des méthodes du même type qui seront
employées en profilométrie.
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m Méthodes de filtrage utilisées en profilométrie
On sait qu’un signal périodique peut toujours être décomposé en une
somme de signaux sinusoïdaux de différentes fréquences (séries de
Fourrier). De nombreuses solutions basées sur cette propriété permettent de trier les différentes harmoniques d’un signal. Sans entrer dans le
détail nous dirons qu’un filtre, quel qu’il soit, est caractérisé par :
– Sa technologie : quel est le procédé pratique utilisé pour réaliser le
filtrage ? Ce procédé peut être : mécanique, électronique, numérique,
graphique…
– Sa nature : le filtrage peut être, passe-bas, seuls les défauts de grande
longueur d’onde seront conservés ; passe-haut, seuls seront conservés
les défauts de petite longueur d’onde ; passe-bande, on conservera les
défauts dont la longueur d’onde est comprise entre deux limites
(bande passante).
157
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.3 Observation et traitement du signal obtenu
– Sa longueur de coupure λc, ou cut-off : c’est la longueur, arbitrairement choisie, qui sera prise pour frontière entre les basses fréquences et
les hautes fréquences. Le cut-off s’exprimera en millimètres. Le terme
longueur de base utilisé en profilométrie est identique au terme longueur
de coupure. La normalisation propose des valeurs préférentielles pour le
choix de cette longueur de base (0,08 mm, 0,25 mm, 0,8 mm, 2,5 mm
ou 8 mm). En l’absence de spécifications particulières c’est la valeur de
0,8 mm qui sera utilisée. La norme ISO 4288 nous impose de choisir une
longueur d’évaluation du profil égale à cinq fois la longueur de coupure.
La normalisation en vigueur reconnaît deux techniques de filtrage à
utiliser prioritairement : le filtrage RC ISO lorsque l’on utilise des appareils
analogiques, et le filtrage gaussien lorsque l’on travaille avec des profils
numérisés ce qui est pratiquement toujours le cas avec les appareils actuels.
m Utilisation d’un filtre passe-haut
L’élimination de la composante de basse fréquence (forme et ondulation)
par un filtrage passe-haut de longueur de coupure 0,8 mm (figure 7.14)
300 µm
200 µm
100 µm
0
0
2,5
5
7,5
10 mm
Profil redressé, acquis sans aucun filtrage ni mécanique ni électrique
40 µm
30 µm
20 µm
10 µm
0
0
2,5
5
7,5
10 mm
Après application d’un filtre passe-haut de longueur de coupure 0,8 mm
Figure 7.14 – Visualisation de l’utilisation d’un filtre passe-haut.
158
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7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.4 Critères principaux de chiffrage
des défauts d’état de surface
permet d’amplifier l’échelle verticale et de mettre en évidence seulement les
irrégularités relatives à la haute fréquence (rugosité).
m Utilisation d’un filtre passe-bas
L’élimination de la composante de haute fréquence (rugosité) par un
filtrage passe-bas de longueur de coupure 0,8 mm (figure 7.15) permet
de mettre en évidence la composante d’ondulation du profil.
10 µm
7,5 µm
5 µm
2,5 µm
0
0
1
2
3
4
5 mm
Profil redressé, acquis sans aucun filtrage ni mécanique ni électrique
3 µm
2 µm
1 µm
0
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
0
1
2
3
4 mm
Après application d’un filtre passe-haut de longueur de coupure 0,8 mm
Figure 7.15 – Visualisation de l’utilisation d’un filtre passe-bas.
7.4 Critères principaux de chiffrage
des défauts d’état de surface
Du fait du grand nombre de fonctions que peut être amenée à remplir
une surface, les critères permettant de caractériser son état de surface
sont extrêmement nombreux et variés. Dans cette première partie nous
159
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.4 Critères principaux de chiffrage
des défauts d’état de surface
n’évoquerons que ceux qui sont les plus utilisés industriellement et qui
sont naturellement conformes à la normalisation actuellement en usage
[7.2]. Dans ce premier temps, nous distinguerons séparément les uns
des autres : les paramètres de profil, les paramètres d’ondulation et les
paramètres de rugosité.
7.4.1 Paramètres de profil
(µm)
Naturellement les critères de profil se déterminent à partir d’un profil
obtenu sans aucun filtrage (figure 7.16). Ce profil aura toutefois été
redressé afin d’éliminer les écarts dus à un éventuel mauvais positionnement de la surface lors du mesurage. Si nécessaire la composante du
signal correspondant à la forme théorique du profil sera éliminée par
une association appropriée (droite ou cercle des moindres carrés par
exemple). Dans le système métrique, les paramètres de profil s’expriment
en microns. Nous nous limiterons à définir les deux principaux critères
suivants (voir figure 7.15) :
– Le profil total Pt qui est égal à la différence d’altitude entre le point le
plus haut et le point le plus bas pour la longueur totale du profil
mesuré.
– Le profil maximum Pz qui est égal à la différence d’altitude maximale
entre le point le plus haut et le point le plus bas à l’intérieur d’une
longueur de base (ici la longueur de base choisie est de 0,8 mm).
5
10
Pz
0
Pt
0
5
10
Figure 7.16 – Visualisation des paramètres
de profil Pt et Pz.
160
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15
(mm)
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.4 Critères principaux de chiffrage
des défauts d’état de surface
7.4.2 Paramètres d’ondulation
Ces critères se déterminent à partir du profil précédent auquel on aura
appliqué un filtrage passe-bas de façon à ne laisser subsister que la
composante relative à l’ondulation(figure 7.17). Là encore nous nous
limiterons aux critères les plus employés :
– L’ondulation totale Wt qui est égale à la différence d’altitude entre le
point le plus haut et le point le plus bas de la totalité du profil
d’ondulation.
– L’ondulation maximum Wz qui est égale à la différence d’altitude
entre le point le plus haut et le point le plus bas d’une alternance
d’ondulation. À noter que dans l’exemple représenté sur la figure 7.17,
nous sommes dans un cas particulier où Wt est égale à Wz (le point le
plus haut et le point le plus bas de la totalité du profil d’ondulation
sont sur la même alternance).
– Le pas moyen d’ondulation WSm qui est égal à la moyenne arithmétique des n pas instantanés d’ondulation WSmi mesurés sur la ligne
moyenne :
i=n
1
WSm = --- ∑ WSm i
n
4 (µm)
2
Wt=Wz
WSmi
0
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
i=1
0
5
6
7
8
9
10
11
12 (mm)
Figure 7.17 – Visualisation des paramètres
d’ondulation Wt, Wz et WSm.
161
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.4 Critères principaux de chiffrage
des défauts d’état de surface
7.4.3 Paramètres de rugosité
Les paramètres de caractérisation de la rugosité sont naturellement
calculés à partir d’un profil filtré en passe haut. La normalisation ISO
propose de mesurer un profil de rugosité sur une longueur d’évaluation
égale à cinq fois la longueur de base. Dans l’exemple considéré, nous
avons fort logiquement choisi une longueur de coupure (longueur de base)
de 0,8 mm, c’est la raison pour laquelle le calcul des paramètres de
rugosité se fera sur les cinq premières longueurs de base du profil précédent.
On note deux types de critères de rugosité normalisés principaux, les
critères géométriques et les critères statistiques.
m Critères de rugosité géométriques
(µm)
– La rugosité totale Rt qui est égale à la différence d’altitude entre le
point le plus haut et le point le plus bas du profil de rugosité.
– La rugosité maximum Rz est égale à la différence d’altitude maximale
entre le pic le plus haut et le creux le plus bas à l’intérieur d’une
longueur de base. À noter que dans le cas du profil représenté sur la
figure 7.18, nous sommes là encore dans un cas particulier où Rt = Rz
(le point le plus haut et le point le plus bas du profil de rugosité sont
à l’intérieur de la même longueur de base).
– La rugosité Rp est égale à la différence d’altitude maximale entre le pic
le plus haut et la ligne moyenne du profil à l’intérieur d’une longueur
de base.
Longueur de base
Rt = Rz
2
4
6
Rp
0
Rv
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
Figure 7.18 – Visualisation des paramètres de rugosité Rt, Rz, Rp et Rv.
162
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(mm)
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.4 Critères principaux de chiffrage
des défauts d’état de surface
– La rugosité Rv est égale à la différence d’altitude maximale entre le
creux le plus bas et la ligne moyenne du profil à l’intérieur d’une
longueur de base.
m Critères de rugosité statistiques
Nous distinguerons également des critères statistiques et parmi ceux-ci :
– La rugosité Ra qui est égale à la moyenne de la somme des valeurs
absolues des altitudes, par rapport à la ligne moyenne, des différents
points constituant le profil de rugosité à l’intérieur d’une longueur de
base, soit :
i=n
1
Ra = --- ∑ y i – Rv
n
i=1
– La rugosité Rq qui est égale à la racine carrée de la moyenne arithmétique de la somme des carrés des altitudes, par rapport à la ligne
moyenne, des différents points constituant le profil de rugosité à l’intérieur d’une longueur de base. On notera que Rq correspond à l’écart
type de la distribution des altitudes des points du profil.
i=n
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
∑ ( yi – Rv )
Rq =
2
i=1
---------------------------------n
– Le pas moyen de rugosité RSm qui est égal à la moyenne des pas
instantanés de rugosité mesurés sur la ligne moyenne à l’intérieur
d’une longueur de base :
i=n
1
RSm = --- ∑ RSm i
n
i=1
m Pourcentage de profil portant
Des profils peuvent posséder des critères Pt, Pz, Wt, Wz, WSm, Rt,
Rz, Ra, Rq, et RSm, identiques tout en étant totalement différents
163
7.4 Critères principaux de chiffrage
des défauts d’état de surface
6
(µm)
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
Rq
2
4
Ra
0
RSm i
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
(mm)
Figure 7.19 – Visualisation des paramètres statistiques de rugosité Ra, Rq, et RSm.
(µm)
c
0
15
5
10
5
10 (µm)
d’un point de vue fonctionnel. C’est la raison pour laquelle des paramètres dits paramètres de forme sont parfois nécessaires pour les évaluer.
Dans un premier temps comme paramètre de forme nous considérerons
seulement la courbe de portance connue sous le nom de courbe d’Abbott
et Firestone. Cette courbe consiste à représenter graphiquement
l’évolution du pourcentage de la longueur de profil coupé Pmr(c) par
rapport à la longueur totale du profil exploré en fonction de la profondeur de coupe c, cette profondeur de coupe variant naturellement de 0
à Pt (figure 7.20). L’examen de la courbe d’Abbott permet de se faire
une bonne idée de la répartition des altitudes des différents points
du profil.
0
5
10
15 (mm) 0
20
40
60
80
Pmr (c)
Figure 7.20 – Visualisation du paramètre Pmr(c) lié à la courbe d’Abbott.
164
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(%)
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.4 Critères principaux de chiffrage
des défauts d’état de surface
Théoriquement cette courbe peut être obtenue à partir d’un profil filtré
ou non. Dans la pratique, ce sont surtout les courbes de portance obtenues à partir d’un profil total ou d’un profil de rugosité qui sont intéressantes. La normalisation [7.2] propose d’appeler Pδc (ou Rδc, ou Wδc)
la distance entre deux profondeurs de coupe c1 et c2 (Pδc = c2-c1) et
Pmr(Pδc) le pourcentage de profil portant entre les altitudes c1 et c2.
7.4.4 Paramètres de forme
m Généralités
6
(µm)
z
2
4
M i = (x i ,z i )
x
0
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Étant maintenant admis que les paramètres traditionnels caractérisant
un profil de rugosité ne sont pas suffisants pour permettre la connaissance complète de celui-ci, il y a donc nécessité de considérer d’autres
critères. Nous avons vu que la courbe de portance était l’un de ces critères, mais d’autres paramètres de forme sont eux aussi fréquemment
utilisés. Nous allons essayer de définir les principaux d’entre eux ainsi
que la manière de les évaluer aussi précisément que possible. Un profil
de rugosité digitalisé peut être représenté par un nombre n de points Mi lui
appartenant et dont les coordonnées xi, zi sont exprimées dans le repère
de mesure. Le nombre de points n est fonction du pas de numérisation
L .
et de la longueur du profil exploré avec : n = ------pas
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
(mm)
Figure 7.21 – Profil numérisé
165
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.4 Critères principaux de chiffrage
des défauts d’état de surface
Il est alors possible de calculer l’ordonnée z de l’altitude moyenne des
i=n
∑ zi
i=1
n points en posant : z = ----------- . Un changement d'origine approprié
n
fait que cette ligne moyenne sera prise comme axe des abscisses dans
toute la partie qui va suivre. La totalité des points du profil est donc
répartie de part et d'autre de la ligne moyenne dans un intervalle Rt
s'étendant de –Rv à Rp (figure 7.22).
5
Rp
0
Rv
–4
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
(mm)
Figure 7.22 – Profil numérisé exprimé à partir de la ligne moyenne.
On peut alors calculer et tracer la courbe W = f(z) représentant la distribution de l'ordonnée des n points du profil de rugosité dans
l’intervalle [-Rv, Rp], Wc est la probabilité d'avoir c < z < (c + dz)
quand dz Æ 0 (voir figure 7.23).
L'examen de la forme de cette courbe de distribution peut présenter un
grand intérêt en ce qui concerne la connaissance des caractéristiques
morphologiques de la surface dont est extrait le profil observé, en effet :
Une courbe de distribution dont l’allure est celle représentée dans la
partie gauche de la figure 7.24 correspondra à un profil comportant
plutôt des plateaux hauts avec quelques points bas. Une représentation
schématisée de ce type de profil apparaît dans la partie droite de la
figure.
166
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7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.4 Critères principaux de chiffrage
des défauts d’état de surface
W
Wc
–Rv
c
Rp
z
dz
Figure 7.23 – Courbe de distribution des altitudes des points d’un profil.
z
Rp
W
x
–Rv
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Figure 7.24 – Profil présentant plutôt des points hauts.
Une courbe de distribution dont l’allure est celle représentée dans
la partie gauche de la figure 7.25 correspond au contraire à un profil
comportant une majorité des plateaux bas et quelques points hauts
(type de profil dont une image schématisée est représentée dans la partie
droite de la figure).
z
Rp
W
x
–Rv
Figure 7.25 – Profil présentant plutôt des points bas.
167
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.4 Critères principaux de chiffrage
des défauts d’état de surface
m Le skewness
La dissymétrie de la courbe représentant la fonction distribution peut
être mise en évidence par le coefficient d'asymétrie ou coefficient de
Fischer que l’on nomme skewness en profilométrie. Celui-ci se calcule à
partir des moments centrés de la distribution. On rappelle que si l’on
note µq le moment centré d'ordre q d’une distribution de n points de
poids z on aura :
i=n
∑ zi
i=1
q
µ q = ------------
n
On notera que le moment centré d'ordre 2 correspond à la variance d’une
distribution et que pour une distribution symétrique, tous les moments
centrés d’ordre impair seront nuls. Dans la distribution de n points d’altitude z appartenant à un profil, le skewness sk se calcule à partir des
moments centrés d’ordre 3 de la façon suivante :
i=n
µ
µ
∑ zi
i=1
3
3
sk = ----33- = --------3 = -----------------3
--Rq
n ⋅ Rq
2
µ2
C'est le signe de sk qui caractérisera l'éventuelle dissymétrie de la distribution. On aura sk du même signe que m-t, avec m = abscisse de la
moyenne et t = abscisse du maximum de probabilité. Dans notre cas :
– sk = 0, la courbe est symétrique par rapport à la moyenne.
– sk > 0, le maximum de probabilité se trouve à gauche de la moyenne.
– sk < 0, le maximum de probabilité se trouve à droite de la moyenne.
Ce qui montre (figure 7.26) qu’un skewness négatif est l’indication
d’une prédominance de points hauts sur le profil comme cela apparaît sur
les courbes représentées sur la figure 7.24, alors qu’un skewness positif
indique au contraire la prédominance de points bas sur le profil comme
on peut s’en rendre compte sur les courbes de la figure 7.25.
168
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7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.4 Critères principaux de chiffrage
des défauts d’état de surface
W
m=t
W
W
z
t
sk = 0
m
z
m
sk > 0
t
z
sk < 0
Figure 7.26 – Signification du skewness
ou coefficient d’assymétrie.
m Le kurtosis
La finesse de la courbe représentant la distribution peut être mise en
évidence et chiffrée par le coefficient de finesse ou coefficient de Pearson
appelé kurtosis. En profilométrie, ce coefficient se calcule à partir des
moments centrés d’ordre 4 de la façon suivante :
i=n
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
µ4
µ4
∑ zi
i=1
4
ku = ----4- = ---------4 = -----------------4
--Rq
n ⋅ Rq
2
µ2
Nous rappelons qu’il caractérise la finesse de la distribution du profil, c’està-dire le regroupement des points du profil de façon plus ou moins
dispersée autour de la valeur moyenne et que pour une distribution
gaussienne il est égal à 3.
Les spécifications sk et ku sont respectivement précédées des lettres P,
W ou R selon qu’ils correspondent au skewness ou au kurtosis calculé
sur un profil non filtré, sur un profil d’ondulation ou sur un profil de
rugosité.
169
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.4 Critères principaux de chiffrage
des défauts d’état de surface
W
ku = 3
W
z
W
ku > 3
z
ku < 3
z
Figure 7.27 – Signification du kurtosis ou coefficient de finesse
m Relation avec la courbe de portance
La fonction F(z) obtenue par l’intégration entre 0 et Rt de la fonction
W = f(z) représentant la distribution des altitudes des points constituant
Rt
un profil de rugosité, F ( z ) =
∫ f ( z ) dz donnera la probabilité de trouver
0
un point dont l’altitude est comprise entre 0 et z = c. La représentation
graphique de cette fonction, ou courbe de répartition, correspond à la
courbe de portance. On peut dire de façon plus pratique que la courbe
de portance donne le pourcentage des n points (ou de la longueur de
profil puisque le profil est défini par ces n points) compris entre l’altitude
maximale et l’altitude z considérée. Il est facile de relier la forme générale
de cette courbe avec le skewness (figure 7.29).
0
WA
0
P(0 < z < c)
c
Rt
Rt
Courbe de distribution
Courbe de portance
z
z
Figure 7.28 – Courbe de distribution et courbe de portance d’un profil.
170
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7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
Rsk = 0
7.4 Critères principaux de chiffrage
des défauts d’état de surface
Rsk > 0
Rsk < 0
Figure 7.29 – Corrélation entre allure des courbes de portance et skewness
7.4.5 Méthode des motifs
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
m Origine et principe
L’inconvénient principal que présentent les différentes techniques de
filtrage que nous avons utilisées jusqu’ici provient de ce que dans toutes
ces méthodes le filtrage s’effectue sur la ligne moyenne. Or on peut très
bien imaginer un profil ne présentant pas d’ondulation sur sa ligne
moyenne tout en étant fortement ondulé sur les sommets comme celui
représenté sur la figure 7.30, ou à l’inverse, un profil fortement ondulé
sur la ligne moyenne et pratiquement rectiligne sur la ligne des sommets
comme celui représenté sur la figure 7.31. Les contacts entre deux
surfaces se réalisant toujours, tout au moins dans un premier temps, sur
les points hauts des aspérités, on conçoit que les méthodes traditionnelles de filtrage puissent se révéler insatisfaisantes lors de certaines analyses destinées à prévoir le comportement des surfaces observées. Partant
de cette constatation, les principaux constructeurs automobile réunis au
sein du CNOMO ont mis au point, dans les années 1970, la méthode
des motifs qui a été depuis normalisée sous la référence ISO 12085.
Figure 7.30 – Profil rectiligne sur la ligne moyenne
et ondulé sur les sommets.
171
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.4 Critères principaux de chiffrage
des défauts d’état de surface
Figure 7.31 – Profil ondulé sur la ligne moyenne
et rectiligne sur les sommets.
L’objectif de cette méthode est de définir un mode de séparation des
écarts géométriques de rugosité et d’ondulation qui n’altère ni ne modifie
le profil réel analysé et qui offre une réjection maximale des composantes
des ordres indésirés sur la zone étudiée. La méthode est empirique, elle est
basée sur la reconnaissance des formes et permet d’identifier les motifs du
profil en ne conservant que ceux qui seront jugés comme étant caractéristiques de celui-ci. Un motif élémentaire est la portion de profil comprise
entre deux pics consécutifs (voir figure 7.32).
Hj+1
Hj
Ai
Figure 7.32 – Constitution d’un motif
de rugosité élémentaire.
Un motif est caractérisé par les hauteurs des deux pics Hj et Hj +1 qui
l’encadrent ainsi que par sa largeur Ai (on appellera T la plus petite des
deux hauteurs H). Un premier tri permet d’éliminer les pics de faible
altitude et de corriger l’altitude des pics importants isolés.
172
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7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.4 Critères principaux de chiffrage
des défauts d’état de surface
m Combinaison des motifs
Cette opération à pour but de ne prendre en considération que les motifs
réellement influents, elle consiste à les regrouper si quatre conditions sont
respectées.
M Condition 1, enveloppe
Deux motifs voisins ne peuvent être combinés si le pic qui leur est
devenu commun est plus élevé que les deux autres (figure 7.33) :
Combinaison impossible
Combinaison possible
Figure 7.33 – Condition d’enveloppe.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
M Condition 2, largeur
Aucune combinaison n’est possible si la largeur du nouveau motif est
supérieure à A (A est la limite arbitrairement choisie comme valeur
maximum du pas de rugosité, on choisit généralement A = 500 µm,
(figure 7.34).
500 µm
Combinaison impossible
500 µ m
Combinaison possible
Figure 7.34 – Condition de largeur.
173
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.4 Critères principaux de chiffrage
des défauts d’état de surface
M Condition 3, agrandissement
Aucune combinaison n’est possible si l’on diminue la plus petite hauteur T
de l’un des deux motifs initiaux (figure 7.35).
Combinaison impossible
Combinaison possible
Figure 7.35 – Condition d’agrandissement.
M Condition 4, profondeur relative
Aucune combinaison n’est possible si les profondeurs de deux vallées adjacentes à l’intérieur du nouveau motif constitué sont supérieures à 60 %
de la valeur T de ce nouveau motif (figure 7.36).
Combinaison impossible
Combinaison possible
Figure 7.36 – Condition de profondeur relative.
Lorsque plus aucune combinaison n’est possible, les motifs obtenus par
tous les regroupements autorisés sont déclarés motifs caractéristiques de
rugosité (figure 7.37). La ligne réunissant tous les sommets de ces motifs,
appelée ligne enveloppe supérieure, constitue l’ondulation du profil
(figure 7.38).
174
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7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.4 Critères principaux de chiffrage
des défauts d’état de surface
10 µm
7,5 µm
5 µm
2,5 µm
0
500
1 000
1 500
2 000
2 500 µm
Figure 7.37 – Motifs caractéristiques de rugosité.
10 µm
7,5 µm
5 µm
2,5 µm
0
500
1 000
1 500
2 000
2 500 µm
Figure 7.38 – Motifs caractéristiques d’ondulation.
M Calcul des paramètres de caractérisation du profil
On calculera :
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
i=n
1
AR = --- ∑ AR i , pas moyen de rugosité.
ni = 1
j=m
1
et R = ---- ∑ H j , rugosité moyenne.
mj=1
On peut alors appliquer l’algorithme précédent sur la ligne enveloppe
réunissant les sommets des motifs caractéristiques de rugosité afin de définir
les motifs élémentaires d’ondulation. On regroupera ensuite ces motifs
élémentaires d’ondulation en utilisant le même algorithme que précédemment. La seule différence se situe naturellement pour la condition de largeur
dans laquelle R sera remplacée par W, avec généralement W = 2 500 µm,
de façon à obtenir les motifs caractéristiques d’ondulation (figure 7.38).
175
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.5 Caractérisation tridimensionnelle
des états de surface
De même on calculera alors :
i=n
1
AW = --- ∑ AW i, pas moyen d’ondulation
ni = 1
j=m
1
et : W = ---- ∑ HW j , ondulation moyenne.
mj=1
7.5 Caractérisation tridimensionnelle
des états de surface
7.5.1 Hétérogénéité et anisotropie des surfaces
Nous avons vu que la normalisation actuellement en vigueur définit un
grand nombre de paramètres permettant de caractériser un état de surface.
Nous avons évoqué dans la partie précédente les plus utilisés dans le
monde industriel et nous savons comment les mesurer. Le principal
inconvénient que présentent ces critères est qu’ils sont tous déterminés
à partir de l’examen d’un profil extrait de la surface observée. Or une
surface réelle peut présenter des profils très différents les uns des autres
selon l’endroit où ils ont été mesurés ou suivant la direction dans laquelle
ils ont été mesurés. La figure 7.39 représente l’aspect réel d’une surface
théoriquement plane obtenue par fraisage de face. En réalité cette surface
est constituée d’une succession de stries circulaires (plus exactement épicycloïdales) dont la géométrie et les dimensions dépendent des conditions
d’usinage (diamètre de l’outil, géométrie de sa partie active, avance par
dent…). Nous dirons que cette surface est anisotrope, c’est-à-dire qu’elle
présente des profils différents en fonction de la direction dans laquelle
ils seront mesurés. D’autres surfaces peuvent être hétérogènes, c’est-àdire que la forme d’un profil dépendra de l’endroit où celui-ci aura
été saisi.
Il est donc assez hasardeux de prétendre caractériser un état de surface à
partir de l’examen d’un seul profil appartenant à cette surface. Dans le cas
d’une surface anisotrope, lorsque la direction de mesure n’est pas spécifiée,
176
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7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.5 Caractérisation tridimensionnelle
des états de surface
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Figure 7.39 – Morphologie d’une surface fraisée théoriquement plane.
la normalisation demande de choisir la direction de palpage de façon à
ce qu’elle corresponde aux valeurs maximales des paramètres caractérisant l’étalement vertical du profil. Dans le cas d’une surface hétérogène
seule la mesure d’un certain nombre de profils et un traitement statistique
des résultats obtenus peuvent donner une information satisfaisante.
7.5.2 Caractérisation tridimensionnelle des états de surface
m Mesure tridimensionnelle des états de surface
M Saisie tactile
La plupart des appareils de mesure tactile d’état de surface actuels
permettent la caractérisation tridimensionnelle de ceux-ci (figure 7.40).
La surface réelle est alors connue par l’intermédiaire d’un nuage de
points dont les altitudes z dépendent de leur position dans le plan de
référence de la mesure z = f(x, y). Il est alors facile d’imaginer que l’on
177
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.5 Caractérisation tridimensionnelle
des états de surface
pourra réaliser sur ce nuage de points toutes les opérations que l’on
exécute habituellement sur les points des profils afin de déterminer des
paramètres du même type. Les comités de normalisation travaillent
actuellement sur la définition des critères de caractérisation tridimensionnels des états de surface. Aujourd’hui la préconisation de l’ISO est
de faire précéder les critères correspondants aux critères de profil calculés à
partir de mesures tridimensionnelles de la lettre S afin d’indiquer qu’ils
sont relatifs à des surfaces et non à des lignes.
z
y
z
Figure 7.40 – Appareil tactile de mesure tridimensionnelle d’état de surface.
M Saisie optique
Des systèmes optiques peuvent également être employés pour la mesure
des états de surface. Quelle que soit la technologie utilisée, il s’agit
toujours de mesurer l’altitude zi de n points Mi appartenant à la surface
explorée, les coordonnées xi et yi correspondantes étant fournies soit à partir
d’un système de mesure des déplacements en x et en y, soit par l’intermédiaire d’une caméra CCD. Les deux technologies optiques les plus
couramment employées sont :
Focalisation d’un faisceau laser
Un système mesure le déplacement vertical de l’objectif de focalisation
d’un faisceau laser sur le point Mi de la surface dont on veut mesurer
178
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7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.5 Caractérisation tridimensionnelle
des états de surface
l’altitude zi. Les variations de déplacement de l’objectif correspondront
aux variations d’altitude des différents points appartenant à la surface.
Le choix d’un laser, donc d’une lumière monochromatique, permet la
définition de la tache de focalisation d’une façon très rigoureuse.
Microscopie confocale
La microscopie confocale à champ étendu permet d’enregistrer l’altitude zi d’un point Mi appartenant à une surface sans devoir procéder à la
recherche dynamique de la focalisation, c’est-à-dire sans aucun mouvement mécanique. Le principe consiste à créer à partir d’une lumière
blanche une série d’images monochromatiques le long de l’axe optique
du faisceau lumineux. Un filtre spatial sélectionne la longueur d’onde de
l’image correspondant au point Mi mesuré afin de déterminer l’altitude
de celui-ci après décodage.
m Traitement des mesures
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
M Surface brute redressée
La mesure fournie une image reconstituée de la surface explorée à partir
des n points Mi (xi, yi, zi) saisis. Une image extraite d’une mesure effectuée
sur une surface théoriquement plane obtenue par fraisage est représentée
sur la figure 7.41. Cette image à été redressée par la méthode des moindres
carrés afin d’éliminer son défaut d’orientation par rapport au référentiel
de mesure. À partir des n points mesurés et des définitions exposées au
paragraphe 7.4 il est possible de calculer les paramètres SPt = 17,75 µm,
SPz = 16,70 µm, SPsk = 0,15, et Spku = 2,22. À noter que dans l’exemple
choisi le nombre n de points Mi mesurés est de 640 000.
M Surface brute filtrée en passe-bas
Des techniques de filtrage basées sur la décomposition en séries de
Fourrier de la fonction z = f(x,y) et de son interaction avec l’effet du filtre
utilisé g(x, y) [7.8] permettent d’obtenir le signal filtré en basse fréquence
correspondant à l’ondulation de la surface (figure 7.42). La normalisation
préconise l’emploi d’un filtre gaussien qui permet de séparer les différentes
179
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.5 Caractérisation tridimensionnelle
des états de surface
Figure 7.41 – Surface brute redressée.
Figure 7.42 – Surface filtrée en passe-bas,
longueur de coupure 0,8 mm en x et en y.
180
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7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.5 Caractérisation tridimensionnelle
des états de surface
composantes d’un signal sans distorsion ni déphasage. Dans notre exemple,
les longueurs de coupures choisies étaient de 0,8 mm en x et de 0,8 mm
en y. Il est alors possible de calculer sur la surface filtrée les paramètres
SWt = 5,60 µm et SWz = 5,60 µm.
M Surface brute filtrée en passe-haut
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Par soustraction du signal filtré en passe bas au signal non filtré, on
obtient la composante filtrée en haute fréquence qui correspond à la
rugosité de la surface, figure 7.43. À partir de ce nouveau signal il est possible de calculer les paramètres habituels, SRt = 12,60 µm, SRz = 12 µm,
Sra = 1,26 µm, SRq = 1,62 µm, SRsk = 0,473 et Srku = 3,38.
Figure 7.43 – Surface filtrée passe-haut,
longueur de coupure 0,8 mm en x et en y.
181
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.6 Indications d’états de surface sur les dessins
7.6 Indications d’états de surface
sur les dessins
La fonctionnalité des surfaces va leur imposer de présenter certaines
caractéristiques quant à leur état de surface et va donc nécessiter de
spécifier les critères correspondants sur les dessins de définition.
La normalisation technique en vigueur indique les symboles permettant
de porter ces informations.
Figure 7.44 – Symbole de base, mode de réalisation non précisé.
Figure 7.45 – Enlèvement de matière exigé pour l’obtention de la surface.
Figure 7.46 – Enlèvement de matière interdit pour l’obtention de la surface.
c
a
e
d b
a – valeur d’état de surface précédée du symbole correspondant.
b – autres valeurs d’état de surface précédées du symbole correspondant.
c – procédé de fabrication, si nécessaire.
d – stries de surface et orientation possible.
e – surépaisseur d’usinage.
Figure 7.47 – Écriture de spécifications complémentaires.
182
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7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.7 Bibliographie
Toutes les informations indispensables à la réalisation et à la mesure de
l’état de surface demandé doivent figurer autour du symbole de base, en
précisant bien le symbole normalisé du ou des critère(s) choisi(s) ainsi
que sa (leurs) valeur(s) numérique(s), figure 7.48. Naturellement, on ne
doit porter sur un dessin de définition que les indications absolument
indispensables pour un bon fonctionnement de la surface spécifiée.
Pour plus d’informations on se rapportera à la norme ISO 1302.
Fraisé
Ra 0,8
Rz 3,2
La surface doit être obtenue par fraisage
La rugosité Ra ne doit pas excéder 0,8 μm
La rugosité Rz ne doit pas excéder 3,2 μm
Les stries d’usinage doivent être
perpendiculaires au plan du dessin
Figure 7.48 – Exemple de spécification d’état de surface.
7.7 Bibliographie
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
[7.1] Spécification géométrique des produits (GPS), État de surface :
méthode du profil ; règles et procédures pour l’évaluation de l’état de
surface, ISO 4288, AFNOR 1996.
[7.2] Spécification géométrique des produits (GPS), État de surface :
méthode du profil ; termes définitions et paramètres d’état de surface,
ISO 4287, AFNOR 1998.
[7.3] Spécification géométrique des produits (GPS), Indication des états de
surface dans la documentation technique des produits, ISO 1302,
AFNOR 2002.
[7.4] Physique et ingénierie des surfaces, A. CORNET, J.-P. DEVILLE, EDP
Sciences, 1998.
[7.5] Rough surfaces, R. THOMAS, Imperial College Press, 1999.
[7.6] Spécification géométrique des produits (GPS), État de surface :
méthode du profil ; surfaces ayant des propriétés différentes suivant les
niveaux, ISO 13565, AFNOR.1996.
183
7 • Mesure et caractérisation
des états de surface
7.7 Bibliographie
[7.7] Spécification géométrique des produits (GPS), État de surface :
méthode du profil ; paramètres liés aux motifs, ISO 12085, AFNOR
1996.
[7.8] Filtrage tridimensionnel des surfaces rugueuses, H. ZAHOUANI,
Bulletin de la société des sciences et des lettres de Lodz, vol. XX,
Recherches sur les déformations, p.131-163, 1995.
[7.9] The development of methods for the characterisation of roughness in
three dimensions, Commission of the European communities
ISBN 0 7044 1313 2, septembre 1993.
184
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8 • LA MÉTROLOGIE
DES MACHINES-OUTILS
8.1 Pourquoi la métrologie
des machines-outils
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
8.1.1 Généralités et rappels
Une machine-outil a pour fonction de générer des surfaces en combinant des déplacements relatifs entre un outil et un bloc de matière sur
lequel doit être réalisée la surface désirée (pièce). La plupart des machinesoutils possèdent une broche, c’est-à-dire qu’elles sont constituées d’une
liaison pivot qui permet de mettre en rotation, soit un outil de coupe
(fraise, foret, alésoir, meule…) soit la pièce à usiner elle-même (tournage,
rectification cylindrique, taillage…) ainsi que d’un certain nombre d’autres
liaisons (généralement pivots ou glissières) que l’on appelle les axes, et
qui permettent l’obtention de géométries particulières en réalisant des
déplacements relatifs contrôlés entre la pièce et la broche. Les commandes
des déplacements, qu’elles soient manuelles mécaniques ou numériques,
en direction, sens, vitesse et grandeur, permettent d’obtenir les formes
les plus diverses tant à l’échelle macrogéométrique (forme) qu’à l’échelle
microgéométrique (état de surface).
Si les liaisons entre les différents solides constituant les organes mobiles
des machines-outils étaient parfaites il n’y aurait aucun problème puisque
les surfaces réelles obtenues seraient rigoureusement conformes aux
185
8 • La métrologie
des machines-outils
8.1 Pourquoi la métrologie des machines-outils
surfaces théoriques programmées. Par exemple on sait que l’on peut
obtenir par chariotage une surface cylindrique en combinant la rotation
d’un solide autour d’un axe avec la translation rectiligne de la partie
active d’un outil de coupe parallèlement à cet axe (figure 8.1). En réalité
la surface théoriquement et réellement obtenue ne sera pas une surface
cylindrique mais une rainure hélicoïdale dont le pas sera égal à l’avance
par tour et dont le profil dépendra de la géométrie de la partie active de
l’outil utilisé. L’opérateur fixera ces paramètres de façon à ce que leurs
effets soient négligeables aussi bien à l’échelle macrogéométrique qu’à
l’échelle microgéométrique : ils permettent l’obtention d’un état de surface
compatible avec les spécifications exigées.
y0
x0
y’0
(S1)
O0
(D)
(G)
x’0
B
O’0
(S2)
z0
A
z’0
Figure 8.1 – Génération d’une surface
théoriquement cylindrique.
La broche supportant la solide pièce (S1) est mise en rotation par
rapport au bâti (S0) par l’intermédiaire d’une liaison pivot d’axe z0. Le
solide (S2) supportant l’outil, dont on assimilera la partie active au point
B, est mobile en translation par rapport au bâti (S0) par l’intermédiaire
d’une liaison glissière d’axe z¢0 parallèle à z0. On sait qu’à chaque liaison
parfaite on peut associer deux torseurs : un torseur statique représentant
les efforts transmissibles par la liaison ainsi qu’un torseur cinématique
représentant les déplacements (degrés de liberté) permis par la liaison [8.1].
Or dans la réalité les liaisons ne sont jamais parfaites en raison notamment
des jeux indispensables à leur fonctionnement ou bien des imperfections
186
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8 • La métrologie
des machines-outils
8.1 Pourquoi la métrologie des machines-outils
géométriques inévitables affectant les solides qui les constituent. Dans
l’exemple représenté par la figure 8.1, les imperfections de la rotation de
la broche entraîneront un défaut de circularité de la directrice (D) de la
surface générée, et les imperfections de la translation du traînard entraîneront un défaut de rectitude de la génératrice (G) de cette même surface.
D’où la nécessité de connaître les valeurs des défauts des liaisons qui
constituent les machines-outils afin de pouvoir déterminer les possibilités
de celles-ci.
8.1.2 Modélisation des défauts des liaisons
Considérons une liaison glissière d’axe Ox permettant le déplacement
d’un solide (S) par rapport à un bâti (0) (figure 8.2). Le torseur statique
associé à cette liaison est de la forme : τ ( 0 → S )R
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
cinématique est de la forme : C ( S → 0 )R
⎧ 0,L ⎫
⎪
⎪
= ⎨ Y,N ⎬ . Le torseur
⎪ Z,M ⎪
⎩
⎭A
⎧ 0,u ⎫
⎪
⎪
= ⎨ 0,0 ⎬ .
⎪ 0,0 ⎪
⎩
⎭A
y0
B2
(S2)
O0
z0
(S’2)
A2
B’ 2
A’2
B1
A1
(S1)
x0
Figure 8.2 – Modèlisation d’une liaison glissière
d’axe Ox.
187
8 • La métrologie
des machines-outils
8.1 Pourquoi la métrologie des machines-outils
Lorsque le solide passe de la position (S1) à la position (S¢2), ce déplacement se produit suivant une translation rectiligne de direction X0, et le
point A qui se situait en A1 avant le déplacement devrait théoriquement
se retrouver en A¢2 après ce déplacement. Les propriétés d’une translation rectiligne sont telles que les vecteurs déplacements de tous les
9 1,A¢2 =
points du solide en mouvement sont égaux ce qui signifie que : A
9 1,B¢2 et donc que le déplacement du point B (partie active de l’outil de
B
coupe) qui matérialise la génératrice de la surface chariotée sera bien
rectiligne et générera alors un cylindre théoriquement parfait.
Or pour toutes les raisons ayant trait à l’imperfection des liaisons mécaniques déjà évoquées, on sait que le déplacement du solide (S) ne sera pas
rigoureusement rectiligne, que la nouvelle position de (S) ne sera pas
(S¢2) mais (S2), que le point A ne se trouvera donc pas comme espéré en
A¢2 mais à une position réelle A2 légèrement différente de celle attendue. C’est-à-dire que le point A en plus de son déplacement rectiligne
normal aura subi un petit déplacement parasite A
6 ¢2,A2 que l’on pourra
éventuellement mesurer. Mais bien sûr, ce qui intéresse l’usineur ce n’est
pas le déplacement du point A mais celui du point B. Or le déplacement
réel du traînard n’étant plus une translation linéaire, les vecteurs déplacements des différents points du solide qui le constitue ne sont plus
égaux. Il est alors beaucoup plus délicat de connaître le déplacement
réel de B et donc la forme de la génératrice obtenue. Pour tenter de
résoudre facilement ce problème il est commode de modéliser les déplacements dus aux imperfections de la liaison par un torseur des petits
déplacements analogue à celui que nous avons déjà utilisé dans le chapitre 4, c’est-à-dire que nous associerons à chaque liaison un torseur
supplémentaire [8.2] linéarisant les petits déplacements causés par les
défauts de la liaison considérée. Dans le cas de notre exemple, pour
une liaison glissière d’axe Ox, ce torseur sera de la forme :
⎧ d α x,0 ⎫
⎪
⎪
D ( S → 0 )R = ⎨ d α y,dy ⎬ . L’intérêt que présente cette modélisation est
⎪ d α z,dz ⎪
⎩
⎭
A
188
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8 • La métrologie
des machines-outils
8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
que si l’on connaît les composantes de ce torseur en un point quelconque
du solide (S), par exemple au point A, on pourra facilement calculer le
déplacement de n’importe quel autre point du solide, par exemple le
point B. On appelle U
9 (A/0) le vecteur petit déplacement du point A/0,
U
9 (B/0) le vecteur petit déplacement du point B/0 et 9W(S/0) le vecteur
petite rotation du solide S/0, cela permet alors d’écrire : U
9 (B/0) = U
9 (A/0) =
B
AŸ9
W
.
La
métrologie
des
machines-outils
a
pour
but
de
permettre
6
(S/0)
de mesurer les composantes des torseurs des petits déplacements qui
caractérisent l’imperfection des différentes liaisons qui les constituent.
Il faut cependant bien comprendre que ces composantes ne sont pas des
constantes pour une liaison donnée, mais qu’elles sont continuellement
variables en fonction de la position du mobile considéré au cours de son
déplacement normal. La seule solution possible est de constituer pour
chaque liaison un fichier exprimant la valeur de ces composantes pour
un certain nombre de positions de ce mobile. Plus le nombre de positions retenues sera grand mieux le déplacement sera connu. Dans ce qui
va suivre nous étudierons la mesure des défauts en un point A d’une
liaison glissière d’axe Ox, une analyse analogue pouvant être réalisée pour
n’importe quelle autre type de liaison.
8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière
8.2.1 Mesure du déplacement réel d’une glissière
Le déplacement théorique du mobile peut être obtenu par un système visécrou, un entraînement pignon-crémaillère, un vérin pneumatique ou
hydraulique, un moteur linéaire, voire par tout autre moyen. La valeur de
ce déplacement est contrôlée à l’aide d’une commande pas à pas, de
tambours gradués, de règles optiques ou d’autres procédés, et naturellement le système peut travailler en boucle ouverte ou en boucle fermée.
Quoi qu’il en soit il est essentiel de savoir si le déplacement réel correspond au déplacement théorique souhaité et donc de pouvoir mesurer ce
déplacement réel avec une précision satisfaisante.
189
8 • La métrologie
des machines-outils
8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière
S’il est toujours possible d’employer les étalons de longueur classiques à
bouts ou à traits et de déterminer les écarts entre les positions réelles
obtenues et les positions théoriques programmées en utilisant des
comparateurs de longueurs à technologie mécanique ou électrique, une
méthode particulièrement efficace et actuellement très souvent mise en
œuvre dans le contrôle des machines-outils consiste à mesurer ces écarts
par interférométrie laser.
m Interféromètre de Michelson
L’interféromètre de Michelson permet de mesurer avec une excellente
précision la valeur du déplacement rectiligne d’un système optique. L’étalon
de longueur employé est la longueur d’onde de la radiation d’une lumière
monochromatique. Généralement on utilise la longueur d’onde du faisceau
émis par un laser hélium-néon qui vaut 0,632 µm et qui correspond à
une émission dans le rouge. Si le laser est correctement stabilisé en
fréquence et si le milieu dans lequel le faisceau se propage (l’air ambiant) est
parfaitement maîtrisé en température, pression et hygrométrie, cette
longueur est rigoureusement constante et peut donc matérialiser un
étalon de longueur de très bonne qualité.
Le faisceau émis par la source laser E (figure 8.3) arrive sur un premier
élément optique fixe, le séparateur, qui dévie la moitié du faisceau f1
vers un premier réflecteur 1 solidaire du séparateur, la moitié restante
du faisceau f2 est envoyée sur un deuxième réflecteur 2 solidaire lui de
l’élément mobile dont on veut mesurer le déplacement. Les deux faisceaux réfléchis respectivement par 1 et par 2 se recombinent dans le
séparateur et sont récupérés par le récepteur R. En raison de la nature
ondulatoire de la lumière le récepteur R va observer un faisceau qui est
la somme de deux rayons : l’un de longueur constante f1 (faisceau de
référence) et l’autre dont la longueur varie avec le déplacement du
réflecteur 2 (donc du mobile considéré) f2. Ce qui fait qu’il va recevoir
une quantité de lumière variant alternativement entre un maximum
(f1 et f2 sont en phase) et 0 (f1 et f2 sont en opposition de phase) correspondant à des franges d’interférence espacées de l/2, soit dans notre cas
de 0,316 µm. Un convertisseur analogique digital découpe ensuite le
190
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8 • La métrologie
des machines-outils
8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière
signal correspondant jusqu’à une résolution pouvant théoriquement
aller jusqu’à 1/10 000 µm.
E
Séparateur fixe
f 1+f 2
f2
f 1+f 2
f2
Source récepteur
R
f1
f1
Réflecteur 2
(mobile)
Réflecteur 1 (fixe)
Figure 8.3 – Schéma de principe d’un interféromètre de Michelson.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Ce système de mesure extrêmement précis peut donc être employé pour
la mesure des défauts de déplacement des organes d’une machine-outil,
mais il peut également être utilisé pour mesurer les déplacements sur
certaines machines à mesurer de grande précision ou pour procéder à la
vérification des étalons de travail dans les laboratoires de métrologie.
8.2.2 Mesure des écarts angulaires
Les déplacements angulaires autour de chacun des axes de la liaison
correspondent aux composantes de la résultante (vecteur petite rotation
9W(S/0)) du torseur des petits déplacements associé à cette liaison. On
sait que la résultante d’un torseur est constante en tout point du solide
auquel il est associé ce qui fait qu’on peut mesurer indifféremment ses
composantes en n’importe quel point de ce solide. Dans une glissière
d’axe Ox, on appelle traditionnellement les composantes de la résultante :
la rotation autour de Ox le roulis, la rotation autour de Oy le lacet et la
rotation autour de Oz le tangage. Plusieurs méthodes pratiques peuvent
être valablement envisagées afin de réaliser ces mesures.
191
8 • La métrologie
des machines-outils
8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière
m Mesure différentielle
La référence linéaire est matérialisée, soit par la génératrice d’un cylindre étalon dont l’axe est parallèle à l’axe de la broche lorsqu’il s’agit de
qualifier par exemple un tour ou une rectifieuse cylindrique, soit par
une règle étalon bridée sur la table de la machine si l’on doit caractériser
les déplacements d’une fraiseuse, d’une aléseuse ou d’un centre d’usinage.
Deux comparateurs 1 et 2 espacés d’une longueur d sont fixés sur le
mobile (S) dont on veut contrôler le déplacement (figure 8.4). Lors de
la translation de (S) le long de l’axe Ox, les petites rotations de (S)
autour de Oy entraîneront des déviations de sens opposés dz1 et dz2
mesurées par les comparateurs 1 et 2, telles que l’on pourra écrire :
dz 1 + dz 2
tgd α y = --------------------------- , avec tgday > 0 si dz1 < dz2 et tgday < 0 si
d
dz1 > dz2. Les angles étant petits on admettra que l’on peut poser sans
risque : tgday = day, day étant exprimé en radians.
Cylindre étalon
d
2
1
y
A
S
z
Figure 8.4 – Mesure du lacet d’une glissière
par une méthode différentielle.
192
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x
8 • La métrologie
des machines-outils
8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière
m Mesure au niveau
Lorsque l’axe de rotation est dans une direction proche de l’horizontale,
il est commode de mesurer les petites rotations autour de cet axe en
utilisant un niveau à bulle (analogue au niveau de maçon) ou un clinomètre. Le niveau à bulle permet la mesure précise de petits angles par
rapport à une référence horizontale (figure 8.5). La caractéristique
importante qui conditionne la résolution d’un niveau est le rayon R de
la fiole. Sur la figure 8.5 on peut remarquer que Oa = O¢a¢ = O¢a¢1 = R
et que l’on peut écrire : arc a¢1a¢ = aR, avec a naturellement exprimé
en radians.
Si R = 40 m (40 000 mm) et a = 1/200˚ (soit 8,7266.10 –5 rd) on aura :
arc a¢1a¢ = 3,49 mm facilement mesurable sur la fiole (graduations) ce
qui donne une idée de l’excellente résolution du système de mesure
angulaire ainsi réalisé.
a
a’
a’1
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
α
horizontale
R
α
O
O’
Figure 8.5 – Principe de la mesure d’un angle au niveau.
193
8 • La métrologie
des machines-outils
8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière
Pour mesurer les défauts de roulis ou de tangage de notre liaison (les défauts
de lacet ne sont pas mesurables par ce procédé en raison de la non-horizontalité de l’axe Oy), il suffit de poser sur l’élément mobile (S) un
niveau perpendiculairement à l’axe autour duquel se produit le défaut à
mesurer puis de relever les variations angulaires successives en fonction
de la position de (S) le long de l’axe Ox.
m Mesure angulaire par interférométrie
Un équipement approprié permet de réaliser la mesure de faibles variations angulaires autour d’axes perpendiculaires à l’axe du faisceau (roulis
ou tangage dans le cas de notre exemple) à l’aide d’un interféromètre
laser. Cet équipement comprend (figure 8.6) : un premier élément optique fixe 1 qui divise le faisceau initial issu de l’émetteur E en deux faisceaux parallèles f1 et f2, et un second élément optique 2 lié à l’élément
mobile constitué de deux réflecteurs, semblables à ceux déjà utilisés pour
la mesure des déplacements, assemblés de façon à ce que la distance
entre leurs axes optiques soit égale à d. Les rayons réfléchis f1 et f2 sont
regroupés sur le premier élément optique afin d’être analysés par le
récepteur R. Là encore le récepteur va recevoir un signal égal à f1 + f2. Si
dans son déplacement rectiligne l’élément optique 2 conserve sa position
angulaire initiale le déphasage entre les rayons f1 et f2 restera constant et le
récepteur R ne distinguera pas de variation du signal récupéré. Par
contre, si au cours du déplacement rectiligne il se produit un pivotement autour d’un axe vertical (lacet du mouvement), le récepteur R
détectera la variation de la longueur li des faisceaux f1 et f2 et pourra
en déduire les valeurs successives prises par l’angle a en faisant :
l1 – l2
tg α = ------------.
d
Naturellement si l’on souhaitait mesurer la composante de 9W(S/0) autour
d’un autre axe perpendiculaire au premier, il suffirait de faire pivoter
l’ensemble des systèmes optiques 1 et 2 de 90˚ et de recommencer
l’opération. À noter que cet appareillage ne permet pas de mesurer la
composante de rotation autour de l’axe de déplacement de la liaison
(roulis).
194
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8 • La métrologie
des machines-outils
8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière
Élément optique 1
Élément optique 2
f1
E
f2
R
fixe
l1
mobile
d
l2
α
Figure 8.6 – Principe des mesures angulaires à l’aide d’un interféromètre.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
8.2.3 Mesure des écarts linéaires
Les écarts linéaires du déplacement de la glissière correspondent aux
composantes du moment du torseur des petits déplacements associé à
cette glissière. On sait que le moment d’un torseur est fonction du
point où ce torseur est exprimé. Nous avons choisi le point A dans notre
exemple : ce moment correspond alors au petit déplacement de A/0 que
nous avons noté : 9U(A/0). Si nous décidons de caractériser les défauts de
notre glissière par un torseur des petits déplacements exprimé au point A,
il faudra donc bien prendre garde de corriger les résultats des mesures
obtenus en fonction du point où celles-ci auront été réalisées. Pratiquement
deux méthodes peuvent être couramment employées pour effectuer
ces mesures.
m Mesure des écarts linéaires au comparateur
La référence linéaire est, comme pour les mesures angulaires, matérialisée
195
8 • La métrologie
des machines-outils
8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière
par un cylindre ou une règle étalon. On positionnera cette référence
dans une direction parallèle au déplacement de la glissière, l’axe Ox
dans notre exemple (figure 8.7). Si ce n’est pas rigoureusement le cas, il
faudra effectuer les corrections nécessaires de façon à ne conserver que
les informations relatives aux écarts de linéarité. Cette correction sera
évoquée dans l’exemple qui sera traité par la suite. On fixe un comparateur sur l’élément mobile de la liaison et on relève les écarts dy au point
de contact entre la touche du comparateur et la référence linéaire (ici le
point B) suivant l’axe considéré (ici l’axe Oy) en fonction de la position
du mobile le long de l’axe Ox.
y
D
Cylindre étalon
B
A
z
x
Figure 8.7 – Mesure des écarts de rectitude au comparateur.
La déviation du comparateur va nous indiquer les valeurs successives
prises par la composante dyB. Comme nous souhaitons exprimer cette
composante au point A il faudra faire la correction suivante : 9U(A/0) =
9U(B/0) + 6ABŸ9W(S/0)
6ABŸ9W(S/0)
196
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YAB ◊ daz – ZAB ◊ day
= ZAB ◊ dax – XAB ◊ daz
XAB ◊ day – YAB ◊ dax
8 • La métrologie
des machines-outils
8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière
Ce qui donnera pour la valeur recherchée : dyA = dyB + ZAB ◊ dax – XAB
◊ daz.
Pour mesurer la composante suivant Oz, on positionnera le comparateur
de façon à ce que la mesure soit effectuée dans une direction verticale
en utilisant un support adapté. Le contact se fera alors sur la génératrice
supérieure du cylindre étalon par exemple au point D, et l’on obtiendra
ainsi la composante dzD il suffira alors d’écrire : dzA = dzD + XAD ◊ day
– YAD ◊ dax.
m Mesure des écarts linéaires par interférométrie
L’équipement nécessaire pour mesurer les écarts linéaires à l’aide d’un
interféromètre est un peu plus complexe que ceux utilisés dans les cas
précédemment évoqués (figure 8.8). Il comprend :
– Un premier élément optique appelé interféromètre de Woolaston
solidaire de l’élément mobile dont on veut caractériser le déplacement.
Cet élément optique divise le faisceau issu de l’émetteur E en deux
z
f 1 + f2 a
f 1 + f2 a
E
A
R
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
y
ER
x
f1 + f2 r
f 1 + f2 r
f1 a + f1 r
A
ϕ
x
f 1 + f2 a et r f 2 a + f2 r
Interféromètre
de Woolaston
(mobile)
Réflecteur
de rectitude
(fixe)
Figure 8.8 – Équipement pour mesure des écarts linéaires par interférométrie.
197
8 • La métrologie
des machines-outils
8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière
demi-faisceaux f1 et f2 formant entre eux un angle j dont la bissectrice
est l’axe optique du faisceau initial.
– Un deuxième élément optique fixe par rapport au bâti de la machine :
cet élément en forme de toit à quatre pentes est un double réflecteur
qui renvoie les faisceaux f1 et f2 se recombiner sur le premier élément
optique. Le récepteur R reçoit donc un faisceau constitué par la
somme de f1 et de f2 réfléchis par l’élément optique 2. On remarquera
que la largeur de ce réflecteur limite la course du mobile dont on analyse
le déplacement.
Si pendant son déplacement normal parallèle à l’axe du rayon de référence l’interféromètre de Woolaston subit un petit déplacement dyA
horizontal perpendiculaire à cet axe (figure 8.9), on verra apparaître un
raccourcissement du demi-faisceau f ¢1 ainsi qu’un allongement de l’autre
demi-faisceau f ¢2. La variation de longueur relative entre f ¢1 et f ¢2 sera
détectée par le récepteur R qui sera capable après étalonnage d’en
déduire la valeur de dyA. Naturellement lorsque l’on souhaitera faire la
mesure des écarts linéaires dans la direction Oz il suffira de faire pivoter
l’ensemble de l’équipement optique de 90˚ pour pouvoir effectuer les
mesures.
f’1 a + f’1 r
dyA
δ
f’1 < f’2
f’2 + f’2 a
Figure 8.9 – Principe de la mesure des écarts linéaires par interférométrie.
8.2.4 Présentation et exploitation des résultats
m Présentation des résultats
Comme nous l’avons précisé au paragraphe 8.1.2, les composantes du
torseur des petits déplacements caractérisant les défauts d’une liaison ne
198
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8 • La métrologie
des machines-outils
8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière
sont pas des constantes pour cette liaison mais sont des fonctions qui
dépendent de la position du mobile concerné par cette liaison. Dans
l’exemple que nous avons analysé, les composantes seront donc des fonctions de x. Dans la pratique, il est commode de les exprimer sous la forme
d’un fichier ou de les représenter comme indiqué sur la figure 8.10.
dyA µm
x mm
dαy rd
x mm
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Figure 8.10 – Représentation graphique des résultats des mesures de dyA et day
m Exploitation des résultats
Si nous reprenons le problème du chariotage d’un cylindre sur un tour
parallèle évoqué en début de chapitre, la métrologie du déplacement du
traînard va nous permettre de connaître les composantes du torseur des
petits déplacements associé à sa liaison glissière exprimées au point A
(voir paragraphes précédents). Pour usiner le cylindre, un outil à charioter
sera monté sur la tourelle tel que le bec de l’outil, sa partie active se trouve
au point B. Les calculs vont nous permettre, à partir de la connaissance
du vecteur 6BA et du torseur associé, de déterminer les positions successives de B en fonction du déplacement du traînard le long de Oz. On peut
ainsi identifier un petit parallélépipède entourant la position théorique
que devrait occuper le point B, et dont les côtés sont égaux aux valeurs
199
8 • La métrologie
des machines-outils
8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière
maximales que peuvent prendre dxB, dyB et dzB, ce qui correspond à
l’espace que va réellement occuper la partie active de l’outil du fait des
défauts de la liaison glissière de la machine. Naturellement ces variations
autour de la position théoriques ne vont pas avoir des conséquences identiques sur la qualité géométrique de la surface obtenue. La valeur de dzB
sera sans influence sur la cylindricité de la surface usinée, la valeur de dyB
aura très peu d’effet puisqu’elle n’entraînera qu’une très faible variation de
la hauteur de pointe de l’outil. Par contre la valeur de dxB va directement
correspondre à la valeur du défaut de rectitude de la génératrice de la
surface obtenue.
dyB
x
dzB dxB
B
y
A
z
Figure 8.11 – Exemple d’exploitation des résultats de la métrologie de la glissière
d’un traînard sur la génération d’un cylindre.
8.2.3 Exemple d’application
L’exemple choisi consiste à réaliser la métrologie de la liaison glissière
assurant le déplacement du chariot transversal d’un tour, puis d’en
déduire la qualité de l’usinage obtenu en dressant la face d’un disque
(figure 8.12). Par des processus de mesure semblables à ceux étudiés
précédemment, il sera possible de déterminer les valeurs des composantes du torseur des petits déplacements associé à la liaison glissière
étudiée. Ces composantes seront exprimées au point T dans le référentiel (O0,x4 0,y4 0,z4 0) lié au bâti de la machine dont l’axe Oz est rigoureusement parallèle à l’axe de la broche. Les valeurs correspondantes,
fonctions de la position du chariot le long de l’axe Ox, sont retranscrites
dans le tableau 8.1.
200
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8 • La métrologie
des machines-outils
8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière
y0
x0
A
O0
z0
T
Figure 8.12 – Métrologie du chariot transversal d’un tour.
La partie active de l’outil de dressage se trouvant au point A il est nécessaire de déterminer les positions successives de A afin de connaître la
forme réelle de la surface théoriquement plane générée par l’opération
de dressage. On a vu que pour cela on posait : 9U(A/0) = 9U(T/0) +
6ATŸ9W(S/0), avec : 9U(T/0) = (04x0 + dyT ◊ y4 0 + dzT ◊ z4 0), W
9 (S/0) = (dax ◊ x4 0 +
day ◊ y4 0 + daz ◊ z4 0) et A
6 T = (–120 ◊ x4 0 + 0 ◊ 4y0 – 80 ◊ 4z0).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Et donc : A
6 TŸ9W(S/0) = (80 day ◊ x4 0 + (–80 dax + 120 daz) ◊ 4y0 – 120 day
◊ z4 0).
Lors du dressage de la face du disque nous voyons que la variation de la
position du point A le long de l’axe 4x0 sera sans effet sur la qualité de la
géométrie de la surface réalisée, que la variation de A le long de l’axe 4y0
aura un effet négligeable (légère modification de la hauteur de pointe)
mais que par contre la variation de la position de A suivant l’axe 4z0 va
directement influencer la forme de la surface usinée. C’est la raison
pour laquelle nous calculerons seulement cette composante là, le calcul
donne :
dzA ◊ 4z0 = (dzT – 120 ◊ day) ◊ 4z0
Bien entendu on passe de xT à xA en faisant xA = xT – 6AT 4x0 Æ xA = xT
+120.
201
202
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0
–330
0
–330
0
xT
day
xT
daz
0
dzT
dax
–330
xT
–330
0
dyT
xT
–330
xT
6
13
–310
–1
–310
–1
0
2
1
–2
2
3
0
–4
–2
1
1
19
27
31
35
40
46
52
66
75
88
95
101
–2
3
–4
5
0
–2
1
3
–1
–4
4
5
0
5
–1
5
2
–2
4
3
0
–4
1
3
–3
–2
5
2
–2
1
3
–3
–4
5
2
0
5
–1
1
–4
–310 –300 –290 –280 –270 –260 –250 –240 –230 –220 –210 –200 –190 –180
1
–310 –300 –290 –280 –270 –260 –250 –240 –230 –220 –210 –200 –190 –180
3
–310 –300 –290 –280 –270 –260 –250 –240 –230 –220 –210 –200 –190 –180
80
–300 –290 –280 –270 –260 –250 –240 –230 –220 –210 –200 –190 –180
3
–300 –290 –280 –270 –260 –250 –240 –230 –220 –210 –200 –190 –180
Les écarts angulaires dax, day et daz sont exprimés en radians 10–5
–320
4
–320
5
–320
–1
–320
–2
–320
Les écarts linéaires dyT et dzT sont exprimés en microns
Tableaux 8.1 – Composantes du torseur des petits déplacements en fonction de x.
8 • La métrologie
des machines-outils
8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière
0
120 ◊ day
dzA
4,8
6
1,2
13
6
19
–1,2
27
6
31
0
1,2
11,8
13
28,2
25
–150 –140 –130 –120 –110 –100
0
xA
Tableau 8.2 – Résultats des calculs.
32,6
–90
2,4
35
42,4
–80
–2,4
40
41,2
–70
4,8
46
48,4
–60
3,6
52
66
–50
0
66
79,8
–40
–4,8
75
78,8
–30
1,2
80
84,4
–20
3,6
88
0
–2,4
101
–180
98,6 103,4
–10
–3,6
95
–330 –320 –310 –300 –290 –280 –270 –260 –250 –240 –230 –220 –210 –200 –190
dzT
xT
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8 • La métrologie
des machines-outils
8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière
203
8 • La métrologie
des machines-outils
8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière
Le tableau 8.2 donne les résultats des calculs permettant de déterminer
les valeurs successives prises par dzA en fonction de xA. Une représentation graphique de ces résultats est visible sur la figure 8.13. L’examen de ce
graphique fait apparaître :
– Le défaut angulaire j entre la direction réelle du déplacement du
chariot transversal et l’axe Ox qui est la direction théorique que devrait
présenter ce déplacement pour être rigoureusement perpendiculaire à
l’axe de la broche.
– Le défaut de rectitude du déplacement c’est-à-dire la valeur de dzA
maxi, en ce qui concerne la mesure de ce défaut l’angle j étant naturellement petit, il est indifférent d’exprimer la mesure normalement à la
direction du déplacement ou parallèlement à l’axe Oz.
–150
–100
–50
ϕ
O0
x0
Direction réelle
du déplacement
Défaut de rectitude du déplacement du pointA
dz A
Figure 8.13 – Représentation graphique des résultats.
Cette représentation graphique nous donne une bonne idée de l’aspect
que présentera la surface réellement générée par le dressage. Il s’agira
d’un cône dont la conicité sera fonction du défaut d’orthogonalité entre
le déplacement de la partie active de l’outil (point A) et l’axe de la
broche de la machine Oz, et dont le défaut de rectitude des génératrices
dépendra directement du défaut de rectitude du déplacement de A le
long de l’axe de la glissière (figure 8.14).
Lors de la mesure précédente, nous avons admis que les mesures des
écarts dzT étaient effectuées à partir d’une référence rectiligne (règle
étalon) rigoureusement perpendiculaire à l’axe de la broche Oz. Dans la
204
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8 • La métrologie
des machines-outils
8.3 Mesure des défauts angulaires des axes
Oo
xo
zo
Figure 8.14 – Forme de la surface réellement obtenue.
pratique, on n’est pas toujours certain que cette condition soit respectée ; il faudra donc toujours vérifier si cette condition est satisfaite, si
ce n’est pas le cas il faudra alors mesurer le défaut de position de
l’élément de référence, puis réaliser les corrections nécessaires.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
8.3 Mesure des défauts angulaires
des axes
La mesure des défauts angulaires entre les différents axes d’une
machine-outil est donc d’une importance capitale dans la connaissance
de leur géométrie. Dans ce qui suit, nous nous contenterons d’évoquer
la mesure des défauts de parallélisme et d’orthogonalité qui sont les cas
les plus fréquents. Les mesures d’angles quelconques s’effectueront à
partir des mêmes principes en employant des étalons appropriés.
8.3.1 Principe de la mesure
Le principe employé pour réaliser les mesures des défauts angulaires
consiste à rechercher la direction de l’axe étudié par rapport à la droite
de référence (génératrice de cylindre étalon, règle étalon, rayon
laser…) j, puis de rechercher l’écart angulaire q entre cette droite de
référence et l’axe théorique afin de pouvoir déterminer l’écart angulaire entre l’axe étudié et la direction théorique qu’il devrait occuper
(figure 8.15).
205
8 • La métrologie
des machines-outils
8.3 Mesure des défauts angulaires des axes
dyA µm
ϕ
Référence linéaire
θ
Axe théorique
x0
Figure 8.15 – Principe de la mesure du défaut angulaire d’un axe de machine-outil.
8.3.2 Mesure de parallélisme
Lorsque nous voulions caractériser le défaut de parallélisme entre l’axe
de la broche d’un tour et l’axe de la liaison glissière permettant le déplacement du traînard (paragraphe 8.1.2), le choix d’une référence linéaire
matérialisée par la génératrice d’un cylindre étalon (c’est-à-dire considéré
comme géométriquement parfait) positionné par rapport à l’axe de la
broche fait que, dans ce cas, l’angle q peut être considéré comme négligeable. Faire attention cependant à ce que dans ce problème, le défaut
angulaire entre l’axe z¢0 (axe de la liaison) et l’axe z0 (axe de référence)
possède deux composantes : l’une autour de x0, l’autre autour de y0 ;
c’est-à-dire qu’il faudra faire une mesure dans le plan horizontal z0, O0,
x0 puis une autre mesure dans le plan vertical y0, O0, z0.
8.3.4 Mesure de perpendicularité
m Perpendicularité d’axes sur un tour
Reprenons le cas exposé dans le paragraphe 8.2.3 à savoir la mesure du
défaut d’orthogonalité entre l’axe de la broche d’un tour et le déplacement de son chariot transversal. Nous avions alors fait l’hypothèse que les
mesures étaient réalisées à partir d’une référence (règle étalon) parfaitement parallèle à l’axe Ox0, c’est-à-dire rigoureusement perpendiculaire
à l’axe de la broche Oz0 (dans ce cas naturellement q vaudrait 0). Dans
la réalité il est fort probable que ce ne sera pas le cas, mais que la règle
206
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8 • La métrologie
des machines-outils
8.3 Mesure des défauts angulaires des axes
étalon sera montée de telle façon qu’elle fasse un angle q (inconnu)
avec Ox0. Une méthode très simple peut nous permettre de résoudre
facilement le problème ; il suffit alors de réaliser deux mesures :
– Une première mesure de la rectitude du déplacement suivant l’axe de
la glissière x1 (figure 8.16) permet de déterminer, en plus du défaut
de rectitude, un angle j1 compris entre l’axe x1 et la référence linéaire
solidaire de la broche.
x0
x1
Référence linéaire
O0
z0
Axe de la liaison
θ
dαy = ϕ1 + θ
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Figure 8.16 – Première mesure de rectitude de l’axe Ox1.
– Une seconde mesure de rectitude du déplacement de la glissière x1
identique à la précédente mais réalisée après avoir fait effectuer à la
broche une rotation de 180˚ autour de l’axe Oz. Cette rotation de
la broche a pour effet d’amener la règle étalon qui lui est liée dans la
position représentée sur la figure 8.17. Aux incertitudes de mesure
près, les écarts de rectitude calculés sont identiques à ceux constatés lors
de la première mesure. La mesure permet de déterminer en outre un
angle j2 entre l’axe x1 et la référence linéaire.
À partir de day = j1 + q obtenu à partir de la première mesure et de day =
j2 – q obtenu à partir de la deuxième mesure, on peut écrire : 2 day =
(j1 + q) + (j2 – q) ce qui donnerait : 2 day = j1 + j2 et qui permet de
déterminer day sans avoir à connaître la valeur de l’angle q en faisant
tout simplement day = (j1 + j2)/2.
207
8 • La métrologie
des machines-outils
x1
8.3 Mesure des défauts angulaires des axes
x0
Référence linéaire
O0
z0
ϕ2
Axe de la liaison
θ
dαy = ϕ2 – θ
Figure 8.17 – Seconde mesure de rectitude de l’axe Ox1.
m Mesure de perpendicularité par interférométrie
Ce type de mesure nécessite l’utilisation d’un nouvel élément, une équerre
optique qui permet d’obtenir une déviation de 90˚ du faisceau. La précision obtenue sur l’angle de déviation dépend de la qualité de réalisation
de l’équerre, elle est de l’ordre de 0,5 seconde d’arc pour les matériels
habituellement utilisés.
Si l’on souhaite déterminer la mesure de l’équerrage entre deux axes z et x
on réalise tout d’abord la mesure de rectitude de l’axe x par la méthode déjà
exposée au paragraphe 8.2.3. Cette mesure nous permet de connaître, en
plus du défaut de rectitude du déplacement le long de l’axe x, un angle
jx entre la direction réelle de l’axe mesuré et l’étalon de rectitude, dans
ce cas le faisceau de référence de l’interféromètre. On réalise ensuite le
montage représenté schématiquement par la figure 8.18. Ce montage
consiste d’abord à ne surtout pas déplacer l’émetteur récepteur qui permet
de matérialiser l’axe de référence, puis à placer au bon endroit l’équerre
optique qui déviera cet axe optique de 90˚ et permettra ensuite de réaliser
la mesure du déplacement de l’axe z. Cette seconde mesure donne naturellement le défaut de rectitude de la liaison portée par cet axe ainsi que
la valeur d’un angle jz, compris entre le rayon de référence et la direction
réelle du déplacement. Il sera alors facile de déterminer le défaut d’orthogonalité entre x et z à partir de jx et jz, (voir figure 8.19).
208
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8 • La métrologie
des machines-outils
8.3 Mesure des défauts angulaires des axes
x
Équerre optique
Fixe
A
ϕ
z
Woolaston
Fixe
Réflecteur
Mobile
ER
Émetteur récepteur
Fixe
Figure 8.18 – Équipement pour une mesure d’orthogonalité par interférométrie.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Équerre
optique
Direction de l’axe z
ϕz
Réflecteur
mobile
Direction de l’axe x
Axe optique
de référence
ϕx
Émetteur
récepteur
Angle (x,y) = 90°+ ϕ x°+ ϕ x°
Figure 8.19 – Mesure d’orthogonalité entre deux axes z et x par interférométrie.
209
8 • La métrologie
des machines-outils
8.4 Le ballbar
8.4 Le ballbar
Le ballbar est un système imaginé, mis au point et commercialisé par la
société Renishaw, société spécialisée dans les équipements de métrologie
industrielle. Cet outil est destiné à caractériser les machines-outils à
commande numérique et particulièrement les centres d’usinage. La qualité
des usinages réalisés sur les machines-outils à commande numérique
dépend principalement de deux familles de paramètres : des paramètres
relatifs au système de commande et de contrôle des déplacements sur les
différents axes, et des paramètres liés à la géométrie de la structure de la
machine elle-même. L’analyse des résultats des mesures effectuées par le
processus du ballbar permet la détection et la mesure des défauts d’usinage
liés à ces deux familles de paramètres. Dans ce qui suit, nous nous contenterons d’étudier la détection de quelques défauts géométriques mis en
évidence par ce système. Une étude approfondie de la documentation
relative au ballbar ainsi que des tests sur machine permettront de se
familiariser avec la méthode et d’en apprécier toutes les possibilités.
8.4.1 Structure et principe du ballbar
Le ballbar est constitué de deux cupules coniques. La première est montée,
généralement par l’intermédiaire d’une pince, dans la broche de la
machine, la seconde est fixée sur la table de la machine-outil à l’aide
d’un support magnétique. Les deux cupules sont reliées entre elles par
une biellette extensible possédant une sphère à chacune de ses extrémités
et dont on peut mesurer l’allongement de façon très précise grâce à un
capteur de type inductif. Les liaisons cupules sphères sont des liaisons
rotules parfaites sans jeu obtenues par un maintien magnétique du contact
(figure 8.20). Un système informatique recueille les informations fournies
par le capteur d’élongation de la biellette et procède à l’analyse et au
dépouillement de ces données.
Pour qualifier un centre d’usinage, l’opérateur va programmer la réalisation d’un cercle successivement dans les plans xOy, xOz et yOz. Si la
machine était parfaite, le rayon des cercles réellement parcourus serait
constant et le capteur ne détecterait pas de variation de longueur de la
210
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8 • La métrologie
des machines-outils
8.4 Le ballbar
z
Broche de la machine
Capteur de mesure
d’élongation de la biellette
O
x
Contacts magnétiques
Table de la machine
Figure 8.20 – Schéma d’un ballbar monté sur un centre d’usinage.
biellette. L’analyse de la variation du rayon de la figure obtenue peut
permettre la mise en évidence et l’évaluation d’un certain nombre
d’imperfections de la machine ou de son système de commande.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
8.4.2 Défaut d’orthogonalité d’axes
m Mise en évidence d’un défaut d’orthogonalité
Imaginons que les axes x et y possèdent un défaut d’orthogonalité j,
l’examen de la courbe obtenue après programmation d’une interpolation circulaire de centre O autour de l’axe Oz dans le plan xOy va nous
permettre de mettre en évidence ce défaut d’équerrage (figure 8.21).
Soit P un point du cercle de rayon R programmé, ses coordonnées
théoriques sont : X = R◊cosq et Y = R◊sinq, l’angle j étant petit on
peut écrire que le décalage entre le point P programmé et le point P¢
obtenu est égal à PP¢ = Y ◊ j, soit PP¢ = R ◊ sinq ◊ j.
La variation DR entre le rayon programmé R et le rayon obtenu est
égale à PP¢ ◊ cosq, d’où DR = j ◊ R◊sinq◊cosq. Or on sait que :
sinq ◊ cosq = (sin2q)/2, on aura donc : DR = j ◊ R ◊ (sin2q)/2.
211
8 • La métrologie
des machines-outils
8.4 Le ballbar
y
y’
ϕ
P
P’
R
O
θ
x
Figure 8.21 – Détection d’un défaut d’orthogonalité par le tracé du ballbar.
Recherchons la valeur de q pour laquelle DR sera maximale (le rayon sera
alors le plus grand possible). Ce sera lorsque dDR/dq = 0 donc pour
2 ◊ j ◊ R ◊(cos2q)/2 = 0, c’est-à-dire lorsque cos2q = P/2 ou 3P/2, soit
lorsque q = P/4 ou lorsque q = 3P/4.
Conclusion : Un défaut d’orthogonalité entre les axes x et y se traduira
par le tracé d’une ellipse inclinée à 45˚ ou à 135˚ et ceci quelle que soit
la valeur du défaut angulaire. Cependant la mesure des dimensions de
l’ellipse obtenue peut nous permettre de calculer la valeur de ce défaut
d’orthogonalité j.
m Détermination du défaut d’orthogonalité
Comparons la différence de longueur entre les rayons de l’ellipse et le
rayon R du cercle programmé en fonction de la valeur de l’angle j qui
chiffre le défaut d’orthogonalité entre les axes x et y de la machine
(figure 8.22).
DGR (variation de longueur du grand axe de l’ellipse) = PP¢ ◊ sinP/4 =
Y ◊ j ◊ sinP/4, or Y = R ◊ sinP/4
Soit : DGR = j ◊ R.(sinP/4)2 et donc : DGR = j ◊ R/2
212
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8 • La métrologie
des machines-outils
8.4 Le ballbar
On pourrait de la même façon montrer que l’on a : DPR = j ◊ R/2
Et l’on peut donc écrire DPR + DGR = j ◊ R et donc : j = (GR-PR)/R.
y
y’
∆ GR
P’
P
ϕ
O
x
∆ PR
Figure 8.22 – Détermination du défaut d’orthogonalité par le tracé du ballbar.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
8.4.3 Autres possibilités du ballbar
On imagine que tous les autres défauts relatifs aux imperfections de
la géométrie (rectitude des axes par exemple) de la machine ou à l’efficacité des organes de commande (erreurs d’asservissement, justesse des
déplacements ou jeux d’inversion) vont affecter la forme de la courbe
obtenue, certains défauts pouvant compenser les écarts dus à d’autres
défauts. Il est donc nécessaire de dépouiller les résultats des mesures
effectuées avec le ballbar et de les analyser avec soin si l’on veut connaître
précisément les capacités d’une machine. Des logiciels particulièrement
performants sont fournis avec l’appareil et permettent de trier les différentes
informations contenues dans la courbe afin d’informer l’utilisateur sur
les paramètres concernés.
213
8 • La métrologie
des machines-outils
8.5 Les essais en charge
Une mesure au ballbar étant une opération très rapide lorsque l’appareil a
été pris en main, une application intéressante consiste à l’utiliser pour la
surveillance des machines-outil. Une machine étant parfaitement
connue sur le plan de sa géométrie par les méthodes de mesure habituelles proposées par la normalisation et dont le principe a été exposé précédemment, un contrôle périodique avec le ballbar (par exemple chaque
début de semaine lors de la remise en route de la fabrication) permet,
en comparant les résultats des mesures successives, d’observer la dérive
éventuelle des performances et de programmer si nécessaire une métrologie
complète de la machine par les moyens traditionnels.
8.5 Les essais en charge
8.5.1 Présentation
Tous les procédés de métrologie des machines-outils qui viennent d’être
évoqués ont malgré leurs performances indéniables l’inconvénient d’être
utilisés sur des machines à vide. Or il est probable que les charges statiques et surtout dynamiques induites par les opérations d’usinage vont
provoquer des déformations élastiques des différents éléments constitutifs des machines et par conséquent modifier sensiblement la géométrie
de celles-ci. Il serait donc opportun de pouvoir réaliser les mesures lorsque les machines fonctionnent, et éventuellement d’intervenir en temps
réel dans les informations fournies au directeur de commande afin
d’apporter les corrections nécessaires mais cela, bien que théoriquement
faisable, présente de grosses difficultés sur le plan pratique.
Une solution facile à mettre en œuvre et particulièrement efficace consiste
à réaliser l’usinage d’une pièce type, puis à faire la métrologie de cette
pièce type afin d’en déduire les principaux défauts géométriques de la
machine. Par exemple dans le paragraphe 8.2.3, nous avons remarqué
que l’observation de la surface dressée, théoriquement un plan mais en
réalité un cône, nous donnait de précieuses informations concernant
l’axe de déplacement du chariot transversal d’un tour parallèle.
214
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8 • La métrologie
des machines-outils
8.5 Les essais en charge
8.5.2 Géométrie de l’axe de déplacement du traînard
Reprenons le problème présenté en début de chapitre à savoir l’examen de
l’axe de déplacement du traînard d’un tour parallèle afin de s’assurer de la
bonne cylindricité d’une pièce chariotée. Pour cette analyse on propose
d’usiner une pièce type semblable à celle représentée sur la figure 8.23.
Cette pièce comporte trois portées cylindriques de faible largeur afin de
minimiser la variation de rayon due au recul de l’arête coupante de l’outil
provoqué par l’usure en dépouille de celui-ci.
∅A
∅B
∅C
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Figure 8.23 – Pièce type permettant la qualification d’une machine de tournage.
Les portées A, B et C ont théoriquement le même diamètre et sont obtenues à partir d’un réglage unique de la machine, comme si l’on devait
usiner un cylindre continu. Après le chariotage, on mesure avec soin le
diamètre de chaque portée. Pour une meilleure qualité de l’information,
on réalisera plusieurs mesures sur chacune des portées et l’on prendra
comme valeur supposée vraie la moyenne arithmétique des différents
résultats. On imaginera quatre types de résultats possibles (naturellement
chaque type correspondrait aux résultats obtenus avec une machine
virtuelle dont le numéro varie d’un à quatre). Les résultats supposés sont
portés dans le tableau 8.3.
Tableau 8.3 – Résultats des mesures observées sur quatre machines différentes.
A
B
C
Machine 1
60, 005
60, 002
60,004
Machine 2
60,001
60,0072
60,156
Machine 3
60,003
59,793
60,005
Machine 4
60, 004
60,021
60,232
215
8 • La métrologie
des machines-outils
8.5 Les essais en charge
m Analyse des résultats
L’analyse des résultats du tableau 8.3 montre que la forme générale des
solides de révolution obtenus avec chacune des machines correspond
aux schémas représentés sur la figure 8.24.
Machine 1 : cylindre
Machine 2 : cône
Machine 3 : hyperboloïde
Machine 4 : hyperboloïde conique
Figure 8.24 – Solide obtenu sur chacune des machines testées.
Une rapide analyse géométrique nous montre que la forme des différents solides obtenus dépend directement de la position angulaire entre
les axes Oz (axe de la broche) et O¢z¢ (axe de la glissière du traînard),
figure 8.25.
L’obtention d’un cylindre (machine 1) correspond à deux axes parfaitement parallèles, les trois autres cas résultent d’un défaut de parallélisme
entre les deux axes.
L’obtention d’un cône (machine 2) correspond à un défaut angulaire jy
dans le plan z, O, x.
L’obtention d’un hyperboloïde (machine 3) correspond à un défaut
angulaire jx dans le plan y, O,z.
L’obtention d’un hyperboloïde conique (machine 4) correspond à la
fois à un défaut angulaire jy dans le plan z, O,x et à un défaut angulaire
jx dans le plan y, O,z.
216
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8 • La métrologie
des machines-outils
8.6 Bibliographie
y
y
x
ϕx
z
x
z’
x
O
z’
y
ϕy
z
z’
z
Figure 8.25 – Origines probables des différents défauts constatés.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
8.6 Bibliographie
[8.1] Liaisons, mécanismes et assemblages, P. AGATI, F. LEROUGE,
M. ROSSETTO, Dunod, 2001, p. 19 à 24.
[8.2] Systèmes mécaniques, M. AUBLIN, R. BONCOMPAIN, M. BOULATON, D. CARON, E. JEAY, B. LACAGNE, J. RÉA, Dunod 1992,
p. 33 à 48.
[8.3] E 60-08, Machines-outils, Code d’essai des machines-outils à
commande numériques-Dispositions générales pour le contrôle des
erreurs, AFNOR, 1988.
[8.4] E 60-101, Machines-outils, Conditions de réception des tours parallèles d’usage général, contrôle de la réception, AFNOR, 1997.
[8.5] E 60 116, Machines-outils, Conditions de réception des machines à
aléser et à fraiser à broche horizontale, Contrôle de la précision,
AFNOR, 1988.
[8.6] Fabrication par usinage, J.-P. CORDEBOIS, Dunod, 2003, p. 311 à
329.
217
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ANNEXE
m Valeurs de la table de la loi normale réduite
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Le tableau donne la probabilité pour qu’une variable x soit comprise
entre –• et µ (on rappelle que dans le cas de la loi réduite σ vaut 1 donc
µ◊ σ = µ) cette probabilité correspond à l’aire grisée de la courbe, la
symétrie de la fonction par rapport à la moyenne (donc 0 dans le cas de
la loi réduite) fait que l’on se contentera de faire varier µ dans ses
valeurs positives.
m
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0
0,5
0,504
0,508
0,512
0,516
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5696 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664
0,5 0,6915
0,695
0,67
0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157
0,719
0,7224
0,6 0,7257 0,7290 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
219
Annexe
m
1
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749
0,877
0,879
0,8810
0,883
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962
0,898
0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357
0,937
0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744
2
0,975
0,9756 0,9761 0,9767
0,9772 0,9779 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887
0,989
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0.9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969
0,997
0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979
0,998
0,9981
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
3
0,9987
3,5 0,9998
4
0,9999
220
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INDEX ALPHABÉTIQUE
A
acceptation 37
alésage 100, 112
amplification 32
arbre 100
B
ballbar 210
défaut 12
d’état de surface 146
d’ondulation 145
de forme 145
de rugosité 145
diamètre 101
E
C
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
D
cale-étalon 23
caméra CCD 135
capabilité 36
capteur
à contact 133
optique 123, 133
circularité 104
clinomètre 193
coefficient de corrélation linéaire 59
contrôle 13
cosinus directeurs 7
cote 100
covariance 58
critère
de Gauss 75
de Tchebytchev 76
cut-off 158
cylindricité 106
écart 11, 100
type 43
échantillon 47
échelle
macroscopique 99
microscopique 99
élément
associé 10
des moindres carrés 75
enveloppe 74, 105
erreur 27
étalon
de travail 22
primaire 20
F
facteur d’élargissement 42
fiche de vie 26
221
M
fidélité 35
filtrage 149
gaussien 158
RC ISO 158
forme 102
I
incertitude 27, 28, 41
composée 56
élargie 42
fractionnaire 42
type 42
inclinaison 113
indépendance 99
interféromètre 190
intervalle de tolérance 100
J
justesse 34
L
lacet 120, 191
laser 190
liaison de BOYS 130
lissage 8
localisation 109
loi
de distribution triangulaire 44
normale 45
longueur
de base 158
de coupure 158
222
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machine à mesurer
tridimensionnelle 117
marbre 72
mesure en continu 132
méthode
d’incertitude
de type A 47
de type B 50
des motifs 171
mètre étalon 17
N
niveau 193
P
palpeur
dynamique 130
statique 131
passe-bande 157
passe-bas 157
passe-haut 157
petits déplacements 82
piges 62
planéité 105
portance 164
profil 146
brut 147
R
rectitude 103, 204
référence 107
commune 108
ordonnée 108
référentiel de mesure 118
règle 72
résolution 30
roulis 120, 191
système métrique 21
T
S
V
valeur nominale 100
vernier 31
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
scanning 123, 132
skewness 168
spécification géométrique des
produits 98
statistiques 47
surface
réelle 5, 9
réglée 6
tactile 123
tangage 120, 191
tolérance de forme 13
traçabilité 26
223
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aide-mémoire de l’ingénieur
Michel Dursapt
Métrologie
dimensionnelle
Cet aide-mémoire regroupe les connaissances de
base relatives à la caractérisation géométrique des
produits industriels du domaine de la mécanique.
Après un rappel sur les notions nécessaires à la compréhension des spécifications géométriques et aux
processus de mesure, il aborde successivement :
• la caractérisation des éléments déterminant la
géométrie (formes et dimensions) d’un produit,
• l’évaluation des incertitudes sur les résultats des
mesures,
• les principales méthodes d’association,
• le code de lecture des spécifications géométriques
des produits,
• la mesure tridimensionnelle,
• la caractérisation et la mesure des états de
surface,
• la métrologie des machines-outils.
Cet ouvrage est un outil de travail indispensable pour
les acteurs de la production mécanique, opérateurs,
techniciens ou ingénieurs. Il s’adresse également aux
enseignants et formateurs dans le domaine du génie
mécanique.
ISBN 978-2-10-053686-3
www.dunod.com
Michel Dursapt
est maître de conférences
à l’École Nationale
d’Ingénieurs de SaintEtienne où il est chargé
des cours de métrologie
dimensionnelle. Il a été
longtemps enseignant
au centre régional du
Conservatoire National
des Arts et Métiers de
Saint-Étienne. Il est
également membre
du CNRS au sein du
laboratoire de tribologie
et dynamique des
systèmes (LTDS), école
Centrale de Lyon.
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