Ecole Nationale Supérieure d’Arts et Métiers- Casa المدرسة الوطنية العليا للفنون والمهن الدارالبیضاء - Classe API- 1ère Année 2018 / 2019 Prof responsable: Mr. ABDELWAHED TOUATI 1 Filtrage Analogique des signaux 2 Présentation des Filtres 1. Définition. La fonction de filtrage sert à assurer la suppression des signaux de fréquences non désirées. Il peut s‘agir soit pour: ❑ Eliminer ou affaiblir des fréquences parasites indésirables; ❑ Isoler dans un signal complexe la ou les bandes de fréquences utiles. 1.1. Bande passante : C'est l’étendue des fréquences entre lesquelles un signal à l'entrée passe à la sortie. 1.2. Bande atténuée : C'est l’étendue de fréquences où l'amplitude d'un signal est atténuée de sorte qu’il n'apparaît pas à la sortie. Les Filtres sont caractérisés selon leur réponse en fréquence. La variation de l'amplitude en fonction de la fréquence est le critère le plus important. On peut voir les différents types de filtres. 3 Présentation des Filtres Filtre Passe bas Filtre Passe bande Filtre Passe haut Rejecteur de bande 4 Présentation des Filtres analogiques 3. Les types de filtres analogiques. Les filtres analogiques se divisent eux mêmes en plusieurs catégories : ❑ Les filtres passifs qui font appels essentiellement à des inductances de haute qualité et des condensateurs. Jusque dans les années 70, c’était les seuls filtres conçus. Ils sont actuellement utilisés pour les hautes fréquences. (utilisation de quartz) ❑ Les filtres actifs sont constitués de condensateurs, de résistances et d’éléments actifs qui sont essentiellement des amplificateurs intégrés linéaires AILs. Ils sont moins encombrants, faciles à concevoir et moins coûteux que les filtres passifs mais restent limités en fréquence ( < 1MHz à cause des caractéristiques des AILs). Ils consomment plus et nécessitent une source d’alimentation. 5 Domaines d’applications des Filtres ➢ Systèmes de télécommunication (téléphone, télévision, radio, transmission de données…) ➢ Systèmes d’acquisition et de traitement de signaux physiques (surveillance médicale, ensemble de mesure, radars… ) ➢ Alimentation électrique ( Filtrage des harmoniques de courants, synchronisation réseau…. 6 Présentation des Filtres analogiques - Exemples de Filtres passifs 1èr ordre. - Exemples de Filtres passifs 2ème ordre. 7 Présentation des Filtres analogiques - Exemples de Filtres actifs 1èr ordre. - Exemples de Filtres actifs 2ème ordre. 8 Les filtres passe bas du 1er ordre Ce sont les filtre dont la fonction de transfert est de la forme : La fonction de transfert dépend de la fréquence ( ω = 2πf ), les différents fréquences à l'entrée ne seront pas traités de la même façon d'ou la fonction de filtrage. La fonction de transfert se présente sous une forme complexe, qui s’exprime sous forme module et argument. 9 Analyse harmonique de la fonction de transfert d’un filtre 1er Ordre. Le module nous informe comment chaque harmonique sera atténué et la phase nous informe de combien cet harmonique sera déphasé. Ainsi si on applique à l'entrée du filtre un signal sinusoïdal d'amplitude A et de fréquence fm : Alors le signal de sortie aura pour expression: 10 Analyse harmonique de la fonction de transfert d’un filtre 1er Ordre. Diagramme de Bode. C’est une façon de représenter graphiquement la fonction de transfert complexe H(jw) à l’aide de deux courbes. Ces deux courbes sont construites en portant la pulsation w en abscisse sur une échelle logarithmique, ce qui revient à porter log10( w) sur une échelle linéaire. Une progression logarithmique permet de représenter les variations de la pulsation w sur une plage étendue. Pour le gain H, on préfère tracer le gain en décibel HdB = 20 log(H) avec une échelle logarithmique sur l'axe des fréquences. Le tracé de cette courbe est rendu très simple par le comportement asymptotique de HdB quant f → 0 et quant f → ∞ et aussi par la connaissance de HdB au point f = f0 11 Analyse harmonique de la fonction de transfert d’un filtre 1er Ordre. Si on prend Ho = 1 pour faciliter l’écriture : ❑ Pour w = w0 ➔ HdB= -20 log(1) = 0dB ; ❑ Pour w = 2 x w0 ➔ HdB= -20 log(2) = -6 dB ; ❑ Pour w = 4 x w0 ➔ HdB= -20 log(4) = -12 dB ; ❑ Pour w = 10 x w0 ➔ HdB= -20 log(10) = -20 dB ; Ce qui correspond (sur échelle logarithmique) à une droite (asymptote) de pente 6dB / octave, c'est à dire le gain HdB chute de 6 dB chaque fois que la fréquence double. Egalement, on peut noter une pente de -20 dB /décade, c’est à dire le gain chute de 20 dB chaque fois que la fréquence est multipliée par 10. 12 Analyse harmonique de la fonction de transfert d’un filtre 1er Ordre. Courbe réelle Tracé asymptotique ❑ Si Ho est différent de 1, on obtient : Il suffit de décaler la courbe précédente verticalement. 13 Analyse harmonique de la fonction de transfert d’un filtre 1er Ordre. Pour la phase, on obtient : 14 Analyse harmonique de la fonction de transfert d’un filtre 1er Ordre. Diagramme de phase: Tracé asymptotique 15 Les filtres passe bas du 1er ordre Pulsation de coupure du Filtre: La fréquence de coupure pour des filtres réels est la fréquence à laquelle l'amplitude de sortie est 1/√2 de la valeur maximale. Le terme 1/√2 peut paraître arbitraire, mais à cette tension, la puissance a diminuée de moitié ( Pour le cas d’un passe bas 1er ordre: 16 Fonctions de transfert de base 1. Dérivateur. • Le gain G(w) est égal à 0 lorsque w=w0; • Le gain G(w) est égal à +20 dB lorsque w=10.w0 • Le gain G(w) croit en fonction de la pulsation avec une pente de +20dB/décade. 0 0 17 Fonctions de transfert de base 2. Intégrateur. • Le gain G(w) est égal à 0 lorsque w=w0; • Le gain G(w) est égal à -20 dB lorsque w=10.w0 • Le gain G(w) croit en fonction de la pulsation avec une pente de -20dB/décade. 0 0 18 Fonctions de transfert de base 3. Dérivateur compensé. Déterminons les droites asymptotiques : • Pour w << w0 : • Pour w >> w0 : 0 19 Fonctions de transfert de base 4. Intégrateur compensé. Déterminons les droites asymptotiques : • Pour w << w0 : • Pour w >> w0 : 0 20 Les filtres passe haut du 1er ordre Ce sont les filtre dont la fonction de transfert est : 1. Module. 2. Gain. 3. Argument. 21 Les filtres passe haut du 1er ordre 4. Tracé dans Bode. Le tracé globale dans Bode est la juxtaposition des tracés des sous fonctions de base. 22 Les filtres passe haut du 1er ordre 4. Tracé dans Bode. Tracé réel 23 Les filtres passe haut du 1er ordre 4. Tracé dans Bode. Tracé réel 24 Exemple de Filtre 1er Ordre Exercice N°(1). Soit le filtre du schéma ci-dessous, pour lequel on désire: 1. Déterminer la fonction de transfert H(jw)= VS/VE et tracer le diagramme de Bode correspondant? 2. Déterminer la valeur de la fréquence de coupure du filtre fC? R1 VE C R2 VS R1=10kΩ, R2=1kΩ et C=1µF 25 Exemple de Filtre 1er Ordre Exercice N°(2). Soit les filtres des schémas ci-dessous, pour lesquels on désire: 1. Déterminer pour chacun des deux montages la fonction de transfert H(jw)= VS/VE et tracer le diagramme de Bode correspondant? 2. Déterminer la valeur de la fréquence de coupure du filtre fC? R1=10kΩ, R2=R= 2xR1 et C=1nF 26 Les filtres passe-bas du second ordre Les filtres passe-bas de second ordre ont une fonction de transfert de la forme : Généralement, on utilise l’opérateur de LAPLACE pour simplifier l’écriture. 27 Les filtres passe-bas du second ordre On distingue principalement deux modes de fonctionnement selon la valeur du coefficient d’amortissement m : Si m ≥ 1, est la moyenne géométrique de ω1 et ω2 . Sur une échelle logarithmique, ω1 et ω2 seront placés de part et autre de ω0 et de façon symétrique. 28 Les filtres passe-bas du second ordre Tracé de Bode: 29 Les filtres passe-bas du second ordre Courbes de Bode et tracés asymptotiques d’un filtre passe-bas d’ordre 2 dans le cas : m > 1. 30 Les filtres passe-bas du second ordre Le module s’exprime par: Pour déterminer la pulsation dite de résonance qui correspond à un extremum, on dérive l’expression du module par rapport à la pulsation w. La dérivée s’annule pour la pulsation : 31 Les filtres passe-bas du second ordre Tracé de Bode pour m < 1 : 32 Les filtres passe-bas du second ordre Tracé de Bode pour m < 1 : 33 Filtres passe-haut du second ordre La fonction de transfert d’un filtre passe haut du second d’ordre s’écrit sous la forme suivante : Tracé du module en fonction de log( w/w0) pour différentes valeurs de m Tracé du gain en fonction de log( w/w0) pour différentes valeurs de m 34 Filtres passe-haut du second ordre La fonction de transfert d’un filtre passe haut du second d’ordre s’écrit sous la forme suivante : Tracé de l’argument de H(jw) en fonction de log( w/w0) pour différentes valeurs de m Tracé du gain en fonction de log( w/w0) pour différentes valeurs de m 35 Filtres passe-bande La fonction de transfert d’un filtre passe bande s’écrit sous la forme suivante : Le maximum est atteint pour Alors : • Recherche des pulsations de coupure à -3dB. La calcul des pulsations de coupure 𝝎𝑪𝒊 se fait généralement à − 3db . Ainsi on a : |𝑯| ഫ 𝝎=𝝎𝑪 = |𝑯| ഫ 𝑴𝒂𝒙 𝟐 = |𝑯𝟎 | 𝟐. 𝟐𝒎 36 Filtres passe-bande |𝑯| ഫ 𝟐𝝎=𝝎𝑪 = |𝑯𝟎 |𝟐 𝝎𝒄 𝝎𝟎 − 𝝎𝟎 𝝎𝒄 𝟐 + 𝟒. 𝒎𝟐 |𝑯𝟎 |𝟐 = 𝟖. 𝒎𝟐 Par résolution de l’équation (équation du 2nd ordre) on obtient : 𝝎𝒄𝟏 = 𝝎𝟎 . 𝟏 + 𝒎𝟐 − 𝒎 𝑒𝑡 𝝎𝒄𝟐 = 𝝎𝟎 . Les deux pulsations de coupure sont liées par : 𝟏 + 𝒎𝟐 + 𝒎 𝝎𝒄𝟏 . 𝝎𝒄𝟐 = 𝝎𝟐𝟎 Le maximum se produit pour la moyenne géométrique des 2 pulsations de coupure. • Sélectivité du filtre Une grandeur importante pour un filtre passe bande est sa sélectivité. Elle est notée par le coefficient de qualité : 𝝎𝟎 𝟏 𝑸= = 𝝎𝒄𝟐 − 𝝎𝒄𝟏 𝟐𝒎 Plus Q est grand plus le filtre est sélectif (càd la bande passante est plus petite). 37 Filtres passe-bande du second ordre Tracé de Bode du filtre passe bande: Tracé du gain en fonction de log( w/w0) pour différentes valeurs de m Tracé de l’argument de H(jw) en fonction de log( w/w0) pour différentes valeurs de m 38 Les filtres passe-bas du second ordre Exemple d’application: 1. Déterminer pour le filtre du montage ci-dessous, l’expression de la fonction de transfert 𝑉 ഫ𝑆 𝐻 ഫ (𝑗𝜔) = ? 𝑉 ഫ𝐸 2. Identifier le type du filtre ? Exprimer respectivement la pulsation propre w0 et le coefficient d’amortissement m en fonction de R1, R2, C1 et C2? 39 Les structures des filtres actifs 2ème ordre Cellule de Rauch Vs −1 = V e R ² C1 C2 p ² + 3 R C2 p + 1 fc = 1 2 R C1 C2 Cellule de Sallen key Vs 1 = V e R ² C2 C1 p 2 + 2 R C2 p + 1 fc = 1 2 R C1 C2 40
