Cours-SystemeDeuxPoints

Physique Cours : Système de deux points matériels
Système de deux points matériels
Introduction
Les théorèmes généraux de la mécanique du point peuvent être transposés à un ensemble de
points matériels. Le cas particulier de deux points en interaction permet d’illustrer simplement
les propriétés générales de ces systèmes.
Ce chapitre fait le lien entre la mécanique du point matériel et la mécanique du solide, vue en
seconde année. En effet, nous allons voir que l’étude de deux points matériels peut se ramener
à l’étude d’un seul point fictif, et nous serons amenés à introduire des notions utiles par la suite
en mécanique du solide.
Ce chapitre nous permettra de rendre compte des vibrations des molécules diatomiques, de
l’évolution des étoiles doubles, du mouvement d’une haltère, et de l’effet de marée, apparaissant
comme une manifestation du caractère non galiléen du référentiel géocentrique, comme nous
l’avons évoqué au chapitre précédent.
1 Cinétique d’un système de deux points matériels
La description du mouvement d’un point fait appel à plusieurs grandeurs cinématiques, dont
les vecteurs position, vitesse et accélération. En combinant ces grandeurs avec la masse du
point, nous avons défini des grandeurs cinétiques qui caractérisent le point matériel. Nous allons
à présent étendre ces définitions au cas d’un système de deux points.
1.1 Eléments cinétiques d’un système de deux points matériels
Dans un référentiel quelconque R, on étudie le mouvement d’un système de deux points
matériels M1et M2, de masses respectives m1et m2, et de vitesses respectives −→ v1et −→ v2.
Nous pouvons définir trois éléments cinétiques analogues à ceux introduits pour un seul point
matériel : la quantité de mouvement, le moment cinétique et l’énergie cinétique. Dans tous les
cas, il s’agit de sommer les contributions des deux points.
a) Quantité de mouvement totale :
La quantité de mouvement du système, également appelée résultante cinétique, caractérise le
mouvement d’ensemble du système. Elle correspond à la somme des quantités de mouvement
des deux points : −→
p=m1−→ v1+m2−→ v2
b) Moment cinétique total :
Le moment cinétique du système par rapport à un point Oest la somme des moments ciné-
tiques de chaque point par rapport à O, et caractérise le mouvement de rotation du système
autour du point O. : −→
LO=m1
−−→
OM1∧−→ v1+m2
−−→
OM2∧−→ v2
Remarque : Le moment cinétique dépend du point Opar rapport auquel il est calculé :
−→
L0
O=−−→
O0O+−−→ OM1∧m1−→ v1+−−→ O0O+−−→ OM2∧m2−→ v2
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−→
L0
O=−→
LO+−−→ O0O∧−→ p
Il n’est pas utile de retenir cette relation. En revanche, il faut être capable de l’obtenir rapi-
dement.
c) Energie cinétique totale :
L’énergie cinétique du système est la somme des énergie cinétiques de chaque point :
Ec=1
2m1v2
1+1
2m2v2
2
Elle caractérise le mouvement du système indépendamment de sa direction. Ces trois grandeurs
font intervenir la vitesse du point matériel. Elles sont donc relatives au référentiel dans lequel
elles sont évaluées.
1.2 Barycentre d’un système de deux points matériels
Deux points matériels M1et M2, de masses respectives m1et m2, admettent pour barycentre
le point Gdéfini par :
−−→
OG =m1
−−→
OM1+m2
−−→
OM2
m1+m2
Le barycentre est aussi appelé centre de masse ou centre d’inertie.
La position du barycentre est indépendante du point Oqui a permis de la définir. En effet,
en faisant intervenir un autre point quelconque O0, on peut écrire :
−−→
OO0+−−→ O0G=m1−−→
OO0+−−−→ O0M1+m2−−→ OO0+−−−→ O0M2
m1+m2
=−−→ OO0+m1
−−−→
O0M1+m2
−−−→
O0M2
m1+m2
−−→
O0G=m1
−−−→
O0M1+m2
−−−→
O0M2
m1+m2
On obtient donc une définition équivalente en choisissant une autre origine O0.
Exemple :Système Terre-Lune
La masse de la Terre est à peu près 82 fois su-
périeure à celle de la Lune. Le barycentre Gest
situé 82 fois plus près de la Terre que de la Lune.
On obtient ce résultat en choisissant O=Tou
O=L.
Le barycentre Gpeut lui-même être choisi comme origine dans cette définition. On obtient
alors :
m1
−−→
GM1+m2
−−→
GM2=−→ 0
Ceci permet de définir le barycentre indépendamment de tout point Oextérieur au système.
A partir de la définition du barycentre, on peut écrire :
(m1+m2)−−→ OG =m1
−−→
OM1+m2
−−→
OM2
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En dérivant cette expression par rapport au temps, on obtient :
(m1+m2)−→ vG=m1−→ v1+m2−→ v2
La quantité de mouvement du système est égale à celle du barycentre affecté de la masse totale
Mdu système : −→
p=M−→ vG
1.3 Référentiel barycentrique
Le mouvement d’un système de points ne se limite pas à celui de son barycentre : les points
peuvent tourner autour de ce dernier, s’écarter ou se rapprocher l’un de l’autre. Il est alors
pratique d’étudier leur mouvement dans un référentiel lié au barycentre.
On appelle référentiel barycentrique d’un système de points matériels le référentiel R∗lié
au barycentre Gde ce système, et qui présente un mouvement de translation par rapport à
un référentiel galiléen Rg.
Attention : ce mouvement de translation est rarement un mouvement de translation rectiligne
uniforme −→ vG=−−→ cste, et le référentiel barycentrique est donc non-galiléen dans le cas général.
Exemple :Système Terre-Lune
Dans ce cas, le référentiel barycentrique est en translation elliptique par rapport au référentiel
héliocentrique supposé galiléen.
Dans le référentiel barycentrique R∗, les deux astres décrivent eux-mêmes des trajectoires
elliptiques.
Nous pouvons exprimer les grandeurs cinétiques du système dans le référentiel barycentrique.
Celles-ci sont conventionnellement notées avec un astérisque.
•Quantité de mouvement −→ p∗: Dans le référentiel barycentrique, la quantité de mouvement
totale du système est nulle puisque −→ vG/R∗=−→ 0et −→ p∗=M−→ vG/R∗, donc
−→
p∗=m1−→ v∗
1+m2−→
v∗
2=−→
0
•Moment cinétique −→ L∗: Dans le référentiel barycentrique, le moment cinétique est in-
dépendant du point Opar rapport auquel il est calculé. On peut ainsi le noter −→ L∗sans autre
précision.
En effet, comme −→ p∗=−→ 0, on obtient :
−→
L0∗
O=−→
L∗
O+−−→
O0O∧−→ p∗=−→ L∗
O=−→
L∗
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•Energie cinétique E∗
c: Dans le référentiel barycentrique, l’énergie cinétique est simplement
définie par :
E∗
c=1
2m1v∗2
1+1
2m2v∗2
2
1.4 Théorèmes de Koenig
L’étude d’un système de deux points matériels peut souvent se décomposer en deux étapes :
1. l’étude du mouvement du barycentre Gdu système dans le référentiel galiléen Rg
2. l’étude du mouvement des deux points matériels dans le référentiel barycentrique R∗.
Il est alors utile de savoir exprimer les grandeurs cinétiques dans R∗à partir de leur expression
dans Rg.
Les référentiels Rget R∗sont en translation relative. La loi de composition des vitesses s’écrit
donc, d’après le chapitre précédent, pour chacun des deux points matériels :
(−→
v1=−→ v∗
1+−→
vG/Rg
−→
v1=−→ v∗
2+−→
vG/Rg
a. Théorème de Koenig pour la quantité de mouvement
Il n’existe pas à proprement parler de relation de passage entre la quantité de mouvement
dans le référentiel galiléen et dans le référentiel barycentrique puisque :
−→
p∗=−→ 0
b. Théorème de Koenig pour le moment cinétique
Théorème de Koenig pour le moment cinétique : Le moment cinétique −→ LOd’un
système de deux points matériels par rapport à un point Oest égal à la somme du moment
cinétique barycentrique −→ L∗et du moment cinétique par rapport à Odu barycentre Gaffecté
de la masse totale M:
−→
LO=−→ L∗+−−→ OG ∧M−→ vG/Rg
Preuve : On injecte la loi de composition des vitesses dans la définition du moment cinétique
−→
LO=m1
−−→
OM1∧−→ v1+m2
−−→
OM2∧−→ v2
=m1
−−→
OM1∧−→ v∗
1+−→
vG/Rg+m2
−−→
OM2∧−→ v∗
2+−→
vG/Rg
=hm1
−−→
OM1∧−→ v∗
1+m2
−−→
OM2∧−→ v∗
2i
| {z }
−→
L∗
+m1
−−→
OM1+m2
−−→
OM2
| {z }
M−−→ OG
∧−→ vG/R∗
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c. Théorème de Koenig pour l’énergie cinétique
Théorème de Koenig pour l’énergie cinétique : L’énergie cinétique Ecd’un système de
deux points matériels est égale à la somme de l’énergie cinétique barycentrique E∗
cet de
l’énergie cinétique du barycentre Gaffecté de la masse totale M:
Ec=E∗
c+1
2Mv2
G/Rg
Preuve : On injecte la loi de composition des vitesses dans la définition de l’énergie cinétique :
Ec=1
2m1v2
1+1
2m2v2
2
=1
2m1−→
v∗
1+−→
vG/Rg2+1
2m2−→
v∗
2+−→
vG/Rg2
=1
2m1v∗2
1+1
2m2v∗2
2+1
2(m1+m2)v2
G/Rg+ (m1−→
v∗
1+m2−→
v∗
2)·−→
vG/Rg
=E∗
c+1
2Mv2
G/Rg+−→
p∗
|{z}
−→
0
·−→ vG/Rg
Transition : Après avoir introduit les relations entre grandeurs cinématiques et cinétiques,
intéressons nous aux grandeurs dynamiques (forces, moments des forces et travail des forces).
2 Dynamique d’un système de deux points matériels
Les théorèmes généraux de la mécanique du point peuvent être transposés au cas d’un système
de deux points matériels. Dans cette partie, le référentiel d’étude Rgest galiléen.
2.1 Forces intérieures et forces extérieures
Différentes forces s’exercent sur les deux points qui constituent le système étudié ; nous dis-
tinguerons deux types de forces par la suite :
1. les forces intérieures que ces deux points exercent l’un sur l’autre
2. les forces extérieures qui sont exercées par des points n’appartenant pas au système.
Exemple :Système Terre-Lune
Les attractions gravitationnelles exercées par la Terre sur la Lune, et par la Lune sur la Terre,
sont des forces intérieures. Les attractions gravitationnelles exercées par le Soleil sur la Terre et
sur la Lune sont des forces extérieures. Le système Terre-Lune n’est pas isolé.
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