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Physique
Cours : Système de deux points matériels
Système de deux points matériels
Introduction
Les théorèmes généraux de la mécanique du point peuvent être transposés à un ensemble de
points matériels. Le cas particulier de deux points en interaction permet d’illustrer simplement
les propriétés générales de ces systèmes.
Ce chapitre fait le lien entre la mécanique du point matériel et la mécanique du solide, vue en
seconde année. En effet, nous allons voir que l’étude de deux points matériels peut se ramener
à l’étude d’un seul point fictif, et nous serons amenés à introduire des notions utiles par la suite
en mécanique du solide.
Ce chapitre nous permettra de rendre compte des vibrations des molécules diatomiques, de
l’évolution des étoiles doubles, du mouvement d’une haltère, et de l’effet de marée, apparaissant
comme une manifestation du caractère non galiléen du référentiel géocentrique, comme nous
l’avons évoqué au chapitre précédent.
1 Cinétique d’un système de deux points matériels
La description du mouvement d’un point fait appel à plusieurs grandeurs cinématiques, dont
les vecteurs position, vitesse et accélération. En combinant ces grandeurs avec la masse du
point, nous avons défini des grandeurs cinétiques qui caractérisent le point matériel. Nous allons
à présent étendre ces définitions au cas d’un système de deux points.
1.1 Eléments cinétiques d’un système de deux points matériels
Dans un référentiel quelconque R, on étudie le mouvement d’un système de deux points
→
→
matériels M1 et M2 , de masses respectives m1 et m2 , et de vitesses respectives −
v 1 et −
v 2.
Nous pouvons définir trois éléments cinétiques analogues à ceux introduits pour un seul point
matériel : la quantité de mouvement, le moment cinétique et l’énergie cinétique. Dans tous les
cas, il s’agit de sommer les contributions des deux points.
a) Quantité de mouvement totale :
La quantité de mouvement du système, également appelée résultante cinétique, caractérise le
mouvement d’ensemble du système. Elle correspond à la somme des quantités de mouvement
des deux points :
−
→
→
→
p = m1 −
v 1 + m2 −
v2
b) Moment cinétique total :
Le moment cinétique du système par rapport à un point O est la somme des moments cinétiques de chaque point par rapport à O, et caractérise le mouvement de rotation du système
autour du point O. :
→
−
−−→
−−→
→
→
L O = m1 OM 1 ∧ −
v 1 + m2 OM 2 ∧ −
v2
Remarque : Le moment cinétique dépend du point O par rapport auquel il est calculé :
−−→ −−→ −−→ −−→ →
−0
→
→
L O = O0 O + OM 1 ∧ m1 −
v 1 + O0 O + OM 2 ∧ m2 −
v2
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−−→ →
−
→0
−
→
L O = L O + O0 O ∧ −
p
Il n’est pas utile de retenir cette relation. En revanche, il faut être capable de l’obtenir rapidement.
c) Energie cinétique totale :
L’énergie cinétique du système est la somme des énergie cinétiques de chaque point :
1
1
Ec = m1 v12 + m2 v22
2
2
Elle caractérise le mouvement du système indépendamment de sa direction. Ces trois grandeurs
font intervenir la vitesse du point matériel. Elles sont donc relatives au référentiel dans lequel
elles sont évaluées.
1.2 Barycentre d’un système de deux points matériels
Deux points matériels M1 et M2 , de masses respectives m1 et m2 , admettent pour barycentre
le point G défini par :
−−→
−−→
−−→ m1 OM 1 + m2 OM 2
OG =
m1 + m2
Le barycentre est aussi appelé centre de masse ou centre d’inertie.
La position du barycentre est indépendante du point O qui a permis de la définir. En effet,
en faisant intervenir un autre point quelconque O0 , on peut écrire :
−−→ −
−−→ −
−−→ −−→ −−−→
−−−→
−−→0 −−0→ m1 OO0 + O0 M 1 + m2 OO0 + O0 M 2
−−→0 m1 O0 M 1 + m2 O0 M 2
OO + O G =
= OO +
m1 + m2
m1 + m2
−−−→
−−−→
−−0→ m1 O0 M 1 + m2 O0 M 2
OG=
m1 + m2
On obtient donc une définition équivalente en choisissant une autre origine O0 .
Exemple : Système Terre-Lune
La masse de la Terre est à peu près 82 fois supérieure à celle de la Lune. Le barycentre G est
situé 82 fois plus près de la Terre que de la Lune.
On obtient ce résultat en choisissant O = T ou
O = L.
Le barycentre G peut lui-même être choisi comme origine dans cette définition. On obtient
alors :
−−→
−−→
−
→
m1 GM 1 + m2 GM 2 = 0
Ceci permet de définir le barycentre indépendamment de tout point O extérieur au système.
A partir de la définition du barycentre, on peut écrire :
−−→
−−→
−−→
(m1 + m2 )OG = m1 OM 1 + m2 OM 2
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En dérivant cette expression par rapport au temps, on obtient :
→
→
→
(m1 + m2 )−
v G = m1 −
v 1 + m2 −
v2
La quantité de mouvement du système est égale à celle du barycentre affecté de la masse totale
M du système :
−
→
−
p = M→
vG
1.3 Référentiel barycentrique
Le mouvement d’un système de points ne se limite pas à celui de son barycentre : les points
peuvent tourner autour de ce dernier, s’écarter ou se rapprocher l’un de l’autre. Il est alors
pratique d’étudier leur mouvement dans un référentiel lié au barycentre.
On appelle référentiel barycentrique d’un système de points matériels le référentiel R∗ lié
au barycentre G de ce système, et qui présente un mouvement de translation par rapport à
un référentiel galiléen Rg .
Attention : ce mouvement de translation est rarement un mouvement de translation rectiligne
−−→
→
uniforme −
v G = cste, et le référentiel barycentrique est donc non-galiléen dans le cas général.
Exemple : Système Terre-Lune
Dans ce cas, le référentiel barycentrique est en translation elliptique par rapport au référentiel
héliocentrique supposé galiléen.
Dans le référentiel barycentrique R∗ , les deux astres décrivent eux-mêmes des trajectoires
elliptiques.
Nous pouvons exprimer les grandeurs cinétiques du système dans le référentiel barycentrique.
Celles-ci sont conventionnellement notées avec un astérisque.
→
• Quantité de mouvement −
p ∗ : Dans le référentiel barycentrique, la quantité de mouvement
−
→ −
→
→∗ = M −
→
∗ = 0 et p
∗ , donc
totale du système est nulle puisque −
v
v
G/R
G/R
−
→
→
−
→
→
p ∗ = m1 −
v ∗1 + m2 −
v ∗2 = 0
→
−
• Moment cinétique L ∗ : Dans le référentiel barycentrique, le moment cinétique est in−
→
dépendant du point O par rapport auquel il est calculé. On peut ainsi le noter L ∗ sans autre
précision.
−
→
→
En effet, comme −
p ∗ = 0 , on obtient :
−−→ →∗ −
−
→0∗ −
→
→
→
−
L O = L ∗O + O0 O ∧ −
p = L ∗O = L ∗
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• Energie cinétique Ec∗ : Dans le référentiel barycentrique, l’énergie cinétique est simplement
définie par :
1
1
2
2
Ec∗ = m1 v1∗ + m2 v2∗
2
2
1.4 Théorèmes de Koenig
L’étude d’un système de deux points matériels peut souvent se décomposer en deux étapes :
1. l’étude du mouvement du barycentre G du système dans le référentiel galiléen Rg
2. l’étude du mouvement des deux points matériels dans le référentiel barycentrique R∗ .
Il est alors utile de savoir exprimer les grandeurs cinétiques dans R∗ à partir de leur expression
dans Rg .
Les référentiels Rg et R∗ sont en translation relative. La loi de composition des vitesses s’écrit
donc, d’après le chapitre précédent, pour chacun des deux points matériels :
(−
→
→
→
v1=−
v ∗1 + −
v G/Rg
−
→
−
→
−
→
∗
v 1 = v 2 + v G/Rg
a. Théorème de Koenig pour la quantité de mouvement
Il n’existe pas à proprement parler de relation de passage entre la quantité de mouvement
dans le référentiel galiléen et dans le référentiel barycentrique puisque :
−
→
−
→
p∗ = 0
b. Théorème de Koenig pour le moment cinétique
−
→
Théorème de Koenig pour le moment cinétique : Le moment cinétique L O d’un
système de deux points matériels par rapport à un point O est égal à la somme du moment
−
→
cinétique barycentrique L ∗ et du moment cinétique par rapport à O du barycentre G affecté
de la masse totale M :
−
→
→
−
−−→
−
L O = L ∗ + OG ∧ M →
v G/Rg
Preuve : On injecte la loi de composition des vitesses dans la définition du moment cinétique
−
→
−−→
−−→
→
→
L O = m1 OM 1 ∧ −
v 1 + m2 OM 2 ∧ −
v2
−−→
−−→
−
→
→
−
→
→
∗
= m1 OM 1 ∧ v 1 + v G/Rg + m2 OM 2 ∧ −
v ∗2 + −
v G/Rg
h −−→
i −−→
−−→ →
−−→
→
→
v G/R∗
= m1 OM 1 ∧ −
v ∗1 + m2 OM 2 ∧ −
v ∗2 + m1 OM 1 + m2 OM 2 ∧ −
|
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{z
}
−
→∗
L
4
|
{z
−
−
→
M OG
}
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c. Théorème de Koenig pour l’énergie cinétique
Théorème de Koenig pour l’énergie cinétique : L’énergie cinétique Ec d’un système de
deux points matériels est égale à la somme de l’énergie cinétique barycentrique Ec∗ et de
l’énergie cinétique du barycentre G affecté de la masse totale M :
1
2
Ec = Ec∗ + M vG/R
g
2
Preuve : On injecte la loi de composition des vitesses dans la définition de l’énergie cinétique :
1
1
m1 v12 + m2 v22
2
2
2
2
1
1
→
−
→
→
→
∗
=
v G/Rg + m2 −
v ∗2 + −
v G/Rg
m1 v 1 + −
2
2
1
1
1
2
2
→
−
→
2
v ∗2 ) · −
v G/Rg
v ∗1 + m2 →
=
m1 v1∗ + m2 v2∗ + (m1 + m2 )vG/R
+ (m1 −
g
2
2
2
1
−
−
2
= Ec∗ + M vG/R
+→
p∗ ·→
v G/Rg
g
|{z}
2
Ec =
−
→
0
Transition : Après avoir introduit les relations entre grandeurs cinématiques et cinétiques,
intéressons nous aux grandeurs dynamiques (forces, moments des forces et travail des forces).
2 Dynamique d’un système de deux points matériels
Les théorèmes généraux de la mécanique du point peuvent être transposés au cas d’un système
de deux points matériels. Dans cette partie, le référentiel d’étude Rg est galiléen.
2.1 Forces intérieures et forces extérieures
Différentes forces s’exercent sur les deux points qui constituent le système étudié ; nous distinguerons deux types de forces par la suite :
1. les forces intérieures que ces deux points exercent l’un sur l’autre
2. les forces extérieures qui sont exercées par des points n’appartenant pas au système.
Exemple : Système Terre-Lune
Les attractions gravitationnelles exercées par la Terre sur la Lune, et par la Lune sur la Terre,
sont des forces intérieures. Les attractions gravitationnelles exercées par le Soleil sur la Terre et
sur la Lune sont des forces extérieures. Le système Terre-Lune n’est pas isolé.
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D’après le principe des actions réciproques (3eme loi de Newton), les forces intérieures sont à
chaque instant opposées : elles ont même droite d’action, même norme, mais un sens opposé :
−
→
−
→
F 1→2 = − F 2→1
La résultante des forces intérieures est donc nulle :
X→
−
→
−
F int = 0
La résultante de toutes les forces appliquées au système se réduit donc à la résultante des
forces extérieures :
X−
→ X−
→
F =
F ext
2.2 Théorème du centre de masse ou théorème de la quantité de mouvement
Théorème de la quantité de mouvement : Dans un référentiel galiléen Rg , la dérivée
temporelle de la quantité de mouvement du système est égale à la somme des forces
extérieures exercées sur le système.
→
→
Sachant qu’on peut écrire −
p = M−
v G/Rg , on a, si la masse du système reste constante :
→
X−
→
d−
p
→
= M−
a G/Rg =
F ext
dt
Le mouvement du centre d’inertie d’un système de deux points matériels est celui d’un point
qui aurait pour masse la masse totale du système et auquel serait appliquée la résultante des
forces extérieures.
Preuve : Dans le référentiel galiléen Rg , le principe fondamental de la dynamique s’applique
à chacun des points.
En distinguant les forces intérieures des forces extérieures, on peut écrire :
−
d→
p1
dt
−
d→
p2
dt
=
X−
−
→
→
F 2→1 +
F ext→1
=
X−
−
→
→
F 1→2 +
F ext→2
En additionnant ces équations, nous éliminons la force d’interaction entre les deux points :
→
→
X→
−
−
d−
p 1 d−
p 2 X→
+
=
F ext→1 +
F ext→2
dt
dt
−
X−
→
d→
p
=
F ext
dt
Ce théorème permet d’étudier le mouvement d’un objet étendu en l’assimilant à son
barycentre.
Exemple 1 : Mouvement d’une haltère
Si on lance une haltère dans le référentiel terrestre, la trajectoire de son barycentre G est une
parabole. On peut prévoir ce mouvement en appliquant le poids total de l’haltère au barycentre.
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Le mouvement s’accompagne d’une rotation de l’haltère autour de G, que l’on ne peut déterminer
à ce stade, seulement l’aide du théorème de la quantité de mouvement.
Exemple 2 : Système Terre-Lune
Ce système est essentiellement soumis à la force gravitationnelle du Soleil, qui s’applique
à chacun des deux astres. Son barycentre décrit une trajectoire elliptique sous l’effet de la
résultante des forces, tandis que les trajectoires de la Terre et de la Lune sont sensiblement plus
compliquées.
Le mouvement du barycentre ne dépend que des forces extérieures exercées sur le système.
Les forces intérieures (comme les forces de cohésion de l’haltère ou l’interaction gravitationnelle
entre la Terre et la Lune) n’agissent pas sur le mouvement du barycentre :
Les forces intérieures n’agissent pas sur la quantité de mouvement du système.
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2.3 Théorème du moment cinétique
Théorème du moment cinétique par rapport à un point fixe O dans Rg :
Dans un référentiel galiléen Rg , la dérivée temporelle du moment cinétique, par rapport à un
point O fixe dans Rg , d’un système de deux points matériels est égale au moment par
rapport à O des forces extérieures exercées sur le système :
−
→
X−
→ −
→
dLO
=
MO ( F ext )
dt
Preuve : Le théorème du moment cinétique, qui est une conséquence du principe fondamental
de la dynamique, peut se formuler par rapport à un point fixe O par rapport au référentiel
galiléen Rg pour chacun des deux points du système :
−
→
→ −
→
−
→ −
→
d L O1 −
= MO ( F 2→1 ) + MO ( F ext→1 )
dt
−
→
→ −
→
−
→ −
→
d L O2 −
= MO ( F 1→2 ) + MO ( F ext→2 )
dt
En sommant ces deux expressions, on fait apparaître le moment cinétique du système :
−
→
→
−
→ −
→
−
→ →
−
−
→ −
→
−
→ −
→
d L O1 d L O2 −
+
= MO ( F 1→2 ) + MO ( F 2→1 ) + MO ( F ext→2 ) + MO ( F ext→1 )
{z
} |
{z
}
| dt {z dt } |
M oment des f orces intérieures
M oment des f orces extérieures
→
−
dLO
dt
Or le moment des forces intérieures est nul car :
−
→ X→
−
−
→ −
→
−
→ −
→
MO (
F int ) = MO ( F 1→2 ) + MO ( F 2→1 )
−−→
→
−
−−→
−
→
= OM 1 ∧ F 2→1 + OM 2 ∧ F 1→2
−−−−→ →
−
= M1 M2 ∧ F 1→2
→
−
= 0
−−−−→
Comme la force exercée par M1 sur M2 est dirigée selon M1 M2 , le moment des forces intérieures
est nul.
Seules des actions extérieures peuvent modifier le mouvement global de rotation d’un système
de deux points matériels. Les forces intérieures, en revanche, ne le permettent pas.
2.4 Théorème de l’énergie cinétique
a) Enoncé
Théorème de l’énergie cinétique : Dans un référentiel galiléen Rg , la variation de
l’énergie cinétique d’un système de deux points matériels est égale à la somme des travaux
des forces extérieures et intérieures exercées sur ces points :
∆Ec =
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X
X
−
→
→
−
W ( F int ) +
W ( F ext )
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Preuve : Nous pouvons appliquer le théorème de l’énergie cinétique aux deux points matériels
qui constituent le système :
X
→
−
−
→
∆Ec (M1 ) = W ( F 2→1 ) +
W ( F ext→1 )
X
→
−
−
→
∆Ec (M2 ) = W ( F 1→2 ) +
W ( F ext→2 )
En additionnant ces deux égalités, on voit apparaître la variation d’énergie cinétique du système :
X
X
→
−
−
→
→
−
−
→
∆Ec = W ( F 2→1 ) + W ( F 1→2 ) +
W ( F ext→1 ) +
W ( F ext→2 )
|
{z
}
T ravail des f orces intérieures
|
{z
}
T ravail des f orces extérieures
On doit donc tenir compte dans l’application du théorème du moment cinétique de toutes les
forces, y compris les forces intérieures.
a) Travail des forces intérieures
Bien qu’opposées, les forces intérieures peuvent présenter une puissance non nulle.
Exemple : Système de deux protons
On considère deux protons lâchés sans vitesses initiales à une distance quelconque l’un de
l’autre. Les forces répulsives qui s’exercent entre ces particules vont les mettre en mouvement,
de sorte que leur énergie cinétique va augmenter.
Fig. 1: Augmentation de l’énergie cinétique d’un système constitué de deux protons lachés sans
vitesse initiale, par la simple répulsion entre ces deux particules. Les deux forces de
répulsions, bien qu’étant des forces intérieures, ont un effet sur la variation de l’énergie
cinétique de l’ensemble.
Cette mise en mouvement résulte du travail des forces intérieures, qui n’est pas nul.
Le travail élémentaire des forces intérieures vaut :
−
→
−−→
−
→
−−→
→
−
−−−−→
δWint = F 2→1 · dOM 1 + F 1→2 · dOM 2 = F 1→2 · dM1 M2
−
→
−−−−→
Or F 1→2 a pour droite d’action la droite (M1 M2 ). Elle est donc colinéaire à M1 M2 et on peut
−
→
−−−−→
l’écrire : F 1→2 = αM1 M2 (α n’étant pas forcément une constante). On en déduit :
−−−−→ −−−−→ α −−−−→2
δWint = αM1 M2 · dM1 M2 = d M1 M2
2
On peut tirer deux conclusions de cette expression :
• L’expression de la force (et donc de α) ne dépend pas du référentiel considéré. La distance
M1 M2 entre les deux points ne dépend pas non plus du référentiel considéré. Le travail (et la
puissance) des forces intérieures ne dépend donc pas du référentiel considéré. La conséquence
est d’ordre pratique : on calculera la puissance ou le travail des forces internes dans le référentiel
où le calcul sera le plus facile à mener.
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• D’autre part, le travail des forces intérieures n’est pas nul a priori. Par contre, si la distance
entre M1 et M2 est constante, alors δWint = 0 : le travail des forces intérieures d’un système
indéformable ou rigide est nul.
Exemple : Translation et rotation d’une haltère
Lorsque le solide se translate, les travaux des deux forces se compensent. Lorsqu’il tourne,
chaque force présente un travail nul. Contrairement à la résultante et au moment des forces
intérieures, le travail des forces intérieures n’est pas nul.
3 Cas particulier d’un système isolé
Lorsque les deux points matériels ne sont pas soumis à des forces extérieures, ils constituent
un système isolé. Les relations établies précédemment conduisent à des simplifications. On s’intéresse dans la suite au mouvement d’un système isolé dans un référentiel galiléen Rg .
3.1 Conservation de la quantité de mouvement
Pour un système isolé, les forces extérieures exercées sur chaque point sont nulles. L’application
du théorème de la quantité de mouvement conduit ainsi à une quantité de mouvement totale
−
→
P−
→
−
→
−−→
→
−
constante : d p =
F
= 0
=⇒
p = cste .
dt
ext
On rappelle que cette quantité de mouvement est celle du barycentre du système affecté de la
−−→
→
→
masse totale : −
p = M−
v GRg = cste.
La vitesse du barycentre est donc constante dans le référentiel d’étude. Le référentiel barycentrique R∗ présente alors un mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport au
référentiel galiléen Rg . Il est donc lui-même galiléen.
Lorsque deux points matériels forment un système isolé, le référentiel
barycentrique qui leur est attaché est galiléen.
Exemple 1 : Système de deux cosmonautes
Deux cosmonautes isolés de toute action extérieure et observés dans un référentiel galiléen
peuvent s’approcher l’un de l’autre sous l’effet de la force gravitationnelle qui s’exerce entre eux.
Ils peuvent également s’écarter l’un de l’autre après s’être repoussés manuellement. En revanche,
ils ne peuvent pas modifier le mouvement de translation rectiligne uniforme de leur barycentre.
Autres exemples similaires : Personne seule dans une barque cherchant à se rapprocher du
bord, personne sur un surf des neiges cherchant à avancer sur du plat.
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G
Exemple 2 : Système cosmonaute + matière éjectée
Pour se mettre en mouvement, un cosmonaute immobile dans un référentiel galiléen doit
éjecter de la matière. La quantité de mouvement du système isolé, initialement nulle, doit le
−
→ →
→
→
rester : −
p initial = 0 = −
p cosmonaute + −
p matière éjectée
Autres exemples similaires : Propulsion d’une fusée, recul d’un fusil lors d’un tir.
3.2 Conservation du moment cinétique
En l’absence de toute force extérieure et dans un référentiel galiléen Rg , le théorème du
moment cinétique affirme la conservation du moment cinétique total par rapport à un point O
fixe dans Rg .
Le système conserve son mouvement de rotation global autour d’un point O quelconque, à
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Cours : Système de deux points matériels
condition qu’il soit fixe dans Rg :
→
−
−
→
dLO
→
−
−−→
= 0
=⇒ L O = cste
dt
Comme le référentiel barycentrique est galiléen, le même raisonnement s’applique au moment
−
→
−−→
cinétique barycentrique : L ∗ = cste .
Attention : Ces deux moment, bien que constants, ne sont pas identiques. D’après le théorème
de Koenig, ils diffèrent par le moment cinétique du barycentre G affecté de tout la masse et
calculé dans le référentiel Rg .
Exemple : Système de deux cosmonautes
Dans le référentiel barycentrique, deux cosmonautes peuvent « tourner » autour du barycentre, mais ne peuvent pas modifier leur moment cinétique total puisque le moment des forces
intérieures est nul.
Ils peuvent en revanche modifier leur vitesse angulaire de rotation en jouant sur la distance
qui les sépare : à moment cinétique constant, plus ils sont rapprochés et plus ils tournent vite.
Comme on l’a déjà vu dans l’étude d’une force centrale, la conservation du moment cinétique
entraîne la planéité du mouvement. Elle implique également la loi des aires : dans le plan du
−−−−→
mouvement, le vecteur M1 M2 balaie une aire constante par unité de temps.
3.3 Conservation de l’énergie mécanique
Le théorème de l’énergie mécanique conduit, dans le cas d’un système isolé, à la relation
nc
suivante : ∆Em = Wint
.
Si de plus les forces intérieures s’exerçant entre les deux points sont conservatives, on obtient :
∆Em = 0 et l’énergie mécanique du système est constante : Em = cste . L’énergie mécanique se
conserve.
On peut étudier également l’énergie mécanique dans le référentiel barycentrique. Le théorème
2
de Koenig pour l’énergie cinétique s’écrit : Ec = Ec∗ + 12 M vG/R
.
g
Comme il n’y a pas de forces extérieures pour un système isolé, les seules énergies potentielles
sont interieures, et donc l’énergie mécanique s’écrit :
1
1
2
2
∗
Em = Ec + Epint = Ec∗ + M vG/R
+ Epint = Em
+ M vG/R
g
g
2
2
∗ = E∗ + E
, où l’énergie barycentrique est définie par : Em
pint .
c
Pour un système isolé, la vitesse du barycentre est constante. L’énergie mécanique du système
étant constante dans le référentiel Rg (si les forces intérieures sont conservatives), elle est aussi
∗
constante dans le référentiel barycentrique : Em
= cste .
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Cours : Système de deux points matériels
3.4 Mouvement dans le référentiel barycentrique
a) Particule fictive
Pour un système isolé, les équations du mouvement de chacun des points du système s’écrivent :
−−−→
→
d2 OM1 −
m1
= F 2→1
dt2
−−−→
→
d2 OM2 −
m2
= F 1→2
2
dt
Ce système d’équations différentielles est couplé : l’étude du mouvement de M1 nécessite
→
−
l’expression de la force d’interaction F 2→1 qui dépend de la position de M2 .
−−−−→
On peut cependant découpler ce système d’équations en choisissant M1 M2 comme variable :
−−−→
−−−→
−
→
→
−
−
d2 OM1 d2 OM2
F 2→1
F 1→2
M1 + m2 →
−
=
−
=
F 1→2
2
2
dt
dt
m1
m2
M1 m2
−−−−→
−
m1 m2 d2 M1 M2 →
= F 1→2
2
m1 + m2 dt
En posant µ =
m1 m2
(ou
m1 + m2
1
µ
=
1
m1
+
µ
1
m2 ),
−−−−→
→
et −
r = M1 M2 , l’équation précédente s’écrit :
→
−
→
d2 −
r
= F 1→2
dt2
−−−−→
→
Ainsi, l’équation du mouvement relatif de M2 par rapport à M1 (−
r = M1 M2 est la position
relative de M2 par rapport à M1 ) s’écrit de la même manière que l’équation du mouvement
d’une particule M de masse µ (appelée masse réduite), dont la position est repérée dans le
−−−−→ −−→
−
r = M1 M2 = GM , et soumis à la
référentiel barycentrique par rapport au barycentre G par →
−
→
même force F 1→2 que la force exercée par M1 sur M2 .
Cette particule M , qui n’a pas d’existence réelle, est appelée particule fictive (ou particule
réduite).
On transforme ainsi l’étude du mouvement de deux points matériels M1 et M2 constituant
le système isolé, en l’étude du mouvement d’une seule particule fictive M , ce qui simplifie le
problème.
−
→
−−−−→
→
La force d’interaction F 1→2 entre M1 et M2 est colinéaire à −
r = M1 M2 , d’après le principe
des actions réciproques. Ainsi, pour la particule fictive, cette force est colinéaire à son vecteur
→
position −
r . Sa direction passe donc en permanence par le point G : c’est donc une force
centrale.
On pourra donc s’appuyer pour l’étude du mouvement de la particule fictive sur les résultats
établis dans le chapitre sur les forces centrales.
b) Mouvement réel
Une fois le mouvement de la particule connu, les positions des deux points matériels M1 et
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M2 se déduisent du vecteur position de la particule fictive par les relations barycentriques :
−−−→
−−−→ −
→
m1 GM1 + m2 GM2 = 0
et
−−−−→ −−−→ −−−→
−
→
r = M1 M2 = GM2 − GM1
−−−→
−−−→
→
−
→
m1 GM1 + m2 −
r + GM1 = 0
−−−→
−
→
r ∗1 = GM1 = −
m2 −
µ −
→
→
r =−
r
m1 + m2
m1
−−−→
−−−→
1
et comme GM2 = − m
m2 GM1 , on obtient :
−−−→
−
→
r ∗2 = GM2 =
µ →
m1 −
→
−
r =
r
m1 + m2
m2
−−−→
−−−→
GM1 et GM2 sont les positions de M1 et M2
dans le référentiel barycentrique R∗ . Elles se déduisent de celle de la particule fictive par deux
homothéties de centre G. Pour se souvenir du
signe, on peut noter que M2 « est du côté » de
M par rapport à G.
Exemple : Système Terre-Lune
On considère ici le système comme isolé (on néglige en première approximation l’influence du
Soleil sur le système). La force intérieure est de nature gravitationnelle. L’équation du mouvemL
:
ment de la particule fictive s’écrit, avec µ = mmTT+m
L
µ
−
−
→
d2 →
r
GMT mL →
GmT ml −−−−→
−
M1 M2 = −
= F 1→2 = −
r
dt2
r3
M1 M23
On sait alors que la particule réduite a une
trajectoire qui correspond à une conique (dans
le cas présent, une ellipse) dont le foyer est le
barycentre G. Les trajectoires de la Lune et de
la Terre sont également elliptiques puisqu’elles
se déduisent par homotéthies. La masse réduite
est proche de celle de la Lune : mT ' mL =⇒
µ ' 82
83 mL ' 0.99mL
Les positions de la Terre et de la Lune sont alors :
−−−→
1→
−
GM1 ' − −
r ' −0.012→
r
83
et
−−−→
→
GM2 ' 0.99−
r
La Terre tourne ainsi à proximité du barycentre G, tandis que la Lune présente un mouvement
pratiquement identique à celui de la particule réduite.
Lorsque deux points sont de masses très différentes, on ne commet qu’une petite erreur en
affirmant que le point le moins massif tourne autour du plus massif. En toute rigueur, les deux
tournent autour du barycentre.
Remarque : le mouvement du corps le plus massif, même faible, peut avoir des conséquences
relativement importantes ; c’est en effet ainsi que l’on peut détecter des exoplanètes, grâce au
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mouvement de l’étoile autour de laquelle elle orbite ; elle permet aussi d’interpréter la différence
entre la valeur de la constante de Rydberg calculée en considérant le noyau d’hydrogène immobile
et la valeur expérimentale, ou la différence entre les constantes de Rydberg pour l’hydrogène et
pour l’ion He2+ .
c) Grandeurs barycentriques
• Vitesses barycentriques
Dans le référentiel barycentrique R∗ , les vitesses des points M1 et M2 s’expriment en fonction
de la vitesse de la particule réduite M .
−−−→
−
dGM1
r
µ −
µ d→
−
→
→
→
∗
v1=
v ∗1 = −
v
=−
=⇒ −
dt
m1 dt
m1
µ −
−
→
On obtient de même : →
v ∗2 =
v
m2
−
→
→
r
où −
v = dt
est la vitesse de la particule fictive dans R∗ . C’est aussi la vitesse relative de M1
par rapport à M2 .
• Quantités de mouvement
Les quantités de mouvement de M1 et M2 dans R∗ s’en déduisent immédiatement :
→
−
→
p ∗1 = −µ−
v
−
→
→
p ∗2 = µ−
v
et
On retrouve le fait que la quantité de mouvement du système est nulle dans le référentiel bary−
→
→
→
→
centrique : −
p∗ =−
p ∗1 + −
p ∗2 = 0 .
→
µ−
v peut être considérée comme la quantité de mouvement de la particule fictive dans R∗ .
Elle est égale à la quantité de mouvement de M2 dans R∗ .
• Moment cinétique du système
−
→
−−−→ − ∗ −−−→ →
On a : L ∗ = GM1 ∧ →
p 1 + GM2 ∧ −
p ∗2
−
→
−−−→ −−−→
−
→
→
→
→
→
−
→
Or −
p ∗2 = −−
r ∧ µ−
v
p ∗1 = µ−
v =⇒ L ∗ = −
v =⇒ L ∗ = GM2 − GM1 ∧ µ→
∗
Le moment cinétique du système dans R correspond au moment cinétique de la particule
fictive dans R∗ .
• Energie cinétique
1
µ2 v 2 =⇒ Ec∗ = µv 2
2
L’énergie cinétique du système dans R∗ correspond à l’énergie cinétique de la particule fictive
dans R∗ .
Transition : Nous avons étudié le cas d’un système de deux points matériels isolés. Intéressonsnous maintenant au cas où le système de points matériels est en présence d’un champ extérieur.
Ec∗ = 12 m1 v1∗2 + 12 m2 v2∗2 =
p∗2
1
2m1
+
p∗2
2
2m2
=
1
2
1
m1
+
1
m2
4 Influence d’un champ extérieur sur un système de deux points
matériels
4.1 Position du problème
Nous allons étudier l’exemple d’un système de deux points matériels en interaction gravitationnelle, soumis à un champ extérieur de gravitation. Ceci nous permettra notamment de
comprendre le phénomène des marées.
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Considérons le système constitué d’un point matériel P de masse mP en interaction avec la
Terre de masse mT , avec mT mP .
On considère que ce système n’est soumis qu’au champ extérieur constitué par le champ
gravitationnel du Soleil, en négligeant l’influence des autres astres (Lune, autres planètes...).
On cherche à étudier le mouvement du système {P oint P ; T erre} en décomposant celui-ci
en deux mouvements, comme nous l’avons précedemment présenté dans ce chapitre :
– le mouvement du centre de masse du système dans le référentiel héliocentrique, noté Rg et
supposé galiléen.
– le mouvement de l’ensemble des deux points T et P dans le référentiel barycentrique noté
R∗ .
4.2 Mouvement du barycentre dans le référentiel héliocentrique
Pour déterminer le mouvement du barycentre du système {P oint P ; T erre}, appliquons le
théorème du centre de masse :
−
→
−
→
→
(mT + mP )−
a (G)/Rg = F S→T + F S→P
Or mT mP , donc G ' T et de plus FS→T FS→P et le référentiel barycentrique peut être
assimilé au référentiel géocentrique.
On en déduit donc :
−→
−
→
GmS mT ST
→
mT −
a (T )/Rg = −
= mT GS (T )
ST 3
−
→
→
et donc −
a (T )/Rg = GS (T ) .
Le barycentre du système {P oint P ; T erre} est
donc soumis à un champ newtonien. Sa trajectoire est donc une conique (ici, une ellipse autour
du Soleil) dans le référentiel héliocentrique R} .
Le référentiel barycentrique R∗ est en translation non rectiligne par rapport au référentiel
héliocentrqiue Rg ; Le référentiel barycentrique R∗ n’est donc pas galiléen.
4.3 Etude dans le référentiel barycentrique
Le point P est soumis à l’attraction gravitationnelle de la Terre, l’attraction gravitationnelle
−
→
→
du Soleil, et à la force d’inertie d’entraînement R0 f ie = −m−
a R∗ /Rg .
La résultante de ces forces s’exerçant sur le seul point P s’écrit :
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
F = mP GT (P ) + mP GS (P ) − mP →
a (T )/Rg = mP GT (P ) + mP GS (P ) − mP GS (T )
Si l’on s’intéresse maintenant uniquement à l’action des forces extérieures au système {P oint P ; T erre}
s’exerçant sur P , on obtient :
h−
−
→
−
→
→
−
→ i
F ext = mP GS (P ) − GS (T ) = mP δS (P )
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La résultante des forces fait intervenir le terme différentiel :
−
→
−
→
−
→
δS (P ) = GS (P ) − GS (T )
appelé terme de marée, correspondant à la différence entre le champ gravitationnel créé par
le Soleil au point P et le champ gravitationnel créé au centre T de la Terre.
Du côté du Soleil, le champ gravitationnel est légèrement supérieur, en norme, à sa valeur au
centre de la terre. La force résultante s’écarte de la Terre.
De l’autre côté, le module du champ gravitationnel exercé par le Soleil est légèrement inférieur
à sa valeur au centre de la Terre. La force résultante s’écarte là aussi de la Terre.
Au centre de la Terre, la force gravitationnelle du Soleil et la force d’inertie sont opposées, et
le terme de marée est nul.
On peut évaluer un ordre de grandeur du terme de marée dû au Soleil. En norme, pour un
point situé à la surface de la Terre, dans le plan de l’écliptique :
δS = GmS
"
1
GmS
RT
1
=
1− 1−
−
D2 (D − RT )2
D2
D
−2 #
'
2GmS RT
D3
On obtient δS = 2.5×10−7 m.s−2 . Le terme de marée peut être considéré comme une correction
du terme d’attraction terrestre et du terme lié à la rotation de la Terre sur elle-même. C’est une
manifestation du caractère non-galiléen du référentiel géocentrique.
4.4 Influence des autres astres
L’étude réalisée ici sur l’influence de l’attraction solaire sur le mouvement d’un point P dans
le référentiel géocentrique peut être généralisée à l’influence d’autres astres. Le terme de marée
dû à la Lune est de l’ordre de 5.5 × 10−7 m.s−2 , c’est-à-dire en viron 2 fois plus important
plus important que celui du Soleil1 .
Les termes de marée dus à d’autres astres du système solaire sont en revanche largement
négligeables (de l’ordre de 10−11 m.s−2 pour Vénus, 10−12 m.s−2 pour Jupiter...) devant ceux
de la Lune ou du Soleil.
1
L’effet de la Lune est peut-être plus difficile à saisir, notamment l’origine de la force d’inertie d’entraînement :
celle-ci est due au déplacement de la Terre autour du barycentre du système Terre-Lune.
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4.5 Marées terrestres et autres manifestations
Sur Terre, la manifestation principale du terme de marée est la déformation des masses océaniques. Sous l’effet des forces de marées exercées par un astre extérieur, de l’eau est déplacée
sur l’axe qui lie le centre de cet astre et le centre de la Terre. Nous observons deux renflements
diamétralement opposés appelés bourrelets océaniques : l’un dans la direction de l’astre, l’autre
en un point diamétralement opposé.
Comme la Terre tourne sur elle-même, ces renflements se déplacent par rapport à la surface :
au cours d’une journée, un point de la surface du globe connaît ainsi deux marées hautes. La
périodicité des marées n’est pas exactement de 12h car la position relative des astres qui en sont
responsables varie légèrement d’un jour à l’autre (décalage d’environ 50min par jour). Lorsque
la Lune, le Soleil et la Terre sont sur un même axe (nouvelle Lune ou pleine Lune), les effets
du Soleil s’additionnent à ceux de la Lune et nous parlons de marée de vives eaux. Lorsque les
directions Terre-Lune et Terre-Soleil sont orthogonales (premier ou dernier quartier), les effets
des deux astres se compensent partiellement et nous parlons de marée de mortes eaux.
Le terme de marée intervient aussi dans la formation des anneaux de Saturne, Jupiter ou
Uranus. En effet, les forces de marée ont tendance à disloquer l’astre sur lequel elles s’exercent.
Les anneaux planétaires seraient ainsi dus à l’existence de forces de marées plus importantes
que les forces de cohésion de l’astre (satellite ou comète) à proximité de la planète. Les forces de
marée exercée par Jupiter seraient également à l’origine de la ceinture d’astéroïdes entre Mars et
Jupiter : celles-ci seraient trop importantes pour qu’une planète puisse se former à cet endroit.
Autes exemples, comète Shoemaker-Levy 9 qui s’est disloquée sous l’influence de la gravitation
de Jupiter. La Lune serait peut-être un morceau de la Terre qui se serait détaché lors de la
collision avec un autre astre.
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