Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Équations Différentielle Ordinaire RAHMONUI FATIMA EZ-ZAHRAE AFERHANE ASMA BOUBLOUH SEFIA Encadré Par : HADD SAID FACULTÉ DES SCIENCES IBNO ZOHR Département de Mathématiques 06 JUIN 2016 1 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Plan 1 Théorème de Cauchy Lipschitz 2 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Plan 1 Théorème de Cauchy Lipschitz 2 Théorème de Peano 3 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Plan 1 Théorème de Cauchy Lipschitz 2 Théorème de Peano 3 Théorème d’explosion et ses application : 4 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Plan 1 Théorème de Cauchy Lipschitz 2 Théorème de Peano 3 Théorème d’explosion et ses application : 4 Stabilité au sens de Liapunov 5 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Théorème de Cauchy Lipschitz Definition Un problème de Cauchy est un problème constitué d’une équation différentielle plus une condition initiale et s’écrit sous la forme suivant : ( u 0 (t) = f (t, u(t)) (PC )t0 ,x0 = u(t0 ) = x0 avec f : ∧ × Ω → Rd telle que (∧ ⊂ R et Ω ⊂ Rd ) Z t u(t) = x0 + f (s, u(s))ds t0 6 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Théorème de Cauchy Lipschitz Definition Solution maximal :On a dit que la solution (I, u(t)) de problème de Cauchy est maximal si n’admet pas de prolongement. Solution locale : est une solution qu’il existe au voisinage de t0 . Solution globale : On dit que u(t) est une solution globale de problème de Cauchy si elle est définie sur ∧ tout entier. 7 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Théorème de Cauchy Lipschitz Theorem soit f : Λ × Ω → Rd continue tel que Λ ouvert de R et Ω est un ouvert de Rd . On suppose que f localement lipschitzienne par rapport sa deuxième variable . soit (t0 , x0 ) ∈ Λ × Ω . On considère le problème de Cauchy u 0 (t) = f (t, u(t)) (PC )(t0 ,x0 ) u(t ) = x 0 0 - Unicité locale : il existe J0 =]t0 − α, t0 + α[ voisinage ouvert de t0 tel que J0 ⊂ Λ et un unique fonction u : J0 → Ω solution de (PC )(t0 ,x0 ) . -Unicité globale si u1 et u2 deux solutions de (PC )(t0 ,x0 ) définit sur J ⊂ Λ tel que ∀t ∈ J 8 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Théorème de Cauchy Lipschitz Theorem u10 (t) = f (t, u2 (t)) u1 (t0 ) = x0 u20 (t) u2 (t0 ) = x0 = f (t, u2 (t)) ⇒ u1 = u2 sur J. 9 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Théorème de Cauchy Lipschitz Demonstration : Méthode de Point Fixe -Unicité locale : Soit F = B(x0 , r ) ⊂ Λ . u ∈ C([t0 − α, t0 + α], Rd ) Z t f (s, u(s))ds φ(u)(t) = x0 + t0 - φ(F ) ⊂ F : - φ est contractante sur F : Donc d’après le Théorème de point fixe il existe une unique solution u :]t0 − α, t0 + α[=⇒ Rd de Φ(u) = u est donc de problème de Cauchy. -Unicité globale On va montrer que u1 (t) = u2 (t)∀t ∈ J : on pose X = {t ∈ J/u1 (t) = u2 (t)} -X 6= ∅ 10 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Théorème de Cauchy Lipschitz Demonstration : Méthode de Point Fixe(suite) -X est ferme -X est ouvert D’où X = J 11 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Demonstration : Itération de Picard -On prend un compact Q = {(t, x ) : |t − t0 | ≤ α, kx − x0 k ≤ r } -On construire une suite de fonctions (xk ) telle que : Z t xk (t) = x0 + f (s, xk−1 (s))ds ∀ k ≥ 0, |t − t0 | ≤ T t0 r avec T = inf(α, ) et M = sup k f (t, x ) k M Q - ∀k ≥ 0 (t, xk ) ∈ Q - xk est équibornée - xk est équicontinue En déduire d’après le théorème d’Ascoli qu’ il existe une sous suite (xkj ) que converge uniformément vers x Donc Z t x (t) = x0 + f (s, x )ds t0 12 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Demonstration : Itération de Picard( suite ) Montrons l’unicité : supposons y une autre solution dans J de problème de Cauchy telle que y (t0 ) = x0 et (s, y (s)) ∈ Q, s ∈ J.Alors : Z t kx (t) − y (t)k ≤ k f (s, x (s)) − f (s, y (s)) k ds ∀t ∈ [t0 − T , t0 + T ] t0 Z t k x (s) − y (s) k ds ≤L t0 Appliquons Lemme de Gronwall .On déduit que kx (t) − y (t)k = 0 Alors x(t)=y(t) ,∀t ∈ [t0 − T , t0 + T ] 13 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Remarque On peut conclure d’après le Théorème de Cauchy Lipschitz l’existence et l’unicité de solution maximal. 14 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Théorème de Peano Theorem Soit f :Λ × Ω → Rd une fonction continue (Λ ouvert de R ,Ω ouvert de Rd ) et soit (t0 , x0 ) Λ × Ω alors le Problème de Cauchy : ( x 0 (t) = f (t, x (t)) (PC )t0 ,x0 = x (t0 ) = x0 admet au moins une solution x : J0 → Rd oú J0 ouvert de Λ contenant t0 . plus précisément en prend J0 =]t0 − α, t0 + α[ tel que α > 0 et r > 0 et r K = [t0 − α, t0 + α] × B(x0 , r ) ⊂ Λ × Ω avec α < tel que M M = sup k f (t, x ) k k 15 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Théorème de Peano Démonstration : Méthode du solution ε − approché -Construction de solution ε − approché -On montre que ϕε : [t0 , t0 + α] → Rd est de C 1 par morceau . ϕε (ti+1 ) = ϕε (ti ) + (ti+1 − ti )f (ti , ϕε (ti )) avec ϕε (t0 ) = x0 -On travaille sur [t0 , t0 + α] -subdivision de l’intervalle t0 < t1 < ... < tn = t0 + α avec h = max(ti+1 − ti ) tq h < η inf{η, M } ϕε (t) = ϕε (ti ) + (t − ti )f (ti , ϕε (ti )) ∀t ∈ [ti , ti+1 ]. -On montre que ϕε (t) ∈ B(x0 , r ) : kϕε (t) − x0 k ≤ r ∀t ∈ [t0 , t0 + ϕ] -On pose ε = n1 . et (ϕ n1 ) = (ϕm ) . -(ϕm ) Équicontinue -(ϕm )Équibornée 16 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Démonstration : Méthode du solution ε − approché( suite ) -Théorème d’Ascoli ⇒ il existe une sous suite (ϕmk ) converge uniformément vers (ϕ∞ ) : kϕm (t) − ϕ∞ k −→ 0 ∀t ∈ [t0 + α, t0 + α] -On déduit que ϕ∞ : [t0 − α, t0 + α] → Rd est la solution de problème de Cauchy . ( Rt ϕ∞ (t) = x0 + t0 f (s, ϕ∞ (t))ds ϕ∞ (t0 ) = x0 17 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Théorème d’explosion et ses application Theorem Soit le problème de Cauchy suivant : ( x 0 (t) = f (t, x (t)) (PC )t0 ,x0 x (t0 ) = x0 avec f :]a, b[ ×Rd 7−→Rd une fonction continue soit x :]τ∗ ,τ ∗ [7−→Rd la solution maximale (PC )t0 ,x0 Alors : ( ou bien τ ∗ = b ou bien τ ∗ < b et limt→τ ∗ k x (t) k= +∞ même ( ou bien τ∗ = a ou bien τ∗ > a et limt→τ∗ k x (t) k= +∞ 18 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Théorème d’explosion et ses application Definition soit x :]T∗ , T ∗ [ → Rd la solution maximale (PC )t0 ,x0 ,On dit que la solution est globale si elle définie sur ]a, b[ c’est à dire que ]T∗ , T ∗ [=]a, b[ . corollaire soit f :]a, b[ × Rd → Rd continue et borné : ∃M > 0 tel que k f (t, x ) k< M ∀(t, x ) ∈]a, b[×Rd Alors toute solution maximale du problème de Cauchy est globale . 19 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Demonstration : -On suppose que τ ∗ < b -Théorème d’explosion ⇒ limt→τ ∗ k x (t) k= +∞ -On trouve kx (t)k ≤k x0 k +(T ∗ − t0 )M = M 0 absurde . -Alors τ ∗ = b -De même pour τ∗ = a. 20 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Théorème d’explosion et ses application corollaire soit f :]a, b[×Rd → Rd continue telle que : ∀ compact K ⊂]a, b[, ∃ c1 > 0, c2 > 0 telle que k f (t, x ) k≤ c1 k x k +c2 ∀(t, x ) ∈ K × Rd Alors tout solution maximale de Problème de Cauchy est globale . Demonstration : –On suppose que τ ∗ < b -Théorème d’explosion ⇒ limt→τ ∗ k x (t) k= +∞ -On obtient k x (t) k≤ M 0 , ∀t ∈ [t0 , T ∗ [ absurde . -D’où τ ∗ = b -De même pour τ∗ = a 21 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Cas linéaire cas non linéaire Stabilité au sens de Liapunov soit le problème de Cauchy suivant : ( u 0 (t) = Au(t) + g(t) (PC )(t0 ,x0 ) u(t0 ) = t0 avec A une matrice carrée d’ordre d et g : I ⊂ R 7−→ Rd un fonction continue . de plus Z t u(t) = x0 + (Au(s) + g(s))ds t0 On donne une autre expression très simple et très pratique 22 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Cas linéaire cas non linéaire Stabilité au sens de Liapunov Proposition Pour tout solution x0 Rd ,la solution de problème de Cauchy donner par : Z t (t−t0 )A u(t) = e x0 + e −sA g(s)ds ∀t ∈ I t0 23 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Cas linéaire cas non linéaire Stabilité au sens de Liapunov Theorem soit A ∈ Md×d (C) Alors on a l’équivalence entre les : 1 Il existe M > 0 et w > 0 tel que k e tA x k≤ Me −wt k x k ∀x ∈ Cd 2 ∀x ∈ Cn lim k e tA x k= 0 n7−→∞ 3 si S(A) est la spectre de la matrice A,alors la borne spectrale S(A) = sup Reλ < 0 24 avec λ ∈ σ(A) Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Cas linéaire cas non linéaire Stabilité au sens de Liapunov Demonstration : 1) ⇒ 2) : évident . 2) ⇒ 3) : -On montre par la contraposé . - On suppose que ∃λ ∈ σ(A) tel que Reλ ≥ 0. -x le vecteur propre associé à la valeur propre λ c’est à dire Ax = λx . -On obtient que k e tA k9 0. 3) ⇒ 1) : S(A) < 0 . On écrit A = S −1 JS avec J la matrice de Jordan telle que J = diag(Jλ1 , ..., Jλm ) et λ1 , ..., λm ∈ σ(A) . e tA = S −1 e tJ S = S −1 diag(e tJλ1 , ..., e tJλm )S k e tA x k≤k S −1 kk e tJ kk Sx k . 25 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Cas linéaire cas non linéaire Stabilité au sens de Liapunov Demonstration : (suite) soit i ∈ {1, ..., m} e tJλi e λi t = 0 te λi t .. . 0 0 0 0 ··· ··· .. . .. . t d−1 λi t (d−1)! e .. . te λi t e λi t ke tJλi k = e λi t +te λi t .. + t d−1 λi t (d−1)! e = (1 + t + ... + 26 t d−1 tReλi (d−1)! )e Équations Différentielle Ordinaire = P(t)e tReλi . Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Cas linéaire cas non linéaire Stabilité au sens de Liapunov Demonstration : (suite) S(A) < 0 < α < −S(A) . α + S(A) = −ω avec ω > 0 . k e tJλi k≤ P(t)e −α e −ωt −→ 0 quand t +∞. ∃k tel que P(t)e −α e −ωt ≤ k. k e tJλi k≤ ke −ωt =⇒k e tJ k≤ ke −ωt . ke tA x k ≤k S −1 kk S k ke −ωt k x k . -ke tA x k ≤ Me −ωt k x k 27 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Cas linéaire cas non linéaire on considère le problème de Cauchy autonome non linéaire suivante : ( u 0 (t) = f (u(t)) (PC )t0 ,x0 u(t0 ) = x0 f : Ω ∈ Rd 7−→ Rd Definition un point x ∗ ∈ Ω est dit point d’équilibre , point critique ou point stationnaire,du problème de Cauchy si : f (x ∗ ) = 0 28 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Cas linéaire cas non linéaire Stabilité au sens de Liapunov Definition soit x ∗ un point d’équilibre de Problème de Cauchy (PC )t0 ,x0 : • x ∗ est stable si ∀ε > 0, ∃δ > 0 tq si ku(t) − x ∗ k < δ alors on a : 1 2 u est bien définie sur [t0 , +∞[ si l’état initiale de la solution x0 = u(t0 ) est proche de x ∗ alors la solution u(t) est aussi proche de x ∗ ∀t ≥ t0 c’est à dire que ku(t0 ) − x ∗ k < ε • le point x ∗ est dit asymptotiquement stable s’il existe δ > 0 tel que k u(t0 ) − x ∗ k< δ alors on a : 1 la solution est bien définie sur [t0 , +∞[ 2 limt7−→∞ k u(t) − x ∗ k= 0 29 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Cas linéaire cas non linéaire Stabilité au sens de Liapunov • le point x ∗ est dit exponentiellement stable s’il existe δ > 0 et ω > 0 M > 0 si k x0 − x ∗ k< δ alors an a : 1 la solution u est bien définie sur [t0 , +∞[ 2 k u(t) − x ∗ k ≤ Me −ωt k x0 − x ∗ k, ∀t ≥ t0 30 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Cas linéaire cas non linéaire Stabilité au sens de Liapunov Theorem -soit f : Ω → R une fonction de C 1 , soit x ∗ un point d’équilibre de f , On pose A = Df (x ∗ ) = f 0 (x ∗ ) ∈ Md×d (R). Si toute les valeurs propres de la matrice A ont une partie réelle strictement négative (δ(A) < 0),alors le point d’équilibre exponentiellement stable. 31 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Cas linéaire cas non linéaire Stabilité au sens de Liapunov Demonstration : -en fait une approximation de la fonction non linéaire par des fonction linéaire . -Formule de Taylor ⇒ f (x ) = f (0) + f 0 (0)(x − 0) + r (x ) avec r (x ) . limkx k−→0 x -le problème de Cauchy revient ( u 0 (t) = Au(t) + r (t) u(0) = x0 - u(t) = e tA x0 + Rt 0 e (t−s)A r (u(s))ds ⇒ r (x ) w v (t) ≤ Mkx0 k + 0 Me ws kr (u(s))kds -kx k ≤ δ ⇒ k k≤ kx k 2M w ⇒ kr (x )k ≤ kx k . 2M Rt 32 Équations Différentielle Ordinaire Théorème de Cauchy Lipschitz Théorème de Peano Théorème d’explosion et ses application Stabilité au sens de Liapunov Cas linéaire cas non linéaire Stabilité au sens de Liapunov Demonstration : (suite ) - u : [0, T ∗ [ → R la solution maximale . -On montre que u(t) est globale : · On pose D = {T ∈ [0, τ ∗ [/ku(t)k ≤ δ ∀t ∈ [0, τ ]}. · D 6= 0 ·D majoré par τ ∗ ·D est un intervalle D = [0, α[. · α = τ∗ . · τ ∗ = +∞ - · D’aprés lemme de Gronwall : ku(t)k ≤ Mkx0 ke −w 2 t ∀t ≥ 0. - S(A) < 0 - x ∗ = 0 est exponentiellement stable . 33 Équations Différentielle Ordinaire