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Théorème de Cauchy Lipschitz
Théorème de Peano
Théorème d’explosion et ses application
Stabilité au sens de Liapunov
Équations Différentielle
Ordinaire
RAHMONUI FATIMA EZ-ZAHRAE
AFERHANE ASMA
BOUBLOUH SEFIA
Encadré Par : HADD SAID
FACULTÉ DES SCIENCES IBNO ZOHR
Département de Mathématiques
06 JUIN 2016
1
Équations Différentielle Ordinaire
Théorème de Cauchy Lipschitz
Théorème de Peano
Théorème d’explosion et ses application
Stabilité au sens de Liapunov
Plan
1
Théorème de Cauchy Lipschitz
2
Équations Différentielle Ordinaire
Théorème de Cauchy Lipschitz
Théorème de Peano
Théorème d’explosion et ses application
Stabilité au sens de Liapunov
Plan
1
Théorème de Cauchy Lipschitz
2
Théorème de Peano
3
Équations Différentielle Ordinaire
Théorème de Cauchy Lipschitz
Théorème de Peano
Théorème d’explosion et ses application
Stabilité au sens de Liapunov
Plan
1
Théorème de Cauchy Lipschitz
2
Théorème de Peano
3
Théorème d’explosion et ses application :
4
Équations Différentielle Ordinaire
Théorème de Cauchy Lipschitz
Théorème de Peano
Théorème d’explosion et ses application
Stabilité au sens de Liapunov
Plan
1
Théorème de Cauchy Lipschitz
2
Théorème de Peano
3
Théorème d’explosion et ses application :
4
Stabilité au sens de Liapunov
5
Équations Différentielle Ordinaire
Théorème de Cauchy Lipschitz
Théorème de Peano
Théorème d’explosion et ses application
Stabilité au sens de Liapunov
Théorème de Cauchy Lipschitz
Definition
Un problème de Cauchy est un problème constitué d’une équation
différentielle plus une condition initiale et s’écrit sous la forme suivant :
(
u 0 (t) = f (t, u(t))
(PC )t0 ,x0 =
u(t0 ) = x0
avec f : ∧ × Ω → Rd telle que (∧ ⊂ R et Ω ⊂ Rd )
Z t
u(t) = x0 +
f (s, u(s))ds
t0
6
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Théorème de Cauchy Lipschitz
Théorème de Peano
Théorème d’explosion et ses application
Stabilité au sens de Liapunov
Théorème de Cauchy Lipschitz
Definition
Solution maximal :On a dit que la solution (I, u(t)) de problème de
Cauchy est maximal si n’admet pas de prolongement.
Solution locale : est une solution qu’il existe au voisinage de t0 .
Solution globale : On dit que u(t) est une solution globale de problème
de Cauchy si elle est définie sur ∧ tout entier.
7
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Théorème de Cauchy Lipschitz
Théorème de Peano
Théorème d’explosion et ses application
Stabilité au sens de Liapunov
Théorème de Cauchy Lipschitz
Theorem
soit f : Λ × Ω → Rd continue tel que Λ ouvert de R et Ω est un ouvert
de Rd . On suppose que f localement lipschitzienne par rapport sa
deuxième variable .
soit (t0 , x0 ) ∈ Λ × Ω . On considère
 le problème de Cauchy
u 0 (t) = f (t, u(t))
(PC )(t0 ,x0 )
u(t ) = x
0
0
- Unicité locale : il existe J0 =]t0 − α, t0 + α[ voisinage ouvert de t0 tel
que J0 ⊂ Λ et un unique fonction u : J0 → Ω solution de (PC )(t0 ,x0 ) .
-Unicité globale si u1 et u2 deux solutions de (PC )(t0 ,x0 ) définit sur J
⊂ Λ tel que ∀t ∈ J
8
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Théorème de Cauchy Lipschitz
Théorème de Peano
Théorème d’explosion et ses application
Stabilité au sens de Liapunov
Théorème de Cauchy Lipschitz
Theorem
u10 (t) = f (t, u2 (t))
u1 (t0 ) = x0
u20 (t)
u2 (t0 ) = x0
= f (t, u2 (t))
⇒ u1 = u2 sur J.
9
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Théorème de Peano
Théorème d’explosion et ses application
Stabilité au sens de Liapunov
Théorème de Cauchy Lipschitz
Demonstration : Méthode de Point Fixe
-Unicité locale :
Soit F = B(x0 , r ) ⊂ Λ .
u ∈ C([t0 − α, t0 + α], Rd )
Z t
f (s, u(s))ds
φ(u)(t) = x0 +
t0
- φ(F ) ⊂ F :
- φ est contractante sur F :
Donc d’après le Théorème de point fixe il existe une unique solution
u :]t0 − α, t0 + α[=⇒ Rd de Φ(u) = u est donc de problème de Cauchy.
-Unicité globale On va montrer que u1 (t) = u2 (t)∀t ∈ J :
on pose X = {t ∈ J/u1 (t) = u2 (t)}
-X 6= ∅
10
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Théorème de Peano
Théorème d’explosion et ses application
Stabilité au sens de Liapunov
Théorème de Cauchy Lipschitz
Demonstration : Méthode de Point Fixe(suite)
-X est ferme
-X est ouvert
D’où X = J
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Stabilité au sens de Liapunov
Demonstration : Itération de Picard
-On prend un compact
Q = {(t, x ) : |t − t0 | ≤ α, kx − x0 k ≤ r }
-On construire une suite de fonctions (xk ) telle que :
Z t
xk (t) = x0 +
f (s, xk−1 (s))ds ∀ k ≥ 0, |t − t0 | ≤ T
t0
r
avec T = inf(α, ) et M = sup k f (t, x ) k
M
Q
- ∀k ≥ 0 (t, xk ) ∈ Q
- xk est équibornée
- xk est équicontinue
En déduire d’après le théorème d’Ascoli qu’ il existe une sous suite (xkj )
que converge uniformément vers x Donc
Z t
x (t) = x0 +
f (s, x )ds
t0
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Théorème de Peano
Théorème d’explosion et ses application
Stabilité au sens de Liapunov
Demonstration : Itération de Picard( suite )
Montrons l’unicité : supposons y une autre solution dans J de problème
de Cauchy telle que y (t0 ) = x0 et (s, y (s)) ∈ Q, s ∈ J.Alors :
Z t
kx (t) − y (t)k ≤
k f (s, x (s)) − f (s, y (s)) k ds ∀t ∈ [t0 − T , t0 + T ]
t0
Z
t
k x (s) − y (s) k ds
≤L
t0
Appliquons Lemme de Gronwall .On déduit que
kx (t) − y (t)k = 0
Alors
x(t)=y(t) ,∀t ∈ [t0 − T , t0 + T ]
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Théorème de Cauchy Lipschitz
Théorème de Peano
Théorème d’explosion et ses application
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Remarque
On peut conclure d’après le Théorème de Cauchy Lipschitz l’existence et
l’unicité de solution maximal.
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Théorème de Peano
Théorème d’explosion et ses application
Stabilité au sens de Liapunov
Théorème de Peano
Theorem
Soit f :Λ × Ω → Rd une fonction continue (Λ ouvert de R ,Ω ouvert de
Rd ) et soit (t0 , x0 ) Λ × Ω alors le Problème de Cauchy :
(
x 0 (t) = f (t, x (t))
(PC )t0 ,x0 =
x (t0 ) = x0
admet au moins une solution x : J0 → Rd oú J0 ouvert de Λ contenant t0 .
plus précisément en prend J0 =]t0 − α, t0 + α[ tel que α > 0 et r > 0 et
r
K = [t0 − α, t0 + α] × B(x0 , r ) ⊂ Λ × Ω avec α <
tel que
M
M = sup k f (t, x ) k
k
15
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Théorème de Peano
Théorème d’explosion et ses application
Stabilité au sens de Liapunov
Théorème de Peano
Démonstration : Méthode du solution ε − approché
-Construction de solution ε − approché
-On montre que ϕε : [t0 , t0 + α] → Rd est de C 1 par morceau .
ϕε (ti+1 ) = ϕε (ti ) + (ti+1 − ti )f (ti , ϕε (ti )) avec ϕε (t0 ) = x0
-On travaille sur [t0 , t0 + α]
-subdivision de l’intervalle
t0 < t1 < ... < tn = t0 + α avec h = max(ti+1 − ti ) tq h <
η
inf{η, M
}
ϕε (t) = ϕε (ti ) + (t − ti )f (ti , ϕε (ti ))
∀t ∈ [ti , ti+1 ].
-On montre que ϕε (t) ∈ B(x0 , r ) :
kϕε (t) − x0 k ≤ r
∀t ∈ [t0 , t0 + ϕ]
-On pose ε = n1 .
et (ϕ n1 ) = (ϕm ) .
-(ϕm ) Équicontinue
-(ϕm )Équibornée
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Théorème d’explosion et ses application
Stabilité au sens de Liapunov
Démonstration : Méthode du solution ε − approché( suite )
-Théorème d’Ascoli ⇒ il existe une sous suite (ϕmk ) converge
uniformément vers (ϕ∞ ) :
kϕm (t) − ϕ∞ k −→ 0
∀t ∈ [t0 + α, t0 + α]
-On déduit que ϕ∞ : [t0 − α, t0 + α] → Rd est la solution de problème de
Cauchy .
(
Rt
ϕ∞ (t) = x0 + t0 f (s, ϕ∞ (t))ds
ϕ∞ (t0 ) = x0
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Théorème de Cauchy Lipschitz
Théorème de Peano
Théorème d’explosion et ses application
Stabilité au sens de Liapunov
Théorème d’explosion et ses application
Theorem
Soit le problème de Cauchy suivant :
(
x 0 (t) = f (t, x (t))
(PC )t0 ,x0
x (t0 ) = x0
avec f :]a, b[ ×Rd 7−→Rd une fonction continue
soit x :]τ∗ ,τ ∗ [7−→Rd la solution maximale (PC )t0 ,x0 Alors :
(
ou bien τ ∗ = b
ou bien τ ∗ < b et limt→τ ∗ k x (t) k= +∞
même
(
ou bien τ∗ = a
ou bien τ∗ > a et limt→τ∗ k x (t) k= +∞
18
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Théorème de Peano
Théorème d’explosion et ses application
Stabilité au sens de Liapunov
Théorème d’explosion et ses application
Definition
soit x :]T∗ , T ∗ [ → Rd la solution maximale (PC )t0 ,x0 ,On dit que la
solution est globale si elle définie sur ]a, b[ c’est à dire que
]T∗ , T ∗ [=]a, b[ .
corollaire
soit f :]a, b[ × Rd → Rd continue et borné :
∃M > 0
tel
que
k f (t, x ) k< M
∀(t, x ) ∈]a, b[×Rd
Alors toute solution maximale du problème de Cauchy est globale .
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Théorème de Cauchy Lipschitz
Théorème de Peano
Théorème d’explosion et ses application
Stabilité au sens de Liapunov
Demonstration :
-On suppose que τ ∗ < b -Théorème d’explosion ⇒
limt→τ ∗ k x (t) k= +∞
-On trouve kx (t)k ≤k x0 k +(T ∗ − t0 )M = M 0 absurde .
-Alors τ ∗ = b
-De même pour τ∗ = a.
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Équations Différentielle Ordinaire
Théorème de Cauchy Lipschitz
Théorème de Peano
Théorème d’explosion et ses application
Stabilité au sens de Liapunov
Théorème d’explosion et ses application
corollaire
soit f :]a, b[×Rd → Rd continue telle que :
∀ compact K ⊂]a, b[, ∃ c1 > 0, c2 > 0 telle que
k f (t, x ) k≤ c1 k x k +c2
∀(t, x ) ∈ K × Rd
Alors tout solution maximale de Problème de Cauchy est globale .
Demonstration :
–On suppose que τ ∗ < b
-Théorème d’explosion ⇒ limt→τ ∗ k x (t) k= +∞
-On obtient k x (t) k≤ M 0 , ∀t ∈ [t0 , T ∗ [ absurde .
-D’où τ ∗ = b
-De même pour τ∗ = a
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Théorème de Cauchy Lipschitz
Théorème de Peano
Théorème d’explosion et ses application
Stabilité au sens de Liapunov
Cas linéaire
cas non linéaire
Stabilité au sens de Liapunov
soit le problème de Cauchy suivant :
(
u 0 (t) = Au(t) + g(t)
(PC )(t0 ,x0 )
u(t0 ) = t0
avec A une matrice carrée d’ordre d et g : I ⊂ R 7−→ Rd un fonction
continue . de plus
Z t
u(t) = x0 +
(Au(s) + g(s))ds
t0
On donne une autre expression très simple et très pratique
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Théorème de Peano
Théorème d’explosion et ses application
Stabilité au sens de Liapunov
Cas linéaire
cas non linéaire
Stabilité au sens de Liapunov
Proposition
Pour tout solution x0 Rd ,la solution de problème de Cauchy donner par :
Z t
(t−t0 )A
u(t) = e
x0 +
e −sA g(s)ds ∀t ∈ I
t0
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Théorème de Peano
Théorème d’explosion et ses application
Stabilité au sens de Liapunov
Cas linéaire
cas non linéaire
Stabilité au sens de Liapunov
Theorem
soit A ∈ Md×d (C) Alors on a l’équivalence entre les :
1
Il existe M > 0 et w > 0 tel que
k e tA x k≤ Me −wt k x k ∀x ∈ Cd
2
∀x ∈ Cn
lim k e tA x k= 0
n7−→∞
3
si S(A) est la spectre de la matrice A,alors la borne spectrale
S(A) = sup Reλ < 0
24
avec
λ ∈ σ(A)
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Stabilité au sens de Liapunov
Cas linéaire
cas non linéaire
Stabilité au sens de Liapunov
Demonstration :
1) ⇒ 2) : évident .
2) ⇒ 3) :
-On montre par la contraposé .
- On suppose que ∃λ ∈ σ(A) tel que Reλ ≥ 0.
-x le vecteur propre associé à la valeur propre λ c’est à dire Ax = λx .
-On obtient que k e tA k9 0.
3) ⇒ 1) :
S(A) < 0 .
On écrit A = S −1 JS avec J la matrice de Jordan telle que
J = diag(Jλ1 , ..., Jλm ) et λ1 , ..., λm ∈ σ(A) .
e tA = S −1 e tJ S = S −1 diag(e tJλ1 , ..., e tJλm )S
k e tA x k≤k S −1 kk e tJ kk Sx k .
25
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Cas linéaire
cas non linéaire
Stabilité au sens de Liapunov
Demonstration : (suite)
soit i ∈ {1, ..., m}

e
tJλi
e λi t



=


0
te λi t
..
.
0
0
0
0
···
···
..
.
..
.
t d−1 λi t
(d−1)! e
..
.
te λi t







e λi t
ke tJλi k =
e λi t +te λi t .. +
t d−1 λi t
(d−1)! e
= (1 + t + ... +
26
t d−1
tReλi
(d−1)! )e
Équations Différentielle Ordinaire
= P(t)e tReλi .
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Cas linéaire
cas non linéaire
Stabilité au sens de Liapunov
Demonstration : (suite)
S(A) < 0 < α < −S(A) .
α + S(A) = −ω avec ω > 0 .
k e tJλi k≤ P(t)e −α e −ωt −→ 0 quand t +∞.
∃k tel que P(t)e −α e −ωt ≤ k.
k e tJλi k≤ ke −ωt =⇒k e tJ k≤ ke −ωt .
ke tA x k ≤k S −1 kk S k ke −ωt k x k .
-ke tA x k ≤ Me −ωt k x k
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Stabilité au sens de Liapunov
Cas linéaire
cas non linéaire
on considère le problème de Cauchy autonome non linéaire suivante :
(
u 0 (t) = f (u(t))
(PC )t0 ,x0
u(t0 ) = x0
f : Ω ∈ Rd 7−→ Rd
Definition
un point x ∗ ∈ Ω est dit point d’équilibre , point critique ou point
stationnaire,du problème de Cauchy si :
f (x ∗ ) = 0
28
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Cas linéaire
cas non linéaire
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Definition
soit x ∗ un point d’équilibre de Problème de Cauchy (PC )t0 ,x0 :
• x ∗ est stable si ∀ε > 0, ∃δ > 0 tq si ku(t) − x ∗ k < δ alors on a :
1
2
u est bien définie sur [t0 , +∞[
si l’état initiale de la solution x0 = u(t0 ) est proche de x ∗ alors la
solution u(t) est aussi proche de x ∗ ∀t ≥ t0 c’est à dire que
ku(t0 ) − x ∗ k < ε
• le point x ∗ est dit asymptotiquement stable s’il existe δ > 0 tel que
k u(t0 ) − x ∗ k< δ alors on a :
1
la solution est bien définie sur [t0 , +∞[
2
limt7−→∞ k u(t) − x ∗ k= 0
29
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Théorème d’explosion et ses application
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Cas linéaire
cas non linéaire
Stabilité au sens de Liapunov
• le point x ∗ est dit exponentiellement stable s’il existe δ > 0 et ω > 0
M > 0 si k x0 − x ∗ k< δ alors an a :
1
la solution u est bien définie sur [t0 , +∞[
2
k u(t) − x ∗ k ≤ Me −ωt k x0 − x ∗ k, ∀t ≥ t0
30
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Théorème de Peano
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Stabilité au sens de Liapunov
Cas linéaire
cas non linéaire
Stabilité au sens de Liapunov
Theorem
-soit f : Ω → R une fonction de C 1 , soit x ∗ un point d’équilibre de f ,
On pose A = Df (x ∗ ) = f 0 (x ∗ ) ∈ Md×d (R).
Si toute les valeurs propres de la matrice A ont une partie réelle
strictement négative (δ(A) < 0),alors le point d’équilibre
exponentiellement stable.
31
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Théorème d’explosion et ses application
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Cas linéaire
cas non linéaire
Stabilité au sens de Liapunov
Demonstration :
-en fait une approximation de la fonction non linéaire par des fonction
linéaire .
-Formule de Taylor ⇒ f (x ) = f (0) + f 0 (0)(x − 0) + r (x ) avec
r (x )
.
limkx k−→0
x
-le problème de Cauchy revient
(
u 0 (t) = Au(t) + r (t)
u(0) = x0
- u(t) = e tA x0 +
Rt
0
e (t−s)A r (u(s))ds ⇒
r (x )
w
v (t) ≤ Mkx0 k + 0 Me ws kr (u(s))kds -kx k ≤ δ ⇒ k
k≤
kx k
2M
w
⇒ kr (x )k ≤
kx k .
2M
Rt
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Théorème de Peano
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Cas linéaire
cas non linéaire
Stabilité au sens de Liapunov
Demonstration : (suite )
- u : [0, T ∗ [ → R la solution maximale .
-On montre que u(t) est globale :
· On pose D = {T ∈ [0, τ ∗ [/ku(t)k ≤ δ ∀t ∈ [0, τ ]}.
· D 6= 0
·D majoré par τ ∗ ·D est un intervalle D = [0, α[.
· α = τ∗ .
· τ ∗ = +∞ - · D’aprés lemme de Gronwall :
ku(t)k ≤ Mkx0 ke
−w
2
t
∀t ≥ 0.
- S(A) < 0 - x ∗ = 0 est exponentiellement stable .
33
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