algébre CH1

Université Ibn Zohr
FSJES Ait Melloul
Filière : Économie & Gestion
Année universitaire 2017/2018
Semestre 2
Pr. M. BASSOUR
Module : Algèbre et Mathématiques Financières
Chapitre 1 : ESPACES VECTORIELS
1
Espaces vectoriels sur R
1.1
Définition et propriétés
Définition 1.1
Un ensemble E est un espace vectoriel sur R si E est muni
• d’une opération interne, notée +, ayant les propriétés suivantes, pour tous X, Y, Z ∈ E :
a) associativité : X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z = X + Y + Z
b) commutativité : X + Y = Y + X
c) élément neutre : Il existe 0E ∈ E tel que X + 0E = 0E + X = X
d) élément symétrique, on notera par −X tel que X + (−X) = 0E
• d’une multiplication par les réels, noté ., ou parfois sans signe, ayant les propriétés suivantes,
pour tous X, Y ∈ E et tous α, β ∈ R :
a) 1.X = X
b) (α + β).X = α.X + β.X
c) α.(X + Y ) = α.X + α.Y
d) (αβ).X = α.(β.X)
Les éléments de E sont appelés vecteurs. Ceux de R sont appelés scalaires.
Exemple 1.1
L’ensemble Rn , muni de ces deux lois est un espace vectoriel sur R. On le note (Rn , +, .)
1. loi interne : ∀X ∈ Rn , X = (x1 , x2 , ..., xn ) et ∀Y ∈ Rn , Y = (y1 , y2 , ..., yn ) :
X + Y = (x1 , x2 , ..., xn ) + (y1 , y2 , ..., yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn )
0Rn = (0, 0, ..., 0) est l’élément neutre de Rn ; ∀X ∈ Rn , X + 0Rn = 0Rn + X = X
Tout élément X de Rn a un opposé noté : −X = (−x1 , −x2 , ..., −xn ) tel que X +(−X) = 0Rn
2. loi externe : ∀X ∈ Rn , ∀α ∈ R : α.X = (αx1 , αx2 , ..., αxn )
Propriétés 1.1
Si (E, +, .) est un espace vectoriel réel, alors ∀X, Y ∈ E, ∀α ∈ R, on a :
1. α.0E = 0E
(0E l’élément neutre de E)
2. α.X = 0E ⇐⇒ α = 0 ou X = 0E .
3. (−α).X = −(α.X) = α.(−X)
4. α.(X − Y ) = (α.X) − (α.Y )
1
Chapitre 1: Espaces vectoriels
1.2
Sous-espaces vectoriels
Définition 1.2
Un sous ensemble F d’un espace vectoriel E est dit sous espace vectoriel (s.e.v.) de E si et
seulement si :
1) F 6= ∅
2) ∀x, y ∈ F ; x + y ∈ F
3) ∀(α, x) ∈ R × F ; αx ∈ F
Lemme 1.1
Les conditions 2) et 3) précédentes sont équivalentes à la condition suivante :
∀x, y ∈ F et ∀α, β ∈ R ; αx + βy ∈ F
La preuve est immédiate.
Exemple 1.2
Soit F = {(x, y, z) ∈ R3 /5x − 2y = z}. Montrons que F est un sous espace vectoriel de R3 .
Solution. 1) F 6= ∅ car 0R3 ∈ F ; 0R3 = (0, 0, 0)
2) Soient (x, y, z) et (x0 , y 0 , z 0 ) deux éléments de F .
On a donc 5x − 2y = z et 5x0 − 2y 0 = z 0 . Donc 5(x + x0 ) − 2(y + y 0 ) = (z + z 0 ),
d’où (x + x0 , y + y 0 , z + z 0 ) ∈ F c’est-à-dire (x, y, z) + (x0 , y 0 , z 0 ) ∈ F .
3) Soient α ∈ R et (x, y, z) ∈ F . Alors la relation 5x − 2y = z implique que 5(αx) − 2(αy) = αz
donc α(x, y, z) = (αx, αy, αz) appartient à F .
d’où F est un sous espace vectoriel de R3 .
Exemple 1.3
Soit H le sous ensemble de R2 défini par H = {(x, y) ∈ R2 /8x + 3y = 15}.
H n’est pas un sous espace vectoriel de R2 car (0, 0) ∈
/ H.
Exercice 1.1
Soit G le sous ensemble de R2 défini par G = {(x, y) ∈ R2 /9x + 4y = 0}.
Montrer que G est un sous espace vectoriel de R2 .
Propriétés 1.2
1. 0E appartient à tous les sous espaces vectoriels de E.
2. L’intersection de deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel réel E est un sous espace
vectoriel de E .
3. L’intersection de plusieurs sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel réel E est un sous
espace vectoriel de E.
Exercice 1.2
Soit E un espace vectoriel sur R et soient F1 et F2 deux sous espaces vectoriels de E.
Montrer que F1 ∩ F2 est un sous espace vectoriel de E.
Remarque 1.1
La réunion de deux sous espaces vectoriels n’est pas en général un sous espace vectoriel.
1.3
Somme de sous espaces vectoriels
Définition 1.3
Soit E un espace vectoriel et soient E1 et E2 deux sous espaces vectoriels de E.
• La somme des sous espaces vectoriels E1 et E2 , notée par E1 + E2 est égale à :
E1 + E2 = {x ∈ E/∃(x1 , x2 ) ∈ (E1 , E2 ); x = x1 + x2 }
2
Pr. M. BASSOUR
Chapitre 1: Espaces vectoriels
• La somme directe des sous espaces vectoriels E1 et E2 , notée par E1 ⊕ E2 est égale à :
E1 ⊕ E2 = {x ∈ E/∃!(x1 , x2 ) ∈ (E1 , E2 ); x = x1 + x2 }
• Si E = E1 ⊕E2 , alors les sous espaces vectoriels E1 et E2 sont dits sous espaces supplémentaires
dans E. On dit aussi que E1 est un supplémentaire de E2 , ou que E2 est un supplémentaire
de E1 dans E.
Théorème 1.1
Si E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E, alors les propositions
suivantes sont équivalentes :
a) E = E1 ⊕ E2
b) E = E1 + E2 et E1 ∩ E2 = {0E }
Exemple 1.4
Dans l’espace E = R2 Soit F = {(x, y) ∈ R2 /x = 0} et G = {(x, y) ∈ R2 /y = 0}.
Montrer que E = F ⊕ G
Solution. Pour montrer que E = F ⊕ G, il suffit de vérifier que E = F + G et F ∩ G = {0R2 }
a) E = F + G :
Soit (x, y) ∈ R2 , on a (x, y) = (0, y) + (x, 0), (0, y) ∈ F et (x, 0) ∈ G
Donc : ∀(x, y) ∈ R2 , ∃(0, y) ∈ F , ∃(x, 0) ∈ G / (x, y) = (0, y) + (x, 0)
D’où : R2 = F + G
b) F ∩ G = {0R2 } :
Si (x, y) ∈ F ∩ G alors (x, y) ∈ F et (x, y) ∈ G
⇒ x = 0 et y = 0
⇒ (x, y) = (0, 0) = 0R2
⇒ F ∩ G = {0R2 }
Puisque R2 = F + G et F ∩ G = {0R2 } alors R2 = F ⊕ G
2
2.1
Système générateur - Système libre
Combinaison linéaire
Définition 2.1
Soit un système de n vecteurs {u1 , u2 , . . . , un } d’un espace vectoriel E. Tout vecteur de la forme
u = α1 u1 + α2 u2 + ... + αn un est appelé combinaison linéaire des vecteurs u1 , u2 , . . . , un .
Les scalaires α1 , α2 , . . . , αn sont appelés coefficients de la combinaison linéaire.
Exemple 2.1
Soient e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) et e3 = (0, 0, 1) dans R3 .
Alors, tout vecteur (x, y, z) de R3 est une combinaison linéaire de e1 , e2 et e3 .
En effet, (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) = xe1 + ye2 + ze3
2.2
système générateur
Définition 2.2
Dans un espace vectoriel E , on dit qu’un système de n vecteurs {u1 , u2 , . . . , un } est un système
générateur de E si tout vecteur u de E peut s’écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs
{u1 , u2 , ..., un } sous la forme :
n
X
(∀u ∈ E) (∃α1 , α2 , ..., αn ∈ R) u = α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un =
αi ui
i=1
3
Pr. M. BASSOUR
Chapitre 1: Espaces vectoriels
– Le système {u1 , u2 , . . . , un } s’appelle aussi partie ou famille génératrice de E.
Exemple 2.2
Soient e1 = (1, 0) et e2 = (0, 1) dans R2 . Tout vecteur v = (x, y) de R2 peut alors s’écrire comme
combinaison linéaire de e1 et e2 . En effet, v = xe1 + ye2 .
On dit que {e1 , e2 } est une famille génératrice ou un système générateur de R2 .
On dit aussi que le système {e1 , e2 } engendre R2 .
2.3
Sous espace vectoriel engendré
Définition 2.3
Soit E un espace vectoriel sur R et u1 , u2 , . . . , un des vecteurs de de E.
L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires de ces vecteurs s’appelle le sous-espace vectoriel
engendré par ces vecteurs et se note V ect(u1 , u2 , . . . , un ) :
V ect(u1 , u2 , . . . , un ) = {α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un /α1 , . . . , αn ∈ R}
Exemple 2.3
Soit P l’ensemble défini par : P = {(x, y, z) ∈ R3 /x + y + z = 0}
On a :
x + y + z = 0 ⇐⇒ z = −x − y
et
(x, y, z) = (x, y, −x − y) = (x, 0, −x) + (0, y, −y) = x(1, 0, −1) + y(0, 1, −1)
Donc P = {x(1, 0, −1) + y(0, 1, −1)/(x, y) ∈ R2 }
En posant : u = (1, 0, −1) et v = (0, 1, −1) On trouve P = {xu + yv/(x, y) ∈ R2 } = V ect(u, v)
Donc P est le sous espace vectoriel engendré par les vecteurs u et v de R3 .
2.4
Système libre
Définition 2.4
Dans un espace vectoriel E , on dit qu’un système de n vecteurs {u1 , u2 , . . . , un } est un système
libre de E (les vecteurs u1 , u2 , . . . , un de E sont linéairement indépendants) si :
α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un = 0E =⇒ α1 = α2 = ... = αn = 0
Exemple 2.4
1. Les vecteurs u1 = (1, 0, 1), u2 = (1, 1, 1), u3 = (0, 1, 0) forment un système libre dans R3 .
2. Les trois vecteurs (1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0) forment un système libre dans l’espace R4 .
Propriétés 2.1
a) Le vecteur 0E n’appartient à aucun système libre de E.
b) ∀u ∈ E / u 6= 0E , le système {u} est libre.
c) Tout système de vecteurs extrait d’un système libre est libre.
2.5
Système lié
Définition 2.5
Dans un espace vectoriel E , on dit qu’un système de n vecteurs {u1 , u2 , ..., un } est un système lié
de E (les vecteurs u1 , u2 , . . . , un de E sont linéairement dépendants) si :
∃(α1 , α2 , . . . , αn ) 6= (0, 0, . . . , 0) tel que α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un = 0E
Exemple 2.5
On considère dans R3 les vecteurs u1 = (1, 1, 0), u2 = (4, 1, 4) et u3 = (2, −1, 4).
Montrer que le système {u1 , u2 , u3 } est lié.
Solution. On remarque que u3 = u2 − 2u1 : il y a une combinaison linéaire des trois vecteurs avec
des coefficients non tous nuls qui donne le vecteur nul. Donc le système {u1 , u2 , u3 } est lié.
Si on n’a pas remarquer que u3 = u2 − 2u1 , on peut écrire une relation de liaison
4
Pr. M. BASSOUR
Chapitre 1: Espaces vectoriels
au1 + bu2 + cu3 = 0, on obtient un système de trois équations dont les inconnues sont a, b et c.
La résolution de ce système montre qu’il admet une solution non nulle.
Théorème 2.1
Un système de vecteurs est lié si et seulement si un des vecteurs du système est combinaison
linéaire des autres vecteurs du système.
2.6
Rang d’un système de vecteurs
Définition 2.6
• Le cardinal d’un système est le nombre de vecteurs du système.
• Le rang d’un système est égal au plus grand nombre de vecteurs linéairement indépendants
que l’on peut extraire de ce système.
Exemple 2.6
Calculer le cardinal et le rang des systèmes suivants dans R3 :
1. S1 = {u, v} où u = (1, 2, 3) et v = (−1, 4, 6).
2. S2 = {u, v, w} où u = (1, 2, −1) , v = (1, 0, 1) et w = (−1, 2, −3).
Solution.
1. Le cardinal de S1 est égal à 2. On note cardS1 = 2
Les deux vecteurs u et v sont indépendants, donc le rang de S1 est 2.
2. Le cardinal de S2 est égal à 3. On note cardS2 = 3
Les vecteurs u, v et w sont linéairement dépendants : w = u − 2v,
ce qui implique que rang(S2 ) < 3.
Les vecteurs u et v sont linéairement indépendants, ce qui implique que rang(S2 ) = 2.
3
3.1
Base d’un espace vectoriel - Espace vectoriel de
dimension finie
Base d’un espace vectoriel
Définition 3.1
Un système de vecteurs {u1 , u2 , ..., un } est dit base de E s’il est à la fois libre et générateur de E.
Remarque 3.1
Le système {e1 , e2 , ..., en } avec e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en = (0, 0, ..., 1) constitue la
base canonique de Rn .
Exemple 3.1
Soient e1 = (1, 0) et e2 = (0, 1) dans R2 . Le système {e1 , e2 } est une base de R2 .
5
Pr. M. BASSOUR
Chapitre 1: Espaces vectoriels
3.2
Espace vectoriel de dimension finie
Définition 3.2
• Un espace vectoriel réel est dit de dimension finie s’il admet une base constituée d’un nombre
fini n de vecteurs.
• Ce nombre n s’appelle la dimension de l’espace. On note dim E = n .
Exemple 3.2
Rn est un espace vectoriel réel de dimension n.
Propriétés 3.1
Si E est un espace vectoriel réel de dimension n, alors :
1. Toutes les bases de E ont le même cardinal égal à n .
2. Si le cardinal d’un système libre ou générateur de E est égal à n, alors ce système est une
base de E.
3. Si E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels de E, alors :
• dim(E1 + E2 ) = dim E1 + dim E2 − dim(E1 ∩ E2 )
• dim(E1 ⊕ E2 ) = dim E1 + dim E2
Remarque 3.2
si dim E = n, pour montrer qu’un système de n éléments est une base de E, il suffit de montrer
qu’elle est libre ou bien générateur.
Exemple 3.3
On considère les vecteurs suivants de R3 : u1 = (1, 0, 1) , u2 = (−1, 1, 2) et u3 = (−2, 1, 2).
Montrer que S = {u1 , u2 , u3 } est une base de R3 .
Solution. Comme dim R3 = 3 et cardS = 3, il suffit de montrer que S est libre.
Soient α, β, γ tel que αu1 + βu2 + γu3 = 0R3 .
αu1 + βu2 + γu3 = 0R3 ⇐⇒ α(1, 0, 1) + β(−1, 1, 2) + γ(−2, 1, 2) = (0, 0, 0)

−2 γ = 0

α − β
β
+γ = 0
⇐⇒


α + 2 β +2 γ = 0
⇐⇒


α


⇐⇒
0
=
−γ
=
0
β
α


α


−γ =
γ
β
=
0
=
0
=
0
Donc le système S est libre.
On en déduit que le système S = {u1 , u2 , u3 } est une base de R3 .
Exercice 3.1
Dans R3 , Soit v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 0, 1) et v3 = (0, 1, 2)
Montrer que {v1 , v2 , v3 } est une base de R3 .
6
Pr. M. BASSOUR
Chapitre 1: Espaces vectoriels
Exercice 3.2
Soit F le sous ensemble de R3 défini par F = {(x, y, z) ∈ R3 /x + 14y − z = 0}
1. Montrer que F est un sous espace vectoriel de R3 .
2. Déterminer une base de F .
3. En déduire la dimension de F .
Exercice 3.3
On considère le système S = {u1 , u2 , u3 }dans R3 ,
tels que u1 = (−7, 3, 4), u2 = (1, −1, 0), u3 = (0, −4, 4) .
1. Vérifier que u3 = u1 + 7u2 .
2. Le système S est est-il libre ou lié ?
3. Calculer le rang de S.
Exercice 3.4
Soient F et G les sous ensembles de R3 définis par :
F = {(x, y, z) ∈ R3 /x − y − 2z = 0} et G = {(x, y, z) ∈ R3 /x = 2y = x + z}.
1. Montrer que F et G sont des sous espaces vectoriels de R3 .
2. Calculer la dimension de F , puis la dimension de G.
3. Déterminer F ∩ G. En déduire que F et G sont supplémentaires dans R3 .
7
Pr. M. BASSOUR