Part-AD-MMD-mars-2018-cor[2171]

ANALYSE DES DONNEES (Correction Partiel)
Master M1 MMD - MA, 19 mars 2018
Calculatrice autoris´ ee, documents autoris´ es : 2 feuilles recto-verso.
Barˆeme approximatif : 10 points pour chacun des deux exercices.
Exercice 1
On consid` ere un nuage N, constitu´ e de nindividus (xi)1≤i≤n, chaque individu a un poids
pi>0. On a pvariables d’o` u un tableau Xde format n×p, on note Yle tableau centr´ e et rle
rang de Y.
Les r´ esultats de l’ACP de N, l’espace p´ etant muni de la m´ etrique M=Ipet nde la
m´ etrique Dp, sont not´ es comme suit :
- le α`
eme vecteur axial factoriel (pour le nuage des individus) est not´
euα,
- la α`
eme valeur propre est not´
ee λα,
- la α`
eme composante principale du nuage des individus est not´
ee ψα,
- pour tout λα,0, vα=ψα
√λα,
avec α∈ {1,...,p}.
On note 1nle vecteur de ndont toutes les composantes sont ´ egales ` a 1.
1. D´ ecomposition de Y
(a) Montrer que
p
X
α=1
uαu0
α=Ip.
Indication : on pourra calculer, pour tout 1 ≤β≤p, (
p
X
α=1
uαu0
α)uβ, puis conclure.
solution
Puisque la famille (uα)1α≤pest une famille orthonormale de p, on a u0
αuβ=0 si
α,βet u0
αuβ=1 si α=β. On en d´
eduit que
(
p
X
α=1
uαu0
α)uβ=
p
X
α=1
uαu0
αuβ,
=uβ.
De plus comme la famille (uα)1α≤pest une base, on en conclut que
p
X
α=1
uαu0
α=Ip.
(b) En d´ eduire que
Y=
r
X
α=1
pλαvαu0
α.
solution

Puisque Yest de rang r, les rpremi` eres valeurs propres sont non nulles, on peut donc
d´ efinir les vecteurs vαpour tout 1 ≤α≤r. Le calcul donne
r
X
α=1
pλαvαu0
α=
r
X
α=1
ψαu0
α,
=
r
X
α=1
Yuαu0
α,
=
p
X
α=1
Yuαu0
α,car Yuα=0 si α > r
=Y.
(c) R´ eciproquement, en remplac¸ant rpar un entier naturel q≤r, on consid` ere un tableau
Td´ efini par
T=
q
X
α=1
√aαwαt0
α,
o` u
— les r´ eels aαforment une suite d´ ecroissante : a1≥a2≥ ··· ≥ aq>0.
— la famille (tα)1≤α≤qest une famille orthonormale de p.
— la famille (wα)1≤α≤qest une famille Dp-orthonormale de vect(1n)⊥.
On effectue l’ ACP du tableau T, l’espace p´ etant muni de la m´ etrique M=Ipet
nde la m´ etrique Dp.
i. Calculer T0Dp1n. En d´ eduire que le tableau Test centr´ e.
solution On commence par montrer que le tableau Test centr´ e, en effet
T0Dp1n=
q
X
α=1
√aαtαw0
αDp1n=0,
car la famille (wα)1≤α≤qest une famille orthonormale de vect(1n)⊥.
On en d´ eduit que le produit scalaire de tj, 1 ≤j≤p, avec 1nest nul pour la
m´ etrique Dpsoit
n
X
i=1
pitj
i=0
ce qui correspond ` a la moyenne de tj. Ainsi toutes les variables sont centr´ ees.
ii. Montrer que les r´ eels aαsont les valeurs propres non nulles, que pour tout 1 ≤
α≤q,tαest un axe factoriel associ´ e` a la valeur propre aαet que la composante
principale associ´ ee ` atαest √aαwα.
solution
La matrice de variance est alors
V=T0DpT,
=
q
X
α=1
√aαtαw0
αDp
q
X
β=1
√aβwβt0
β
=
q
X
α=1
aαtαDpt0
α.

On a pour 1 ≤α≤q
Vtα=aαtα
On compl` ete la famille (tα)1≤α≤qen une base orthonormale de p(tα)1≤α≤p, on a
pour tout r+1≤α≤p
Vtα=0
On en d´ eduit que les r´ eels aαsont les valeurs propres non nulles, que pour tout
1≤α≤q,tαest un axe factoriel associ´ e` a la valeur propre aα.
Enfin
ψα=T tα=√aαwα.
2. Approximation de Ypar une matrice de rang inf´ erieur ` arSoit qun entier inf´ erieur
`
ar, on consid` ere le tableau Y∗avec les qpremiers termes de la somme
Y∗=
q
X
α=1
pλαvαu0
α(1).
(a) D´ eterminer le noyau de Y∗, ker Y∗, puis en d´ eduire le rang de Y∗.
solution
Soit u∈ker Y∗, alors
Y∗u=0,
soit q
X
α=1
pλαvαu0
αu=0.
ou encore q
X
α=1
pλα<uα,u>vα=0.
comme la famille (vα)αest libre, et que les qpremi` eres valeurs propres sont non
nulles, on en d´ eduit que
u∈vect(u1,··· ,uq)⊥.
R´ eciproquement tout vecteur de vect(u1,··· ,uq)⊥est dans ker Y∗donc
ker Y∗=vect(u1,··· ,uq)⊥.
On en d´ eduit que le rang de Y∗est p−(p−q)=q.
(b) La matrice Ycomporte n×ptermes, combien de termes sont ils n´ ecessaires pour
construire la matrice Y∗` a partir de l’´ equation (1). solution La matrice Y∗n´ ecessite
q(n+p+1) termes au lieu des np termes de Y.
3. Qualit´ e de l’approximation
(a) L’espace p´ etant muni de la m´ etrique M=Ipet nde la m´ etrique Dp, calculer
l’inertie totale du nuage associ´ ee au tableau Y∗not´ ee I∗
Ten fonction des valeurs
propres (λα)1≤α≤q.
solution

On a
I∗
T=T r((Y∗)0Y∗),
=T r(
q
X
α=1
λαuαu0
α),
=
q
X
α=1
λαT r(u0
αuα),car T r(AB)=T r(BA),
=
q
X
α=1
λα.
(b) On d´ efinit la qualit´ e de l’approximation par
τq=I∗
T
IT
.
Calculer τqen fonction des valeurs propres (λα)1≤α≤p. Que repr´ esente τqpour l’ACP
du tableau Y?
solution
On a
τq=Pq
α=1λα
Pr
α=1λα
.
Il s’agit du taux d’inertie expliqu´ e par l’espace g´ en´ er´ e par les qpremiers axes vecto-
riels.
Exercice 2
On consid` ere le tableau de donn´ ees, not´ eX, qui est d´ efini par :
X=
1 1 −3
5 1 −1
1−1−1
1 3 1
o` u la i`
eme ligne d´
esigne l’individu xiet la j`
eme colonne d´
esigne la variable xj.
Chaque individu poss` ede un poids ´ egal ` a 1/4. On consid` ere les r´ esultats de l’ACP du tableau X
lorsque 4est muni de la m´ etrique identit´ e.
1. D´ eterminer le tableau centr´ eY.
solution
On a
Y=
−1 0 −2
3 0 0
−1−2 0
−1 2 2

2. Calculer Vet montrer que 1 et 3 sont les seules valeurs propres de V.
solution
On a
V=
3 0 0
0 2 1
0 1 2
Le polynˆ ome caract´ eristique donne (3 −λ)2(1 −λ), donc 1 et 3 sont les seules valeurs
propres.
3. Montrer que u1=
1
0
0
est un vecteur propre de Vque l’on utilisera comme axe facto-
riel.
D´ eterminer les autres axes factoriels en choisissant des vecteurs dont la seconde coor-
donn´ ee est positive.
solution On a Vu1=3u1. Par calcul, on obtient u2=1
√2
0
1
1
et u3=1
√2
0
1
−1
.
4. Calculer les trois composantes principales , not´ ee ψ1,ψ2et ψ3en fonction des variables
initiales y1,y2et y3.
solution
ψ1=Yu1=y1,ψ2=y2+y3
√2et ψ3=y2−y3 √2.
5. Repr´ esenter les quatres individus dans le plan factoriel constitu´ e des deux premiers axes.
solution
1
2
3
4
6. Calculer la contribution relative de chaque individu ` a l’inertie du premier axe.
solution CT R1(y1)=1/41
3=1/12, CT R1(y2)=1/49 3=3/4, CT R1(y3)=1/12 et
CT R1(y4)=1/12.
7. Repr´ esenter les 3 variables dans le plan factoriel constitu´ e des deux premiers axes.
x
y
z
8. D´ eterminer la qualit´ e de la repr´ esentation de toutes les variables sur le plan factoriel 1-2
constitu´ e des deux premiers axes factoriels.
solution QLT (y1)=1, QLT (y2)=1/4 et QLT (y3)=1/4