CHAPÏTRE II ANALYSE CINEMATIQUE ET SYNTHESE DES MECANISMES PLANS A COUPLES INFERIEURS 2.1 Genres principaux des mécanismes plans à couples inférieurs Dans des mécanismes et des appareils on utilise largement divers mécanisme à levier à quatre chaînons. Tous ces mécanismes sont formés par l’adjonction d’un groupe à double guidage de IIéme classe (GDG) à un mécanisme initial avec un seul chaînon menant. Prenons connaissance des mécanismes à quatre chaînons les plus courants. 1. Mécanisme articulé (fig.1.12a). Il contient le mécanisme initial (chaînon 1et 2) et GDG de la 1ére modification (chaînon 3 et 4). Tous les couples cinématiques sont de rotation. Le mécanisme peut transformer le mouvement rotatif du chaînon 2 dit manivelle en mouvement oscillatoire du chaînon 4 dit balancier, et réciproquement. Parfois le chaînon 2 ne peut accomplir que le mouvement oscillatoire, c’est-à-dire il est balancier. Le Mécanisme articulé à quatre chaînons est très courant dans les machines-outils différentes. On peut l’utiliser aussi pour obtenir les trajectoires diverses. Si ,par exemple, on fixe rigidement une pièce 3 sur la bielle 3 (fig.2.1) alors le point E décrira une courbe fermé dite courbe de bielle. Le mouvement du point E peut être utilisé dans une machine à pétrir et autres. 2. Mécanisme bielle-manivelle (fig.1). Il en était question plus haut. Il est composé du mécanisme initial (chaînons 1 et 2 et du GDG de la 2éme modification (chaînon 3 et 4). Ce mécanisme est utilisé dans des moteurs à combustion interne, pompes à piston, compresseurs, presses mécanique et autres. 3. Mécanisme à coulisse (fig.2.2). Il se compose du même mécanisme initial et du GDG de la 3éme modification. Ce mécanisme peut être utilisé pour transformer le mouvement rotatif de la manivelle 2 en mouvement oscillatoire du chaînon 4 dit coulisse oscillante. Si on a AC < AB la coulisse accomplira le mouvement de rotation non uniforme (coulisse rotative). les mécanismes à coulisse sont appliqués dans des machines à raboter (étau-limeurs) et à mortaiser, transporteurs, machines à coudre et autres. On utilise dans des machines et des appareils un grand nombre de mécanismes à levier à six chaînons. On forme ces mécanismes à partir d’un mécanisme initial à un chaînon menant par l’adjonction de deux groupes à double guidage de IIéme classe (fig.1.12b ) ou d’un groupe à triple guidage de IIIéme classe (fig.2.3). L’application des mécanismes à 6 chaînons permet d’obtenir des lois spéciales de mouvement des chaînons menés. 2.2.Objectifs de l’analyse cinématique Un mécanisme peut fonctionner normalement si le caractère du mouvement des organes de travail correspond à la destination du mécanisme. Pour étudier le mouvement des organes de travail on fait l’analyse cinématique. L’analyse cinématique a pour but : 1. Détermination des positions des chaînons menés en fonction de la position du chaînon menant. 2. Détermination des déplacements des chaînons menés en fonction du déplacement du chaînon menant. 3. Détermination des vitesse et des accélération des points et des chaînons d’un mécanisme sur la base de la loi donnée de mouvement du chaînon menant. 4. construction des trajectoires de certains points du mécanisme. Il existe les méthodes graphiques et analyse. Les premiers sont exactes mais moins exactes, les deuxièmes sont exactes mais exigent beaucoup de calcule surtout pour des mécanisme compliqués. Prenons connaissance de ces méthodes. 2.3 construction des position des mécanismes les problèmes1,2 et 4 peuvent être résolus graphiquement par la construction des positions du mécanisme considérons comment cela se fait sur l’exemple d’un mécanisme de II-éme classe (fig.2.4 ). Données : schéma cinématique du mécanisme ; dimensions du schéma LAB,LCD,LBC, ect ; positions du chaînon menant On demande : construire les positions de tous les chaînon. Ordre de construction : 1. on détermine la structure du mécanisme. On établit que le mécanisme donné est composé du mécanisme initial ( chaînon 1 et 6 ) du groupe D’Assour . de II-éme classe de 1ére modification ( chaînon 2 et 3 ) et du groupe d’Assour de II-éme classe de 2-éme modification ( chaînon 4 et 5 ). 2. on choisit l’échelle du schéma m/mm et on calcule les segments représentant toute les longueurs. Soient les longueurs réelles : 3. sur la droit X – X choisit arbitrairement on marque les centre des articulation immobiles A et D. 4. on trace les trajectoires décrites par les centre des articulations mobiles B,C et E. ce sont le cercle de rayon AB, l’arc de rayon DC et la droite X1 –X1 5. on marque la position donné AB1 du chaînon menant. 6. on construit les positions correspondantes B1C1 et C1D des chaînons du 1-ére GDG. Pour trouver le point C1 de B1 comme centre on d’écrit l’arc de cercle de rayon BC. 7. on construit les positions des chaînons du 2-éme GDG. Pour trouver le point E1 , de C1 comme centre on décrit l’arc de cercle de rayon BC. De même manière on construit la position AB2C2DE2 , etc. La construction des chaînons menés à partir de la position initiale. On aura la position initiale quand la droite BC est confondue avec la droite AB. C’est l’une des deux positions extrêmes du mécanisme. On a la seconde position extrême quand la droite BC est le prolongement de la droite AB. Ayant construit par exemple la position initiale du point E du coulisseaux 5, on a les déplacements, ,etc. à l’échelle du schéma. 2.2 diagrammes cinématique. on appelle diagrammes cinématique les coures exprimant la dépendance de l’espaces parcouru ( dans déplacements ), de la vitesse et de l’accélération d’un chaînon quelconque en fonction du temps : , . on utilise souvent ces diagrammes pour examiner les mouvement des chaînons menés, ayant le mouvement donné du chaînon menant. Considérons le cas quand le chaînon mené est une manivelle tournant uniformément, c’est-àdire il tourne des angles égaux pour les intervalles égaux du temps. A . construction du diagramme Pour le construction on emploie les déplacement du chaînon considéré qui sont obtenu sur le dessin des positions, par exemple , , etc. sur la fig.2.4. Soit à établir le diagramme de l’espace du coulisseau 5. Ordre de construction: 1 . on construit plusieurs positions du mécanisme, d’habitude 12 y compris initiale, en donnant au chaînon menant les positions équidistantes ( tous les de l’angle de rotation ). 2 . on trace les axes de coordonnées [ ] ( fig.2.5 ) et on porte sur l’axe T douze segment «égaux de longueur arbitraire . ils reporte sentent les angle de ou également les intervalles de temps crrespondent. Par conséquent on a l’échelle du temps. Ou T_ temps d’un tour de la manivelle. N_ nombre de tours de la manivelle par minute. 3 . on choisit une échelle convenable de l’espace parcourue M/MM et on porte sur le diagramme les déplacements du chaînon considéré à cette échelle : 4 . en joignant les point 0,1,2,3, … à l’aide d’un pistolet obtient la courbe B . construction des diagrammes V Si les vitesse et les accélérations sont commues pour les position considérées du mécanisme alors on peut construire ces courbes par la méthode qui vient d’être exposé. Sinon il est possible de les déduire par la différenciation graphique. Il y a quelques méthodes de la différenciation graphique. La plus utilisable est la méthode des cordes. Elle consiste en ce qui suit. 1. on trace les axes de coordonnées [ ] comme il est fait sur la fig.2.5. 2. d’un point arbitraire A choisit sur l’axe T on trace successivement les rayons A-1,A-2, etc. qui sont parallèles aux codes 0-1, 1-2 ,….. sur la courbe S= . 3. on porte les ordonnées 0-1 , 0-2 ,…. Aux intervalles correspondants. 4. on trace la courbe passant par les centres des segments horizontale du graphique étagé. On obtient la courbe de vitesse V= 5. analogiquement on déduit le diagramme d’accélération A= en différenciant la courbe de vitesse. Déterminons l’échelle de vitesse. Pour cela écrivons l’équation de la droite passant par une corde arbitraire ( boit 5 - 6 ).selon la géométrie analytique Compte tenu des échelles on a S_ chemin parcouru, T- temps. En différenciant par rapport au temps, on obtient D’où D’autre part du triangle hachuré qui correspond à la corde 5 – 6 on a : Ainsi D’ici De même on peut établir l’échelle d’accélération. Remarque Souvent on fait la différenciation par rapport à l’angle de rotation du chaînon menant. Alors au lieu des vitesses et des accélérations on obtient les diagrammes des dérivées En fonction de l’angle . Les dérivées du premier et du deuxième ordre de chemin par rapport à l’angle de rotation s’appelle respectivement analogue de vitesse et analogue d’accélération. Dans certain cas ces notion sont importantes et doivent être déterminées au lieu des vitesse et des accélération La méthode de la différenciation par rapport au reste la même , les échelles étant calculées d’après les formules analogues : _ échelle de l’angle de rotation. Parfois on construit les diagrammes cinématique par la méthode de l’intégration graphique dont l’ordre est inverse à l’ordre de différenciation. Supposons qu’il faille déduire la courbe V= quand celle de la vitesse est donnée. Alors on remplace la courbe V= par le graphique étagé et on porte les ordonnées sur l’axe V. d’un point a arbitrairement choisi sur l’axe T on mène les rayon A-1,A-2,etc. Ensuite on mène les dores dans le système de coordonnées [ S,T ] : ( 0-1 ) // ( A-1 ), ( 1-2 ) // ( A-2 ), etc. on obtient les points 0,1,2,….. de la courbe cherchée. La relation entre les échelles reste la même ( 2.2 ). 2.5 construction des plans de vitesse et d’accélérations. A . observations préliminaires . Les vitesses et les points et des chaînons d’un mécanisme plan dans ses positions différentes peuvent être trouvées à l’aide des plans de vitesses et d’accélérations. Avant d’examiner cette méthode il faut se rappeler les deux cas possible de la décomposition du mouvement d’un point. Selon les théorèmes de la mécanique théorique on a les équations qui suivent. 1 . considérons deux points A et B appartenant chacun au même chaînon ( fig.2.6 ) qui est an mouvement plan. Dans ce cas la vitesse du point B peut être décomposée en deux composantes : où -vecteur vitesse du point A, -vecteur vitesse du point B par rapport au point A. on a toujours l’accélération du point B peut être décomposée en trois composantes : où -vecteur accélération du point A, -composante normale de l’accélération par rapport au point A, -composante tangentielle de l’accélération . toujours de B vers A et AB. De même on peut écrire du point B est dirigée est dirigé de A vers B 2 . considérons à présent deux chaînons chacun de quels peut se déplacer sur l’autre le long de l’axe X – X ( fig.2.7. ) dans ce cas la vitesse du point quelconque N appartenant au chaînon 2 peut être présentée comme où -vecteur vitesse du point A qui appartient au chaînon 1 et coincide avec le point N ; c’est la vitesse d’entraînement ; -vecteur vitesse relative du point N par rapport au point A ; ce vecteur est dirigé parallèlement à l’axe X – X. l’accélération du point N peut être présentée comme où - vecteur accélération du point A ( accélération d’entrenement ) ; -vecteur accélération relative du point N par rapport au point A dirigée parallèlement à X – X ; vecteur accélération de Coriolis. Pour obtenir le sens du vecteur il faut tourner le vecteur de l’angle dans le cens de la vitesse angulaire d’entrenement W1 . même on peut écrire Passons à la construction des plans de vitesses et d’accélérations des mécanisme plans . A titre d’axe : les examinons deux mécanisme . B . mécanisme articulé à quatre chaînons. Données : le schéma cinématique du mécanisme dans une position quelconque ( fig.2.8. ). L’échelle du schéma M/MM, la valeur de la vitesse angulaire W du chaînon menant. On demande : construire les plans de vitesse et d’accélérations. Il faut toujours commencer la construction des plans par le premier groupe structural. Dans le mécanisme à examiné on n’a qu’un groupe à double guidage. Ce sont les chaînons BCF et CD réunis pat l’articulation C. il est à noter que les parties BC et CF forment un seul chaînon parce qu’elles sont fixées rigidement l’une avec l’autre. Donc il faut construire les vecteurs accélérations des points B,C et E. D’après le premier cas de la décomposition de la vitesse on a Etant donné que Il en découle que le’ vecteur . doit être obtenu comme la somme géométrique de et de . Marquons un point P dit pole de plan de vitesses. Traçons du pole le support du vecteur , c’est-à-dire la demi droite ( ) . ensuite portons le vecteur équipollant à la vitesse . La longueur de peut être prise arbitrairement, mais il est commode de predre PB peut être prise arbitrairement, mais il est commode de predre PB=AB, au PB=3(AB), est le segment sur le schéma en (MM). Enfin il faut ajouter BC représentant la vitesse dont nous connaissons la direction. Pour cela traçons par B le support du perpendiculairement à BC, jusqu’à l’intersection avec (P-1) au point C. alors le vecteur PC représentera la vitesse du point C à l’échelle qui n’est pas encore déterminée . Passons au point F. on a Vf = Etant donné que La direction de la vitesse étant inconnue, on ne peut pas tracer le support de ce vecteur. Cela veut dire que l’équation (2.8) n’est pas suffisant pour déterminer . c’est pourquoi il faut composer la deuxième équation vectorielle : En conformité des équations (2.8) et (2.9) on doit tracer par C le support de et par B le support de jusqu’à leur intersection mutuelle au point F. le vecteur PF représente la vitesse . Remarquons que le triangle BCF sur le plan de vitesses est semblable au BCF sur le schéma du chaînon , étant donné que cb CB, cf CF et bf BF. Cette propriété du plan de vitesse s’appelle propriété de similitude. En l’utilisant on peut se passer des équations vectorielles (2.8) et (2.9). il suffit de construire cfb pour trouver le point f il faut seulement observer l’ordre de la disponible des sommets : pour tous les deux triangles il doit être le même quand on suit les sommets dans un même sens ( par exemple sur la fig.2.8 en suivant le sens des aiguilles d’une montre on a l’ordre des sommets BCD et bcf ). Etablissons l’échelle du plan construit. Où on désigne par Kv le rapport pb/AB : Kv = donc les vitesses les point sont : VB = Passons à la construction du plan d’accélérations. Pour le point C on a AC = Habituellement on considère que la rotation du chaînon menant est uniforme, c’est-à-dire l’accélération angulaire = 0, la composante tangentielle de l’accélération du point B = 0 et = . Alors dans l’équation (2.12) nous avons // AB, dirigé de B vers A, // CB, dirigé de C vers B, le vecteur peut être déterminé en grandeur après la construction du plan de vitesses, à savoir pourtant il est plus avantageux de calculer directement le segment représentant cette accélération ce qui sera exposé plus bas. En oenformité de l’équation (2.22) d’un point , pole du plans d’accélération partons le vecteur b équipollant à . la longueur b = AB ou b = , etc. ajoutons le vecteur représentant l’accélération . par le point traçons le support ( ) du vecteur . nous voyons que l’équation (2.12) n’est pas suffisante pour définir . composons la deuxiéme équation : Puisque D’après cette équation du pole portons le vecteur et du point menons le support du vecteur . l’intersection mutuelle des droites et donne le point C .le vecteur représente l’accélération du point C . l’accélération du point F est déterminée selon la propriété de » similitude qui est aussi juste pour les plans d’accélération ( ) . Considérons à présent comment peut on éviter le calcule des composantes normales et définir directement les segments représentant ces composantes . Soit l’échelle d’accélération qui est égale à Ou On a D’après le plan de vitesse V , ’après le schéma du mécanisme , donc En tenant compte des formules (2.10) et (2.14) on obtient Désignons le rapport K Finalement on obtient par K . d’après les formules (2.11) et (2.15) on a pour K : En faisant la comparaison de cette formule avec la formule (2.13.) nous voyons qu’elles sont ressemblantes. Lieu de la vitesse V de la longueur L il faut substituer respective les représentant cette vitesse et cette longueur. Le segment nCD qui représente le vecteur accélération pareille est calculé d’après la formule Il est bien arantageux de se servir des formule indiquées quand on a à construire les plans de d’accélérations pour plusieurs position du mécanisme Après avoir construit les plans de vitesse et d’accélérations on peut déterminer les grandeurs et les sens des vitesses et des accélérations angulaires des chaînons. Pour ce but on emploie les formules connues de la mécanique théorique : Où bc et pb sont les segments du plan de vitesses . Où et sent les segments du plan d’accélérations. On définit les sens des W et en conformité des sens des vecteurs vitesses relatives et vecteurs accélérations tangentielles. C . mécanisme à coulisse à six chaînon d’une machine à coudre . Données : le schéma cinématique du mécanisme dans une position quelconque (fig.2.9) , l’échelle du schéma M/MM , la valeur de la vitesse W du chaînon menant. On demande : construire les plans de vitesses et d’accélérations. Le mécanisme a deux groupes d’Assour de deuxième classe : le premier est composé du patin 1 et de coulisse 2, la deuxième est composé de la bielle 3 et du coulisseau 4 ( avec une aiguille). D’abord il faut déterminer la vitesse du point N appartenant au chaînon 2 ( V. le second cas de la décomposition du mouvement d’un point). Ensuit on examine le point et enfin le point E . les équations vecteur elles de vitesses s’écrivent : Suivant ces équations on construit le plan de vitesses. Pour déterminer d’après la propriété de similitude . Avant de construire le plan suivant ces équation on calcule la longueur du segment représentant le vecteur d’après la formule ( déduction est omise) : De même que les segments représentant les accélérations normales
