Telechargé par Hérisson Didier

Exercices d'analyse dimensionnelle.

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Analyse dimensionnelle et incertitudes
Des indispensables pour la physique
Exercice 1⋆ : Dimension de grandeurs en électricité
1. Donner la dimension d’une résistance. On pourra partir de la puissance dissipée par effet Joule* .
2. En déduire grace à la loi d’Ohm la dimension d’une tension.
3. En déduire les décompositions dans les unités de bases du système international de 1 V et de 1
3. 1 Ω = 1 kg ⋅ m2 ⋅ s−3 ⋅ A−2 et 1 V = 1 kg ⋅ m2 ⋅ s−3 ⋅ A−1
2. [𝑈] = 𝑀𝐿2 𝑇 −3 𝐼 −1 ;
1. [𝑅] = 𝑀𝐿2 𝑇 −3 𝐼 −2 ;
Solution :
Exercice 2⋆ : Équations aux dimensions
Établir les équations aux dimensions en fonction des grandeurs de base du système international (masse, longueur,
temps, etc.) :
1. De la constante de Planck ℎ sachant que l’énergie 𝐸 transportée par un photon est donnée par la relation :
𝐸=ℎ⋅𝜈
où 𝜈 représente la fréquence du rayonnement correspondant.
2. De la constante de Boltzmann 𝑘𝐵 qui apparaît dans l’expression de l’énergie cinétique 𝐸𝑐 d’une molécule d’un gaz
monoatomique à la température 𝑇 ; à savoir :
3
𝑒𝑐 = 𝑘𝐵 ⋅ 𝑇
2
3. De la permittivité du vide 𝜀0 qui apparaît dans l’expression de la norme de la force d’interaction électrique (loi de
Coulomb) :
𝑞 ⋅ 𝑞′
𝑓 =
4𝜋𝜖0 𝑟2
4. De la perméabilité magnétique du vide 𝜇0 qui, apparaît dans la loi de Laplace qui permet de prévoir la force d’interaction entre deux fils conducteurs parallèles de longueur 𝐿, placés dans le vide, séparés par une distance 𝑑 et parcourus
par des courants 𝐼 et 𝐼’ :
𝜇0 𝐼𝐼 ′
𝐹=
⋅𝐿
4𝜋 𝑑
5. Vérifier l’homogénéité de la relation : 𝜇0 𝜖0 𝑐2 = 1 où 𝑐 représente la célérité de la lumière dans le vide.
5. Ça marche, il suffit en prenant les résultats précédents d’écrire la dimension de 𝜇0 𝜖0 𝑐2 et on obtient que c’est sans dimension.
4. [𝜇0 ] = 𝑀𝐿𝐼 −2 𝑇 −2 ,
3. [𝜀0 ] = 𝑀−1 𝐿−3 𝑇 4 𝐼 2 ,
2. [𝑘𝐵 ] = 𝑀𝐿2 𝑇 −2 Θ−1 ,
1. [ℎ] = 𝑀𝐿2 𝑇 −1 ,
Solution :
Exercice 3⋆⋆ : Gravitation
lQ1 — Montrer que 𝑀 la masse d’une planète, 𝑅 son rayon et 𝜌 sa masse volumique ne sont pas indépendants
dimensionnellement, c’est-à-dire que l’on peut les lier dimensionnellement par une relation.
lQ2 — Donner la relation qui lie 𝑀, 𝑅 et 𝜌 si la planète est considérée comme une sphère homogène.
*. la puissance disspiée par effet Joule s’exprime sous la forme 𝒫 = 𝑅 ⋅ 𝑖2
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lQ3 — Montrer qu’il est impossible avec 𝑀 (masse), 𝑇 (temps) et 𝑅 (distance) de construire un nombre sans dimension : 𝛼.
lQ4 — Déterminer les dimensions dans le SI de la constante de gravitation 𝒢 sachant qu’elle est déterminée par
l’équation (où 𝐹 est la force de gravitation, 𝑚1 , 𝑚2 sont les deux masses qui subissent cette attraction, et 𝑟 est la distance
qui sépare ces deux masses) :
𝑚1 𝑚2
𝐹=𝒢⋅
𝑟2
lQ5 — Trouver une relation entre 𝒢, 𝑇, 𝑀, 𝑅 qui n’a pas de dimension *
lQ6 — Simplifier cette relation en utilisant la masse volumique 𝜌.
lQ7 — Déterminer une loi, compatible avec les dimensions, et qui détermine 𝑔, l’accélération de la pesanteur sur terre,
en fonction des paramètres gravitationnels de la Terre, à savoir sa masse 𝑀, son rayon 𝑅, et la constante de gravitation
𝒢.
lQ8 — Les planètes tournent autour du Soleil en un temps 𝑇. Ce temps est lié à la distance 𝑅 de la planète au Soleil,
à la masse 𝑀𝑆 du Soleil, et à la constante de gravitation 𝒢. Comment ?
lQ9 — Une pression 𝑃 est dimensionnellement le rapport entre une force 𝐹 et une surface 𝑆. Quelles sont les dimensions de 𝑃 ?
lQ10 — Construire une pression 𝑃𝐺 « gravitationnelle » qui ne contient que la masse 𝑀, le rayon 𝑅, et la constante
𝒢.
lQ10 — 𝑃𝐺 =
𝑅4
𝒢𝑀2
lQ9 — [𝑃] = 𝑀𝐿−1 𝑇 −2
lQ8 — 𝑇 ∝ √
lQ7 — 𝑔 ∝ 𝒢
𝒢𝑀𝑆
𝑅2
𝑅3
𝑀
lQ5 —
= 𝑘, k sans dimension ;
𝑅3
lQ6 — 𝒢𝑇 2 𝜌 = 𝑘′ , 𝑘′ une autre constante sans dimension ;
𝒢𝑇 2 𝑀
lQ3 — M, T, L sont trois grandeurs de bases du MKSA, car elles sont indépendantes…
lQ4 — 𝒢 en m3 ⋅ s−2 ⋅ kg−1 ,
lQ2 — 𝜌 =
4
𝜋𝑅3
3
lQ1 — [𝜌] =
Solution :
,
[𝑅]3
𝑀
[𝑀]
,
Exercice 4⋆⋆ : Gaz Parfait
L’équation d’état des gaz parfaits relative à une mole s’écrit :
𝑝 × 𝑉𝑚 = 𝑅 × 𝑇
où 𝑝 est la pression, 𝑉𝑚 le volume molaire, 𝑅 la constante des gaz parfaits et 𝑇 la température thermodynamique du gaz.
1. Donner l’équation aux dimensions de la constante molaire des gaz parfaits.
2. Sachant que le volume molaire normal vaut : 𝑉𝑚 = 22,414 L ⋅ mol−1 , calculer 𝑅 dans le système international d’unités.
3. Montrer que le produit d’une pression par un volume est homogène à une énergie.
3. Une pression est une force par unité de surface : [𝑃] = [𝐹]/𝐿2 , on en déduit [𝑃𝑉] = [𝐹] × 𝐿, ce qui est bien homogène à une énergie,
puisqu’on reconnaît là l’expression du travail d’une force.
2. 𝑅 = 8,314 5 J ⋅ K−1 mol−1
1. [𝑅] = 𝑀𝐿2 𝑇 −2 𝑛−1 Θ−1
Solution :
Exercice 5⋆⋆⋆ : Déviation de la lumière par le Soleil
Einstein édite en 1915 la théorie de la relativité générale. Il y décrit la gravitation comme une modification de l’espacetemps, prédisant, ainsi, des effets tels que la déviation de la lumière par des corps massifs.
*. il y a une infinité de relations, trouver en une aussi simple que possible algébriquement
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Einstein avait prévu, par exemple, qu’en cas d’éclipse de Soleil, on devait pouvoir observer des étoiles qui auraient dû
être occultées par le bord de celui-ci. Cet effet a été observé pour la première fois en 1919 et largement confirmé depuis.
Le but de cet exercice est de déterminer, de manière simple, l’ordre de grandeur de l’angle de déviation d’un rayon
lumineux frôlant le Soleil.
Un rayon lumineux arrive au voisinage du Soleil avec un paramètre d’impact noté 𝑏 (𝑏 est la distance du rayon lumineux rectiligne incident au centre du Soleil). Soient 𝑀𝑆 et 𝑅𝑆 la masse et le rayon du Soleil, supposé sphérique et
homogène. On note 𝑐 la vitesse de la lumière dans le vide (𝑐 = 3 × 108 m ⋅ s−1 ) et 𝒢 la constante de la gravitation universelle (𝒢 = 6,67 × 10−11 SI).
Données : 𝑀𝑆 = 2 × 1030 kg ; 𝑅𝑆 = 7 × 108 m.
1. Par analyse dimensionnelle, et en choisissant la solution la plus simple* , montrer que l’angle de déviation 𝜃 d’un rayon
lumineux passant très près du Soleil (soit 𝑏 ≃ 𝑅𝑆 ) peut s’écrire :
𝜃=𝐾
𝒢𝑀𝑆
𝑅𝑆 𝑐2
où 𝐾 est une constante sans dimension dont la théorie de la relativité générale d’Einstein prédit la valeur (𝐾 = 4).
Évaluer numériquement la valeur de l’angle de déviation 𝜃 en radians puis en secondes d’arc† .
2. On montre que l’angle de déviation 𝜓 d’une particule 𝛼 (de charge 𝑞, d’énergie mécanique ℰ𝑚 et de paramètre d’impact
𝑏) par un noyau d’or (de charge 𝑄) est donné par :
tan
𝜓
𝑞𝑄
1
=
2
4𝜋𝜖0 2𝑏ℰ𝑚
Et bien avant Einstein, Newton avait eu la géniale intuition que la lumière peut être constituée de particules sensibles
à l’interaction gravitationnelle.
Montrer que l’angle de déviation prédit par la mécanique newtonienne 𝜃𝑁 est deux fois plus faible que celui donné
par la relativité générale et vérifié expérimentalement (𝜃).
4𝜋𝜀0 𝑟
2. La diffusion de Rutherford concerne la diffusion d’une particule chargée (particule 𝛼 ) par un ion massif. Elle met en jeu la force coulombienne
𝑞𝑄
entre ces deux charges 𝑞 et 𝑄, distantes de 𝑟. La norme de cette force est 𝐹𝐶 =
2
𝜃=𝐾
𝑐 2 𝑅𝑆
𝒢𝑀𝑆
= 8, 5 × 10−6 rad = 1, 75″
𝜃 étant sans dimension, ceci conduit à un système de trois équations à quatre inconnues, ce qui admet une infinité de solutions : 𝛼+3𝛾+𝛿 = 0 ;
𝛾
𝛽−𝛾 = 0 ; −𝛼−2𝛾 = 0 En choisissant 𝛾 comme paramètre, on obtient : 𝜃 = 𝐾 (𝑐−2 𝑀𝑆 𝒢𝑅𝑆−1 ) . Les solutions les plus simples correspondent
à 𝛾 = 1 ou 𝛾 = −1. Nous pouvons faire une application numérique pour chaque cas, pour 𝛾 = 1, on obtient 𝜃 = 2, 1 × 10−6 𝐾, et pour
𝛾 = −1 l’inverse, soit 𝜃 = 4, 7 × 105 𝐾 Connaissant grâce à l’énoncé la valeur de 𝐾, nous constatons que pour avoir une petite déviation,
la seconde hypothèse s’exclue d’elle-même. La solution à retenir correspond à 𝛾 = 1, ce qui permet de conclure, et de donner le résultat de
l’application numérique en prenant 𝐾 = 4 :
[𝜃] = 𝐾[𝑐]𝛼 [𝑀𝑆 ]𝛽 [𝒢]𝛾 [𝑅𝑆 ]𝛿 = [𝐿]𝛼+3𝛾+𝛿 [𝑀]𝛽−𝛾 [𝑇]−𝛼−2𝛾 = ∅
L’équation aux dimension pour 𝜃 peut alors s’écrire :
𝐹=𝒢
𝑚𝑚′
𝑟2
⇒
[𝒢] = 𝐿3 𝑀−1 𝑇 −2
1. On considère un rayon lumineux qui arrive près du Soleil avec un paramètre d’impact 𝑏 proche du rayon solaire. L’angle de déviation 𝜃 du
rayon lumineux va certainement dépendre de la vitesse de la lumière 𝑐 dans le vide, de la masse 𝑀𝑆 du Soleil, de la constante gravitationnelle 𝒢
(caractéristique de l’interaction gravitationnelle intervenant dans ce phénomène) et du paramètre d’impact 𝑏. Si on se limite au cas où 𝑏 ≃ 𝑅𝑆 ,
𝛽
on peut utiliser 𝑅𝑆 comme longueur caractéristique unique. On pourra écrire 𝜃 = 𝐾𝑐𝛼 𝑀𝑆 𝒢 𝛾 𝑅𝑆𝛿 , où 𝐾 est une constante sans dimension (𝐾 ne
pourra donc pas être déterminée par analyse dimensionnelle), et 𝛼, 𝛽, 𝛾 et 𝛿 des coefficients tels que l’angle 𝜃 soit finalement sans dimension
(et alors exprimé en rad, unité naturelle des angles). La force gravitationnelle qui s’exerce entre deux masses ponctuelles 𝑚 et 𝑚′ , distantes de
𝑟, permet d’en déduire la dimension de 𝒢 :
Solution :
*. Tous les exposants sont dans ℤ, et aussi petits que possibles en valeur absolue, l’application numérique permettant de discriminer les 2 solutions
restantes
†. Une minute d’arc est un soixantième de degré, et une seconde d’arc un soixantième de minute d’arc.
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Un gyroscope est un corps solide qui n’a qu’un seul point fixe. On effectue une mesure pour déterminer le moment
d’inertie 𝐼 d’un gyroscope en étudiant son mouvement de précession. Le moment d’inertie est donné par la formule
suivante :
𝑚𝑔𝑙
𝐼=
𝜔Ω
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Exercice 8⋆⋆ : Incertitude sur la mesure d’un moment d’inertie
Solution : Il s’agit de propager des incertitudes sur la formule 𝑝 = 𝑌/𝑋. L’utilisation de gum_mc donne 𝑝 = 1 ± 0, 14 , soit une incertitude
type relative de 14%.
Pour le calcul de la pente d’une droite, on considère en général deux points de la droite, et on mesure les intervalles
𝑋 selon l’axe 𝑥 et 𝑌 selon l’axe 𝑦. La pente vaut alors 𝑌/𝑋.
Dans cet exercice, on vérifie l’importance de prendre des intervalles (𝑋, 𝑌) aussi large que possible pour déterminer
la pente, en calculant l’imprécision sur la pente pour deux intervalles différents. On considère le cas suivant : la pente
est égale à 1, les axes sont gradués en cm, l’imprécision sur la lecture d’une longueur vaut Δ𝑋 = Δ𝑌 = 1 mm, évaluez
l’imprécision sur la pente en considérant 𝑋 = 𝑌 = 1 cm et 𝑋 = 𝑌 = 10 cm
Exercice 7⋆ : Régression linéaire et précision
Solution : Pour les premières questions, les résultats dépendent de vos tirages…
4. La valeur moyenne attendue est de 10.5 (on peut calculer la probabilité de chaque résultat en calculant le nombre de combinaison permettant
d’obtenir chaque résultat puis calculer la valeur moyenne grace aux coefficients binomiaux… On peut aussi remarquer qu’il y a autant de
manière de faire 3 que 18, de faire 4 que 17, …, de faire 10 que 11 : à chaque foisces groupes nous donne une valeur moyenne de 10,5, la valeur
moyenne globale est donc de 10,5). Il est fort probable que 10,5 soit dans un intervalle de 2 fois l’écart type. Les valeurs extrêmes (3, 4, 17,18) ont
toute une probablité inférieure à 1,3%, si on en réalise une, elles vont fortement influer sur la moyenne : sur 10 tirages, on peut les considérer
comme des valeurs aberrantes et les supprimer du calcul de valeur moyenne, sur 30 ou 100 valeurs, il faut les garder…
4. Quelle est la valeur moyenne attendue pour un nombre infini de lancers si vos dés ne sont pas pipés ? Vos mesures
expérimentales sont-elles cohérente avec cela ?
3. Conclure quand à l’évolution de la précision du résultat. Comparer avec l’amélioration théorique attendue.
2. Combinez vos résultats avec ceux d’au moins 3 de vos camarades, et calculer à nouveau la valeur moyenne ⟨𝑥⟩ et
l’incertitude sur la moyenne.
1. Calculer la valeur moyenne ⟨𝑥⟩ et l’incertitude sur la moyenne.
𝑥𝑖
∑ 𝑥𝑖 =
𝑥𝑖2
∑ 𝑥𝑖2 =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Somme
Lancez trois fois un dé (ou une fois 3 dés), et faites le total des trois lancers. Ceci constitue un résultat 𝑥 de l’expérience.
Répéter dix fois l’expérience et noter les résultats individuels 𝑥𝑖 dans le tableau ci‐dessous (ou utilisez un tableur pour cela.).
Exercice 6⋆ : Imprécision sur une mesure
Si on attribue (pour pouvoir faire l’analogie demandée) une masse 𝑚 aux « particules » de lumière telles que Newton avait pu les imaginer,
alors la norme de la force gravitationnelle entre le Soleil et une telle particule, située à une distance 𝑟 du centre du Soleil, pourra s’écrire
𝑚𝑀
𝐹𝐺 = 𝒢 2 𝑆
𝑟
On peut donc faire l’analogie formelle :
𝑞𝑄
4𝜋𝜀0
↔
𝐺𝑚𝑀𝑆
La lumière se propage à la vitesse 𝑐. Si ces particules de lumière massive existaient, elles auraient une énergie cinétique initiale ℰ𝑐 = 𝑚𝑐2 ,
analogue de l’énergie cinétique initiale des particules 𝛼. En poursuivant l’analogie, on trouve un angle de déviation des rayons lumineux :
𝜃
tan 𝑁 =
2
2
𝒢𝑚𝑀𝑆
2𝑏𝑚𝑐2
Comme cette déviation est très faible (cf. 1)), on a, pour un rayon lumineux frôlant le Soleil (𝑏 ≈ 𝑅𝑆 ), tan
𝒢𝑀𝑆
𝜃𝑁
2
≈
𝜃𝑁
2
, ce qui permet d’obtenir
𝜃 = 2 2 . La formule est bien la même que dans la théorie de la relativité générale, mais la valeur numérique de la constante 𝐾 est de 2 au
𝑅𝑆 𝑐
lieu de 4 : on a bien montré que l’angle de déviation prédit par la mécanique newtonienne est deux fois plus faible que l’angle de déviation
prédit * par la relativité générale. De plus, cette analogie nous a conduit à une expression littérale qui justifie, a posteriori, le choix de la valeur
1 pour l’exposant 𝛾 défini à la question précédente.
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où :
I : moment d’inertie à déterminer
g : attraction terrestre (connue, 𝑔 = 9,81 m/s2 )
l : bras de levier, mesuré à une précision relative de 0,1 %
m : masse additionnelle, mesurée à ±2 g
𝜔 : vitesse angulaire de rotation du disque, mesurée à 1 % près.
Ω : vitesse angulaire de précession du gyroscope, mesurée à ±0,01 rad/s
On obtient les valeurs suivantes : 𝑙 = 25 cm ; 𝑚 = 384 g ; Ω = 0,116 rad/s ;𝜔 = 481,3 rad/s.
1. Quelle est l’unité dans le système international de 𝐼 ?
2. Déterminer le moment d’inertie 𝐼, puis son incertitude Δ𝐼. Indiquer le résultat complet sous une forme correcte
3. Quelle mesure faut‐il particulièrement soigner pour améliorer la précision de la mesure de 𝐼 ?
3. L’incertitude finale provient à 98% de l’erreur sur la vitesse de précession : c’est sur cette mesure qu’il faut travailler pour améliorer le résultat.
2. 𝐼 = (0,017 0 ± 0,001 5) kg ⋅ m2 , soit une incertitude de relative de 9%
1.
(rad ⋅ s−1 )
kg ⋅ m ⋅ s−2 ⋅ m
= kg ⋅ m2
Solution :
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