Exercices d'analyse dimensionnelle.

Analyse dimensionnelle et incertitudes
Exercice 1: Dimension de grandeurs en électricité
              1V  1
Solution :
 2−3−2 
   2−3−1 
 1 Ω 1 kg m2s−3A−2 1 V 1 kg m2s−3A−1
Exercice 2: Équations aux dimensions
      ℎ   𝐸         
𝐸 = ℎ ⋅ 𝜈
 𝜈     
      𝑘       𝐸   
    𝑇   
𝑒=3
2𝑘⋅ 𝑇
      𝜀             
𝑓 = 𝑞⋅𝑞
4𝜋𝜖𝑟
       𝜇             
        𝐿         𝑑 
   𝐼 𝐼’ 
𝐹 = 𝜇
4𝜋 𝐼𝐼 𝑑⋅ 𝐿
       𝜇𝜖𝑐= 1  𝑐        
Solution :
 2−1
 𝐵2−2−1
 0−1−342
 0−2−2
              002      
Exercice 3 : Gravitation
lQ1 —   𝑀    𝑅   𝜌      
lQ2 —      𝑀𝑅 𝜌        
             2

lQ3 —      𝑀 𝑇  𝑅      
  𝛼
lQ4 —            𝒢    
  𝐹     𝑚𝑚         𝑟  
𝐹 = 𝒢 ⋅ 𝑚𝑚
𝑟
lQ5 —     𝒢𝑇𝑀𝑅     
lQ6 —         𝜌
lQ7 —           𝑔      
            𝑀   𝑅     
𝒢
lQ8 —          𝑇        𝑅    
   𝑀        𝒢  
lQ9 —   𝑃       𝐹   𝑆    
  𝑃
lQ10 —    𝑃         𝑀   𝑅   
𝒢
Solution :
lQ1 —   [𝑀]
[𝑅]3
lQ2 —   𝑀
4
3𝜋𝑅3
lQ3 —              
lQ4 —  m3s−2kg−1
lQ5 — 𝒢𝑇2𝑀
𝑅3    
lQ6 — 2  ′′     
lQ7 —   𝑀
𝑅2
lQ8 —   𝑅3
𝒢𝑀𝑆
lQ9 —   −1−2
lQ10 — 𝐺𝒢𝑀2
𝑅4
Exercice 4 : Gaz Parfait
𝑝×𝑉= 𝑅 × 𝑇
 𝑝   𝑉   𝑅      𝑇    
         𝑉=22,414 L ⋅mol1  𝑅    
Solution :
 2−2−1−1
 8314 5 J K−1mol−1
             2                
Exercice 5 : Déviation de la lumière par le Soleil

             𝑏𝑏     
        𝑀 𝑅         
   𝑐        𝑐 = 3×108m⋅s1  𝒢     
 𝒢 = 6,67 ×1011 SI)
Données : 𝑀=2×1030 kg 𝑅=7×108m
                 𝜃 
       𝑏 ≃ 𝑅   
𝜃 = 𝐾𝒢𝑀
𝑅𝑐
 𝐾                𝐾 = 4
        𝜃     
       𝜓  𝛼  𝑞   ℰ   
𝑏       𝑄    
tan 𝜓
2=𝑞𝑄 4𝜋𝜖
1
2𝑏ℰ
          𝜃       
       𝜃
Solution :
                 𝑆      
                    𝑆
   𝑆         𝛼𝛽
𝑆𝛾𝛿 𝑆       
                   ′  
  ′
2   3−1−2
  𝛼𝑆𝛽𝛾𝑆𝛿𝛼+3𝛾+𝛿𝛽−𝛾−𝛼−2𝛾  
            −2𝑆−1
𝑆𝛾      
                        −6  
         5               
  𝑆
2𝑆−6 rad  ″
               𝐶𝑞𝑄
4𝜋𝜀0𝑟2

𝐺𝑚𝑀𝑆
𝑟2
       𝑞𝑄
4𝜋𝜀0 𝑆
                     𝑐 2
tan 𝜃𝑁
2𝑆
2
2𝑏𝑚𝑐2
                 𝑆 tan 𝜃𝑁
2𝜃𝑁 2    
  𝒢𝑀𝑆
𝑅𝑆𝑐2                         
Exercice 6: Imprécision sur une mesure
                     𝑥 
         𝑥         
𝑥∑𝑥=
𝑥
∑𝑥 =
     ⟨𝑥⟩     
                   ⟨𝑥⟩ 
Solution :          
Exercice 7: Régression linéaire et précision
𝑋  𝑥 𝑌  𝑦     𝑌/𝑋
          (𝑋, 𝑌)      
         cm        Δ𝑋 = Δ𝑌 = 1mm 
      𝑋 = 𝑌 = 1cm  𝑋 = 𝑌 = 10cm
Solution :               gum_mc       
Exercice 8 : Incertitude sur la mesure d’un moment d’inertie
 𝐼               
𝐼 = 𝑚𝑔𝑙
𝜔Ω

     𝑔 = 9,81 m/s2
           0,1%
      ±2 g
𝜔         1%
Ω         ±0,01 rad/s
      𝑙 = 25 cm 𝑚 = 384 g Ω = 0,116 rad/s𝜔 = 481,3 rad/s
         𝐼
     𝐼    Δ𝐼        
              𝐼
Solution :
 kg ⋅m⋅s−2⋅m
(rad ⋅s−1)kg m2
  0017 0 0001 5kg m2       