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ÉTUDE DES APPLICATIONS
CONTINUES DU SEGMENT VERS
LE CARRÉ
Fabrice Moeneclaey
Mots Clés :
Courbe de Hilbert
Hilbert curve
Courbe remplissant le carré
Square-filling curve
Bijection continue
du segment dans le carré
Continuous one-to-one fonction
from the segment to the square
Continuité
Continuous Fonction
Fonctions Surjectives
Onto Fonctions
Sommaire :
Introduction
Corps principal :
I – Impossibilité d’une bijection continue
II – La courbe de Hilbert
II.I – Subdivision
II.II – Construction d’une surjection
II.III – Construction d’une surjection continue
Conclusion
Introduction
David Hilbert
Giuseppe Peano
I – Impossibilité d’une bijection continue
f continue
[0,1]
f -1 continue
[ 0 , 1 ]2
[ 0 , 1 ] \ {1/2}
[ 0 , 1 ]2 \ { f(1/2) }
a
b
[ 0 , 1 ] \ {1/2}
[ 0 , 1 ]2 \ { f(1/2) }
Φ : [0,1] → [0,1]²
Φ continue
Φ(0) = f(a)
Φ(1) = f(b)
a
b
[ 0 , 1 ] \ {1/2}
[ 0 , 1 ]2 \ { f(1/2) }
Ψ = f -1 o Φ
Ψ continue
Ψ(0) = a
Ψ(1) = b
il existe c ∈ [0,1] tel que Ψ(c) = 1/2 et donc tel que Φ(c) = f(1/2)
Contradiction.
II.I – Subdivision
1
1
2
0
3
1/2
0
1/2
Motif 0
1
1
1
2
0
3
1/2
0
1/2
Motif 0
1
1
2
1
2
0
3
0
3
1
2
1
2
0
3
0
3
1
2
1
2
0
3
0
3
0
1
2
3
3
2
1
0
1
2
1
2
0
3
0
3
3
2
1
0
0
1
2
3
1
2
1
2
0
3
0
3
3
2
1
0
0
1
2
3
5
6
9
10
4
7
8
11
3
2
13
12
0
1
14
15
Motif 1
21
22
25
26
37
38
41
42
20
23
24
27
36
39
40
43
19
18
29
28
35
34
45
44
16
17
30
31
32
33
46
47
15
12
11
10
53
52
51
48
14
13
8
9
54
55
50
49
1
2
7
6
57
56
61
62
0
3
4
5
58
59
60
63
Motif 2
II.II – Construction d’une surjection
X = 0,121112233323231323132311232313...
1
2
0
3
X = 0,121112233323231323132311232313...
1
2
2
0
3
0
3
X = 0,121112233323231323132311232313...
1
1
2
0
3
2
0
3
0
3
X = 0,121112233323231323132311232313...
2
1
0
3
2
0
3
0
3
Y = 0,2
Y = 0,2002….
II.III – Construction d’une surjection continue
0
1
2
3
4
X et Y possèdent une écriture ne comportant que 0, 2, 4 et 6
d(X,Y) ≤ 10 -N
=>
X = 0,24244464246642….226662...
Y = 0,24244464246642….226462...
N-ième rang
5
6
Cas des nombres possédant une écriture ne possédant que 0, 2, 4 et 6
X = 0 , 2 4 2 6 4 2 6 2 6 4 2 6 4 2 6 4 4 2 2 4 6 ….
….
Z = 0 , 1 2 1 3 2 1 3 1 3 2 1 3 2 1 3 2 2 1 1 2 3 ….
F(X)=f(Z)
F(b)
Autres cas :
a
b
F(a)
Si x ∈ [a,b]:
F(x) = (x/(a – b) – b/(a – b)) * f(a) + (x/(b – a) – a/(b-a)) * f(b)
Continuité
F est continue en tout les points ne possédant pas
d’écriture ne comportant que 0, 2, 4 et 6
en effet F est affine tout en ces points
Autres cas :
Diam( carré )
→
0
Itération → +∞
Il existe μ tel que Diam( carré ) à la μ-ième itération inférieur à ε
Δ = 10 -μ
Donc ils ont les mêmes décimales jusqu’au μ-ième rang donc ils
sont dans le même carré de la μ-ième itération et donc ils sont
proches d’au moins ε
Bon cas :
a+10 -μ
a
a - 10 -μ
Intervalles enlevés
f(a)
ε
f(x)
f(y)
Mauvais cas :
a+10 -μ
Intervalles enlevés
a
a - 10 -μ
a+10 -μ
Intervalles enlevés
a
a - 10 -μ
On réduit l’intervalle pour se ramener au
cas précédent
a+10 -μ
Intervalles enlevés
a
a - 10 -μ
Le cas où a est à une borne d’un intervalle enlevé
On ne peut pas réduire pour se ramener au ‘bon cas’
On montre alors la continuité à droite car la fonction est affine
On montre la continuité à gauche en utilisant les arguments précédents
Conclusion
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