ÉTUDE DES APPLICATIONS CONTINUES DU SEGMENT VERS LE CARRÉ Fabrice Moeneclaey Mots Clés : Courbe de Hilbert Hilbert curve Courbe remplissant le carré Square-filling curve Bijection continue du segment dans le carré Continuous one-to-one fonction from the segment to the square Continuité Continuous Fonction Fonctions Surjectives Onto Fonctions Sommaire : Introduction Corps principal : I – Impossibilité d’une bijection continue II – La courbe de Hilbert II.I – Subdivision II.II – Construction d’une surjection II.III – Construction d’une surjection continue Conclusion Introduction David Hilbert Giuseppe Peano I – Impossibilité d’une bijection continue f continue [0,1] f -1 continue [ 0 , 1 ]2 [ 0 , 1 ] \ {1/2} [ 0 , 1 ]2 \ { f(1/2) } a b [ 0 , 1 ] \ {1/2} [ 0 , 1 ]2 \ { f(1/2) } Φ : [0,1] → [0,1]² Φ continue Φ(0) = f(a) Φ(1) = f(b) a b [ 0 , 1 ] \ {1/2} [ 0 , 1 ]2 \ { f(1/2) } Ψ = f -1 o Φ Ψ continue Ψ(0) = a Ψ(1) = b il existe c ∈ [0,1] tel que Ψ(c) = 1/2 et donc tel que Φ(c) = f(1/2) Contradiction. II.I – Subdivision 1 1 2 0 3 1/2 0 1/2 Motif 0 1 1 1 2 0 3 1/2 0 1/2 Motif 0 1 1 2 1 2 0 3 0 3 1 2 1 2 0 3 0 3 1 2 1 2 0 3 0 3 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 1 2 0 3 0 3 3 2 1 0 0 1 2 3 1 2 1 2 0 3 0 3 3 2 1 0 0 1 2 3 5 6 9 10 4 7 8 11 3 2 13 12 0 1 14 15 Motif 1 21 22 25 26 37 38 41 42 20 23 24 27 36 39 40 43 19 18 29 28 35 34 45 44 16 17 30 31 32 33 46 47 15 12 11 10 53 52 51 48 14 13 8 9 54 55 50 49 1 2 7 6 57 56 61 62 0 3 4 5 58 59 60 63 Motif 2 II.II – Construction d’une surjection X = 0,121112233323231323132311232313... 1 2 0 3 X = 0,121112233323231323132311232313... 1 2 2 0 3 0 3 X = 0,121112233323231323132311232313... 1 1 2 0 3 2 0 3 0 3 X = 0,121112233323231323132311232313... 2 1 0 3 2 0 3 0 3 Y = 0,2 Y = 0,2002…. II.III – Construction d’une surjection continue 0 1 2 3 4 X et Y possèdent une écriture ne comportant que 0, 2, 4 et 6 d(X,Y) ≤ 10 -N => X = 0,24244464246642….226662... Y = 0,24244464246642….226462... N-ième rang 5 6 Cas des nombres possédant une écriture ne possédant que 0, 2, 4 et 6 X = 0 , 2 4 2 6 4 2 6 2 6 4 2 6 4 2 6 4 4 2 2 4 6 …. …. Z = 0 , 1 2 1 3 2 1 3 1 3 2 1 3 2 1 3 2 2 1 1 2 3 …. F(X)=f(Z) F(b) Autres cas : a b F(a) Si x ∈ [a,b]: F(x) = (x/(a – b) – b/(a – b)) * f(a) + (x/(b – a) – a/(b-a)) * f(b) Continuité F est continue en tout les points ne possédant pas d’écriture ne comportant que 0, 2, 4 et 6 en effet F est affine tout en ces points Autres cas : Diam( carré ) → 0 Itération → +∞ Il existe μ tel que Diam( carré ) à la μ-ième itération inférieur à ε Δ = 10 -μ Donc ils ont les mêmes décimales jusqu’au μ-ième rang donc ils sont dans le même carré de la μ-ième itération et donc ils sont proches d’au moins ε Bon cas : a+10 -μ a a - 10 -μ Intervalles enlevés f(a) ε f(x) f(y) Mauvais cas : a+10 -μ Intervalles enlevés a a - 10 -μ a+10 -μ Intervalles enlevés a a - 10 -μ On réduit l’intervalle pour se ramener au cas précédent a+10 -μ Intervalles enlevés a a - 10 -μ Le cas où a est à une borne d’un intervalle enlevé On ne peut pas réduire pour se ramener au ‘bon cas’ On montre alors la continuité à droite car la fonction est affine On montre la continuité à gauche en utilisant les arguments précédents Conclusion