Espaces Vectoriels: Devoir Corrigé

Supplémentaire commun à deux sous-espaces vectoriels
Soit E un K - espace vectoriel de dimension finie n
∗
∈ℕ .
On se donne A et B deux sous-espaces vectoriels de E et on se pose le problème suivant :
A quelle(s) condition(s) existe-t-il un sous-espace vectoriel C tel que : A B A C B C+ = ⊕ = ⊕ .
1. Dans cette question on suppose que le sous-espace vectoriel C existe.
Montrer que dim dimA B= et déterminer dimC .
Dans la suite de notre étude, nous allons supposer dim dimA B= et montrer que le sous-espace vectoriel C
existe.
2. On étudie pour commencer le cas où
A et B seraient deux hyperplans distincts.
2.a Justifier l’existence de vecteurs u A∈ et v B∈ tels que u B∉ et v A∉ .
2.b Etablir que w u v A B= + ∉ ∪ .
2.c Observer que Vect( )C w= est solution du problème posé.
3. On revient au cas général et on suppose seulement dim dimA B=
3.a Résoudre le problème posé lorsque A B=
Dans la suite, on suppose A B≠ .
3.b Justifier qu’il existe un sous-espace vectoriel A′ tel que ( )A B A A
′
∩ ⊕ = .
De manière symétrique, on introduit B′ sous-espace vectoriel tel que ( )A B B B
′
∩ ⊕ = .
3.c Montrer que
{ }
A B o
′ ′
∩ =  et dim dimA B
∗
′ ′
= ∈ ℕ.
Dans la suite, on pose
dim dim p A B
′ ′
= = .
3.d Justifier l’existence de bases
1
( , , )
p
e e= B  … et
1
( , , )
p
f f=C … aux sous-espaces vectoriels A′ et B′ .
4. On reprend les objets introduits ci-dessus afin de construire un sous-espace vectoriel C solution.
On forme
1
( , , )
p
g g=D  … en posant, pour tout
{ }
1, ,i p∈… ,
i i i
g e f= + .
4.a Montrer que la famille D est libre.
4.b On pose
1
Vect( , , )
p
C g g=  … .
Déterminer dimC .
4.c Montrer que
{ }
A C o∩ =  .
4.d Conclure que A B A C B C+ = ⊕ = ⊕ .
Probl`emes Corrig´es
2017-2018
My Ismail Mamouni
http ://myismail.net
.
Espaces Vectoriels
Devoir Maison 14
Mercredi 14 Mars 2018

1. A C B C⊕ = ⊕ donc dim dimA C B C⊕ = ⊕ d’où et dim dim dim dimA C B C+ = + puis
dim dimA B= . De plus A C A B⊕ = + donc dim dim dim dim dimA C A B A B+ = + − ∩ et par suite
dim dim dim dim dimC B A B A A B= − ∩ = − ∩ .
2.a Puisque A B≠ et dim dimA B= on a nécessairement A B⊄ (car inclusion et égalité des dimensions
impliquent égalité des espaces). Par suite u A∃ ∈ tel que u B∉ . De même pour v .
2.b Si
w u v A= + ∈ alors v w u A= − ∈ par opérations sur les vecteurs de A .
Par contraposée : v A w A∉ ⇒ ∉ . De même w B∉ et donc w A B∉
∪
.
2.c Soit
x A C∈ ∩ . Il existe
λ∈K
tel que .x wλ= et x A∈
Si 0λ≠ alors
1.w x A
λ
= ∈
ce qui est exclu.
Nécessairement 0λ= et x o= . Ainsi A et C sont en somme directe.
dim dim dim ( 1) 1 dimA C A C n n E⊕ = + = − + = = et donc A C E⊕ =
Or A A B⊂ + , C A B⊂ + (car w A B∈ + ) donc E A C A B= ⊕ ⊂ + .
Par suite
A C A B E⊕ = + = . De même B C A B⊕ = + .
3.a Si A B= alors A B A B+== .
{ }
C o= résout le problème posé.
3.b A B∩ est un sous-espace vectoriel de A qui est un
K
- espace vectoriel de dimension finie non nulle.
Par suite A B∩ possède un supplémentaire A′ dans A .
3.c A B A B
′ ′
∩ ⊂ ∩ car A A
′⊂
et B B
′⊂
.
Or
{ }
( )A A B o
′∩ ∩ = 
car ( )A A B
′⊕ ∩ donc
{ }
A B o
′ ′
∩ = .
dim dim dimA A A B
′
= + ∩ et dim dim dimB B A B
′
= + ∩ .
Puisque dim dimA B= on a dim dimA B
′ ′
=.
De plus
{ }
,A B o
′ ′ ≠
(car sinon on aurait A B= ) donc dim dim *A B p
′ ′
= = ∈ ℕ .
3.d A′ et B′ sont deux sous-espaces vectoriels de dimension finie *p∈ℕ donc possède des bases de la
forme annoncée.
4.a Supposons
1 1 p p
g g oλ λ+ + = ⋯ .
On a
1 1 1 1
( )
p p p p
e e f fλ λ λ λ+ + = − + + ⋯ ⋯ or
1 1 p p
e e Aλ λ ′
+ + ∈ ⋯
et
1 1 p p
f f Bλ λ ′
+ + ∈ ⋯
avec
{ }
A B o
′ ′
∩ =  donc
1 1 1 1p p p p
e e f f oλ λ λ λ+ + = + + = ⋯ ⋯ .
Puisque la famille B est libre, on a
1
0
p
λ λ= = =… donc D est libre.
4.b La famille D est une famille libre et génératrice de C , c’est donc une base de C .
Puisqu’elle est formée de p vecteurs on a : dimC p=.
4.c Soit x A C∈ ∩ .
x C∈ donc on peut écrire
1 1 p p
x g g u vλ λ= + + = + 
⋯
avec
1 1 p p
u e e Aλ λ ′
= + + ∈ ⋯
et
1 1 p p
v f f Bλ λ ′
= + + ∈
⋯
.
On a alors v x u A= − ∈ car x A∈ et u A A
′
∈ ⊂
. Mais v B B
′
∈ ⊂
 donc
v A B∈ ∩ .
Or v B′ ∈
 et
{ }
( )A B B o
′
∩ ∩ =  donc v o= .
Puisque C est une base, on a
1
0
p
λ λ= = =… et par suite u o= et donc x o= .
4.d A A B⊂ + et C A B⊂ + donc A C A B+ ⊂ + .
De plus dim dim dim dim dim dim dim dimA C A C A p A B A B A B⊕ = + = + = + − ∩ = +
donc
A C A B⊕ = + .
De manière symétrique A B B C+ = ⊕ .
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My Ismail Mamouni
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