DM14-ev

Problèmes Corrigés
2017-2018
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My Ismail Mamouni
http ://myismail.net
Devoir Maison 14
Espaces Vectoriels
Mercredi 14 Mars 2018
Supplémentaire commun à deux sous-espaces vectoriels
Soit E un K - espace vectoriel de dimension finie n ∈ ℕ∗ .
On se donne A et B deux sous-espaces vectoriels de E et on se pose le problème suivant :
A quelle(s) condition(s) existe-t-il un sous-espace vectoriel C tel que : A + B = A ⊕C = B ⊕C .
1.
Dans cette question on suppose que le sous-espace vectoriel C existe.
Montrer que dim A = dim B et déterminer dimC .
Dans la suite de notre étude, nous allons supposer dim A = dim B et montrer que le sous-espace vectoriel C
existe.
2.c
On étudie pour commencer le cas où A et B seraient deux hyperplans distincts.
Justifier l’existence de vecteurs u ∈ A et v ∈ B tels que u ∉ B et v ∉ A .
Etablir que w = u + v ∉ A ∪ B .
Observer que C = Vect(w ) est solution du problème posé.
3.
On revient au cas général et on suppose seulement dim A = dim B
3.a
Résoudre le problème posé lorsque A = B
Dans la suite, on suppose A ≠ B .
3.b
Justifier qu’il existe un sous-espace vectoriel A′ tel que (A ∩ B ) ⊕ A′ = A .
3.c
De manière symétrique, on introduit B ′ sous-espace vectoriel tel que (A ∩ B ) ⊕ B ′ = B .
Montrer que A′ ∩ B ′ = {o } et dim A′ = dim B ′ ∈ ℕ∗ .
3.d
Dans la suite, on pose p = dim A′ = dim B ′ .
Justifier l’existence de bases B = (e1 ,…,e p ) et C = ( f1 ,…, fp ) aux sous-espaces vectoriels A′ et B ′ .
2.
2.a
2.b
4.
On reprend les objets introduits ci-dessus afin de construire un sous-espace vectoriel C solution.
On forme D = (g1 ,…, g p ) en posant, pour tout i ∈ {1,…, p } , g i = ei + fi .
4.a
Montrer que la famille D est libre.
On pose C = Vect(g1 ,…, g p ) .
4.b
Déterminer dimC .
4.c
Montrer que A ∩C = {o } .
4.d
Conclure que A + B = A ⊕C = B ⊕C .
Problèmes Corrigés
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2017-2018
My Ismail Mamouni
http ://myismail.net
Corrigé
1.
A ⊕C = B ⊕C donc dim A ⊕C = dim B ⊕C d’où et dim A + dimC = dim B + dimC puis
dim A = dim B . De plus A ⊕C = A + B donc dim A + dimC = dim A + dim B − dim A ∩ B et par suite
dimC = dim B − dim A ∩ B = dim A − dim A ∩ B .
2.a
Puisque A ≠ B et dim A = dim B on a nécessairement A ⊄ B (car inclusion et égalité des dimensions
impliquent égalité des espaces). Par suite ∃u ∈ A tel que u ∉ B . De même pour v .
Si w = u + v ∈ A alors v = w − u ∈ A par opérations sur les vecteurs de A .
Par contraposée : v ∉ A ⇒ w ∉ A . De même w ∉ B et donc w ∉ A ∪ B .
Soit x ∈ A ∩C . Il existe λ ∈ K tel que x = λ.w et x ∈ A
1 Si λ ≠ 0 alors w = .x ∈ A ce qui est exclu.
λ
Nécessairement λ = 0 et x = o . Ainsi A et C sont en somme directe.
dim A ⊕C = dim A + dimC = (n −1) + 1 = n = dim E et donc A ⊕C = E
Or A ⊂ A + B , C ⊂ A + B (car w ∈ A + B ) donc E = A ⊕C ⊂ A + B .
Par suite A ⊕C = A + B = E . De même B ⊕C = A + B .
Si A = B alors A + B = A = B . C = {o } résout le problème posé.
2.b
2.c
3.a
3.b
A ∩ B est un sous-espace vectoriel de A qui est un K - espace vectoriel de dimension finie non nulle.
Par suite A ∩ B possède un supplémentaire A′ dans A .
3.c
A′ ∩ B ′ ⊂ A ∩ B car A′ ⊂ A et B ′ ⊂ B .
Or A′ ∩ (A ∩ B ) = {o } car A′ ⊕ (A ∩ B ) donc A′ ∩ B ′ = {o } .
dim A = dim A′ + dim A ∩ B et dim B = dim B ′ + dim A ∩ B .
Puisque dim A = dim B on a dim A′ = dim B ′ .
De plus A′, B ′ ≠ {o } (car sinon on aurait A = B ) donc dim A′ = dim B ′ = p ∈ ℕ * .
3.d
4.a
A′ et B ′ sont deux sous-espaces vectoriels de dimension finie p ∈ ℕ * donc possède des bases de la
forme annoncée.
Supposons λ1g1 + ⋯ + λpg p = o .
On a λ1e1 + ⋯ + λpep = −(λ1 f1 + ⋯ + λp fp ) or λ1e1 + ⋯ + λpep ∈ A′ et λ1 f1 + ⋯ + λp fp ∈ B ′ avec
A′ ∩ B ′ = {o } donc λ1e1 + ⋯ + λpep = λ1 f1 + ⋯ + λp fp = o .
Puisque la famille B est libre, on a λ1 = … = λp = 0 donc D est libre.
4.b
4.c
4.d
La famille D est une famille libre et génératrice de C , c’est donc une base de C .
Puisqu’elle est formée de p vecteurs on a : dimC = p .
Soit x ∈ A ∩C .
x ∈ C donc on peut écrire x = λ1g1 + ⋯ + λpg p = u + v avec u = λ1e1 + ⋯ + λpe p ∈ A′ et
v = λ1 f1 + ⋯ + λp fp ∈ B ′ .
On a alors v = x − u ∈ A car x ∈ A et u ∈ A′ ⊂ A . Mais v ∈ B ′ ⊂ B donc v ∈ A ∩ B .
Or v ∈ B ′ et (A ∩ B ) ∩ B ′ = {o } donc v = o .
Puisque C est une base, on a λ1 = … = λp = 0 et par suite u = o et donc x = o .
A ⊂ A + B et C ⊂ A + B donc A +C ⊂ A + B .
De plus dim A ⊕C = dim A + dimC = dim A + p = dim A + dim B − dim A ∩ B = dim A + B
donc A ⊕C = A + B .
De manière symétrique A + B = B ⊕C .