Espaces Vectoriels: Devoir Corrigé

Telechargé par Oumaima El-ghouzlani
Supplémentaire commun à deux sous-espaces vectoriels
Soit
E
un
K
- espace vectoriel de dimension finie
n
.
On se donne
A
et
B
deux sous-espaces vectoriels de
E
et on se pose le problème suivant :
A quelle(s) condition(s) existe-t-il un sous-espace vectoriel
C
tel que :
A B A C B C+ = ⊕ =
.
1. Dans cette question on suppose que le sous-espace vectoriel
C
existe.
Montrer que
dim dimA B=
et déterminer
dimC
.
Dans la suite de notre étude, nous allons supposer
dim dimA B=
et montrer que le sous-espace vectoriel
C
existe.
2. On étudie pour commencer le cas où
A
et
B
seraient deux hyperplans distincts.
2.a Justifier l’existence de vecteurs
u A
et
v B
tels que
u B
et
v A
.
2.b Etablir que
w u v A B= + ∉
 
.
2.c Observer que
Vect( )C w=
est solution du problème posé.
3. On revient au cas général et on suppose seulement
dim dimA B=
3.a Résoudre le problème posé lorsque
A B=
Dans la suite, on suppose
A B
.
3.b Justifier qu’il existe un sous-espace vectoriel
A
tel que ( )A B A A
= .
De manière symétrique, on introduit B sous-espace vectoriel tel que ( )A B B B
= .
3.c Montrer que
{ }
A B o
′ ′
=
et
dim dimA B
′ ′
= .
Dans la suite, on pose
dim dim
p A B
′ ′
= =
.
3.d Justifier l’existence de bases
1
( , , )
p
e e=
B 
et
1
( , , )
p
f f=C
 
aux sous-espaces vectoriels
A
et
B
.
4. On reprend les objets introduits ci-dessus afin de construire un sous-espace vectoriel
C
solution.
On forme
1
( , , )
p
g g=D 
en posant, pour tout
{ }
1, ,i p
,
i i i
g e f= +
 
.
4.a Montrer que la famille
D
est libre.
4.b On pose
1
Vect( , , )
p
C g g= 
.
Déterminer
dimC
.
4.c Montrer que
{ }
A C o =
.
4.d Conclure que
A B A C B C+ = ⊕ = ⊕
.
Probl`emes Corrig´es
2017-2018
My Ismail Mamouni
http ://myismail.net
.
Espaces Vectoriels
Devoir Maison 14
Mercredi 14 Mars 2018
1.
A C B C⊕ = ⊕
donc
dim dimA C B C⊕ =
d’où et
dim dim dim dimA C B C+ = +
puis
dim dimA B=
. De plus
A C A B = +
donc
dim dim dim dim dimA C A B A B+ = + − ∩
et par suite
dim dim dim dim dimC B A B A A B= − ∩ = − ∩
.
2.a Puisque
A B
et
dim dimA B=
on a nécessairement
A B
(car inclusion et égalité des dimensions
impliquent égalité des espaces). Par suite
u A∃ ∈
tel que
u B
. De même pour
v
.
2.b Si
w u v A= + ∈
 
alors
v w u A= − ∈
par opérations sur les vecteurs de
A
.
Par contraposée :
v A w A ⇒ ∉
 
. De même
w B
et donc
w A B
.
2.c Soit
x A C∈ ∩
. Il existe
λK
tel que
.x wλ=
et
x A
Si
0λ
alors
1.w x A
λ
= ∈
ce qui est exclu.
Nécessairement
0λ=
et
x o=
 
. Ainsi
A
et
C
sont en somme directe.
dim dim dim ( 1) 1 dimA C A C n n E = + = + = =
et donc
A C E⊕ =
Or
A A B⊂ +
,
C A B⊂ +
(car
w A B∈ +
) donc
E A C A B= ⊂ +
.
Par suite
A C A B E⊕ = + =
. De même
B C A B = +
.
3.a Si
A B=
alors
A B A B+==
.
{ }
C o=
résout le problème posé.
3.b
A B
est un sous-espace vectoriel de
A
qui est un
K
- espace vectoriel de dimension finie non nulle.
Par suite
A B
possède un supplémentaire
A
dans
A
.
3.c
A B A B
′ ′
⊂ ∩
car
A A
et
B B
.
Or
{ }
( )A A B o
=
car ( )A A B
⊕ ∩ donc
{ }
A B o
′ ′
∩ =
.
dim dim dimA A A B
= + et dim dim dimB B A B
= + .
Puisque
dim dimA B=
on a dim dimA B
′ ′
=.
De plus
{ }
,A B o
(car sinon on aurait
A B=
) donc
dim dim *A B p
′ ′
= = ∈
.
3.d
A
et
B
sont deux sous-espaces vectoriels de dimension finie *p donc possède des bases de la
forme annoncée.
4.a Supposons
1 1 p p
g g oλ λ+ + =
 
.
On a
1 1 1 1
( )
p p p p
e e f fλ λ λ λ+ + = − + +
 
 
⋯ ⋯
or
1 1 p p
e e Aλ λ
+ +
 
et
1 1 p p
f f Bλ λ
+ +
 
avec
{ }
A B o
′ ′
=
donc
1 1 1 1p p p p
e e f f oλ λ λ λ+ + = + + =
 
 
⋯ ⋯
.
Puisque la famille
B
est libre, on a
1
0
p
λ λ= = =
donc
D
est libre.
4.b La famille
D
est une famille libre et génératrice de
C
, c’est donc une base de
C
.
Puisqu’elle est formée de
p
vecteurs on a : dimC p=.
4.c Soit
x A C∈ ∩
.
x C
donc on peut écrire
1 1 p p
x g g u vλ λ= + + = +
 
avec
1 1 p p
u e e Aλ λ
= + +
 
et
1 1 p p
v f f Bλ λ
= + +
 
.
On a alors
v x u A= − ∈
 
car
x A
et u A A
∈ ⊂
. Mais v B B
∈ ⊂
donc
v A B∈ ∩
.
Or v B
et
{ }
( )A B B o
=
donc
v o=
.
Puisque
C
est une base, on a
1
0
p
λ λ= = =
et par suite
u o=
 
et donc
x o=
 
.
4.d
A A B⊂ +
et
C A B⊂ +
donc
A C A B+ ⊂ +
.
De plus dim dim dim dim dim dim dim dimA C A C A p A B A B A B = + = + = + − = +
donc
A C A B = +
.
De manière symétrique
A B B C+ = ⊕
.
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2017-2018
My Ismail Mamouni
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