Problèmes Corrigés 2017-2018 . My Ismail Mamouni http ://myismail.net Devoir Maison 14 Espaces Vectoriels Mercredi 14 Mars 2018 Supplémentaire commun à deux sous-espaces vectoriels Soit E un K - espace vectoriel de dimension finie n ∈ ℕ∗ . On se donne A et B deux sous-espaces vectoriels de E et on se pose le problème suivant : A quelle(s) condition(s) existe-t-il un sous-espace vectoriel C tel que : A + B = A ⊕C = B ⊕C . 1. Dans cette question on suppose que le sous-espace vectoriel C existe. Montrer que dim A = dim B et déterminer dimC . Dans la suite de notre étude, nous allons supposer dim A = dim B et montrer que le sous-espace vectoriel C existe. 2.c On étudie pour commencer le cas où A et B seraient deux hyperplans distincts. Justifier l’existence de vecteurs u ∈ A et v ∈ B tels que u ∉ B et v ∉ A . Etablir que w = u + v ∉ A ∪ B . Observer que C = Vect(w ) est solution du problème posé. 3. On revient au cas général et on suppose seulement dim A = dim B 3.a Résoudre le problème posé lorsque A = B Dans la suite, on suppose A ≠ B . 3.b Justifier qu’il existe un sous-espace vectoriel A′ tel que (A ∩ B ) ⊕ A′ = A . 3.c De manière symétrique, on introduit B ′ sous-espace vectoriel tel que (A ∩ B ) ⊕ B ′ = B . Montrer que A′ ∩ B ′ = {o } et dim A′ = dim B ′ ∈ ℕ∗ . 3.d Dans la suite, on pose p = dim A′ = dim B ′ . Justifier l’existence de bases B = (e1 ,…,e p ) et C = ( f1 ,…, fp ) aux sous-espaces vectoriels A′ et B ′ . 2. 2.a 2.b 4. On reprend les objets introduits ci-dessus afin de construire un sous-espace vectoriel C solution. On forme D = (g1 ,…, g p ) en posant, pour tout i ∈ {1,…, p } , g i = ei + fi . 4.a Montrer que la famille D est libre. On pose C = Vect(g1 ,…, g p ) . 4.b Déterminer dimC . 4.c Montrer que A ∩C = {o } . 4.d Conclure que A + B = A ⊕C = B ⊕C . Problèmes Corrigés . 2017-2018 My Ismail Mamouni http ://myismail.net Corrigé 1. A ⊕C = B ⊕C donc dim A ⊕C = dim B ⊕C d’où et dim A + dimC = dim B + dimC puis dim A = dim B . De plus A ⊕C = A + B donc dim A + dimC = dim A + dim B − dim A ∩ B et par suite dimC = dim B − dim A ∩ B = dim A − dim A ∩ B . 2.a Puisque A ≠ B et dim A = dim B on a nécessairement A ⊄ B (car inclusion et égalité des dimensions impliquent égalité des espaces). Par suite ∃u ∈ A tel que u ∉ B . De même pour v . Si w = u + v ∈ A alors v = w − u ∈ A par opérations sur les vecteurs de A . Par contraposée : v ∉ A ⇒ w ∉ A . De même w ∉ B et donc w ∉ A ∪ B . Soit x ∈ A ∩C . Il existe λ ∈ K tel que x = λ.w et x ∈ A 1 Si λ ≠ 0 alors w = .x ∈ A ce qui est exclu. λ Nécessairement λ = 0 et x = o . Ainsi A et C sont en somme directe. dim A ⊕C = dim A + dimC = (n −1) + 1 = n = dim E et donc A ⊕C = E Or A ⊂ A + B , C ⊂ A + B (car w ∈ A + B ) donc E = A ⊕C ⊂ A + B . Par suite A ⊕C = A + B = E . De même B ⊕C = A + B . Si A = B alors A + B = A = B . C = {o } résout le problème posé. 2.b 2.c 3.a 3.b A ∩ B est un sous-espace vectoriel de A qui est un K - espace vectoriel de dimension finie non nulle. Par suite A ∩ B possède un supplémentaire A′ dans A . 3.c A′ ∩ B ′ ⊂ A ∩ B car A′ ⊂ A et B ′ ⊂ B . Or A′ ∩ (A ∩ B ) = {o } car A′ ⊕ (A ∩ B ) donc A′ ∩ B ′ = {o } . dim A = dim A′ + dim A ∩ B et dim B = dim B ′ + dim A ∩ B . Puisque dim A = dim B on a dim A′ = dim B ′ . De plus A′, B ′ ≠ {o } (car sinon on aurait A = B ) donc dim A′ = dim B ′ = p ∈ ℕ * . 3.d 4.a A′ et B ′ sont deux sous-espaces vectoriels de dimension finie p ∈ ℕ * donc possède des bases de la forme annoncée. Supposons λ1g1 + ⋯ + λpg p = o . On a λ1e1 + ⋯ + λpep = −(λ1 f1 + ⋯ + λp fp ) or λ1e1 + ⋯ + λpep ∈ A′ et λ1 f1 + ⋯ + λp fp ∈ B ′ avec A′ ∩ B ′ = {o } donc λ1e1 + ⋯ + λpep = λ1 f1 + ⋯ + λp fp = o . Puisque la famille B est libre, on a λ1 = … = λp = 0 donc D est libre. 4.b 4.c 4.d La famille D est une famille libre et génératrice de C , c’est donc une base de C . Puisqu’elle est formée de p vecteurs on a : dimC = p . Soit x ∈ A ∩C . x ∈ C donc on peut écrire x = λ1g1 + ⋯ + λpg p = u + v avec u = λ1e1 + ⋯ + λpe p ∈ A′ et v = λ1 f1 + ⋯ + λp fp ∈ B ′ . On a alors v = x − u ∈ A car x ∈ A et u ∈ A′ ⊂ A . Mais v ∈ B ′ ⊂ B donc v ∈ A ∩ B . Or v ∈ B ′ et (A ∩ B ) ∩ B ′ = {o } donc v = o . Puisque C est une base, on a λ1 = … = λp = 0 et par suite u = o et donc x = o . A ⊂ A + B et C ⊂ A + B donc A +C ⊂ A + B . De plus dim A ⊕C = dim A + dimC = dim A + p = dim A + dim B − dim A ∩ B = dim A + B donc A ⊕C = A + B . De manière symétrique A + B = B ⊕C .