serie04 astro

Introduction `a l’Astrophysique
S´erie 4: Enonc´e
Laboratoire d’Astrophysique http://lastro.epfl.ch
Ecole Polytechnique F´ ed´ erale de Lausanne
Semestre de printemps 2011
Rappel th´eorique
Lorsque nous regardons les ´ etoiles dans le ciel, elles nous semblent ˆ etre fix´ ees ` a une
distance ind´ efinie sur une sph` ere, appel´ ee la sph` ere c´ eleste ou voˆ ute c´ eleste. Pour rep´ erer
un objet sur cette sph` ere, il est n´ ecessaire de d´ efinir un syst` eme de coordonn´ ees. Nous
revoyons ici les syst` emes de coordonn´ ees les plus fr´ equemment utilis´ es en astronomie.
Coordonn´ees horizontales ou altazimutales
Ce syst` eme de coordonn´ ees est li´ e` a l’observateur, ce qui le rend plus intuitif. Le prin-
cipal inconv´ enient de ce syst` eme est qu’il d´ epend du temps, i.e. les coordonn´ ees d’un
objet c´ eleste varient ` a cause de la rotation de la Terre. Dans ce syst` eme de coordonn´ ees,
on d´ efinit les notions suivantes :
a) L’horizon est l’intersection du plan tangent ` a la Terre passant par l’observateur et la
sph` ere c´ eleste. Le point qui est exactement ` a la verticale au-dessus de l’observateur
est appel´ e le z´ enith et celui ` a l’oppos´ e le nadir.
b) Les pˆ oles c´ elestes nord et sud sont les points d’intersection de la voˆ ute c´ eleste et
l’axe de rotation de la Terre.
c) Le grand cercle passant par le z´ enith, le nadir et les pˆ oles c´ elestes est appel´ e le
m´ eridien du lieu.
d) La position d’un objet c´ eleste est d´ efini par sa hauteur het son azimut A.hest
l’angle entre l’horizon et l’astre. Il varie de +90◦au z´ enith ` a−90◦au nadir. Alter-
nativement, nous pouvons utiliser la distance z´ enithale z= 90◦ −h. L’azimut Aest
mesur´ e le long de l’horizon ` a partir du sud dans le sens sud-ouest-nord-est et varie
de 0◦` a360◦.
Coordonn´ees ´equatoriales
C’est un syst` eme de coordonn´ ees fixe par rapport ` a la voˆ ute c´ eleste. C’est-` a-dire que
chaque astre ayant un mouvement propre n´ egligeable devrait avoir des coordonn´ ees
constantes. Cependant, ces coordonn´ ees varient tout de mˆ eme un peu au cours du
temps, ` a cause de la pr´ ecession des ´ equinoxes. Les coordonn´ ees d’une ´ etoile immobile
datant de 1950 seront donc tr` es l´ eg` erement diff´ erentes des coordonn´ ees ´ equatoriales
actuelles. Voici quelques caract´ eristiques des coordonn´ ees ´ equatoriales :
1

S´ erie 4: Enonc´ e
FIGURE 1: A gauche : coordonn´ ees horizontales ou altazimutales. A droite : coordonn´ ees
´
equatoriales.
a) L’´ equateur c´ eleste est l’intersection du plan de l’´ equateur terrestre avec la sph` ere
c´ eleste.
b) L’orbite que d´ ecrit la Terre autour du Soleil d´ efinit le plan de l’´ ecliptique. L’inter-
section de ce plan avec la sph` ere c´ eleste est appel´ ee l’´ ecliptique.
c) Le plan de l’´ equateur terrestre forme un angle de 23◦270avec le plan de l’´ ecliptique.
L’intersection de ces deux plans forme une droite qui traverse la sph` ere c´ eleste en
deux points. A l’´ equinoxe de printemps (21 mars), le Soleil passe l’un de ces points,
le point vernal γ, qui sert de r´ ef´ erence au syst` eme ´ equatorial.
d) Dans ce syst` eme, on d´ efinit la position d’un astre par l’ascension droite α(not´ ee
aussi RA) et la d´ eclinaison δ. L’ascension droite est l’angle mesur´ e de 0h ` a 24h
sur l’´ equateur c´ eleste, depuis le point vernal jusqu’` a l’astre, dans le sens contraire
des aiguilles d’une montre, i.e. il est positif vers l’est. La d´ eclinaison est l’angle de
l’´ equateur c´ eleste ` a l’astre. Elle varie de +90◦au pˆ ole c´ eleste nord ` a−90◦au pˆ ole
c´ eleste sud.
e) L’angle horaire test l’angle entre le m´ eridien du lieu et l’astre consid´ er´ e dans la
direction du mouvement diurne (i.e. compt´ e positivement vers l’ouest). Le temps
sid´ eral T S est l’angle horaire du point vernal au moment de l’observation. On a
T S =α+t. C’est donc aussi l’ascension droite d’un objet passant au m´ eridien ` a un
moment donn´ e.
2

S´ erie 4: Enonc´ e
Trigonom´etrie sph´erique
Voici quelques formules et propri´ et´ es de trigonom´ etrie sph´ erique qui peuvent ˆ etre
utiles. Soit un triangle ABC avec des cˆ ot´ es a,bet cet leur angle oppos´ eα,βet γ. Nous
avons alors les relations suivantes :
sin a
sin α=sin b sin β=sin c sin γ(1)
cos a= cos bcos c+ sin bsin ccos α(2)
cos α=−cos βcos γ+ sin βsin γcos a. (3)
Exercice 1 : Syst`emes de coordonn´ees
Pour un observateur situ´ e sur Terre ` a la latitude φ, on consid` ere le syst` eme de co-
ordonn´ ees altazimutales ayant comme composantes l’azimuth Aet la hauteur h(ou la
distance z´ enitale z= 90◦ −h) et le syst` eme de coordonn´ ees ´ equatoriales comprenant
la d´ eclinaison δet l’ascension droite α(ou l’angle horaire t=T S −α). Le triangle
sous-tendu par le pˆ ole nord c´ eleste P, le z´ enith Zet l’objet c´ eleste Oest appel´ e triangle
polaire ou nautique. Il a la propri´ et´ e de relier les deux syst` emes de coordonn´ ees.
a) Calculez zen fonction de φ,δet t.
3

S´ erie 4: Enonc´ e
b) Calculez δen fonction de φ,zet A.
Indication : utilisez une des formules de trigonom´ etrie sph´ erique donn´ ees ci-dessus et
appliquez la au triangle polaire.
Exercice 2 : Lever de Soleil
A quel angle horaire tle Soleil se l` eve-t-il ` a Lausanne (latitude g´ eographique φ=
46.53◦) au jour le plus long de l’ann´ ee ? Si ` a midi le Soleil est au m´ eridien du lieu, ` a quel
heure se l` eve-t-il ce jour-l` a ? Combien de temps dure cette journ´ ee ?
Indication : utilisez les formules ´ etablies ` a l’exercice pr´ ec´ edent.
Exercice 3 : Lever et coucher d’Arcturus
Calculez l’azimuth et l’heure sid´ erale T S du lever et du coucher d’Arcturus ` a Lausanne
(φ= 46.53◦). Pendant combien de temps l’´ etoile reste-t-elle au-dessus de l’horizon ? Les
coordonn´ ees ´ equatoriales d’Arcturus sont α= 14h15 m39.7s, δ = +19◦1005600 .
Indication : ` a nouveau utilisez les formules ´ etablies pr´ ec´ edemment.
4