serie04 astro

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Introduction à l’Astrophysique
Série 4: Enoncé
Laboratoire d’Astrophysique http://lastro.epfl.ch
Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne
Semestre de printemps 2011
Rappel théorique
Lorsque nous regardons les étoiles dans le ciel, elles nous semblent être fixées à une
distance indéfinie sur une sphère, appelée la sphère céleste ou voûte céleste. Pour repérer
un objet sur cette sphère, il est nécessaire de définir un système de coordonnées. Nous
revoyons ici les systèmes de coordonnées les plus fréquemment utilisés en astronomie.
Coordonnées horizontales ou altazimutales
Ce système de coordonnées est lié à l’observateur, ce qui le rend plus intuitif. Le principal inconvénient de ce système est qu’il dépend du temps, i.e. les coordonnées d’un
objet céleste varient à cause de la rotation de la Terre. Dans ce système de coordonnées,
on définit les notions suivantes :
a) L’horizon est l’intersection du plan tangent à la Terre passant par l’observateur et la
sphère céleste. Le point qui est exactement à la verticale au-dessus de l’observateur
est appelé le zénith et celui à l’opposé le nadir.
b) Les pôles célestes nord et sud sont les points d’intersection de la voûte céleste et
l’axe de rotation de la Terre.
c) Le grand cercle passant par le zénith, le nadir et les pôles célestes est appelé le
méridien du lieu.
d) La position d’un objet céleste est défini par sa hauteur h et son azimut A. h est
l’angle entre l’horizon et l’astre. Il varie de +90◦ au zénith à −90◦ au nadir. Alternativement, nous pouvons utiliser la distance zénithale z = 90◦ − h. L’azimut A est
mesuré le long de l’horizon à partir du sud dans le sens sud-ouest-nord-est et varie
de 0◦ à 360◦ .
Coordonnées équatoriales
C’est un système de coordonnées fixe par rapport à la voûte céleste. C’est-à-dire que
chaque astre ayant un mouvement propre négligeable devrait avoir des coordonnées
constantes. Cependant, ces coordonnées varient tout de même un peu au cours du
temps, à cause de la précession des équinoxes. Les coordonnées d’une étoile immobile
datant de 1950 seront donc très légèrement différentes des coordonnées équatoriales
actuelles. Voici quelques caractéristiques des coordonnées équatoriales :
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Série 4: Enoncé
F IGURE 1: A gauche : coordonnées horizontales ou altazimutales. A droite : coordonnées
équatoriales.
a) L’équateur céleste est l’intersection du plan de l’équateur terrestre avec la sphère
céleste.
b) L’orbite que décrit la Terre autour du Soleil définit le plan de l’écliptique. L’intersection de ce plan avec la sphère céleste est appelée l’écliptique.
c) Le plan de l’équateur terrestre forme un angle de 23◦ 270 avec le plan de l’écliptique.
L’intersection de ces deux plans forme une droite qui traverse la sphère céleste en
deux points. A l’équinoxe de printemps (21 mars), le Soleil passe l’un de ces points,
le point vernal γ, qui sert de référence au système équatorial.
d) Dans ce système, on définit la position d’un astre par l’ascension droite α (notée
aussi RA) et la déclinaison δ. L’ascension droite est l’angle mesuré de 0h à 24h
sur l’équateur céleste, depuis le point vernal jusqu’à l’astre, dans le sens contraire
des aiguilles d’une montre, i.e. il est positif vers l’est. La déclinaison est l’angle de
l’équateur céleste à l’astre. Elle varie de +90◦ au pôle céleste nord à −90◦ au pôle
céleste sud.
e) L’angle horaire t est l’angle entre le méridien du lieu et l’astre considéré dans la
direction du mouvement diurne (i.e. compté positivement vers l’ouest). Le temps
sidéral T S est l’angle horaire du point vernal au moment de l’observation. On a
T S = α + t. C’est donc aussi l’ascension droite d’un objet passant au méridien à un
moment donné.
2
Série 4: Enoncé
Trigonométrie sphérique
Voici quelques formules et propriétés de trigonométrie sphérique qui peuvent être
utiles. Soit un triangle ABC avec des côtés a, b et c et leur angle opposé α, β et γ. Nous
avons alors les relations suivantes :
sin a
sin b
sin c
=
=
sin α
sin β
sin γ
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α
(1)
(2)
cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a.
(3)
Exercice 1 : Systèmes de coordonnées
Pour un observateur situé sur Terre à la latitude φ, on considère le système de coordonnées altazimutales ayant comme composantes l’azimuth A et la hauteur h (ou la
distance zénitale z = 90◦ − h) et le système de coordonnées équatoriales comprenant
la déclinaison δ et l’ascension droite α (ou l’angle horaire t = T S − α). Le triangle
sous-tendu par le pôle nord céleste P , le zénith Z et l’objet céleste O est appelé triangle
polaire ou nautique. Il a la propriété de relier les deux systèmes de coordonnées.
a) Calculez z en fonction de φ, δ et t.
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Série 4: Enoncé
b) Calculez δ en fonction de φ, z et A.
Indication : utilisez une des formules de trigonométrie sphérique données ci-dessus et
appliquez la au triangle polaire.
Exercice 2 : Lever de Soleil
A quel angle horaire t le Soleil se lève-t-il à Lausanne (latitude géographique φ =
46.53◦ ) au jour le plus long de l’année ? Si à midi le Soleil est au méridien du lieu, à quel
heure se lève-t-il ce jour-là ? Combien de temps dure cette journée ?
Indication : utilisez les formules établies à l’exercice précédent.
Exercice 3 : Lever et coucher d’Arcturus
Calculez l’azimuth et l’heure sidérale T S du lever et du coucher d’Arcturus à Lausanne
(φ = 46.53◦ ). Pendant combien de temps l’étoile reste-t-elle au-dessus de l’horizon ? Les
coordonnées équatoriales d’Arcturus sont α = 14h 15 m 39.7 s, δ = +19◦ 100 5600 .
Indication : à nouveau utilisez les formules établies précédemment.
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