[ ] ] ENSEMBLES ET LOGIQUE

ENSEMBLES ET LOGIQUE
I. NOTATIONS
♦
«∀»
signifie : « quel que soit » ou « pour tout »
1
1
≤ 1 » signifie « quel que soit x appartenant à [1; +∞ ] , est inférieur ou égal à 1 »
x
x
2
Exemple 2: ∀(a, b) ∈ ` : a ≥ 0 et b ≥ 0
Exemple 1: « ∀x ∈ [1; +∞ ] ,
♦
« ∃ » signifie : « il existe » et / signifie : « tel que »
Exemple 3:
∀n ∈ `, ∃p ∈ ` / p ≥ n signifie « pour tout entier n, il existe un entier p tel que soit plus grand que n »
Ou encore « pour tout entier n, il existe un entier p plus grand que n »
♦ « / » signifie « tel que »
Exemple 4:
Soit A= {2 p / p ∈ `} : ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme 2 p tel que p ∈ `
A est l’ensemble des nombres pairs (positifs)
♦ Lettres grecques souvent utilisées en mathématiques :
Minuscules
Alpha : α
Béta : β
Delta : δ
Epsilon : ε
Gamma : γ
Rho : ρ
Sigma σ
Lambda λ
Mu µ
Nu ν
Tau τ
Phi ϕ
Majuscules
Oméga ω
Psi ψ
Eta η
Oméga Ω
Delta ∆
Sigma ∑
II. UN PEU DE LOGIQUE
1. Proposition, assertion, théorème, corollaire, lemme
Une assertion est une phrase mathématique qui peut être vraie ou fausse.
Une assertion P vraie est appelée proposition : on dit alors qu’ « on a P » ou que « P est vraie ».
Selon l’importance qu’on donne à la proposition, celle-ci pourra aussi porter le nom de : théorème, de corollaire
(proposition qui découle d’une précédente proposition) , de lemme (proposition intermédiaire utilisée pour
démontrer une autre proposition)
1
Exemples II.1 :
~~(4 est un nombre positif) est une proposition
~~(4 est un nombre négatif) est une assertion fausse
~~( 5 ) n’est pas une assertion, ce n’est pas une phrase
2. Implication
Soient P et Q deux assertions
Pour exprimer que ( P ⇒ Q ) est vrai, on peut utiliser les expressions suivantes
~~ P ⇒ Q
~~ P implique Q
~~ P entraîne Q
~~ si on a P, alors on a Q
~~ Q est une condition nécessaire pour qu’on ait P
~~ P est une condition suffisante pour qu’on ait Q
♦ Pour montrer que (P ⇒ Q) , on se place dans le cas où P est vraie, c’est à dire qu’on suppose qu’on a P( on dit
qu’on prend P comme hypothèse) et on en déduit Q
Exemples II.2:
~~ Pour a ≥ 0 et b ≥ 0 :
« si a ≤ b alors a ≤ b »
2
2
peut aussi s’écrire
« a ≤ b ⇒ a 2 ≤ b2 »
~~ ( 0 ≤ x ≤ 1 ) ⇒ ( 0 ≤ x 2 ≤ x )
en effet si x est tel que 0 ≤ x ≤ 1 , alors, en multipliant chaque membre de la double inégalité par x on en déduit
0 ≤ x2 ≤ x
~~
3. Equivalence
Soient P et Q deux assertions
( P ⇔ Q ) est vrai lorsque (P ⇒ Q et Q ⇒ P)
Pour exprimer que ( P ⇔ Q ) est vrai, on peut utiliser les expressions suivantes
~~ P ⇔ Q
~~ P équivaut à Q
~~ on a P si et seulement si on a Q
~~ P est une condition nécessaire et suffisante pour qu’on ait Q
Exemples II.3:
~~ ( y =
(
)
x ) ⇔ y 2 = x et y ≥ 0 : cette équivalence est vraie car :
P
Q
-si P vraie alors Q est vraie (cf. Exemples II.2)(on élève au carré)
-si Q vraie alors P est vraie , on le montre en supposant que y 2 = x et y ≥ 0 , puis en prenant la racine carrée
de chaque membre de y 2 = x et comme
y 2 = y = y lorsque y ≥ 0 alors P est vraie
2
♦ Réciproque :
♦ Contraire :
« a ≤ b ⇒ a 2 ≤ b 2 » implication fausse si a=-5 et b=-3
Exemple 5:
ce symbole montre que l’implication est vraie « dans les deux sens »
Par exemple dans le cas précédent :
pour ( a, b ) avec a ≥ 0 et b ≥ 0
( a ≤ b ⇔ a 2 ≤ b 2 ) cela signifie que : 1) a ≤ b ⇒ a 2 ≤ b 2 et
2) a 2 ≤ b 2 ⇒ a ≤ b
II. ENSEMBLES
1. Ensembles usuels
♦ ` est l’ensembles des entiers naturels (entiers positifs)
On note parfois a 2;6b l’ensemble des entiers naturels qui appartiennent à l’intervalle [ 2;6]
♦
] est l’ensemble des entiers relatifs (positifs ou négatifs)
a
♦ _ est l’ensemble des nombres rationnels (du type avec a ∈ ] et b ∈ `* )
b
♦ \ est l’ensemble des réels. \ est formé de nombres rationnels et de nombres irrationnels.
Exemples de nombres irrationnels : π , 2, e, π +2, 3 2 − 1
Tout nombre réel peut être exprimé par un développement décimal :
-la représentation décimale d’un nombre rationnel est soit finie, soit infinie et périodique
-la représentation décimale d’un nombre irrationnel est toujours infinie et non périodique
♦ ^ est l’ensemble des nombres complexes(cf. cours complexes)
Tout réel est un complexe
2. Ensemble vide, inclusion , réunion, intersection d’ensembles
♦ Ensemble vide : l’ensemble vide se note soit ∅ , soit
{ }.
Erreur à éviter :la notation {∅} est inadaptée
♦ Inclusion : A et B étant deux ensembles, on dit que A est
inclus dans B lorsque tout élément de A appartient aussi à B, on
note A ⊂ B
Exemples : ` ⊂ ] ⊂ _ ⊂ \ ⊂ ^
( ` est inclus dans ] lui même inclus dans _ … .)
3
A
B
♦ Réunion d’ensembles : A et B étant deux ensembles,
A ∪ B (A union B)est l’ensemble des éléments qui appartiennent
à A ou à B
A
A∪B
B
Exemple II.1: soit A= {2;3;5} et B= {2;6;8}
alors A ∪ B = {2;3;5;6;8}
Exemple II.2:
Soit A= {2 p / p ∈ `} : ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme 2 p avec p ∈ `
A est l’ensemble des nombres pairs (positifs)
Soit B= {(2 p + 1) / p ∈ `} : ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme 2 p +1 avec p ∈ `
B est l’ensemble des nombres impairs (positifs)
Alors A ∪ B = `
♦ Intersection d’ensembles : A et B étant deux ensembles,
A ∩ B (A inter B)est l’ensemble des éléments qui appartiennent
à A et à B
A
A∩B
B
Exemple II.3: soit A= {2;3;5} et B= {2;6;8}
alors A ∩ B = {2}
Exemple II.4
Soit A= {2 p / p ∈ `} : ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme 2 p avec p ∈ `
A est l’ensemble des nombres pairs (positifs)
Soit B= {(2 p + 1) / p ∈ `} : ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme 2 p +1 avec p ∈ `
B est l’ensemble des nombres impairs (positifs)
Alors A ∩ B = ∅
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