1 Un peu de logique

Lycée Sainte Geneviève
BCPST 1
Chapitre 0 : Logique et ensembles
1
1.1
Un peu de logique
Assertion et connecteurs logiques
Définition 1. Une assertion est une propriété mathématique à laquelle on peut attribuer sans ambiguïté une valeur
booléenne, i.e. Vrai ou Faux.
Remarque Pour éviter le paradoxe de Russel (dit encore paradoxe du barbier), on interdit à une assertion d’être
autoréférentielle i.e. de parler d’elle même.
Définition 2. Si P est une assertion, on définit sa négation, notée « non P ». C’est l’assertion qui est vraie quand P
est fausse et inversement.
Définition 3. Soient P et Q deux assertions.
• On définit l’assertion « P et Q » qui est vraie si et seulement si P et Q sont toutes les deux vraies.
• On définit l’assertion « P ou Q » qui est vraie si et seulement si l’une au moins des assertions P , Q est vraie.
On dit alors que « et » et « ou » sont des connecteurs logiques.
Proposition 1.
Soient P, Q, R trois assertions.
1. La négation de (P et Q) est (non P ou non Q).
2. La négation de (P ou Q) est (non P et non Q).
3. Distributivité du « et » sur le « ou » : les assertions (P et (Q ou R)) et ((P et Q) ou (P et R)) sont les mêmes.
4. Distributivité du « ou » sur le « et » : les assertions (P ou (Q et R)) et ((P ou Q) et (P ou R)) sont les mêmes.
1.2
Implication
Définition 4. Soient P et Q deux assertions. On définit l’assertion (P ⇒ Q) qui se lit « P implique Q » qui est vraie
si et seulement si P est fausse ou P et Q sont toutes les deux vraies.
Remarque En bon français, on dit alors que P est une condition suffisante pour que Q soit vraie et que Q est une
condition nécessaire pour que P soit vraie.
Proposition 2.
Soient P, Q, R trois assertions.
1. Les assertions (P ⇒ Q) et (non P ou Q) sont les mêmes.
2. La négation de (P ⇒ Q) est (P et non Q).
3. Transitivité : si (P ⇒ Q) et (Q ⇒ R) alors (P ⇒ R)
1
Définition 5. Soient P et Q deux assertions.
• on dit que (Q ⇒ P ) est l’implication réciproque de (P ⇒ Q).
• ((non Q)⇒ (non P )) s’appelle la contraposée de (P ⇒ Q)

Attention
Ne pas confondre « réciproque » et « contraposée » : c’est une grave erreur de logique !
Proposition 3. Une implication et sa contraposée ont la même signification. On peut dire en anticipant un peu
qu’elles sont équivalentes.
1.3
Équivalence
Définition 6. Soient P et Q deux assertions. On définit l’assertion P ⇔ Q qui se lit « P et Q sont équivalentes » ou
encore « P si et seulement si Q » qui est vraie si et seulement si P et Q ont la même valeur booléenne.
Remarque
On dit alors que P est une « condition nécessaire et suffisante » pour Q.
Proposition 4.
2
2.1
Soient P et Q deux assertions. L’assertion P ⇔ Q est équivalente à ((P ⇒ Q) et (Q ⇒ P ))
Ensembles
Définition
On se contentera d’une définition intuitive de la notion d’ensemble.
Définition 7. Un ensemble est une collection d’objets qui sont appelés ses éléments.
On note ∅ l’ensemble vide qui ne contient aucun élément. Un ensemble contenant un seul élément est appelé un
singleton.
Définition 8. Soit E un ensemble. On note x ∈ E si l’élément x appartient à E et x ∈
/ E s’il n’appartient pas à E.
On peut définir un ensemble de plusieurs façons. Par exemple si on considère l’ensemble des nombres entiers pairs
entre 1 et 6 :
• Définition en extension : on liste tous les éléments de l’ensemble. Pour l’exemple cela donne {2, 4, 6}
• Définition en compréhension : on caractérise les éléments de l’ensemble cherché parmi les éléments d’un ensemble
plus vaste avec une propriété. Par exemple {x ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} : 2|x} (où 2|x signifie « 2 divise x »)
D’autres ensembles comme N, Z, Q, R, C, . . . sont définis par des axiomes et des règles un peu plus complexes.
2
2.2
Parties et inclusion
Définition 9. Soient E et F deux ensembles. On dit que E et F sont égaux et on écrit E = F s’ils possèdent
exactement les mêmes éléments, i.e. si
∀x, (x ∈ E ⇐⇒ x ∈ F ).
Définition 10. Soient E et F deux ensembles. On dit que E est inclus dans F et on écrit E ⊂ F , si tout élément
de E est un élément de F , i.e. si
∀x ∈ E, x ∈ F.
On dira aussi que E est une partie de F ou encore que F contient E.

Attention Ne pas confondre ∈ et ⊂. Par exemple 0 ∈ N mais 0 6⊂ N par contre on a bien {0} ⊂ N ! Et
{−1, 0, 1} ⊂ Z mais {−1, 0, 1} ∈
/ Z.
Théorème 1. Soient E et F deux ensembles. E et F sont égaux si et seulement si E ⊂ F et F ⊂ E.
Définition 11. Soit E un ensemble. L’ensemble des parties de E est noté P(E). Pour tout ensemble A on a donc
A ∈ P(E) ⇐⇒ A ⊂ E.
2.3
Opérations sur les ensembles
Définition 12. Soit A et B deux ensembles.
On appelle réunion de A et B l’ensemble suivant :
A ∪ B = {x ; x ∈ A ou x ∈ B}.
On appelle intersection de A et B l’ensemble suivant :
A ∩ B = {x ; x ∈ A et x ∈ B}.
On peut généraliser cette définition avec plus de deux ensembles. Soit {Ai }i∈I un ensemble d’ensembles (i.e. I est un
ensemble et pour tout i ∈ I, Ai est un ensemble). On appelle réunion des Ai , i ∈ I, l’ensemble suivant :
[
Ai = {x ; ∃ i ∈ I ; x ∈ Ai }. (x est dans l’un des Ai )
i∈I
On appelle intersection des Ai , i ∈ I, l’ensemble suivant :
\
Ai = {x ; ∀i ∈ I, x ∈ Ai }. (x est dans tous les Ai )
i∈I
Définition 13. Soient E et F deux ensembles. On dit que E et F sont disjoints si E ∩ F = ∅.
3
A∪B
A∩B
A
B
A
B
Théorème 2. Soit {Ai }i∈I un ensemble d’ensembles et B un ensemble. On a
[ \ [
\
(Ai ∩ B) et
(Ai ∪ B).
Ai ∩ B =
Ai ∪ B =
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
Définition 14. Soit A et B deux ensembles. On appelle différence de B dans A, l’ensemble suivant :
A \ B = {x ; x ∈ A et x ∈
/ B}.
A
B
A\B
Définition 15. Soient E un ensemble et A une partie de E. L’ensemble E \ A est appelé le complémentaire de A
dans E. Il est noté A.
A
E
A
Théorème 3. Relations de Morgan
Soit {Ai }i∈I un ensemble de parties d’un même ensemble E. On a
[
i∈I
\ [
\
Ai =
Ai =
Ai et
Ai
i∈I
i∈I
4
i∈I
Définition 16. Soit {Ai }i∈I un ensemble de parties d’un même ensemble E. On dit que ces parties forment un
système complet de E si elles sont deux à deux disjointes et que leur réunion est égale à E. Autrement dit :
[
Ai = E et ∀(i, j) ∈ I 2 , i 6= j ⇒ Ai ∩ Aj = ∅
i∈I
Si de plus les Ai sont toutes non vides, on dit que {Ai }i∈I est une partition de E.
Définition 17. Soient E1 , . . . , En des ensembles. On appelle n-uplet (x1 , . . . , xn ) des éléments x1 ∈ E1 , . . . xn ∈ En
considérés dans cet ordre.
L’ensemble constitué de tous les n-uplets (x1 , . . . , xn ) avec x1 ∈ E1 , . . . xn ∈ En est appelé le produit cartésien de
E1 , E2 , . . . En et est noté E1 × E2 × . . . × En .
Dans le cas particulier où tous les ensembles sont égaux on note E n au lieu de E × E × . . . × E (n-fois). Et dans ce
cas les n-uplets de E n sont aussi appelés des n-listes de E.

Attention Ne pas confondre une partie {x1 , . . . , xn } où l’ordre n’a pas d’importance et un n-uplet (x1 , . . . , xn )
où l’ordre a de l’importance.
3
Quantificateurs
Définition 18. On appelle quantificateur universel, le symbole noté ∀ et qui se lit « pour tout » ou encore « quelque
soit ».
Quand on veut traduire le fait qu’une propriété P (x) qui dépend d’une variable x est vraie pour tout x dans un
ensemble E on peut écrire :
∀x ∈ E, P (x)
Définition 19. On appelle quantificateur existentiel, le symbole noté ∃ et qui se lit « il existe ».
Quand on veut traduire le fait qu’une propriété P (x) qui dépend d’une variable x est vraie pour au moins un élément
x dans un ensemble E on peut écrire :
∃x ∈ E, P (x)
Remarque
Quand on veut signifier l’existence et l’unicité on peut utiliser les symboles : ∃!
Proposition 5. La négation des quantificateurs se fait selon les règles suivantes :
• La négation de « ∀x ∈ E, P (x) » est « ∃x ∈ E, non P (x) ».
• La négation de « ∃x ∈ E, P (x) » est « ∀x ∈ E, non P (x) ».

Attention Quand deux quantificateurs se suivent, on peut toujours échanger deux quantificateurs universels
entre eux ou deux quantificateurs existentiels entre eux. Mais il est totalement interdit d’échanger un quantificateur
universel avec un quantificateur existentiel (sauf si vous le démontrer !)
5
4
4.1
Méthodes de raisonnement
Par l’absurde
Lorsqu’on veut démontrer une propriété par l’absurde, on suppose qu’elle est fausse et on essaie d’aboutir à une
contradiction.
Le plus souvent une démonstration par l’absurde repose sur le principe de contraposition. Pour démontrer que (P ⇒ Q)
on peut supposer que P est vraie et que Q est fausse et montrer que c’est impossible.
4.2
Principe de récurrence
Théorème 4. Principe de la récurrence (simple)
Soit P0 , P1 , P2 , . . . une suite infinie de propositions.
S’il existe un entier naturel n0 tel que Pn0 est vraie (initialisation),
et si, pour n’importe quel entier n ≥ n0 (fixé), Pn vraie implique Pn+1 vraie (hérédité),
alors, pour tout n ≥ n0 , Pn est vraie.
Théorème 5. Principe de récurrence forte
Soit P0 , P1 , P2 , . . . une suite infinie de propositions.
Soit M ∈ N,
Si P0 , . . . , PM sont vraies (initialisation),
et si, pour n’importe quel n ∈ N (fixé), Pn−M , . . . , Pn vraies implique Pn+1 vraie (hérédité),
alors, pour tout n ∈ N, Pn est vraie.
Remarques
1. Le cas le plus courant est M = 1 et on parle alors de récurrence double.
2. Comme pour la récurrence simple, l’initialisation peut commencer à partir d’un certain rang n0 .
4.3
Analyse-Synthèse
On utilise souvent ce raisonnement quand on cherche tous les éléments d’un ensemble E qui est défini en compréhension,
i.e. avec des propriétés P. On raisonne alors en 2 temps :
1. Analyse : on suppose que E n’est pas vide et on prend un élément théorique x ∈ E. Puis grâce aux propriétés
P on essaie de caractériser x (trouver son expression par exemple). On restreint le champ des possibles.
2. Synthèse : on vérifie que les possibilités obtenues à la fin de l’analyse sont bien des éléments de E.
On utilise aussi beaucoup ce raisonnement pour prouver l’existence et l’unicité d’un objet vérifiant certaines propriétés.
Dans ce cas il faut retenir que :
• L’analyse démontre l’unicité
• La synthèse démontre l’existence
6