3g3 C 1 Triangle rectangle et trigonométrie Cosinus, sinus, tangente d'un angle aigu 1.1 Définitions A connaître Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse. le sinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l'hypoténuse. la tangente d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent à cet angle. 1.2 Exemples Exemple : Le triangle COR est rectangle en R. Les formules donnant le cosinus et le sinus de l'angle ^ COR puis la formule donnant la tangente de l'angle ^ OCR sont : hypoténuse C R COR = Cos ^ COR = cos O côté adjacent COR à l'angle ^ côté A djacent à ^ COR H ypoténuse RO CO hypoténuse C O côté opposé à^ COR R côté O pposé à ^ COR ^ Sin COR = Hypoténuse sin ^ COR = RC CO C O côté côté adjacent opposé à^ OCR R à l'angle ^ OCR OCR = Tan OCR = tan Remarques : Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1. La tangente d'un angle aigu est un nombre strictement positif. côté Opposé à OCR côté A djacent à OCR RO RC Moyen mnémotechnique Si on désigne par : • C le cosinus d'un angle aigu ; • S le sinus d'un angle aigu ; • T la tangente d'un angle aigu ; • O la longueur du côté opposé ; • A la longueur du côté adjacent ; • H la longueur de l'hypoténuse ; alors on peut écrire : A O O C= ; S= ; T= H H A On obtient alors un moyen mnémotechnique pour se rappeler facilement des trois définitions : CAHSOHTOA* * On peut prononcer « CASSE-TOI » 2 Relations trigonométriques 2.1 Relation entre cosinus, sinus et tangente Soit ABC un triangle rectangle en A. AB AC cos ^ sin ^ ABC = ABC = BC BC AC BC sin ^ ABC = AB cos ^ ABC BC AC BC sin ^ ABC = × BC AB cos ^ ABC AC sin ^ ABC = AB cos ^ ABC sin ^ ABC ^ = tan ABC cos ^ ABC 2.2 Relation entre cosinus et sinus d'un angle aigu Soit ABC un triangle rectangle en A. AB AC ABC = cos ^ sin ^ ABC = BC BC ( cos 2 2 ^ ABC ) + ( sin ^ ABC ) 2 2 ( ) ( ) AB = BC + ( AC BC ) AB2 + AC2 BC 2 or d'après le théorème de Pythagore AB2 + AC2 = BC2 donc 2 2 ( cos ^ ABC ) + ( sin ^ ABC ) = 2 BC BC 2 ( cos 2 2 ^ ABC ) + ( sin ^ ABC ) = ( cos 2 2 ^ ABC ) + ( sin ^ ABC ) = 1 A connaître A : Pour tout angle aigu ^ 2 2 ( cos ^A ) + ( sin A^ ) = 1 ^ ^ = sin A et tan A ^ cos A ^ sin2 A ^ = 1. Remarque : La première formule peut aussi s'écrire cos2 A tan ^ ABC = AC AB