Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse M ICHEL L EDUC Jauges. Différentiables et partitions de l’unité Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse, tome 4 (1964-1965), exp. no 12, p. 1-10 <http://www.numdam.org/item?id=SC_1964-1965__4__A11_0> © Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse (Secrétariat mathématique, Paris), 1964-1965, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 12-01 (Math. Semin., 1) Séminaire CHOQUET, Initiation à l’Analyse, 4e année, 1964/65, n° 12, 10 p. 6 DIFFÉRENTIABLES JAUGES. ET PARTITIONS DE mai, 17 juin 1965 10 et L’UNITÉ par Michel LEDUC Cette étude est faite dans le cadre des variétés usuelle de difrérentiabilité Le but de banachiques, ’ la notion avec (différentiabilité forte)., l’exposé est, après rappel de certains résultats sur les normes diffé- rentiables, d’étendre les théorèmes de partition énoncés par S. IANG (~6~,J p. 25 à 30) pour des espaces de Hilbert séparables, à des variétés dont le modèle pourrait pas admettre de ne différentiable. norme 1. des Soient et soit . Si f ~ D2 f(a) voisinage et E~ (~(Q , est F F) un ouvert de de ’ fonctions implicites. k Banach, (resp. EN, Q un ouvert fois différentiable k isomorphisme de E2 sur en F , alors E2 , a a ~ , de a, si k 1). > il existe V V2’ = a, tel que f(V) e st ouvert et F) est le k graphe dans foie différentiable Autrement dit, x e x V d’une E2 f (a) ) ) ~ en et y = f(x) fonction cp (resp. V~) x e . ==> x~ =p(x. , y) . . Remarques. (a) A l’ordre zéro, les données étant les mémes f alors et est (b) tp existe, x~ ), relativement à la continuité de continue Autre énoncé ; Soient E et en F si (a~ , de D2 (il f suffit du reste de vérifier existe, Banach, 03A9 un e F) . Si f’ (a) est surjective et Ker f’ (a) peut énoncer le théorème précédent avec E~ Ker f’(a) quel supplémentaire de EZ . = admet un supplémentaire topologique. en a, . f (1) et est continue f(a)) . ~ 03A9 ouvert de E , a est direct ( ), alors et pour E2 n’impofte et on M. LEDUC 2. Quelque s l’origine, résultats sur les normes différentiables (dans complémentaire le THÉORÈME 1. - Si la norme d’un espace de Banach est différentiable plémentaire de l’origine, alors elle est de classe C1 . Ce résultat THÉORÈME mérique de été annoncé par G. RESTREPO a 2. - Si est de classe une norme classe et à nulle non Théorème facile et bien connu9 mais G. CHOQUET la fait remarquer que, les a réciproque de stir) . bien est improbable si on ne dans le com- [8]. 0~ , alors il existe une fonction nu- / support borné. on normes est vraie. réciproque si la ignore étant des fonctions lipschitziennes, suppose pas la fonction lipschitzienne, c’est-à-dire de dérivée bornée. THÉORÈME 3. - Si sphère qui une norme contient est différentiable en un admet l’hyperplan tangent x point en ce x, point plan d’appui. En effet, convexes alors comme {2) la unique ’ il en plans). plan contenant x {propriété des qu’ une différentiabiiité "plus faible" suffirait, d’un hyperplan d’appui unique n’implique donc pas la différen- est ainsi, coupe par tout en Notons du reste et que l’existence tiabilité. E , étant de Banach, soient S son dual. sa sphère unité et E l’espace quotient E’/R+ des demi-droites de THÉORÈME dans 4. - est Si v Ce résultat est et PHELPS En (2) différentiable, alors Im{v’) est dense une conséquence x E S : effet, d’après le théorème 3, 3 t de la propriété suivante, démontrée par BISHOP [1] [7] : L’image deE E’ ; ~ alors une norme E . e R+ : 03BE = ~(x) =- ~) e E’ - est dense dans ( 0) si x e S E. et ~ {x) _ tv’(x) . alors elle l’est, et avec une différentielle constante, contenant ce point {propriété des fonctions homogènes). sur la demi-droite JAUGES THÉORÈME 5. - Soit v Ce résultat est A différe-ntirable, une norme t de la conséquence alors suivante démontrée par propriété [5] : R. C. JAMES alors une DIFFÉRENTIABLES faiblement relativeubent compact. eat En effet E équivaut faiblement relativement S reflexif compacte alors à Enfin : . THÉORÈME 6. - Soit travaux de V. L. est En principalement effet, on et dans complètement Cette construction LEMME 7. - Il propriétés MULIAN [9], 3. Construction d’une vient admet de norme à répond des un E ~°° (R+ , R) Prendre pour . forme dfrférent1able. [8]. différentiables dans plusieurs normes article plus récent de D. F. CUDIA [4] reformulé. classe ~ une question sur de E. NELSON (Cf. [2]), l’idée en re- à A. DOUADY. existe 03C6 sait que R) e t e R convexe -- s rivées de tous ordres, nulles à l’origine ; ~ alors uae été annoncé par G. RESTREPO a problème E ~ On trouvera de nombreuses où le séparable, de Banach séparable E’ Ce résultat E et paire )0 , 1 ( on en avec est de déduit une classe C avec avec cp Semin., la 1) symétrisée de la primitive de .. dé- fonction croissante s’annulant à l’origine. M. LEDUC On rappelle que c C ~x~ = max |xn| , non {x = E H- ; C = réflex.if, car l N ;p > est e space de Banach pour un n ça 1 est son dual. ~t Considérons alors v x e X co , = la. restriction de f pro jection associée tions indéfiniment D’autre part, à X qui dérivables, f-1((0 , de toute demi-droite par Finalement la jauge v de v THÉORÈME 8. - Soit borné, alors la jauge de classe En fini, 1)) est linéaire est immédiatement convexe, f-1 (1) du de est 1 et de rayons de la finie de fonc- et symétrique, et compris 2 ;3 enfin l’intersection ° est un voisinage point. ~ ~ ( ~~ , Banach, si il 1)) de ~y(~~v (xj ) existe d’un des voisinages bornés > on 0 peut supposer après une 0 f ~ 1, en f l’origine est solution en 0 . E équilibrés R) - {0} à de l’ origine symétrique et considérant éventuellement éventuelle translation. Soient y une somme e support s t C . effet, f(0) E 1/2 , composée et de rayon par alors ~°~ . est de classe l’origine 1/2 , ~~y - x~~ et si confirme, l’équation implicite f(x/t) = 1, or est donc une norme de classe d° sur 4. et est à la boule de centre x entre les boules de centre t 1/2]) positivement homogène. 1 - e -f~ , JAUGES D’autre donc part, e st la jauge 03B3 Enfin, sur DIFFÉRENTIABLES étant de classe f [- le segment de classe équivalente à En effet, ~ en x, avec : e > 0 , p > 0 ; Cette construction constitue norme. elle est 2b x ~x~} II ~i1 C~ la une k compact, t E [- fois il en uniformément différentiable résulte que ~ x ~ 0 , Y est 2b ~x~ , 2b ~x~] réponse partielle à la question soulevée dans le théorème 1 ;9 mais l’obtention d’une norme, c’est-à-dire d’une jauge sousadditive, ne semble pas immédiate3 en particulier, la norme, associée à l’enve- loppe convexe férentiable (3) sa on du voisinage borné équilibré de l’énoncé, peut n’être même pas dif- (3). rencontre cette situation dans l’espace de Hilbert est trop longue pour figurer ici. description précise séparable l2 ;9 mais M. LEDUC Dans cet ordre d’idées, [2] R. BONIC et J. FRAMPTON ont annoncé le résultat suivant : Soit D domaine borné de un f(5) p alors n Ainsi, à il n’existe pas dans p ~ 2N ; p , si p ~ 2N , si avec f ~ C(D) R) ~ = j~~ mais d’autre support borné de fonction à part on de classe supérieure sait que 5. LEMME 9. Ce lemme généralise une construction utilisée paracompacité de s espaces métrique s séparable s. Soient E un dexée par E x espace R (2) comme (V ) pour prouver la famille d’ouverts de une suite ( (x , n) ) E (E x R)N , posons B =V(x , r li x ~ Vn est ouvert, et V B , il vient P est localement x fini, n E N , V c B ;3 d’autre part : eV . P car V xe U B , 3 j&#x26; EN: x 6 By 3 p e N : or E ~ in- définissons par récurrence et Il est trivial que et une DIEUDQNNÈ et telle que Alors, étant donnée V1 _ topologique, V(x , r) par J. V n ~ p, le voisinage (1/n)) , donc de r~ - (1/p) ) x , disjoint de est inclus dans donc JAUGES Cas particulier. - En continue par à rapport DIFFÉRENTIABLES particulier, soit g une fonction numérique sur y (pour tout x ) , avec t’ x E E, g(x, x) ~ 0 E x E . On peut poser ~-normalité. 6. Condition suffisante de (l) E Soit (x, r) ~ on e espace vectoriel normé admettant un l’origine, dont E la x jauge MR, obtient facilement réelle convenables est de classe y V(x, r) notons en (cf. composant lemme y un voisinage borné équilibré de C~ . la pseudo-boule par des fonctions (y E E ;9 y(y - x) r) ;3 variable de numériques Alors, étant donnée une suite de pseudo-boules B , désignons par r ) et V(x. , r, respectivement les fonctions associées à ’vient, ? ne N : et par suite, la Si de plus et que, par cpn - (lin» 3 il somme étant localement finie, c’est (2) . 7), E est une fonction séparable, y de classe c positive et telle que: sachant que suite,y la base d’entourages de l’espace E, associée aux pseudo-boules réunion, appliquons le théorème suivant qui s’apparente à un théo- est stable par rème de Lindelöf : THÉORÈME 10. et V une Soient X ouvert 0 de X est la espace uniforme, D une partie de X partout dense, symétrigues stable par réunion quelconque, alors tout un base d’entourages réunion des W{x) tels que x E D ~ Q . , 03A9 , W E 03B3 , et M. LEDUC Il résulte que tout ouvert 0 de en G’~ (E , donc il existe A est fermé, Finalement, Nous (0 , «~) ) A c , a(x) > dénombrable de pseudo-boules, 0 De même si ==> telle que : f2 , ~~-norm~.ale, appellerons est réunion (0 , ~) ) , il existe si E telle que toute variété X où, quels que soient A et B fermés disjoints, il existe ? On peut alors énoncer : PROPOSITION 11. - Tout espace vectoriel normé classe Ck , La séparabilité tion du séparable, qui admet une jauge de Ck-normal. est du modèle paragraphe 59 a été indispensable il semble néanmoins pour pouvoir qu’une adaptation utiliser la construc- convenable de la mé- thode suivie par G. MOKOBODSKI (et qu’il a exposée à ce séminaire) pour démontrer la paracompacité des métrisables, permettrait de se dispenser de cette hypothèse.. 7. Théorème de partition de l’unité. Nous dirons qu’un espace vectoriel normé est du type H voisinages difféomorphes à l’espace tout entier. si l’origine admet une base de Alors : PROPOSITION 12. - Une variété paracompacte de classe ek -normaux l’unité de classe dont les modèles admet pour tout recouvrement ouvert, et de Ok , subordonnée à ce une so~± partition de recouvrement. effet, étant donné un recouvrement ouvert A de X , il existe un atlas sur l’image de chaque carte soit le modèle tout entier et que les domaines X , des cartes forment un recouvrement plus fin que R9 X étant paracompact (donc En tel que aussi régulier), il existe un recouvrement ouvert localement fini tel que JAUGES le recouvrement il existe V i que raffine le au en sommde 03A3 03B8i , est localement suite, dans le strictement qui tel aux locales, une fonction de.partition assoimages de Ai et i~i ; soit ~i la sur le complémentaire forme un de Q. recouvrement, G~ . de l’unité et subordonnée normé, qui admet une jauge y de classe C , type ~ . effet, est de recouvrement ouvert positive puisque Remarque. - Un espace vectoriel En X le résultat par zéro donc de classe partition k modèle prolongeant finie, la est de classe est de 8’’!) , moyen des coordonnées choix) de fonction obtenue Par p. étant paracompact, donc normale 9 un . (axiome La précédent d’après N. BOURBAKI ([3], E 1 , Q.. Transportons, ciée DIFFERENTIABLES ses pseudo-boules classe Ck , même au ~est est de classe lui sont point sa a difféomorphes, (comme Y2 en car 0) et réciproque. BIBLIOGRAPHIE [1] BISHOP (E.) Convexity, and PHELPS (R. R.). - The support functionals of a convex set, p. 27-35. - Providence, American mathematical Society, 1963 of the Symposia in pure Mathematics, 7). (Proceedings [2] [3] BONIC (R.) and FRAMPTON (J.). - Differentiable functions on certain Banach spaces, Bull. Amer. math. Soc., t. 71, 1965, p. 393-395. générale, Chap. 9, 2e édition. BOURBAKI (Nicolas). - Livre III Hermann, 1958 (Act. scient. et ind., 1045Bourbaki, 8). Paris, Topologie M. LEDUC 12-10 [5] CUDIA (Dennis F.). - The geometry of Banach spaces ; Smoothness, Trans. Amer. math. Soc., t. 110, 1964, p. 284-314. JAMES (Robert C.). - Weakly compact sets, Trans. Amer. math. Soc., t. 113, [6] LANG [4] 1964, p. 129-140. 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