Cours1 Trigonométrie élémentaire

IUT Orsay
Mesures Physiques
Cours du
1 semestre
er
Rappels de trigonométrie circulaire
A. Rappel sur les définitions et le vocabulaire
A-I.
Les notions angulaires
La première notion angulaire rencontrée est celle de SECTEUR ANGULAIRE. Elle est définie
à partir des demi plans :
•
un SECTEUR SAILLANT est l’intersection de deux demi plans de frontières sécantes
•
un SECTEUR RENTRANT est la réunion de deux demi plans de frontières sécantes
Les secteurs angulaires sont mesurés en choisissant un secteur qui sert d’unité et en comptant
combien d’unités sont contenues dans le secteur.
Les choix classiques d’unité sont :
1 tour = 2 plats
1 plat = 2 droits
•
le plan entier (réunion de deux demi plans non confondus et de
1 droit = 90 degrés
même frontière), la mesure est alors dite en « tours »
1 plat = 180 degrés
•
le demi plan (réunion ou intersection de deux demi plans
confondus), la mesure est dite en « angle plats »
•
le quart de plan (intersection de deux demi plans de frontières perpendiculaires), la
mesure est alors dite en « droits »
•
le 180ème de demi plan, la mesure est alors dite en « degrés »
La deuxième notion angulaire est abordée au collège c’est celle d’ANGLE GEOMETRIQUE.
Elle est définie à partir des paires de demi droites de même origine :
est l’ensemble des paires de demi droites qui
l’angle géométrique xOy
peuvent, par glissement dans le plan, être superposées à la paire
{[Ox ) , [Oy )} . La mesure d’un angle géométrique
est celle du petit
xOy
1 tour =
1 plat
=
1 droit =
2π radians
π radians
π
2
radians
arc géométrique qu’il détermine sur un cercle de centre O… voir polycopié
π
Aide Mémoire. A partir de cette notion, une unité apparaît comme plus
1 degré =
radians
180
naturelle que les autres : c’est le radian. Par définition un angle plat
mesure π radians.
La troisième notion angulaire est abordée au lycée, c’est celle d’ ANGLE ORIENTE. Elle est
définie à partir des couples de demi droites de même origine : l’angle orienté ( Ox, Oy ) est
l’ensemble des couples de demi droites qui peuvent, par glissement dans le plan, être
superposées au couple [Ox ) , [Oy ) . Les mesures de ( Ox, Oy ) sont les mesures de l’arc orienté
(
)
intercepté sur un cercle de centre O par le couple
B. Equations
B-I.
cos( x) = ...
où
x
([Ox ) , [Oy ) ) … voir polycopié Aide Mémoire.
est un réel inconnu
Le cas cos( x) = cos( x0 )
Une solution évidente est x = x0 … mais il en existe beaucoup d’autres comme, par exemple
x = − x0 ou x = x0 + 2π …
En fait un dessin suffit pour comprendre (en se rappelant de la période
2π et des symétries vues en 2nde) qu’il y a deux familles de solutions qui
sont x = x0 + k .2π d’une part et x = − x0 + k .2π d’autre part où k désigne
un entier relatif quelconque.
Exemple 1 : Résolution de cos( x) = cos(
π
12
)
Page 1 sur 6
Les solutions sont :
x=
π
12
Exemple 2 : Résolution de cos(6 x +
Les solutions sont 6 x +
π
4
=
π
12
π
4
π
π
12
+ k .2π
π
) = cos( )
4
12
+ k .2π ou 6 x +
π
π
+ k .2π c’est à dire :
12
−π
π
−π
π
x=
+ k . ou x =
+ k.
36
3
18
3
Exemple 3 : Résolution de cos(6 x +
Les solutions sont 6 x +
+ k .2π ou x = −
π
4
4
=−
) = cos( x)
= x + k .2π ou 6 x +
π
4
= − x + k .2π c’est à dire :
−π
2π
−π
2π
+ k.
ou x =
+ k.
20
5
28
7
x=
Attention : ce n’est pas
parce qu’on a traité l’un
des deux cas qu’on peut
se passer de traiter
l’autre.
Le cas cos( x) = a
B-II.
1ère possibilité : Soit a ∈ [ −1; +1] et dans ce cas on peut trouver (au pire à l’aide d’une
calculette) une valeur particulière x0 telle que a puisse être remplacé par cos( x0 ) si bien que
l’équation s’écrit cos( x) = cos( x0 ) et on sait la résoudre comme dans le cas précédent.
2ème possibilité : Soit a ∉ [ −1; +1] et alors l’équation n’a pas de solution.
Exemple 1 : Résolution de cos( x) =
Comme
π
3
π
3
> 1 , l’équation n’a pas de solution.
Exemple 2 : Résolution de cos( x) =
3
.
4
Remarque : Si un exercice de résolution est noté sur n points
et si un étudiant trouve une solution alors qu’il y en a
1000000, quelle doit être sa note ?
n×
1
… ça ne fait pas beaucoup !
1000000
Et s’il y a une infinité de solutions et qu’il n’en trouve qu’une ?
3
3
∈ [−1; +1] , il existe x0 tel que cos( x0 ) = et les solutions sont les deux familles
4
4
x = x0 + k .2π et x = − x0 + k .2π avec ici x0 = 0, 722734... (obtenu avec une calculette)
Comme
C. Equations
C-I.
sin( x) = ...
où
x
est un réel inconnu
Le cas sin( x) = sin( x0 )
Une solution évidente est x = x0 … mais il en existe beaucoup d’autres comme, par exemple
x = π − x0 ou x = x0 + 2π …
Il suffit encore d’un dessin pour comprendre (en se rappelant de
la période 2π et des symétries vues en 2nde) qu’il y a deux familles
de solutions qui sont x = x0 + k .2π d’une part et x = π − x0 + k .2π
d’autre part où k désigne un entier relatif quelconque.
π
Exemple 1 : Résolution de sin( x) = sin( )
9
Les solutions sont :
Page 2
π
x=
π
Exemple 2 : Résolution de sin(2 x +
Les solutions sont 2 x +
π
5
=
π
3
9
π
4
8π
+ k .2π
9
π
) = sin( )
5
3
2π
+ k .2π c’est à dire :
5
3
π
7π
x = + k .π ou x =
+ k .π
15
30
+ k .2π ou 2 x +
Exemple 3 : Résolution de sin(3 x +
Les solutions sont 3 x +
+ k .2π ou x =
= 2x −
π
π
=
π
) = sin(2 x − )
4
3
π
3
+ k .2π ou 3 x +
π
4
= π − 2x +
π
3
+ k .2π
c’est à dire :
−7π
11π
2π
x=
+ k .2π ou x =
+ k.
12
60
5
C-II.
Ici encore, les deux
cas
ne
se
ressemblent guère…
Le cas sin( x) = a
1ère possibilité : Soit a ∈ [ −1; +1] et dans ce cas on peut trouver (au pire à l’aide d’une
calculette) une valeur particulière x0 telle que a puisse être remplacé par sin( x0 ) si bien que
l’équation s’écrit sin( x) = sin( x0 ) et on sait la résoudre comme dans le cas précédent.
2ème possibilité : Soit a ∉ [ −1; +1] et alors l’équation n’a pas de solution.
Exemples : A vous de résoudre sin( x) =
D. Equations
D-I.
tan( x) = ...
où
x
π
3
; sin( x) =
1
2
; sin( x) =
3
2
est un réel inconnu
Le cas tan( x) = tan( x0 )
Une solution évidente est x = x0 … mais il en existe beaucoup d’autres comme, par exemple
x = π + x0 ou x = π + x0 + 2π …
Il suffit encore d’un dessin pour comprendre (en se rappelant de la
période π -et non pas 2π - et des symétries vues en 2nde) qu’il y a deux
familles de solutions qui sont x = x0 + k .2π
d’une part et
x = π + x0 + k .2π
d’autre part où k désigne un entier relatif
quelconque. Les deux familles de solutions se regroupent en une seule
écriture : x = x0 + k .π
π
Exemple 1 : Résolution de tan( x) = tan( )
8
Les solutions sont :
x=
π
8
+ k .π (ou bien, si vous préférez x =
Exemple 2 : Résolution de tan(2 x +
π
π
) = tan( )
5
3
Page 3
9π
−7π
+ k .π ou même x =
+ k .π )
8
8
Les solutions sont 2 x +
π
5
=
π
3
4π
+ k .π c’est à dire :
5
3
π
π
17π
π
x = + k . ou x =
+ k.
15
2
30
2
+ k .π ou 2 x +
Exemple 3 : Résolution de tan(3 x +
Les solutions sont 3 x +
π
4
= x+
π
3
π
=
π
π
) = tan( x + )
4
3
+ k .π ou 3 x +
x=
π
12
+ k.
π
π
4
=π + x+
ou x =
2
π
3
+ k .π c’est à dire :
13π
π
+ k.
24
2
Le cas tan( x) = a
D-II.
Quel que soit a , l’équation a toujours des solutions car la fonction tangente donne des résultats
qui vont de −∞ à +∞ . On trouve donc une valeur x0 telle que a puisse être remplacé par tan( x0 )
et on résout comme dans le cas précédent.
Exemples : A vous de résoudre tan( x) = 1 ; tan( x) = 2
E. Equation du type
cos( x) = sin( x0 )
On se ramène à un cas connu en utilisant la symétrie qui échange les
cosinus avec les sinus… c’est à dire la symétrie par rapport à la
π

sin( 2 − α ) = cos(α )
diagonale principale du repère : 
cos( π − α ) = sin(α )

2
Exemple : Résolution de cos(3 x) = sin( x −
π
6
On transforme l’équation en cos(3 x) = cos(
en sin(
π
π
)…
π
π
− x + ) ou
2
6
− 3 x) = sin( x − ) et on résout
2
6
Tiens, au fait, on résout ça
s’écrit bien comme ça et
non pas avec un d !
Je résous, tu résous, il ou
elle résout…
« classiquement ».
F. Equations a.cos( x ) + b.sin( x) = c où a, b et c sont dans ℝ
F-I.
La méthode d’après un exemple
Si a et b étaient deux nombres tels que a 2 + b 2 = 1 le point M (a, b) serait sur le cercle
trigonométrique… donc on pourrait trouver α tel que a = cos(α ) et b = sin(α ) . Dans ces
conditions, l’équation pourrait s’écrire cos(α ).cos( x) + sin(α ).sin( x) = c ce qui grâce aux formules
d’addition se transforme en cos(α − x) = c … et on est alors en présence d’une équation d’un type
élémentaire que l’on sait résoudre.
Le problème est que a et b ne sont pas en général deux nombres tels que a 2 + b 2 = 1 … Par
exemple, dans l’équation 2.cos( x) + 3.sin( x) = 1 , on ne peut pas dire que 2 = cos(α ) et
3 = sin(α ) !
Page 4
Si l’idée générale ne s’applique pas, c’est que le point M (2;3) n’est pas sur le cercle
trigonométrique…On peut améliorer la situation en définissant un point m sur le cercle
trigonométrique et tel que Om soit unitaire, colinéaire avec OM et de même sens, c’est à dire en
1
posant Om = .OM .
OM
C’est facile à comprendre : si M (a, b) est trop loin de l’origine on le rapproche et s’il est trop
près on l’éloigne.
Dans l’exemple précédent : 2.cos( x) + 3.sin( x) = 1 , M (2;3) est trop loin de l’origine.
1
1 2
3
.OM on obtient un point m(
;
)
4+9
13 13
En posant Om = .OM c’est à dire Om =
OM
2
2
 2   3 
qui est sur le cercle trigonométrique puisque 
 +
 = 1 et il est donc certain qu’on peut
 13   13 
2
3
et sin(α ) =
.
trouver α vérifiant à la fois : cos(α ) =
13
13
La résolution de 2.cos( x) + 3.sin( x) = 1 se fait donc de la façon suivante :
1. On pose R = 22 + 32 = 13
2. On
divise
les
deux
membres
de
l’équation
par
13
pour
obtenir
2
3
1
1
cos( x) +
sin( x) =
c’est à dire cos(α ).cos( x) + sin(α ).sin( x) =
ou encore
13
13
13
13
1
cos(α − x) =
.
13
1
∈ [−1; +1] , on est sûr qu’il existe au moins une valeur β telle que
3. Comme
13
1
cos( β ) =
et l’équation devient cos(α − x) = cos( β ) dont les solutions sont
13
x = α + β + k .2π ou x = α − β + k .2π
4. On donne enfin des valeurs approchées de α et β … à l’aide d’une calculette :
α ≅ 0.9827937235 et β ≅ 1.289761425
La méthode générale de résolution de a.cos( x ) + b.sin( x ) = c
F-II.
1. On pose R = a 2 + b 2 et on divise les deux membres de l’équation par cette valeur.
2. On appelle α un réel tel que cos(α ) =
cos(α − x) =
a
b
et sin(α ) =
: l’équation devient
R
R
c
R
3. On distingue deux cas :
c
c
∈ [−1; +1] on pose cos( β ) = et les solutions de l’équation sont
R
R
 x = α + β + k .2π
 x = α − β + k .2π

Si
Sinon l’équation n’a pas de solution.
Page 5
F-III.
Exemples
Résolution de cos( x) + sin( x) =
2
2
1
1
1
.cos( x) +
.sin( x) =
2
2
2
π
π
1
2. α = , l’équation devient cos( x − ) =
4
4
2
1. R = 2 , l’équation s’écrit
7π

x=
+ k .2π

1
π
12
3. Comme ∈ [−1; +1] on peut trouver β … β = … solutions : 
2
3
 x = −π + k .2π

12
Résolution de cos( x) + sin( x) = 4 2
1. R = 2 , l’équation s’écrit
2. α =
π
4
1
1
.cos( x) +
.sin( x) = 4
2
2
, l’équation devient cos( x −
π
4
)=4
3. Comme 4 ∉ [ −1; +1] l’équation n’a pas de solution.
Résolution de 3cos( x) + 4 sin( x) = 1
1
1
1
.cos( x) + .sin( x) =
5
5
5
3
4
π
1
2. On pose cos(α ) = et sin(α ) = , l’équation devient cos(α − ) =
5
5
4
5
 x = α + β + k .2π
1
1
3. Comme ∈ [ −1; +1] on peut trouver β … cos( β ) = …solutions : 
5
5
 x = α − β + k .2π
4. α ≅ 0,9272952180 et β = 1,369438406
1. R = 5 , l’équation s’écrit
G. Transformation des expressions a.cos( x) + b.sin( x )
En électricité, on a souvent des tensions (ou des intensités) sinusoïdales. Lorsqu’on utilise une
combinaison linéaire de sin( x) et de cos( x) on peut remarquer que cette combinaison linéaire se
résume à une seule fonction cosinus ou sinus… mais avec un déphasage.


a
b
a.cos( x) + b.sin( x) = a 2 + b 2 . 
cos( x) +
sin( x) 
2
2
a2 + b2
 a +b

= a 2 + b 2 ( cos(α ).cos( x) + sin(α ).sin( x) )
π
= a 2 + b 2 cos(α − x) = a 2 + b 2 sin( + x − α )
2
π
= a 2 + b 2 cos( x − α ) = a 2 + b 2 sin( − x + α )
2
… Parmi ces quatre dernières expressions on choisit celle qui
convient le mieux aux calculs ou à l’interprétation.
Page 6