Fonctions trigonométriques – Compléments sur la dérivation

Fonctions trigonométriques – Compléments sur la dérivation
Chapitre 1
I.
Fonctions cosinus et sinus
1. Définitions
Définitions : Dans le repère orthonormé (𝑂; 𝐼, 𝐽), on considère un point 𝑀 image du réel 𝑥 sur le
cercle trigonométrique de centre 𝑂.
La fonction cosinus, notée 𝑐𝑜𝑠, est la fonction définie sur ℝ par 𝑐𝑜𝑠: 𝑥 ⟼ cos 𝑥.
La fonction sinus, notée 𝑠𝑖𝑛, est la fonction définie sur ℝ par 𝑠𝑖𝑛: 𝑥 ⟼ sin 𝑥.
2. Propriétés
a) Périodicité
Propriété : Pour tout réel 𝑥, sin(𝑥 + 2𝜋) = sin 𝑥 et cos(𝑥 + 2𝜋) = cos 𝑥.
On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 𝟐𝝅
(ou 𝟐𝝅- périodiques)
b) Parité
Propriété : Pour tout réel 𝑥, sin(−𝑥) = − sin 𝑥 et cos(−𝑥) = cos 𝑥.
La fonction sinus est dite impaire et la fonction cosinus est dite paire.
c) Conséquences graphiques
 Les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus sont invariantes par des
translations successives de vecteurs 2𝑘𝜋𝑖 où 𝑘 ∈ ℤ.
 La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine 𝑂 du
repère.
 La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées.
d) Généralisation
(Hors programme)
Soit 𝑓 une fonction définie sur une partie 𝐷 de ℝ et 𝒞 sa courbe représentative dans un repère
orthogonal (𝑂; 𝑖, 𝑗).
 𝑓 est une fonction paire si ∀𝑥 ∈ 𝐷, −𝑥 ∈ 𝐷 et ∀𝑥 ∈ 𝐷, 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥).
𝒞 est alors symétrique par rapport à l’axe (𝑂, 𝑗).
 𝑓 est une fonction impaire si ∀𝑥 ∈ 𝐷, −𝑥 ∈ 𝐷 et ∀𝑥 ∈ 𝐷, 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥).
𝒞 est alors symétrique par rapport à l’origine 𝑂.
 𝑓 est une fonction périodique de période 𝑻 (ou 𝑇- périodique) si ∀𝑥 ∈ 𝐷, 𝑥 + 𝑇 ∈ 𝐷 et
𝑥 − 𝑇 ∈ 𝐷 et ∀𝑥 ∈ 𝐷, 𝑓 𝑥 + 𝑇 = 𝑓(𝑥).
𝒞 est alors invariante par translation de vecteur 𝑇𝑖 ou −𝑇𝑖.
3. Dérivabilité
Propriété : Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ.
Pour tout réel 𝑥, on a : 𝒔𝒊𝒏′ 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 et 𝒄𝒐𝒔′ 𝒙 = − 𝐬𝐢𝐧 𝒙
(admise)
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Conséquence :
Démonstration :
𝐬𝐢𝐧 𝒙
=𝟏
𝒙⟶𝟎 𝒙
𝐥𝐢𝐦
On rappelle que si une fonction 𝑓 est dérivable en 𝑎 alors :
𝑓 𝑎+𝑕 −𝑓 𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)
lim
= lim
= 𝑓 ′ (𝑎)
𝑕⟶0
𝑥⟶𝑎
𝑕
𝑥−𝑎
Or, la fonction sinus est dérivable sur ℝ, donc dérivable en 0. On a alors:
sin 𝑥
sin 𝑥 − sin 0
lim
= lim
= 𝑠𝑖𝑛′ 0 = cos 0 = 1
𝑥⟶0 𝑥
𝑥⟶0
𝑥−0
4. Variations et représentations graphiques
 La fonction sinus est impaire et 2𝜋 – périodique donc on étudie la fonction sinus sur
l’intervalle 0; 𝜋 puis on complète par symétrie par rapport à l’origine pour avoir les résultats
sur [−𝜋; 𝜋] et par translations successives pour obtenir des résultats sur ℝ.
 La fonction cosinus est paire et 2𝜋 – périodique donc on étudie la fonction cosinus sur
l’intervalle 0; 𝜋 puis on complète par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées pour avoir
les résultats sur [−𝜋; 𝜋] et par translations successives pour obtenir des résultats sur ℝ.
Remarque : Le sens de variation des fonctions sinus et cosinus se retrouve par simple lecture sur le
cercle trigonométrique. Ces deux courbes s’appellent des sinusoïdes.
5. Applications
a) Etudier le signe d’une expression trigonométrique
Déterminer le signe de −2 sin 𝑥 + 3 sur l’intervalle ] − 𝜋; 𝜋].
b) Etudier une fonction trigonométrique
On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓 𝑥 = (1 − cos 𝑥) sin 𝑥.
(1) Démontrer que la fonction 𝑓 est 2𝜋 - périodique. Sur quel intervalle peut-on alors
étudier la fonction 𝑓 ?
(2) Etudier la parité de 𝑓. Justifier que l’on peut étudier 𝑓 sur l’intervalle [0; 𝜋].
(3) Justifier que 𝑓 est dérivable sur [0; 𝜋] et calculer 𝑓 ′ (𝑥).
(4) Démontrer que 𝑓 ′ 𝑥 = 1 + 2 cos 𝑥 (1 − cos 𝑥).
(5) En déduire le sens de variation de 𝑓 sur [0; 𝜋].
pl
(6) Compléter le graphique ci-dessous pour avoir la représentation graphique complète
de la fonction 𝑓.
2
1
0
-
-
2

2
0

2
3
2
5
2
3
-1
-2
Objectifs : Je dois :
 Connaître la dérivée des fonctions sinus et cosinus.
 Connaître quelques propriétés de ces fonctions, notamment parité et périodicité.
 Connaître les représentations graphiques de ces fonctions.
II.
Calculs de dérivées : compléments
1. Dérivée de la fonction 𝑥 ⟼
𝑢(𝑥)
Propriété : Soit 𝑢 une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle 𝐼.
La fonction 𝑓: 𝑥 ⟼
𝑢(𝑥) est dérivable sur 𝐼 et ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝒇′ 𝒙 =
2. Dérivée de la fonction 𝑥 ⟼ 𝑢 𝑥
𝒖′ (𝒙)
𝟐 𝒖(𝒙)
.
(admise)
𝑛
Propriété : Soit 𝑛 ∈ ℤ∗ . Soit 𝑢 une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼, ne s’annulant pas sur 𝐼
(admise)
(admise)
lorsque 𝑛 < 0. La fonction 𝑓: 𝑥 ⟼ 𝑢 𝑥
∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝒇′ 𝒙 = 𝒏 × 𝒖′ (𝒙) × 𝒖 𝒙
𝒏−𝟏
𝑛
est dérivable sur 𝐼 et
.
3. Dérivée de la fonction 𝑥 ⟼ 𝑢 𝑎𝑥 + 𝑏
Théorème : Soit 𝑢 une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼 et 𝑎 et 𝑏 deux réels.
La fonction 𝑓: 𝑥 ⟼ 𝑢(𝑎𝑥 + 𝑏) est dérivable sur tout intervalle 𝐽 tel que
𝑎𝑥 + 𝑏 ∈ 𝐼 et ∀𝑥 ∈ 𝐽, 𝒇′ 𝒙 = 𝒂 × 𝒖′ (𝒂𝒙 + 𝒃) .
Conséquence:
(admis)
On considère 𝑎 et 𝑏 deux réels.
 La fonctions 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓 𝑥 = sin 𝑎𝑥 + 𝑏 est dérivable
sur ℝ et pour tout réel 𝑥, on a : 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑎 cos(𝑎𝑥 + 𝑏)
 La fonction 𝑔 définie sur ℝ par 𝑔 𝑥 = cos(𝑎𝑥 + 𝑏) est dérivable
sur ℝ et pour tout réel 𝑥, on a : 𝑔′ 𝑥 = −𝑎 sin(𝑎𝑥 + 𝑏)
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4. Généralisation : Dérivée de la fonction 𝑥 ⟼ 𝑓 𝑢 𝑥
(Hors Programme)
Les propriétés précédentes sont en fait des cas particuliers de la dérivée d’une fonction composée
définie par 𝑥 ⟼ 𝑓 𝑢 𝑥 = 𝑓 ∘ 𝑢 𝑥 . On lit "𝑓 𝑟𝑜𝑛𝑑 𝑢".
On admet le résultat suivant :
Si 𝑢 est dérivable sur un intervalle 𝐼 et si 𝑓 est dérivable sur un intervalle 𝐽 tel que 𝒖(𝑰) ⊂ 𝑱 alors la
fonction 𝑓 ∘ 𝑢 composée de 𝑢 suivie de 𝑓 est dérivable sur 𝐼 et
∀𝑥 ∈ 𝐼, (𝒇 ∘ 𝒖)′ 𝒙 = 𝒇 𝒖 𝒙
′
= 𝒖′ (𝒙) × 𝒇′ 𝒖 𝒙
.
5. Applications
Méthode :
Pour dériver une fonction composée, il faut :
 Reconnaitre le type de composée ( 𝑢, 𝑢𝑛 𝑜𝑢 𝑥 ⟼ 𝑢 𝑎𝑥 + 𝑏 ) et identifier 𝑢 ;
 Déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité de 𝑓 ;
 Calculer 𝑢′ (𝑥) et appliquer la formule de dérivation qui convient.
Exemples :
Préciser sur quel(s) intervalle(s) les fonctions 𝑓 suivantes sont dérivables et calculer leur
dérivée 𝑓′ :
(1) a) 𝑓 𝑥 =
1
b) 𝑓 𝑥 =
𝑥
(2) a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 5
2
(3) a) 𝑓 𝑥 = (5𝑥 − 1)3
𝜋
(4) 𝑎) 𝑓 𝑥 = sin( 2 − 𝑥)
𝑥² − 2𝑥 − 3
b) 𝑓 𝑥 =
1
2𝑥 2 +3 3
1
b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥−5
𝑥
𝑏) 𝑓 𝑥 = cos(2 + 1)
Objectifs : Je dois :
 Savoir calculer la dérivée d’une fonction 𝑥 ⟼ 𝑢(𝑎𝑥 + 𝑏) où 𝑢 est une fonction
dérivable, 𝑎 et 𝑏 deux nombres réels.
 Savoir calculer les dérivées des fonctions : 𝑥 ⟼
𝑢(𝑥) et 𝑥 ⟼ 𝑢 𝑥
𝑛
où 𝑛 ∈ ℤ∗ .
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