TD d`Analyse Spectrale 1 Opérateurs et spectre 2

FIMFA, Mai 2006
Rachel Ollivier
TD d’Analyse Spectrale
-IV-
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Opérateurs et spectre
Soit H un espace de Hilbert complexe.
1. Soient A, B ∈ L(H) deux opérateurs hermitiens positifs qui commutent. Montrer que
AB est un opérateur hermitien positif.
2. Soit T ∈ L(H) un opérateur normal dont le spectre contient exactement 3 points
{λ1 , λ2 , λ3 }. Montrer qu’il existe une décomposition orthogonale H = E1 ⊕ E2 ⊕ E3
telle que pour chaque j = 1, 2, 3 on a Ej 6= {0} et T agit sur Ej comme l’homothétie de
rapport λj .
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Un opérateur compact
On désigne par H l’espace de Hilbert complexe L2 ([0, π/2], µ) où µ est la mesure de Lebesgue
sur [0, π/2]. Pour tout f ∈ H, on définit une fonction T f sur [0, π/2] : pour x ∈ [0, π/2],
Z
x
(T f )(x) = sin(x)
Z
cos(t)f (t)dt + cos(x)
0
π/2
sin(t)f (t)dt.
x
1. Vérifier que l’on définit ainsi un opérateur hermitien de H.
2. Montrer que T est un opérateur compact.
3. Montrer que si f est continue, alors T f est de classe C 2 sur [0, π/2] et la fonction G = T f
vérifie l’équation différentielle G00 + G = f , avec les conditions G0 (0) = G0 (π/2) = 0.
4. Déterminer les valeurs propres non nulles de T , les vecteurs propres correspondant.
Déterminer le spectre de T .
5. Soient f ∈ H et (fn )n une suite de fonctions continues telle que fn → f dans H. On
pose G = T f et Gn = T fn pour tout n ≥ 0.
(a) Montrer que la suite (G0n )n converge uniformément sur [0, π/2] vers la fonction K
définie par
Z x
K(x) =
(−G(t) + f (t))dt.
0
En déduire que G est de classe
C1
sur [0, π/2].
(b) Montrer que T est injectif.
(c) Donner une base orthonormée formée de vecteurs propres pour T .
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3
Décomposition spectrale en dimension finie
On rappelle qu’une matrice N ∈ Mn (C) est normale si et seulement s’il existe une matrice
unitaire U ∈ Mn (C) telle que U N U ∗ est diagonale. Soit H un espace hilbertien de dimension
finie n et T ∈ L(H) normal. On sait qu’il existe (de façon non unique) un espace topologique
localement compact Y , une mesure de Radon µ sur Y , un isomorphisme unitaire u : H →
L2 (Y, µ), et une fonction ϕ ∈ L∞ (Y, µ) tels que uT u∗ est l’opérateur de multiplication par ϕ.
Donner, en fonction des éléments de réduction de T , un tel Y , une telle mesure µ, un tel u, et
une telle fonction ϕ.
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Décomposition spectrale, valeurs propres, et spectre
Soient H un espace hilbertien et T ∈ L(H) normal. On sait qu’il existe (de façon non unique)
un espace topologique localement compact Y , une mesure de Radon µ sur Y , un isomorphisme
unitaire U : H → L2 (Y, µ), et une fonction ϕ ∈ L∞ (Y, µ) tels que U T U ∗ est l’opérateur de
multiplication par ϕ.
1. Montrer que pour tout λ ∈ C,
ker(T − λ) = U ∗ ({f ∈ L2 (Y, µ) ; f = f χϕ−1 ({λ}) µ-p.p.}).
En déduire que λ est valeur propre de T si et seulement si µ(ϕ−1 ({λ})) > 0.
2. Donner un exemple d’opérateur normal sur un espace hilbertien sans valeurs propres.
Remarque : Ainsi, il apparaît que l’idée que tout opérateur normal T sur un espace
de Hilbert H est “diagonalisable sur une base hilbertienne” (i.e qu’il existe une base
hilbertienne de H de vecteurs propres pour T ) est fausse si H est de dimension infinie.
Toutefois ce résultat est vrai si l’on suppose T compact (donc à fortiori si H est de
dimension finie). La dernière question de cet exercice montre qu’en dimension infinie,
on peut décomposer l’espace en somme directe orthogonale de sous-espaces fermés stables
par T sur lesquels T est “approximativement” une homothétie.
3. On appelle image essentielle de ϕ l’ensemble noté Ime (ϕ) des λ ∈ C tels que pour tout
ε > 0,
µ(ϕ−1 (B(λ, ε))) > 0.
Notons que l’image essentielle est bien définie, i.e ne dépend pas du représentant de ϕ
dans l’ensemble des fonctions mesurables µ-presque partout bornées.
Montrer que
Sp(T ) = Ime (ϕ).
4. Montrer que ϕ possède, comme élément de L∞ (Y, µ), un représentant dont l’image est
contenue dans Sp T .
5. Montrer que pour tout ε > 0, on peut décomposer H en une somme directe orthogonale
finie de sous espaces fermés stables par T
H = H1 ⊕ · · · ⊕ H n
tels que pour tout i = 1, . . . , n, il existe λi ∈ Sp(T ) tel que l’endomorphisme Ti induit
par T sur Hi vérifie
||Ti − λi || ≤ ε.
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Calcul fonctionnel borélien et décomposition polaire
Soient H un espace hilbertien, et T ∈ L(H) un opérateur normal. Trouver une fonction
borélienne sur Sp T telle que u = f (T ) où T = u|T | est la décomposition polaire de T .
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Opérateurs compacts et calcul fonctionnel
1. Soient H un espace hilbertien et T ∈ L(H) un opérateur hermitien. Montrer que T est
un opérateur compact si et seulement si, pour tout intervalle compact [a, b] ne contenant
pas 0, χ[a,b] (T ) est un opérateur de rang fini où χ[a,b] est la fonction caractéristique de
[a, b].
2. Soient H et H 0 deux espaces hilbertiens. Pour T ∈ L(H, H 0 ), les propriétés suivantes
sont équivalentes :
(a) T compact.
(b) T H ne contient aucun sous-espace fermé de dimension infinie.
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