1 Espaces de Hilbert 2 Opérateurs, spectre et compacité

Université Pierre et Marie Curie
Master de Mathématiques, M1
Analyse réelle, MM003
Année universitaire 2010-2011
Ayman Moussa
TD no 3 – Espaces de Hilbert. Opérateurs.
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Espaces de Hilbert
Exercice 1.1:
Soit H un espace de Hilbert.
1. Soit K ⊂ H un compact. Démontrer qu’une suite de K faiblement convergente (dans H) est
fortement convergente.
2. Vérifier que toute suite faiblement convergente de H est bornée et donner une estimation de la
borne.
3. Que dire de la suite (hxn , yn i)n∈N si (xn )n∈N converge faiblement vers x ∈ H et (yn )n∈N converge
fortement vers y ∈ H ? Et si les deux suites convergent faiblement ?
4. Vérifier que pour T ∈ L (H), et toute suite (xn )n∈N de H, on a
n
o
n
o
xn ⇀ x
=⇒ T (xn ) ⇀ T (x) .
n→∞
n→∞
Exercice 1.2:
Soit H un espace de Hilbert et (xn )n∈N une suite bornée de H. Le but de cet exercice est de montrer
que l’on peut extraire une sous-suite faiblement convergente de (xn )n∈N .
1. Supposons que H soit séparable. Soit D une partie dense dénombrable de H. Montrer qu’on peut
extraire de (xn )n∈N une sous-suite (xnk )k∈N telle que pour tout z ∈ Vect(D), la suite (hxn , zi)n∈N
converge vers un élément ℓ(z) ∈ K.
Indication : Un seul mot : « diagonale ».
2. Montrer que la convergence du crochet a en fait lieu pour tout z ∈ H.
3. Montrer que l’application ℓ ainsi définie est une forme linéaire continue et conclure.
4. Comment faire dans le cas non séparable ?
Exercice 1.3:
Montrer que si T ∈ L (H) est normal, alors kT 2 k = kT k2.
Indication : Penser à se ramener au cas auto-adjoint qui se traite plus facilement.
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Opérateurs, spectre et compacité
Exercice 2.4: Opérateurs compacts
Soient E un espace de Banach de dimension infinie et F un espace normé quelconque. On pourra
utiliser un résultat de continuité automatique pour cet exercice.
1. Soit T ∈ L (E, F ) inversible et continu. Montrer que T n’est pas compact.
2. On suppose cette fois-ci que pour tout x ∈ E, kT (x)kF ≥ CkxkE pour une certaine constante
positive C > 0. Montrer que T n’est pas compact.
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Exercice 2.5: Spectre continu, pas de valeurs propres
On considère l’opérateur fonctionnel
T : C 0 ([0, 1], R) −→ C 0 ([0, 1], R)
f 7−→ xf.
Déterminer σ(T ) et vp(T ). T est-il compact ?
Exercice 2.6: Opérateurs diagonaux
Soit p ∈ [1, ∞[. Soit (an )n∈N ∈ ℓ∞ (C), on définit
T : ℓp (C) −→ ℓp (C)
(un )n∈N 7−→ (an un )n∈N .
1. Vérifier que T est bien un endomorphisme continu de ℓp (C).
2. Montrer que T est compact si et seulement si lim an = 0.
n→∞
Exercice 2.7: Shifts
Soit S le shift à droite sur ℓ2 (C), i.e. l’unique opérateur linéaire continu vérifiant S(en ) = en+1 , où
n
↓
(en )n∈N est la base hilbertienne canonique de ℓ (C) : en := (0, . . . 0, 1, 0, 0, . . . ).
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1. Déterminer l’adjoint de S.
2. Expliquer pourquoi S n’est pas compact.
3. Déterminer les valeurs propres de S et S ∗ .
4. Montrer que le spectre de S et de S ∗ est inclus dans le disque unité fermé.
P n
Indication : On pourra vérifier que la série n Sλn converge dès lors que |λ| > 1 et en déduire que
S − λIdℓ2 (C) est inversible (ou tout simplement invoquer la formule du rayon spectral !).
5. Vérifier que le spectre de S ∗ contient le disque unité ouvert puis finalement que σ(S) = σ(S ∗ ) = D
(disque unité fermé).
Exercice 2.8:
Soit H un espace de Hilbert. Montrer que T ∈ L (H) est compact si et seulement si l’image par T
de toute suite de E convergeant faiblement vers 0 est une suite convergeant fortement vers 0.
Indication : On pourra utiliser certains résultats obtenus dans les deux premiers exercices de la section 1.
Exercice 2.9: Théorème spectral dans le cas compact auto-adjoint
Dans tout ce qui suit, on fixe un espace de Hilbert séparable H et un opérateur compact T ∈ L (H)
auto-adjoint : T = T ∗ . Le but de l’exercice est de démontrer l’existence d’une base hilbertienne (en )n∈N
de H et d’une suite (λn )n∈N Rn tendant vers 0 telle que T (en ) = λn en pour tout n.
1. Vérifier que si λ1 6= λ2 sont deux valeurs propres associés à deux vecteurs propres e1 et e2 de T ,
alors e1 et e2 sont orthogonaux.
2. Montrer que vp(T ) ⊂ R en utilisant l’auto-adjonction de T .
3. Soit ε > 0. Montrer que Iε := {λ ∈ vp(T ) : |λ| ≥ ε} est fini.
Indication : Dans le cas contraire exhiber une suite de vecteurs propres infinie et orthonormée puis
utiliser la compacité prétendue de T .
4. En déduire que vp(T ) est au plus dénombrable et que le seul point d’accumulation possible est 0. On
notera donc vp(T ) = {λ1 , . . . , λn , . . .} de sorte que cette suite est soit stationnaire soit convergente
vers 0.
5. On pose F = Vect{Eλ : λ ∈ vp(T )}, où Eλ := Ker(T − λIdH ) désigne l’espace propre associé à
λ ∈ vp(T ). Montrer que F est stable par l’opérateur T . L’opérateur induit T|F est alors clairement
diagonalisable. Montrer que T stabilise également F ⊥ .
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6. Supposons maintenant l’existence d’un opérateur auto-adjoint T ∈ L (H), tel que vp(T ) = ∅.
(a) On pose M := supkxk=1 hT (x), xi < ∞. Soit alors une suite (xn )n∈N telle que kxn k = 1 et
lim hT (xn ), xn i = M . Pourquoi peut-on extraire de (xn )n∈N une sous-suite (xnk )k∈N convern→∞
geant faiblement vers x ∈ H et telle que (T (xnk ))k∈N converge fortement vers y ∈ H ?
(b) Montrer qu’alors y = T (x) et kxk ≤ 1.
(c) En déduire que hT (x), xi = M et kxk = 1.
(d) Soit z ∈ hxi⊥ . Montrer que pour tout t ∈ R, hT (x + tz), x + tzi ≤ hT (x), xikx + tzk2 . En
déduire que Re(hz, T (x)i) = 0.
(e) En déduire que hz, T (x)i = 0 dès lors que z ∈ hxi⊥ , puis que T (x) et x sont proportionnels et
conclure.
Exercice 2.10:
Soit K ∈ C 0 ([0, 1]2 , R). Dans la suite on note E = C 0 ([0, 1], R) et H = L2 (]0, 1[). On considère
l’opérateur à noyau (K est le noyau de l’opérateur)
TK : E −→ E
Z 1
f 7−→
K(x, y)f (y)dy
0
1. Montrer en utilisant le théorème d’Ascoli que TK est un endomorphisme compact de E.
2. Nous allons prouver la compacité de TK par une autre méthode qui s’appliquera dans le cadre
L2 (]0, 1[).
(a) En utilisant le théorème de Stone-Weirestrass montrer qu’il existe une suite de noyaux de la
forme
Kp (x, y) :=
p
X
ak (x)bk (y),
k=1
où ak , bk ∈ C 0 ([0, 1]), tels que lim Kp = K, la convergence étant uniforme sur le carré [0, 1]2 .
p→∞
(b) Montrer que pour tout p ∈ N, l’opérateur TKp est de rang fini et que la suite (TKp )p∈N converge
vers TK dans L (H).
(c) Vérifier que TK s’étend naturellement en un opérateur de L (H). Montrer qu’il est également
compact dans cet espace et calculer son adjoint.
3. Étudions maintenant le cas particulier où K(x, y) = e−|x−y|. On considère dans toute la suite TK
comme opérateur de L (H), i.e.
TK : H −→ H
Z 1
f 7−→
K(x, y)f (y)dy.
0
(a) Vérifier que TK est auto-adjoint et montrer que kTK k ≤ 1.
(b) Soit f ∈ E et g = TK (f ). Montrer que g ∈ C 2 ([0, 1]) et que
∀x ∈ [0, 1],
g ′′ (x) − g(x) = −2f (x),
g(0) = g ′ (0),
g(1) = −g ′ (1).
(c) Montrer que TK (E) = {g ∈ C 2 ([0, 1]) : g(0) = g ′ (0), g(1) = −g ′ (1)} et TK (H) ⊂ E.
Indication : Pour la première partie, poser f = −(g ′′ − g)/2 et raisonner sur h = g − T (f ) pour
aboutir à T (f ) = g.
(d) Montrer que Im(TK ) est dense dans H et en déduire que 0 n’est pas valeur propre de T . Est-ce
que 0 appartient au spectre de T ?
Rappel : On rappelle que C0∞ (]0, 1[) (fonctions plateaux) est dense dans H.
3
(e) Montrer que si f ∈ E et g = T (f ),
hTK (f ), f i =
1
kgk2 + kg ′ k2 + |g(1)|2 + |g(0)|2 ,
2
et en déduire que pour tout f ∈ H,
hT (f ), f i ≥
1
kT (f )k2.
2
(f) Démontrer que σ(TK ) ⊂ [0, 1]. L’égalité est-elle possible ?
r
2−λ
(g) Pour λ ∈]0, 1] on pose aλ :=
. Démontrer que
λ
λ ∈ σ(TK ) ⇐⇒ (1 − a2λ ) sin(aλ ) + 2aλ cos(aλ ) = 0,
et en déduire que σ(TK ) = {0} ∪ {λn }n∈N avec
2
2
< λn <
.
2
1 + (π/2 + nπ)
1 + (nπ)2
4