Mathématiques pour la mécanique quantique Responsable(s) : Xavier Bay DESCRIPTION GENERALE En mécanique quantique, l'état d'un système physique est décrit par une fonction d'onde. Cette fonction peut être vue comme un point dans un espace (vectoriel) comme en mécanique classique sauf que ce point (ou vecteur) vit en réalité dans un espace de dimension infinie, puisqu'il s'agit d'un espace (linéaire) de fonctions. Il se trouve que la vision euclidienne classique peut être prolongée aux espaces de la mécanique quantique, grâce au concept central d'espace de Hilbert : espace vectoriel normé complet dont la norme (métrique) est issue d'un produit scalaire comme pour les espaces euclidiens. Les espaces de Hilbert usuels sont construits grâce à la théorie de l'intégrale de Lebesgue. Un premier travail sera de voir comment une fonction d'onde dans un espace de Hilbert peut être décrite par un système infini (mais souvent discret) de coordonnées grâce à la notion de base orthonormée ou base hilbertienne. Cela permettra également d'interpréter dans le formalisme de la mécanique quantique une fonction d'onde comme une superposition infinie d'états avec des probabilités a priori (en dehors de toute mesure) plus ou moins importantes. La cohérence d'un tel formalisme sera assurée par la relation de Bessel-Parseval. Par ailleurs, l'analyse de Fourier apparaîtra comme un cas très particulier. Un second travail va s'attacher à décrire simplement une classe suffisamment riche d'applications linéaires (ou opérateurs sur un espace de Hilbert) en terme de décomposition spectrale comme dans le cas de la dimension finie. Dans le formalisme de la mécanique quantique, cela permettra d'analyser le résultat d'une mesure ou observable puisque cette dernière est "naturellement" associée à un opérateur auto-adjoint... Enfin, l'exemple de l'oscillateur harmonique quantique sera étudié en détails pour illustrer les différents concepts, en particulier de symétrie et de compacité d'un opérateur.. MOTS-CLES espace de Hilbert, base hilbertienne, opérateur, spectre d'un opérateur NOMBRE D’HEURES A L’EMPLOI DU TEMPS 12 DOMAINE(S) OU CHAMPS DISCIPLINAIRES Chimie, génie des procédés, Matériaux, Mathématiques LANGUE D’ENSEIGNEMENT Français OBJECTIFS D’APPRENTISSAGE A la fin de l’unité pédagogique, l’élève sera capable de : d'appréhender la géométrie dans les espaces de Hilbert comme extension de la géométrie 3D usuelle Niveau de taxonomie 2. Comprendre faire la décomposition d'un vecteur sur une base hilbertienne 3. Appliquer Priorité Important Essentiel d'analyser la décomposition spectrale de certains opérateurs auto-adjoints 4. Analyser Utile d'étudier un cas simple d'opérateur issu de la mécanique quantique 4. Analyser Utile MODALITES D’EVALUATION DES APPRENTISSAGES Part de l’évaluation individuelle Examen sur table : 100 % Part de l’évaluation collective Livrable(s) de projet : 0 % Examen oral individuel : 0 % Exposé collectif : 0 % Exposé individuel : 0 % Exercice pratique collectif : 0 % Exercice pratique individuel : 0 % Rapport collectif : 0 % Rapport individuel : 0 % Autre(s) :0 PROGRAMME ET CONTENUS 0 % Type d’activité pédagogique Cours Contenu, séquencement et organisation Introduire à la géométrie dans des espaces de dimension infinie avec le cas des espaces fonctionnels Définir les espaces de Hilbert et la décomposition sur une base orthonormée ou base hilbertienne Travaux Dirigés Construction de bases orthonormées pour des espaces de fonctions usuels à partir du procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt Cours Définir et étudier certains opérateurs auto-adjoints sur un Hilbert. Expliquer la notion topologique de compacité et le rôle central de cette notion en dimension infinie : un opérateur auto-adjoint et compact a un spectre discret Travaux Dirigés Etude de l'oscillateur harmonique quantique...