Exercices supplémentaires de trigonométrie

Exercices supplémentaires de trigonométrie
1. Calcule après avoir réduit au premier quadrant à l'aide des angles associés:
a) sin(4π/3)
e) cot(-23π/6)
i) sin(225°)
b) cos(5π/3)
f) sin(510°)
j) cot(300°)
c) sin(330°)
g) cos(-510°)
k) cos(-315°)
d) tan(11π/6)
h) tan(225°)
2. Simplifie sans utiliser de calculatrice, et justifie :
cos −20 ° 
3
cos

a)
5
cos 160 ° 
c)
sin 100 °

sin  
b)
cos −10 ° 
10
3. Sachant que cos α = 4/5 et ∈[ 3  ; 2  ] , calcule:
2
a) cos(-α)
d) cos(α + π)
b) sin α
e) tan α
c) cos(α- π)
4. Sachant que sin 37° = 3/5, calcule:
a) cos 37°
b) sin 143°
c) sin 323°
d) tan 143°
e) sin 217°
5. Simplifie le plus possible:
a) sin(90°-α) – cos(180°+α)

sin  −
2
b)
sin−

cos  
2
c)

cos  −
2

sin  − .cos 
2
d)
cos− . tan
sin(90 ° −α) . tan( 45 °+α)
e)
cos(360° −α). tan (225 °+α)
f) sin(α-90°)
g) cos(α-90°)
h) cos(-180° + α)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
sin(-270° - α)
tan(α-360°)
sin(540°+α)
tan(720° - α)
cos(-450°-α)
sin(-540° - α)
sin−
. tan 90 °−
cos −
sin(π/2 – α).cos α + cos(π/2 – α).sin α
sin (−a) . sin(90 ° +a ). cos (−a)
cos (180 °+a). cos( 270 °−a)
3
sin −a . cot 
−a . cos a−2  
2
3

tana . tan a . cos
a
2
2
6. Etablis les formules donnant les nombres trigonométriques de (270°-α) en fonction de α.
7. Etablis les formules donnant les nombres trigonométriques de (90°+α) en fonction de α.
8.Etablis les formules donnant les nombres trigonométriques de (270°+α) en fonction de α.
4M5 - Exercices supplémentaires de trigonométrie - 12/12/11
1
9. Soient les trois angles α, β et γ tels que α+β+γ=180°. Calculer sin(β+γ) et sin 
 
 en
2
fonction des nombres trigonométriques de α ou d'un multiple de α.
10. Montrer que l'angle opposé du supplémentaire de l'angle orienté α est l'angle antisupplémentaire de α
11. Vrai ou faux ?
a) Quelle que soit l'amplitude α, sin(-α) = -sin(α)
b) Quelle que soit l'amplitude α, cos(-α) = -cos(α)
c) Quelle que soit l'amplitude α, sin(2α) = 2.sin(α)
d) Quels que soient a et b, sin(a+b) = sin(a)+sin(b)
e) Quel que soit a, tan a = sin(a)/cos(a)
f) sin 80° > sin 50°
g) sin 130° > sin 100°
h) Si a > b alors sin a > sin b
i) cos 80° > cos 50°
j) cos 130° > cos 100°
k) cos 280° < cos 300°
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2
Exercices supplémentaires de trigonométrie: Corrigé
1. Calcule après avoir réduit au premier quadrant à l'aide des angles associés:
g) cos(-510°)=cos(-150°) = -cos(30°) =
√3
a) sin(4π/3) = -sin(π/3) = −
− 3
2
(+1 tour, puis antisuppl.)
(antisuppl.)
2
b) cos(5π/3) = cos(π/3) = 0,5 (opposés)
h) tan(225°)=tan(45°) =1 (antisuppl.)
c) sin(330°) = sin(-30°) = -sin(30°) = -0,5
√2
i) sin(225°) = -sin(45°) = −
(opposés)
2
3
√
j) cot(300°) = cot(120°) = -cot(60°) =
d) tan(11π/6)=-tan(π/6)= −
(opposés)
3
− 3
(antisuppl. puis suppl.)
e) cot(-23π/6)=cot(π/6) =  3 (+ 2 tours)
3
f) sin(510°)=sin(150°) = sin(30°) = 0,5 (-1
 2 (opposés).
k) cos(-315°) = cos(45°)=
tour, puis suppl).
2
2. Simplifie sans utiliser de calculatrice, et justifie :
−cos180 °−20 °  −cos 160 ° 
cos−20 ° 
=
=−1 (20° et 180°-20° sont antisuppl.)
a)
=
cos 160 ° 
cos 160 ° 
cos 160 ° 
cos 90° −100 °  cos −10 °
sin 100 °
=
=1 (100° et 90°-100° sont opposés)
b)
=
cos−10 ° 
cos −10° 
cos −10 °
 3
−

3
sin  −
 sin
 −sin  
cos

2
5
10
10
5
c)
=
=
=
=−1




sin  
sin  
sin  
sin 
10
10
10
10
(3π/5 et π/2-3π/5 sont complémentaires, π/10 - -π/10 sont opposés).
3. Sachant que cos α = 4/5 et ∈[ 3  ; 2 ] , calcule:
2
a) cos(-α) = cos α = 4/5
b) sin α:
sin2 α = 1 – cos2 α = 1 – 16/25 = 9/25.
Dans le 4e quadrant, le sinus est négatif, donc sin α = -3/5
c) cos(α- π) = cos(π-α) = -cos α = -4/5
d) cos(α + π) = - cos α = -4/5
e) tan α = sin  = −3
cos  4
4. Sachant que sin 37° = 3/5, calcule:
a) cos 37°:
cos2 37° = 1 – 9/25 = 16+25
cos 37° = +4/5 (dans le premier quadrant, le cosinus est positif)
b) sin 143° = sin(180° - 37°) = sin 37° = 3/5
c) sin 323° = sin(360° - 37°) = sin(-37°) = -sin(37°) = -3/5
sin 143°
d) tan 143° =
cos 143°
sin 143° = 3/5 (cf. b)
cos2 143° = 1 – 9/25 = 16/25.
cos 143° = -4/5 (dans le second quadrant, le cosinus est négatif)
3
5
−3
=
tan 143° =
−4
4
5
e) sin 217° = sin(180° + 37°) = -sin 37° = -3/5
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5. Simplifie le plus possible:
a) sin(90°-α) – cos(180°+α) = cos(α -(-cos α) = 2 cos α

sin  −
cos 
−1
=
=−cot 
2
b)
=
−sin  tan 
sin−

cos 

−cos − 
−cos  −
2
2
c)
=
2
−sin 

=
=
=−1
cos −
sin 
sin 
sin 
2

sin  −. cos 
cos  .−cos  cos 
2
=
d)
=
−cos . tan  tan 
cos−. tan
e)
sin(90 ° −α). tan(45 °+α)
cos (α) . tan (45 ° +α)
cos(α ). tan( 45°+α)
=
=
=1
cos( 360° −α) . tan (225 °+α) cos (−α). tan(180 ° +45 ° +α) cos(α ). tan( 45°+α)
f) sin(α-90°) = -sin(90° - α) = - cos α
k) sin(540°+α) = sin(180°+α) = -sin α
g) cos(α-90°) = cos(90°-α) = sin α
l) tan(720° - α) = tan(-α) = -tan(α)
h) cos(-180° + α) = cos(180° - α) = - cos α
m) cos(-450°-α) = cos(-90°-α) =
i) sin(-270° - α) = sin(360°-270°-α) =
-cos(180°-90°-α) = -cos(90°-α)=-sin α
sin(90°-α)=cos α
n) sin(-540° - α) = sin(-180°-α) =j) tan(α-360°) = tan α
sin(180°+α)=sin α
sin−
−sin 
.cot =−tan  . cot =−1
. tan90 ° − =
o)
cos 
cos−
p) sin(π/2 – α).cos α + cos(π/2 – α).sin α=cos(α).cos(α) + sin(α).sin(α) = 1.
q)
sin (−a) . sin(90 ° +a ). cos (−a) −sin (a ). sin (180 °−(90 °+a)). cos a
=
cos (180 °+a) . cos(270 °−a)
−cos a.(−cos (90 °−a))
−sin (a ). sin( 90° −a).cos ( a) −sin(a). cos(a) . cos( a)
=
=
=−cos (a)
−cos( a) .(−sin( a))
−cos( a).(−sin a )
r)
3π
3π
sin (a). cot π+
−a . cos(a)
sin( π−a). cot( −a ). cos (a−2 π)
2
2
=
3π
π
tan( π+a). tan( +a). cos( +a) tan( a). −tan π− π +a . cos 2 π− 3 π +a
2
2
2
2
π
sin (a ). cot −a . cos (a)
2
sin (a ). tan( a) .cos (a)
cos( a)
=
=
=
=−sin a
π
π
tan (a). −tan −a . cos −a tan( a). (−cot (a) ) . sin(a ) −cot (a)
2
2
6. Etablis les formules donnant les nombres trigonométriques de (270°-α) en fonction de α.
270°-α = 180° + (90°-α) (antisupplémentaire du complémentaire de α)
sin(270°-α) = sin(180°+(90°-α) = -sin(90°-α) = -cos α
cos(270°-α) = cos(180°+(90°-α) = -cos(90°-α) = -sin α
tan(270°-α) = tan(180°+(90°-α) = tan(90°-α) = cot α
cot(270°-α) = cot(180°+(90°-α) = cot(90°-α) = tan α
  


( (
))
( ( ( ))) ( (
(
( )
( )) (
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))
)
4
7. Etablis les formules donnant les nombres trigonométriques de (90°+α) en fonction de α.
90°+α =180°-(90°+α) (supplémentaire du compléntaire de α)
sin(90°+α) = sin(180° - (90° + α)) = sin(90°+α) = cos(α)
cos(90°+α) = cos(180° - (90° + α)) = -cos(90°+α) = -sin(α)
tan(90°+α) = tan(180° - (90° + α)) = -tan(90°+α) = -cot(α)
cot(90°+α) = cot(180° - (90° + α)) = -cot(90°+α) = tan(α)
8.Etablis les formules donnant les nombres trigonométriques de (270°+α) en fonction de α.
270°+α = 180° + (90°+α)
sin(270°+α) = sin(180°+(90°+α) = -sin(90°+α) = -cos α
cos(270°+α) = cos(180°+(90°+α) = -cos(90°+α) = sin α
tan(270°+α) = tan(180°+(90°+α) = tan(90°+α) = -cot α
cot(270°+α) = cot(180°+(90°+α) = cot(90°+α) = -tan α

 en
9. Soient les trois angles α, β et γ tels que α+β+γ=180°. Calculer sin(β+γ) et sin
2
fonction de α.
sin(β+γ)=sin(180°-α) = sin α

180° −


sin
=sin
=sin 90 ° − =cos
2
2
2
2
  
 
 
10. Montrer que l'angle opposé du supplémentaire de l'angle orienté α est l'angle antisupplémentaire de α
Une amplitude de l'opposé de α est 180°-α.
Une amplitude du supplémentaire de (180°-α) = -180°+α
Une autre amplitude de -180°+α est 180°+α (en ajoutant 360°)
180°+α est bien l'antisupplémentaire de α.
11. Vrai ou faux ?
a) Quelle que soit l'amplitude α, sin(-α) = -sin(α)
b) Quelle que soit l'amplitude α, cos(-α) = -cos(α)
c) Quelle que soit l'amplitude α, sin(2α) = 2.sin(α)
d) Quels que soient a et b, sin(a+b) = sin(a)+sin(b)
e) Quel que soit a, tan a = sin(a)/cos(a)
f) sin 80° > sin 50°
g) sin 130° > sin 100°
h) Si a > b alors sin a > sin b
i) cos 80° > cos 50°
j) cos 130° > cos 100°
k) cos 280° < cos 300°
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