La trigonométrie- Die Trigonometrie

Théorie: trigonométrie dans les triangles rectangles
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La trigonométrie
Mot grec : trigonon = le triangle metria = mesure
Le but c’est le calcul de la longueur des côtés (Seiten, le côté) et la grandeur des angles
(Winkel) d’un triangle quelconque (beliebiges Dreieck)
Idées de base
 Si la construction d’un triangle est bien définie, on peut calculer tous les angles et tous les
côtés (le côté= Seite). Si la construction géométrique permet deux solutions il y en a aussi
deux solutions algébriques.
 Pour un triangle quelconque il faut avoir au moins 3 informations. Pour un triangle
rectangle 2 informations (+l’angle droit = rechter Winkel) sont suffisantes.
 Il y a plusieurs cas spécifiques (Spezialfälle) de triangles
triangle rectangle
isocèle
équilatéral
trigonométrie : quelle est l’utilité ? quelles sont les applications ?
 géométrie élémentaire : Presque toutes les figures de la géométrie (un carré
(Quadrat) ou un polygone régulier =regelmässiges Vieleck etc.) peuvent être divisées
en triangles
 La triangulation: fabrication d’une carte géographique
 en astronomie : calculer la distance entre la terre et les planètes
 mesurer des distances
Théorie: trigonométrie dans les triangles rectangles
Notions dans le triangle (Bezeichnungen)
la bissectrice
divise l’angle en deux parties égales. L’intersection des bissectrices
donne le centre du cercle inscrit. (inscrire)
la médiane
divise le côté opposé en deux segments identiques. L’intersection donne
le centre de gravité.
la médiatrice
est verticale sur le point milieu du côté
la hauteur
segment vertical du sommet au côté opposé
le sommet
A, B, C du triangle
le triangle rectangle (avec un angle droit)
La somme des trois angles intérieurs d'un triangle est égale à 180°. On parle d’un angle
droit (rechter Winkel) , d’un angle optus (stumpf) et d’un angle aigu (spitz).
 Si l'angle aigu (spitz) d’un triangle rectangle est connu la forme du triangle est
déterminée, mais cependant pas sa taille.
 Pour les triangles semblables (ähnlich) le rapport de côtés (Seitenverhältnis) reste fixe.
On peut appliquer la proportionnalité (Strahlensatz)
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Notions (Bezeichnungen) dans un triangle rectangle: En vue de l’angle   30 ˚
H : l’hypoténuse (opposé à l’angle droit, le côté plus long)
O : côté opposé (à l’angle  ; Gegenkathete)
A : côté adjacent (Ankathete)
A cause de la proportionnalité le rapport
de 2 cotés est toujours identique.
Le rapport des côtés dépend du choix de
l’angle aigu α
l'angle 
rapport de côtés Verhältniszahl 
Pour un angle   30 , le rapport entre le côté opposé et l’hypoténuse est bien déterminé.
On appelle ce rapport le sinus.
sin(30) 
côté opposé O
  0.5
hypoténuse H
cos(30) 
A
 0.86
H
tan(30) 
O
 0.57
A
Définition des fonctions trigonométriques dans le triangle rectangle
Si on fixe dans un triangle rectangle un angle aigu, alors les rapports des côtés sont bien
déterminés. Ces rapports sont appelés les fonctions trigonométriques, désignés par sinus,
cosinus, tangente, abrégées sin, cos, tan.
Le sinus mesure le rapport entre le côté opposé (O) et l’hypoténuse (H).
sin 
O
H
cos  
A
H
tan 
O
A
Pour l’instant les angles sont mesurés en degrés, indiqué sur la calculatrice par DEG.
Théorie: trigonométrie dans les triangles rectangles
 En connaissant l’angle on calcule le rapport des côtés. On utilise les fonctions
trigonométriques sin(..), cos(..), tan(..) .
 En connaissant le rapport des côtés on peut calculer l’angle (fonction réciproques,
Arcusfunktionen sin1(..),cos1(..),tan1(..)
Exercice: On aimerait bien déterminer l’angle  ?
 Comment trouver l’angle  en connaissant le côté opposé BC et l’hypoténuse?
sin( ) 
3
5

3
 
  sin1    36.87
5
 Déterminer l’angle  en connaissant le côté adjacent AC et l’hypoténuse?
cos( ) 
4
5

4
 
  cos 1    36.87
5
 Calculer l’angle  en connaissant le côté adjacent AC et le côté opposé ?
3
3
tan( ) 
   tan1    36.87
4
4
4
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Exemple 1
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Détermine le côté x et le côté y. Regarde le chemin de solution, surtout
l’écriture de la solution.
tan(25.4) 
x
10
x  10  tan(25.4)  4.75 cm
cos(25.4) 
10
y
y  cos(25.4)  10
y
Exemple 2
10
 11.07cm
cos(25.4)
Détermine le côté z.
sin(31.3) 
7 .4
z
z sin(31.3)  7.4
z
Exemple 3
7 .4
 14.24 cm
sin(31.3)
Détermine le côté x. ( x  3.85cm)
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exemple 4
Un bateau navigue du point A au point B (la direction est indiquée dans
l’esquisse). Calcule la distance AB et l’angle  ? (69.9 / 47.62 km)
exemple 5
Un avion vole 400 km avec une direction de N25˚E du point A au point B, après 700 km du
point B jusqu’au point C avec une direction de N80˚E.
a)
Calcule le déplacement total en direction nord de l’avion. (484 km)
b)
Calcule le déplacement total en direction est. (858.4 km)
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Exemple 6
Voici la représentation d’une coupe verticale de la sphère
(Kugel) terrestre. Le rayon est de 6366 km et la latitude
géographique (geographische Breite) de Thoune est de
α=47˚N.
a) Quelle est la vitesse avec laquelle
les habitants de Thoune tournent
autour de la terre ?
chemin=vitesse * temps
b) Applique la formule b) pour
calculer la vitesse d’une
personne qui se trouve sur
l’équateur et au pôle.
c) Un traversant l’atlantique en avion (800 km/h) on remarque souvent un
phénomène stupéfiant: le soleil semble rester tout le temps à la même position sur
l’horizon. Ca veut dire que la vitesse de l’avion est identique à la vitesse de rotation de la
terre. A quelle latitude se passe ce phénomène ?
Définition de la pente (Steigung) On peut définir la pente de 3 manières différentes :

L’angle d’inclinaison  (Neigungswinkel)

En pour cent : Si on a un dénivellement de 40 mètres sur 100 m horizontales on
dit que la pente est de 40%. Alors un angle de 45º correspond à une pente de 100%.

La pente (Steigung) =
distance verticale
= tan(  )
distance horizontale
Alors  = 25. Alors la pente tan( 25 )  0.466 
Alors  = 50. Alors la pente tan(50)  1.192 
46.6
 46.6% .
100
119.2
 119.2% .
100
Théorie: trigonométrie dans les triangles rectangles
Application de la trigonométrie pour calculer des forces
Un tonneau avec un poids de 100 kg est sur un plan incliné. L’angle d’inclinaison du plan est 
=30º. La force de gravité dépend de la masse (100kg) et de l’accélération à cause de la gravité
m
terrestre  10 m 2 . Ainsi G  100  10 kg  2  1000 N (Newton)
s
s
On veut déterminer la force verticale qui tient le tonneau sur le plan et la force T mettant le
tonneau en mouvement.


a) On fait une construction de la solution à l’échelle 1:200 et on mesure les résultats.
Ainsi 1000 N correspond à 5 cm sur notre esquisse (Skizze)
b) Calcule la force verticale au plan (Normalkraft) et la force T (Hangabtrieb).
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Théorie: trigonométrie dans les triangles rectangles
Voici un scooter (poids G  m  g )
roulant à une vitesse v. Les passagers
sur le scooter doivent se pencher en
prenant le virage d’un angle  pour
ne pas tomber à cause de la force
centrifuge F (Zentrifugalkraft,
Fliehkraft).
La force centrifuge F 
virage.
m  v2
dépend de la masse de la moto, de la vitesse v et du rayon r du
r
a) Exprime  avec m, v et r.
b) Calcule l’angle  concrètement pour une vitesse v=72
km/h et un virage avec un rayon de 70 mètres.
c) r= 10 m,  =10º Indique la vitesse.
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Théorie: trigonométrie dans les triangles rectangles
Deux inconnues, système d’équations à 2 variables (méthode d’insertion)
Exemple A:
D’un bateau on mesure deux angles d’élévations 2.6˚ et 3.7˚ jusqu’à
un phare. (=Leuchtturm). Calcule la hauteur et la distance du phare.
Exemple B:
On veut déterminer la hauteur d’une tour. Pour ça on mesure un angle
d’élévation de 27˚, puis on se rapproche en ligne droite vers la tour de 15 m et
on mesure de nouveau l’angle qui est maintenant 38˚.
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