Fiche méthodologique Trigonométrie Réelle BCPST Lycée Hoche Pelletier Sylvain \ = $ CC BY: Dans cette fiche, on revoit ce qu’il faut savoir sur les fonctions trigonométriques. ⋆ Fonction tangente sin x . cos x Elle est définie pour les x tel que cos x 6= 0, c’est-à-dire x 6≡ π2 [π]. L’ensemble de définition est h [ i π π − + kπ, + kπ . donc : 2 2 k∈Z On rappelle que la fonction tangente est égale à tan x = À noter : – cette fonction est π périodique impaire, – la tangente en 0 (y = x), – les limites aux bornes. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 Figure 1 – Fonction tangente ⋆ Valeurs usuelles Le tableau 1 résume les valeurs à savoir. Il est aussi important de savoir retrouver ces valeurs sur le cercle trigonométrique. x 0 sin x 0 cos x 1 tan x 0 π 6 1 2 √ 3 2 √ 3 3 π 4 √ 2 2 √ 2 2 1 π 3 √ 3 2 1 1 2 0 √ π 2 3 +∞ Table 1 – Valeurs trigonométriques à savoir ⋆ Angles opposés, complémentaires, supplémentaires On a : sin(−x) = − sin(x) cos(−x) = cos(x) tan(−x) = − tan(x) sin(π + x) = − sin(x) cos(π + x) = − cos(x) tan(π + x) = tan(x) sin(π − x) = sin(x) cos(π − x) = − cos(x) tan(π − x) = − tan(x) sin cos tan π 2 − x = cos(x) π 2 − x = sin(x) 1 π 2 − x = tan(x) Formule à retrouver rapidement sur un cercle, plutôt qu’à apprendre par cœur ⋆ Sinus et cosinus d’une somme et d’une différence, angle double et de moitié cos(a + b) sin(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) Formule que l’on peut retrouver par Moivre : ei(a+b) = cos(a + b) + i sin(a + b) = eia eib = (cos(a) + i sin(a))(cos(b) + i sin(b)) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) + i sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b). En appliquant à la différence : cos(a − b) sin(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b) En appliquant à l’angle double : cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x) = 2 cos2 (x) − 1 = 1 − 2 sin2 (x) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x). que l’on peut retrouver directement par e2ix = (eix )2 et en utilisant cos2 + sin2 = 1 : e2ix = cos(2x) + i sin(2x) =(cos(x) + i sin(x))2 = cos2 (x) − sin2 (x) + 2i cos(x) sin(x). On a aussi les formules qui relient l’angle de moitié au carré : cos2 (a) sin2 (a) = = 1 − cos(x) 1+cos(2a) 2 1−cos(2a) 2 1 + cos(x) = 2 sin2 = On peut retrouver ces formules en utilisant Euler : x 2 2 2 cos x2 1 ia (e + e−ia )2 4 1 = (e2ia + 2 + e−2ia ) 4 1 = (1 + cos(2a)). 2 cos2 (a) = On peut retrouver les deuxièmes en utilisant deux factorisations par l’angle de moitié : 1 + cos(x) =1 + eix + e−ix 2 1 = (1 + eix + 1 + e−ix ) 2 x 1 ix x x = e 2 2 cos( ) + e−i 2 2 cos(− ) 2 2 2 x x ix −i = cos e 2 +e 2 2 2 x =2 cos 2 ⋆ Transformation de produit en somme i 1h sin(a + b) + sin(a − b) 2 i 1h cos a cos b = cos(a + b) + cos(a − b) 2 i 1h sin a sin b = cos(a − b) − cos(a + b) 2 sin a cos b = On peut retrouver ces formules avec Euler : i 1 h ia (e − e−ia )(eib + e−ib ) 4i i 1h = ei(a+b) + e−i(a+b) + ei(a−b) − e−i(a−b) 4i i 1h = sin(a + b) + sin(a − b) . 2 sin a cos b = ⋆ Transformation de somme en produit sin(p) + sin(q) = cos(p) + cos(q) = sin(p) − sin(q) = cos(p) − cos(q) = p+q cos p−q 2 2 p+q 2 cos 2 cos p−q 2 p+q 2 sin p−q cos 2 2 p+q . −2 sin 2 sin p−q 2 2 sin Ces formules proviennent de la factorisation par l’angle de moitié : i 1 h ip e − e−ip + eiq − e−iq 2i i 1h = eip + eiq − (e−iq + e−ip ) 2i i p−q p+q p−q p−q 1 h p+q p−q = ei 2 (ei 2 + e−i 2 ) − e−i 2 (ei 2 + e−i 2 ) 2i p+q p−q p−q i 1 h i p+q −i − e 2 2 cos = e 2 2 cos 2i 2 2 sin(p) + sin(q) = = cos =2 cos ⋆ p−q 2 i h ei p+q 2 − e−i p+q 2 p−q p+q sin 2 2 i Équation trigonométrique Il faut dessiner systématiquement le cercle trigonométrique, de manière à éviter toute erreur cosinus égaux Sinus égaux Tangentes égales x = α + 2kπ cos x = cos α ⇐⇒ ∃k ∈ Z, x = −α + 2kπ x = α + 2kπ sin x = sin α ⇐⇒ ∃k ∈ Z, x = π − α + 2kπ tan x = tan α ⇐⇒ ∃k ∈ Z, x = α + kπ. . . ⋆ Propriété fondamentale Enfin, il ne faut pas oublier la relation cos2 x + sin2 x = 1. ⋆ Résolution de a cos x + b sin x = c On s’intéresse à la résolution de l’équation (E) d’inconnue x : (E) : a cos x + b sin x = c, avec (a, b) 6= (0, 0) La première étape consiste à poser z = a + ib. On a z 6= 0 (si a et b sont nuls, et le problème a peu d’intérêt). On peut donc écrire ce nombre complexe sous forme trigonométrique : z = ρeiα . On divise alors par ρ pour avoir : a b c cos x + sin y = ρ ρ ρ c cos α cos x + sin α sin y = ρ c cos(x − α) = . ρ Deux cas sont alors possibles : c – si ρ > 1 , l’équation (E) n’a pas de solution dans ce cas. – sinon, il existe un angle θ tel que cos(θ) = ρc . Dans ce cas l’équation (E) est équivalente avec ces nouvelles notations à c (E ′ ) : cos(x − α) = . ρ Cette dernière équation se résout de manière classique. Comme souvent : apprenez la technique et non les formules. Exemple: On veut résoudre : (E) : √ 3 cos x − sin x = √ 3. On considère donc le nombre complexe : z= √ 3−i = 2 √ i 3 − 2 2 ! π = 2e−i 6 . On a alors √ π 3 π cos x − sin − sin x = (E) ⇐⇒ cos − 6 6 2 π π (E) ⇐⇒ cos x + = cos . 6 6 On résout alors classiquement : (E) ⇐⇒∃k ∈ Z (E) ⇐⇒∃k ∈ Z x + π 6 π 6 = π 6 + 2kπ, ou x + = − π + 2kπ 6 x = 2kπ, ou x = − π + 2kπ. 3 Interprétation géométrique : si on considère le nombre complexe z = a+ ib et le nombre complexe X = cos x + i sin x (qui est sur le cercle unité). On identifie ces nombres complexes à des vecteurs du plan. L’équation peut alors s’écrire : z · X = c. En effet, a cos x + b sin x est le produit scalaire du vecteur z et X. En géométrie, on sait que le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit des normes par le cosinus de l’angle formé par les deux vecteurs. Appliqué ici, cela donne : z · X = |z| cos(x − α). En effet, |X| = 1 et l’angle formé par les deux vecteurs est x − α. On obtient donc bien l’équation : |z| cos(x − α) = c. ⋆ Autres équations trigonométriques Résoudre dans R les équations suivantes : √ a) 2 cos 2x + π3 = 3 Exercice 1 b) sin2 (x) + 3 cos(x) − 1 = 0 c) sin2 2x + π 6 = cos2 x + π 3 d) sin(x) + sin(2x) + sin(3x) = 0.