Thème 6 : Racines carrées-Le point sur les nombres

Thème 6 : Racines carrées-Le point sur les nombres
I - DEFINITION DE LA RACINE CARREE d’un nombre positif
a est un nombre positif
La racine carrée de a notée
a est le nombre positif tel que
a× a =
( a)
Exemples :
• La racine carrée de 49 est 7, car 72 = 49 et 7 est positif. On note 49 = 7 .
• La racine carrée de 1 est 1, car 12 = 1 et 1 est positif. On note 1 = 1 .
• La racine carrée de 17,64 est4,2, car 4,22 = 17,64 et 4,2 est positif. On note
2
=a
17,64 = 4,2 .
Remarques :
1- la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas, car le carré d’un nombre est
toujours positif !
2- La racine carrée d’un nombre est un nombre positif :c’est une distance !
Utiliser la définition de la racine carrée pour calculer :
3 × 10 × 3 = 10 × 3 × 3 = 10 × 3 = 30
2
17 = 17 × 17
12 5 × 5
a× a =a
= 17
= 12 × 5 = 60
2
2 7 = 2 × 7 × 7 = 2 × 7 = 14
(2 7 )
2
= 2 7 × 2 7 = 2 × 2 × 7 × 7 = 4 × 7 = 28
Pour
s’entraîner :
INFO
Exercices conseillés :
• sans calculatrice N° 6 p 44 N° 22 N° 23 p 50
• pour la calculatrice N° 7 p 44
II – Connaître les racines carrées correspondant aux premiers nombres entiers :
1 = 1 ; 4 = 2 ; 9 = 3 ; 16 = 4 ; 25 = 5 ; 36 = 6
100 = 10
; 49 = 7 ; 64 = 8 ; 81 = 9
; 121 = 11 ; 144 = 12 ; 169 = 13
III – PROPRIETES SUR LES RACINES CARREES
1 – Attention :
16 + 9 =
;
16 + 9 =
100 − 64 =
;
100 - 64 =
11 + 5 ≈.............. ;
;
Conclusion:
11+ 5 =............... ; Conclusion:
a + b ≠ a+b
ATTENTION :
;Conclusion:
a − b ≠ a −b
a et b entiers positifs et a plus grand que b
2 Produit de deux racines carrées (Démonstration faite en classe)
Si a et b sont deux nombres positifs, alors on a :
Exemples :
7 × 3 = 7 × 3 = 21
a + b ≠ a+b
et
a × b = a×b
18 × 2 = 18 × 2 = 36 = 6
a − b ≠ a−b
3- Quotient de deux racines carrées
Si a et b sont deux nombres positifs, b différent de 0, alors on a :
Exemples :
42
7
=
42
= 6
7
32
2
=
a
a
=
b
b
32
= 16 = 4
2
Application : Comment écrire autrement une somme avec des radicaux ?
a),
4 5 +8+ 2 5 = 4 5 + 2 5 +8 = 6 5 +8
5 3 − 2 2 − 3 −5 2 = 5 3 − 3 − 2 2 −5 2 = 4 3 −7 2
b) Mettre sous la forme a b b entier positif le plus petit possible :
48 on divise 48 par 2 ,on obtient 24 ;on divise 48 par 3 on obtient 16 et 16 = 4
48 = 16 × 3 = 4 3
Se rappeler II ;les racines
carrées correspondant à
un entier
54 = 9 × 6 = 3 6
72 = 36 × 2 = 6 2
INFO
20 + 80
2 45
= 4 × 5 + 16 × 5
= 2× 9×5
= 4 × 5 + 16 × 5
= 2× 9 × 5
=2 5+4 5
= 2 × 3× 5
=6 5
=6
5
c) Racines carrées et développements :
(
)
2
A = 3 + 5 On reconnaît (a+ b)² et on applique la formule avec a= 3 et b= 5
A = 3² + 2 × 3 × 5 + 5
A = 9+6 5 +5
A= 14 +6 5
(
)
B = 2 3 +1
2
On n'oublie pas 2ab le double produit !!
On réduit
2
(
)
(
)
C = 2 3 −1
2
Démontrer que B + C = 26
(
)
B = 2 3 +1
2
2
C = 2 3 − 1 On applique (a+b)² et (a-b)²
B = 12+2 × 2 3 ×1 + 1
C = 12 - 2 × 2 3 × 1 + 1
B = 13+4 3
C = 13 - 4 3
B + C = 13+ 4 3 + 13-4 3 = 26
Pour réviser
le contrôle :
Exercices conseillés :
• Calculs : N° 34-36-38-39-41 p 51
• Aires-Périmètres N° 60 p53 N° 101p56
• Brevet : N° 97-98-99-100 p 56
• Un auto-test avant le petit contrôle
III – Fiche bilan pour réviser
1. Connaître la définition et l’appliquer :
( 5)
2
•
Définition :
•
Exemples : Calcule :
; 7× 7= …
=…
•
(5 2 )
2
;
64 = …
;
92 = …
=
2. Connaître les premiers carrés parfaits
a
0
1
4
9
16
100
11
a
3. Calculer la valeur numérique d’une expression littérale
Calculer E = 5 x 2 − 3 x + 1 lorsque x = 3 puis x = − 7
4. Calculer et écrire le résultat sous la forme
a b ou c + a b a, c sont des entiers et b est un entier positif
3 + 4 2 + 14
18 – 8 + 2
5. Développer et réduire des écritures
4 2 +7 2 =
6 × (3 – 6) =
( 5 + 2) =
(2 3 − 5) =
2
2
12 + 75 + 4 300
27 + 81 − 8 3 + 108
12
Si a > 0 , alors l’équation x ² = a admet deux solutions :
a et
L’équation x ² = 0, admet une seule solution : 0
Si a < 0, alors l’équation x ² = a n’admet pas de solution
− a .
Propriété :
Exemples :
1°) Soit à résoudre l’équation x ² = 9.
x ² = 9 signifie que le carré de x est 9
Or, les deux nombres dont le carré est 9 sont
9 = 3 et − 9 = - 3.
Conclusion : Les solutions de l’équation x ² = 9 sont 3 et - 3.
2°) L’équation x ² = - 7 n’a pas de solution ( en effet , x ² est positif )
QCM :
Il peut y avoir plusieurs réponses possibles ! Demande les réponses en classe !
R1
R2
R3
R4
1
Le nombre 11 est égal à
2
11²
11
121
11
25
7
5
12
10,39
6 3
2
9 + 16 est égal à
3
108 est égal à
3 6
4 27
4
6 × 12 est égal à
6 12
72
6 2
3 8
5
25
est égal à
169
5
13
5
13
25
169
25
169
7 3
−2 3 + 5
11 − 4 3
3 3
9 et 0
8 et -8
9 et -9
6
7
2 x ² − 4 x + 5 pour x = 3 est égal
à
L’équation x ² = 81 a
pour solutions …
3 5 + 20 est égal à
9
(2 + 3)
10
11
12
5
3
50
est égal à
18
8
(
2
est égal à
L’équation x ² + 15 = 11 a
pour solutions …
7+ 5
)(
)
7 − 5 est égal à
32
9 et − 9
2 2
5
2
3
3 25
3 100
11,18
5 5
7+4 3
7
13,91
11 + 2 3
4 et -4
2 et -2
Aucun
nombre
11 et − 11
2 7 −2 5
2
-2
2 + 2 35
V- Le point sur les nombres :
Rationnels - Irrationnels – Décimal – Entier
Comment reconnaître ?
INFO
Les
nombres
Description
Entiers naturels
Tous les nombres entiers
positifs
Exemples
0 ; 18 ; 2 010
15
=5
3
; 0 ; 8 ; - 2005 ; 2 010
36 = 6 ;
Entiers relatifs
Tous les nombres entiers
positifs et négatifs
Décimaux
Tous les nombres qui ont
une écriture décimale
avec un nombre fini de
chiffres après la virgule
Tous les nombres qui
peuvent s’écrire sous la
forme d’une fraction .
Rationnels
L’écriture décimale peut
être finie ou infinie mais
nécessairement
périodique
-5 ; - 3
17,9 ;
2
= 0, 285 714 285 714 285 714............
7
Ces deux nombres
ont une période
INFO
22
= 3,142857 142857 142857..........
7
789
= 6,312
125
6=
Irrationnels
Tous les nombres qui ne
sont pas rationnels ;dans
un irrationnel , le nombre
de décimales est infini et
il n’y a pas de période
41
3
= 0, 41 ; - 0,03 ; − = −0, 6
100
5
Ce nombre a
3 chiffres après
la virgule
6
; 6 est donc rationnel !!
1
π ;
2 ;
Place dans le diagramme ci-dessous les nombres suivants :
28 7
2 1
100
; ; 0, 0087;
; ;π ;
2
63 5
32 3
5
3
INFO
Suis l’exemple :
28
28
4× 7
4 2
=
=
=
= et
63
9× 7
9 3
63
ce nombre a une écriture
décimale illimitée périodique 0,66666666666…….
C’est un rationnel !
Nombres
décimaux
Nombres
rationnels
-4
5
1
8
18, 36
5
2
Nombres entiers
Nombres
réels