Gaudino, casier 5 version N1.1 Dénombrement P.C.S.I. 834 I. Ensembles finis I.1. Définition Lycée Masséna définition 1. Un ensemble non-vide E est dit fini lorsqu’il existe n ∈ N∗ tel que J1, nK et E sont en bijection. n alors appelé cardinal de E, noté #A, |A| ou encore card(A). L’ensemble vide est dit fini de cardinal 0. Unicité du cardinal. I.2. Sous-partie Théorème 1. Soit F un ensemble fini, et E ⊂ F . E est alors fini, et card(E) ≤ card(F ). On a de plus card(E) = card(F ) si et seulement si E = F . I.3. Lien avec les fonctions Soient E et F deux ensembles finis. Théorème 2. 1. Il existe une bijection de E dans F si et seulement si card(E) = card(F ). 2. Il existe une injection de E dans F si et seulement si card(E) ≤ card(F ). 3. Il existe une surjection de E dans F si et seulement si card(E) ≥ card(F ). Théorème 3. Soit E et F deux ensembles finis de même cardinal, et f une fonction de E vers F . On a : f est bijective ⇐⇒ f est injective ⇐⇒ f est surjective Remarques sur les cas où un ensemble est infini. II. Cardinal de quelques ensembles E et F sont deux ensembles finis, de cardinaux respectifs n = card(F ) et p = card(E). II.1. Réunion Théorème 4. Si E et F sont deux ensembles finis alors E ∪ F aussi et card(E ∪ F ) = card(E) + card(F ) − card(E ∩ F ) preuve en s’appuyant sur le lemme du cas disjoint (preuve par bijection). Application au cardinal d’un complémentaire, d’une réunion finie disjointe. Théorème 5. Soient E et F sont deux ensembles finis. card(E ∪ F ) = card(E) + card(F ) si et seulement si E et F sont disjoints. II.2. Produit cartésien Théorème 6. Si E et F sont deux ensembles finis alors E × F aussi et card(E × F ) = card(E) × card(F ) = np preuve par réunion disjointe. Cas des produits cartésiens de plusieurs ensembles, des puissances cartésiennes. remarque sur la notation E × F . Application aux couples, aux x-uplets. II.3. II.3.1. Fonctions fonctions quelconques Théorème 7. Si E et F sont deux ensembles finis alors l’ensemble des fonctions de E vers F , noté F E ou F(E, F ), est fini et card(F E ) = card(F )card(E) = np preuve par le nombre de graphes, preuve intuitive, lien avec les tirages avec remise de boules discernables. p-uplets. 1 II.3.2. injections définition 2. Si E et F sont deux ensembles finis (avec n = card(F ) et p = card(E)) alors on note Apn le nombre d’injections de E dans F . Théorème 8. L’ensemble des injections de E dans F est fini et de cardinal : Si p ≤ n : Apn Si p > n : Apn n! = n(n − 1) · · · (n − (p − 1)) = {z } (n − p)! | p termes = 0 preuve intuitive, lien avec les tirages sans remise de boules discernables, lien avec les p-uplets de nombres distincts. II.3.3. bijections Théorème 9. Si E et F sont deux ensembles finis de même cardinal n alors l’ensemble des bijections de E vers F est fini de cardinal n!. preuve par les injections, lien avec les permutations. II.3.4. surjections C’est beaucoup plus dur ! II.4. P(E) Théorème 10. Si E est un ensemble fini alors P(E) est un ensemble fini de cardinal card(P(E)) = 2card(E) . preuve intuitive et par les fonctions caractéristiques. III. Coefficients binômiaux III.1. Définition définition 3. Soit E ⊂ F . Le nombre de sous-parties E à p éléments d’un ensemble F à n éléments est noté n p ou Cnp (on parle aussi de combinaisons). III.2. Relations n n n n n = 0 si p > n. = 1. = 1. = si 0 ≤ p ≤ n. p p n−p 0 n n−1 n−1 n = + pour n ≥ 1 et n − 1 ≥ p ≥ 1, et aussi pour n ≥ 1 et p ≥ 1. triangle de Pascal : p p p−1 III.3. Formule Théorème 11. Si 0 ≤ p ≤ n, alors n n! = . p p!(n − p)! preuve intuitive, lien avec les tirages sans remise sans ordre. n n! preuve par récurrence sur n en utilisant le triangle de Pascal : la propriété P(n) étant ∀p ≤ n, = . p p!(n − p)! III.4. P(F ) bis Pour a = b = 1, on retrouve le card(P(F )) en utilisant le binôme de Newton : card(P(F )) = n X n k=0 k 2 = (1 + 1)n = 2n