MPSI Dénombrement, Combinatoire

MPSI
Dénombrement, Combinatoire
Exercice 1 :
Trouver une bijection entre IN et ZZ.
Exercice 2 :
– Montrer que l’application IN × IN →
(p ; q) 7→
– Construire une bijection de ZZ dans IN.
– En déduire une injection de Q
I dans IN.
est injective.
IN
2p 3q
Exercice 3 :
Montrer que pour tout s ∈ IN∗ , INs est dénombrable.
Exercice 4 :
Soit E un ensemble fini. Montrer que P(E) est fini et Card(P(E)) = 2Card(E) .
Exercice 5 :
Soit E un ensemble tel que le cardinal de P(E) soit fini. Montrer alors que E est fini.
Exercice 6 :
Soient E un ensemble fini, n = Card(E), R une relation d’équivalence dans E,
N = Card(E/R) et ρ représente le nombre de couples (x, y) ∈ E 2 tels que xRy.
1. En notant E1 , E2 , . . . , EN les éléments de E/R, montrer que :
ρ=
N
X
(Card(Ei ))2 .
i=1
2. En déduire n2 ≤ N ρ.
Exercice 7 :
Soient (n, p) ∈ IN2 tel que n ≥ p2 + 1 et (x1 , . . . , xn ) ∈ INn . Montrer :
au moins p + 1 des nombres x1 , . . . , xn sont égaux
ou
au moins p + 1 des nombres x1 , . . . , xn sont deux à deux distincts.
Exercice 8 :
Calculer pour n ∈ IN∗ :
E( n
2)
X
E( n
2)
C2k
n
et
k=0
X
C2k+1
n
k=0
Exercice 9 :
Soit (n, p) ∈ (IN∗ )2 tel que n ≥ 2p. Calculer
p
X
p+k
Cp−k
n Cn
k=0
1
Exercice 10 :
Pn
n−k k
Cq =
Etablir ∀(n, p, q) ∈ IN3 ,
k=0 (n − k)Cp
np
n
p+q Cp+q .
Exercice 11 :
Pn
Pour (n, p) ∈ IN2 , on note Sp (n) = k=0 k p .
– Montrer :
2
∀(n, p) ∈ IN , Sp+1 (n + 1) =
p+1
X
Ckp+1 Sk (n).
k=0
– En déduire :
∀(n, p) ∈ IN2 , (n + 1)(p+1) =
p
X
Ckp+1 Sk (n).
k=0
– Retrouver les valeurs des sommes classiques :
n
X
k,
k=0
n
X
k=0
k2 ,
n
X
k2 .
k=0
Exercice 12 :
Calculer pour n ∈ IN∗ :
n
X
k
(−1)
kCkn
et
k=0
n
X
(−1)k
k=0
Exercice 13 :
Calculer les sommes suivantes pour n ∈ IN∗ :
X
X
C3k
C3k+1
et
n ,
n
0≤3k≤n
0≤3k+1≤n
Ckn
.
k+1
X
C3k+2
n
0≤3k+2≤n
Combien y a-t-il de surjections de {1, . . . , n + 1} dans {1, . . . , n}.
Exercice 14 :
∗ 2
p
p
Soit
Pp (n, p) ∈ (IN ) . On note Hn le nombre de p-uplets (x1 , . . . , xp ) ∈ IN tels que
k=1 xk = n.
Pn
p−1
– Montrer que : Hnp = k=0 Hn−k
– Montrer alors par récurrence que Hnp = Cp−1
n+p−1 .
Exercice 15 :
On trace les cordes d’un cercle (C) joignant deux à deux n points A1 , . . . , An de (C) ;
on suppose que trois de ces cordes ne sont jamais concourantes. En combien de points
intérieurs au cercle se coupent-elles ?
2