SERIES DE FOURIER 1 Séries trigonométriques 2 Développement

SERIES DE FOURIER
1
Séries trigonométriques
Son terme général est de la forme :
un = an cos(nωt) + bn sin(nωt)
où (an ) et (bn ) sont deux suites numériques appelées coefficients de la série, remarquer que u0 = a0 .
2π
Si la série trigonométrique est convergente sa somme S est une fonction de t de période T =
ω
continue par morceaux sur tout intervalle I du type [α; α + T ] où α ∈ R.
S(t) = a0 +(a1 cos(ωt)+b1 sin(ωt))+(a2 cos(2ωt)+b2 sin(2ωt))+. . .+(an cos(nωt)+bn sin(nωt))+. . .
S(t) = a0 +
+∞
X
(an cos(nωt) + bn sin(nωt))
n=1
2
2.1
Développement en série de Fourier. Conditions de Dirichlet
Conditions de Dirichlet
Soient f une fonction de période T et I un intervalle du type [α; α + T ].
Si f est continue et admet une dérivée continue sur I sauf peut-être en un nombre fini de points ti
(points particuliers ), points en lesquels f et f 0 admettent des limites finies à droite et à gauche alors f
est développable en série de Fourier. Les coefficients de la série sont donnés par les formules :
1
a0 =
T
Z
α+T
f (t)dt
α
et pour n 6= 0,
α+T
2
an =
T
Z
2
bn =
T
Z
f (t) cos(nωt)dt
α
α+T
f (t) sin(nωt)dt
α
2π
avec ω =
et α réel quelconque.
T
Les nombres a0 , an , bn sont les coefficients de Fourier de f . Pour les calculer, on prend en praT
tique α = 0 ou α = −
2
Le nombre a0 est la valeur moyenne de f sur une période.
1
2.2
Convergence
Si f satisfait aux conditions de Dirichlet, alors :
– si la fonction f est continue en ti , la série de Fourier associée à f converge vers f (ti ) ;
– si la fonction f n’est pas continue en ti , la série de Fourier associée à f converge vers
1
−
S(ti ) = [f (t+
i ) + f (ti )]
2
f (t+
i ) représente la limite à droite de f au point ti ,
f (t−
i ) représente la limite à gauche de f au point ti .
3
Cas des fonctions paires ou impaires
Si la fonction f est paire (signal symétrique par rapport à l’axe des ordonnées) on a un développement en cosinus : pour tout n, bn = 0 ;
pour calculer a0 et les an on peut utiliser les formules réduites :
2
a0 =
T
Z
T
2
f (t)dt
0
et pour tout n ≥ 1
4
an =
T
T
2
Z
f (t) cos(nωt)dt
0
Si la fonction f est impaire (signal symétrique par rapport à l’origine) on a un développement en sinus :
pour tout n, an = 0 ;
pour calculer les bn ,on peut utiliser la formule réduite pour tout n ≥ 1 :
4
bn =
T
4
Z
T
2
f (t) sin(nωt)dt
0
Analyse spectrale ( spectres)
Soit une fonction périodique f et sa série de Fourier associée
S(t) = a0 +
+∞
X
(an cos(nωt) + bn sin(nωt))
n=1
Pour n > 0, on peut écrire un = an cos(nωt) + bn sin(nωt) = An cos(nωt − ϕn ) avec An ≥ 0.
En effet : An cos(nωt − ϕn ) = An cos(nωt) cos ϕn + An sin(nωt) sin ϕn et par identification ,
on obtient : an = An cos ϕn et bn = An sin ϕn
on en déduit a2n + b2n = A2n , donc An =
4.1
p
a2n + b2n
Définition 1
La série de Fourier associée à f peut s’écrire
f (t) = a0 +
∞
X
An cos(nωt − ϕn )
n=1
2
a0 est la valeur moyenne de f sur une période. Les termes suivants an cos(nωt) + bn sin(nωt) =
An cos(nωt − ϕn ) sontp
les harmoniques de rang n.
Le nombre An = a2n + b2n est l’amplitude de l’harmonique de rang n et ϕn est la phase.
Remarque : le premier harmonique a1 cos(ωt) + b1 sin(ωt) est appelé le fondamental ; sa fréω
1
quence est celle de la fonction f soit ν = = .
T
2π
2π
T
n
L’harmonique de rang n a pour période
= et pour fréquence = nν ; les fréquences des
nω
n
T
harmoniques sont des multiples de la fréquence du fondamental.
4.2
Définition 2
On appelle spectre des fréquences d’une fonction périodique du temps, le diagramme en bâtons
obtenu en représentant An en fonction de n.
Le spectre des fréquences est la représentation graphique par un diagramme en bâtons de la suite
(An ).
5
5.1
Formule de PARSEVAL
Théorème
Soit une fonction périodique f et sa série de Fourier associée
S(t) = a0 +
+∞
X
(an cos(nωt) + bn sin(nωt))
n=1
On appelle norme de f le nombre noté ||f || avec
s
Z
1 α+T 2
||f || =
f (t)dt
T α
On a la formule de PARSEVAL :
Z
∞
∞
∞
X
1 α+T 2
1X 2
1X 2
||f ||2 =
f (t)dt = a20 +
(an + b2n ) = a20 +
An = a20 +
En
T α
2
2
n=1
5.2
n=0
n=0
Interprétation physique
s
Z
1 T 2
f (t)dt.
T 0
Le carré de la valeur efficace de f , soit ||f ||2 , représente l’énergie de f sur [α; α + T ].
Si la valeur moyenne a0 de f est nulle sur [α; α + T ] l’énergie du signal f est la somme des
énergies En des harmoniques qui le composent.
La valeur efficace de f est le nombre ||f || =
3
6
6.1
Forme complexe du développement en série de Fourier d’une fonction
périodique
Propriété
Si f est une fonction vérifiant les conditions de Dirichlet, alors pour tout réel t où la fonction f
est continue :
+∞
+∞
X
X
f (t) = a0 +
(an cos(nωt) + bn sin(nωt)) =
cn einωt
−∞
n=1
avec pour n ∈ N
cn =
1
T
Z
α+T
f (t)e−inωt dt
α
Les coefficients de Fourier complexes cn sont liés aux coefficients de Fourier réels an et bn par les
relations :
an − ibn
an + ibn
c0 = a0
cn =
c−n =
2
2
De plus :
1p 2
|cn | = |c−n | =
an + b2n
2
lim |cn | = lim an = lim bn = 0
n→∞
6.2
n→∞
n→∞
Formule de Parseval
Dans le cas complexe, la formule de PARSEVAL s’écrit :
1
T
Z
∞
α+T
|f 2 (t)|dt = |a20 | +
α
∞
X
1X 2
|c2n |
(|an | + |b2n |) =
2
−∞
n=1
Dans le cas particulier ou f est à valeurs réelles , la formule de PARSEVAL s’écrit :
1
T
Z
∞
α+T
α
f 2 (t)dt = a20 +
∞
X
1X 2
|c2n |
(an + b2n ) =
2
−∞
n=1
4