Mathématiques 1. Fiche n◦1 Mise en route, trigonométrie, complexe

Université de Rouen
L2 SPS
Année 2015-2016
Mathématiques 1. Fiche n◦ 1
Mise en route, trigonométrie, complexe
(b) Calculer
Exercice 1. Récurrence.
(a) Montrer par récurrence que 13n − 4n est multiple de 9. [indication 13 = 9 + 4]
¡n ¢
(−1)k
k=0 k
Pn
et
¡n ¢ k
x .
k=0 k
Pn
(c) Montrer
pour n ≥ 2, que
à ! Ãpar récurrence,
!
n k
X
n +1
=
.
2
3
k=2
p 4
p 4
3) . En déduire
(d) Développer (1
p +4 3) etp(1 −
que A = (1 + 3) + (1 − 3)4 est un entier.
à !
n
X
n
k
.
(e) Calcul de
k
k=0
¡ ¢
¡ ¢
-i- Vérifier que si n ≥ k ≥ 1 on a k nk = n n−1
k−1
(b) Soit u 0 = 1, u 1 = 2 et u n+2 = 2u n + u n+1 . Montrer par récurrence que u n = 2n .
(c) Montrer par récurrence l’inégalité de Bernoulli : pour tout x non nul et supérieur à −1
(1 + x)n > 1 + nx.
∀n ≥ 2,
¡n ¢
,
k=0 k
Pn
(d) Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N
n
n
X
X
n(n + 1)(2n + 1)
n(n + 1)
,
k2 =
.
k=
2
6
k=1
k=1
-ii- En déduire que
à !
Ã
!
n
n n −1
X
X
n
.
k
=n
k
k=0
k=1 k − 1
En déduire la valeur de
n
X
k(n − k).
-iii- Utiliser la question (b) et montrer que
à !
n
X
n
k
= n2n−1 .
k
k=0
k=1
(e) Montrer que la somme S n = 1+3+5+· · ·+(2n −
1) des n premiers entiers impairs est égale à
n2.
π
π
Exercice 4. Calculer les valeurs de cos , sin ainsi
8
8
Exercice 2. Somme et produit.
π
π
P3
P3
P3
que
cos
,
sin
(a) Comparer k=1 (a k + b k ) et k=1 a k + k=1 b k .
12
12
Exercice 5. Résoudre les équations
(b) Remplacer 3 par n dans la question précép
2
dente.
(1) cos(x) = −
Pn
Pn
2
(c) Comparer k=0 a k et k=0 a n−k .
(2) cos(4t ) = 0
(d) Si q ∈ R et q 6= 1 redémontrer la formule
1
(3) cos x − sin x = p
n
X
q n+1 − 1
k
2
q =
.
q −1
Exercice 6. Simplifier les expressions suivantes
k=0
Q
sin(2x) + sin(4x) + sin(6x) sin3 x + sin x cos2 x
(e) Écrire à l’aide de les quantités suivantes
1 + cos(2x) + cos(4x)
tan3 x + t anx
2 × 4 × 6 × 8 × · · · (2n − 2) × 2n
sin(x) sin(2x) sin(3x) · · · sin(nx)
3
3
a n3
a p3 a p+1
· · · a n−1
(f ) Calculer
Qn
3 puis
k=1
(g) Comparer
³Y
´³ Y
´
n
n
ak
bk
k=1
(h) Calculer
Qn
a .
k=1 k
k=1
Qn
k=1
Exercice 7. Exprimer sous forme algébrique (la forme
a + i b) les nombres complexes proposés
(p ≤ n).
(1) (1 − i )4 , (1 + 2i )2 , i (i + 2)(2i + 1)2
1 + 2i 1 + i
1
(2)
,
,
3 + i 11 + 2i 1 + i
p
(i − 1)5 1 + 2 − i
(3)
,
p
(i + 1)4 1 + 2 + i
p
p
p
p
3 − 1 + i ( 3 + 1)
3 + 1 + i ( 3 − 1)
,
(4)
p
p
1−i 3
1−i 3
Qn
a (a ∈ R).
k=1
et
n
Y
(a k b k ).
k=1
(ca k ) en fonction de c, n et
³
´
1
1
1
−
k . On pourra écrire 1 − k = Exercice 8. Calculer le module des nombres comk=2
plexes proposés.
k−1
k et extraire le produit des numérateurs et
(1) 4 + i , 4 − i , 1 + 4i , 1 − 4i
le produits des dénominateurs.
p
p 1
p
p
(2) 2 + i 3, 1 − i 2, (1 + i 2)
Exercice 3. Binôme de Newton
2
¡12¢
(i) Calculer
Qn
5
(a) Simplifier a = ¡11
¢.
5
1
2
p
Exercice 9. Soient z et z 0 deux nombres complexes de
(6) z 2 + 2 3z + 12 = 0
p
module 1. On suppose que z + z 0 6= 0. Démontrer que
(7) z 2 − 2 5z − 12i = 0.
0
1 + zz
est un nombre réel
le nombre
Exercice 18. Résoudre l’équation donnée sachant
z + z0
Exercice 10. Déterminer le nombre complexe z tel qu’elle admet z 0 donnée (ou vérifiant une propriété)
2z − 1
(1) z 3 − (1 + i )z 2 + 4z − 4 − 4i = 0, z 0 = 2i
que
est réel.
2
z
(2) z 3 − i z 2 + (1 − i )z − 2 + 2i = 0, z 0 ∈ R.
Exercice 11. Résoudre dans C l’équation z(1+i )−i z̄ =
1.
Exercice 19. Utiliser les formules de De Moivre
Exercice 12. Résoudre dans C l’équation z + z̄ = 1 + i .
(1) pour exprimer cos(3θ) et sin(3θ) en fonction
Exercice 13. Résoudre dans C le système
de cos(θ) et sin(θ).
(
p
z + 4z 0 = 1 + i 2
(2) pour exprimer cos(4θ) et sin(4θ) en fonction
p
i z + 2z 0 = 1
de cos(θ) et sin(θ)
Exercice 14. Déterminer le module et l’argument des Exercice 20. Utiliser les formule d’Euler pour linéariser
nombres complexes suivants
cos2 θ sin θ, sin2 θ cos θ, cos3 θ
p
p
3 + 3i ,
3 + i , 1 + i 3, i − 1
p
p
p
Exercice 21. Linéariser sin3 θ, cos3 θ sin2 θ.
−4,
3−i,
2(i − 1), i 3 − 1
Exercice 22.
Exercice 15. Exprimer sous forme algébrique les
nombres complexes proposés
p
¡ 3 i ¢18
44
(1 + i ) ,
+
3
6
Exercice 16. Déterminer sous forme algébrique les racines carrées des nombres complexes proposés
(1) 3 + 4i , −5 + 2i
p
(2) 4i − 3, −2 − 2i 3.
(a) Montrer que pour tout z ∈ C on a
|ℜ(z)| + |ℑ(z)|
≤ |z| ≤ |ℜ(z)| + |ℑ(z)|
p
2
(b) Résoudre dans C l’équation (z + i )6 = (i − z)6
[on pourra se ramener à la racine 6ème de
l’unité].
(c) Résoudre z + 1z = cos(θ), z 4 + 3z 2 − 4 = 0.
(d) Résoudre z 3 = 1 puis z 6 + 7z 3 − 8 = 0.
Exercice 17. Résoudre dans C les équations propo- Exercice 23. Transformation de a cos θ+b sin θ. Soient
a, b et θ trois réels. En remarquant que la quantité
sées
2
a cos θ + b sin θ est la partie réelle d’un nombre com(1) z − 2z − 4 = 0
plexe
bien choisi montrer qu’il existe R et ϕ (modulo
(2) z 2 − 7z + 1 = 0
2π) uniques tels que
(3) 2z 2 + 3z + 4 = 0
a cos θ + b sin θ = R cos(θ + ϕ).
p
(4) z 2 + z + 1 = 0
Application : cos(θ) + 3 sin(θ) =?
2
(5) 4z + z + 4 = 0