Année 2011 Examen probatoire d`admission dans les

Année 2011
Examen probatoire d’admission dans
les Ecoles de formation d’officiers
Epreuve de Sciences Physiques
Durée : 4 heures
Ce sujet comporte 8 pages numérotés. Veuillez vous assurer que cet exemplaire
est complet. S’il est incomplet, demandez un autre exemplaire.
La calculatrice est autorisée.
Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans un ordre quelconque.
L’attention des candidats est portée sur le fait que l’on tiendra compte du soin et de la
rigueur apportés au travail.
Si, en cours d’épreuve, le candidat rencontre ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il
la signale sur sa copie et continue sa composition.
NB : attention, il est demandé pour l’exercice 2 partie A.7 de répondre directement
sur la feuille de sujet en complétant l’annexe 1.
Tournez la page S.V.P.
-1-
Exercice 1 : Etude d’un parachutiste
Lors de conflits importants, l’armée française dispose d’unités de parachutistes pour accomplir des
raids, renforcer des garnisons assiégées, couper la retraite d'unités ennemies ou encore livrer bataille à
des divisions tentant de s'infiltrer.
Par exemple, la guerre d'Indochine a connu la plus intense activité aéroportée
française : pendant les 7 années que dura ce conflit, 198 sauts opérationnels furent réalisés.
Le mouvement d’un parachutiste se compose de deux phases :
- au cours de la première phase, le parachutiste tombe, parachute fermé, jusqu’à atteindre sa vitesse
limite ;
- au cours de la seconde phase, il ouvre son parachute pour freiner avant l’atterrissage.
Dans tout l’exercice, on assimilera le parachutiste, de masse m = 90,0 kg, à son centre d’inertie G et
on supposera que son mouvement est vertical dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen.
On prendra g = 10,0 m.s-2.
Première phase du saut – Parachute fermé
Le parachutiste saute sans vitesse initiale d’un hélicoptère en vol stationnaire à l’altitude h = 2000 m.
r
Les frottements dus à l’air sont équivalents à une force f unique, verticale et orientée vers le haut, de
valeur proportionnelle à la valeur v de sa vitesse : f = k .v , avec k = 15, 0 SI lorsque le parachute est
fermé. Le parachutiste a un volume VP = 110 L et chute dans l’air de masse volumique ρair = 1,30 g.L-1.
A – Préliminaires :
A.1) Donner l’expression littérale puis calculer la valeur du poids P du parachutiste.
A.2) Donner l’expression littérale puis calculer la valeur de la poussée d’Archimède FA subie par le
parachutiste.
A.3) Comparer la valeur de poids à celle de la poussée d’Archimède. Conclure.
Aide : une grandeur est négligeable devant une autre si sa valeur est au moins 100 fois plus petite.
B – Mise en équation :
B.1) Déterminer l’unité du coefficient k dans le système international.
On pose pour la suite τ =
m
.
k
B.2) Montrer que τ s’exprime en seconde puis calculer sa valeur.
B.3) Etablir sous forme littérale l’équation différentielle vérifiée par la vitesse v(t) du parachutiste. On
utilisera un axe Oz vertical dirigé vers le bas et on négligera la poussée d’Archimède.
B.4) Montrer que l’équation différentielle précédente, peut se mettre sous la forme
dv
(t ) = A − B.v(t ) où A = 10,0 SI et B = 1,67.10-1 SI. Préciser les unités des constantes A et B.
dt
B.5) Etablir l’expression littérale de la vitesse limite vlim atteinte par le parachutiste puis calculer sa
valeur.
B.6) Représenter l’allure de l’évolution de la vitesse du parachutiste en fonction du temps. On mettra
en évidence et on nommera les deux régimes du mouvement.
-2-
C– Méthode d’Euler – Premier essai :
La méthode d’Euler permet de résoudre numériquement une équation différentielle.
On souhaite mettre en œuvre cette méthode pour calculer la valeur de la vitesse toutes les ∆t
secondes. On prend pour la suite de cette partie ∆t = 5,00 s, cette grandeur est appelée pas du calcul.
C.1) Soient vk la vitesse à l’instant tk et vk+1 la vitesse à l’instant tk+1 avec tk+1 = tk + ∆t.
La méthode d’Euler repose sur l’approximation suivante :
v −v
dv
(tk ) ≈ k +1 k
dt
∆t
En injectant cette approximation dans l’équation différentielle trouvée précédemment, établir
clairement la relation de récurrence liant vk+1 à vk, A, B et ∆t.
C.2) Calculer la valeur de la vitesse au bout de 5 s ; 10 s ; 15 s ; 20 s et 25 s.
C.3) Au bout de combien de temps, approximativement, peut-on considérer que la vitesse limite est
atteinte à 99% ? La réponse sera basée sur les résultats obtenus à la question précédente.
D – Méthode d’Euler – Second essai :
t
− 

τ
La solution analytique de l’équation différentielle établie à la question 1 est : v(t ) = vlim . 1 − e  .


D.1) Calculer le temps t1 pour lequel la vitesse limite est atteinte à 99%.
D.2) Le choix ∆t = 5,00 s utilisé à la question C.2 vous paraît-il judicieux ?
D.3) On prend maintenant ∆t = 0,500 s.
En utilisant la méthode d’Euler, calculer la valeur de la vitesse au bout de 0,5 s ; 1 s ; 1,5 s ; 2 s ; 2,5 s ;
3 s ; 3,5 s ; 4 s ; 4,5 s et 5 s.
E – Méthode d’Euler – Synthèse :
Comparer les valeurs de la vitesse obtenues au bout de 5 s de chute avec ∆t = 0,500 s et
∆t = 5,00 s. Quelle valeur vaut-il mieux choisir ? Justifier votre réponse par une condition sur le
choix de ∆t.
Seconde phase du saut – Parachute ouvert
Après 30 s de chute, le parachutiste a parcouru 1500 m et tombe à vitesse constante. Il ouvre alors
son parachute pour réduire sa vitesse.
F – En cas de problème :
F.1) Quelle est la vitesse du parachutiste juste avant qu’il n’ouvre son parachute ?
F.2) S’il n’ouvrait pas son parachute, en combien de temps atteindrait-il le sol ?
G – Vitesse à l’atterrissage :
On considère qu’un homme peut se réceptionner sans mal d’une chute d’une hauteur de 2,0 m.
Soit le mouvement de chute libre d’un objet ponctuel de masse m0 lâché sans vitesse initiale d’un
point O.
G.1) Déterminer l’équation horaire z(t) du mouvement le long de l’axe Oz vertical et orienté vers le
bas.
G.2) Calculer la valeur de la vitesse v’ acquise par l’objet après h’ = 2,0 m de chute.
-3-
H – Dimensionnement du parachute :
L’instant auquel le parachutiste ouvre son parachute est pris comme nouvelle origine des temps. La
force de frottement a alors pour intensité f’ = k’v avec k’ > k.
H.1) Tracer sans calcul l’évolution de la vitesse du parachutiste en fonction du temps.
H.2) En vous aidant des travaux effectués en B.5), donner l’expression de la nouvelle vitesse limite
vlim’ qui sera atteinte par le parachutiste en fonction de m, k’ et g.
On suppose que le régime permanent est atteint bien avant l’atterrissage.
H.3) Calculer la valeur de k’ qui permet au parachutiste d’atteindre le sol avec une vitesse égale à v’.
Exercice
Exercice 2 : Conception d’un oscillateur sinusoïdal
On souhaite réaliser un oscillateur électrique délivrant une tension alternative sinusoïdale. On dispose
pour cela de condensateurs et d’une bobine d’inductance L = 50 mH et de résistance interne r
inconnue.
PARTIE A : Etude expérimentale de la bobine
K
i(t)
Le but de cette partie est de déterminer
expérimentalement la valeur de r.
Pour cela on réalise le montage suivant constitué
d’un générateur de tension continue parfait de force
électromotrice E0, d’un interrupteur K, de la bobine
précédente et d’une résistance de valeur R = 10 Ω.
E0
R
uR(t)
L
r
uL(t)
ur(t)
K étant initialement ouvert, on le ferme à un instant pris comme origine des temps.
A.1) Etablir une relation simple liant les tensions ur(t), uL(t), E0 et uR(t).
A.2) Etablir l’équation différentielle vérifiée par i(t). On posera τ =
E
L
et I 0 = 0 où RT = R + r.
RT
RT
A.3) Etablir l’unité de τ .
Une solution de cette équation différentielle est de la forme i (t ) = a.ebt + c où a, b et c sont des
constantes.
A.4) Déterminer les expressions de a, b et c en fonction de τ et de I 0 . La démarche sera clairement
détaillée. En déduire l’expression de i(t).
A.5) Est-il possible de visualiser explicitement i(t) sur l’écran d’un oscilloscope ? Pourquoi ?
A.6) En annexe 1, on donne le graphe représentant l’évolution temporelle de uR(t).
En quoi cette courbe permet-elle d’obtenir des renseignements sur i(t) ? Justifier précisément.
A.7) Déterminer graphiquement sur l’annexe 1 par la méthode de votre choix, la valeur expérimentale
de τ . En déduire la valeur de la résistance interne r de la bobine.
-4-
C
K
i(t)
PARTIE B : Utilisation de la bobine
uC(t)
À l’aide de la bobine précédemment étudiée, on
réalise à présent le montage ci-contre dans lequel
L
r
le condensateur a été initialement chargé sous une
tension de 5,0 V : uC (0) = 5, 0 V .
uL(t)
ur(t)
À un instant pris comme origine des temps, on ferme l’interrupteur K.
B.1) Etablir l’équation différentielle relative au fonctionnement du circuit, vérifiée par la tension
mesurée entre les bornes du condensateur uC(t). On posera pour simplifier ω0 =
1
r
et λ =
.
2L
LC
B.2) En annexe 2, on donne le graphe représentant l’évolution temporelle de uC(t).
Quel qualificatif peut-on attribuer à l’évolution de la tension uC(t) ?
B.3) Pourquoi n’obtient-on pas une tension alternative sinusoïdale pour uC(t) ?
PARTIE C : Amélioration
C
Dans le but d’obtenir des oscillations alternatives
sinusoïdales aux bornes du condensateur, on
réalise maintenant le montage ci-dessous dans
lequel D désigne un dipôle dont la nature est
inconnue. Le condensateur a été initialement
chargé sous une tension de 5,0 V :
uC (0) = 5, 0 V .
K
i(t)
uC(t)
D
L
r
uL(t)
ur(t)
uD(t)
À un instant pris comme origine des temps, on ferme l’interrupteur K.
C.1) En appliquant la loi des mailles, établir une relation liant ur(t), uL(t), uC(t) et uD(t).
C.2) Etablir, en respectant les conventions de la figure, l’expression de uL(t) en fonction de L, C et
uC(t).
C.3) Donner l’expression de ur(t) en fonction de r et de i(t).
C.4) À partir des résultats précédents, établir la relation suivante :
d 2uC
(t ) + Ω 2u C (t ) + Ω 2 (u D (t ) + r.i (t ) ) = 0
dt 2
On précisera l’expression de Ω en fonction de L et de C puis on établira son unité.
C.5) En déduire la relation tension - intensité du dipôle D permettant réaliser un oscillateur délivrant
une tension alternative sinusoïdale.
C.6) D’un point de vue tout à fait théorique, donner la nature du dipôle D. Le résultat était-il
prévisible ? Justifier.
-5-
Exercice 3 : Désintégration du Radium
Le radium est un élément chimique de symbole Ra et de numéro atomique 88. Un isotope appelé
« radium 226 » est radioactif α. Sa durée de demi-vie est de 1602 ans.
A – Généralités :
A.1) Qu'est-ce qu'un noyau radioactif ? Définir le terme isotope.
A.2) Donner la notation du noyau de radium étudié sous la forme ZA X . Comment nomme-t-on les
nombres A et Z ? Préciser leur signification puis donner la composition de ce noyau de radium.
A.3) Ecrire l’équation traduisant la désintégration du noyau de radium 226. On énoncera les lois de
conservation à respecter.
A.4) Donner la composition de la particule émise lors de cette désintégration.
A.5) Définir la grandeur appelée « durée de demi-vie ». Au bout de combien de temps peut-on
considérer un échantillon de radium 226 comme inactif ?
B – Etude d’un échantillon de radium 226 :
On considère un échantillon de radium 226 de masse m = 1,0 g.
On rappelle que l'activité d'un échantillon radioactif à un instant t, notée A(t), est liée au nombre de
noyaux radioactifs N(t) dans l'échantillon au même instant par la relation : A(t) = λ.N(t). De plus,
l’activité A(t) d’une source radioactive vérifie A(t) = -
dN
(t ) .
dt
B.1) Calculer le nombre No de noyaux de radium 226 contenus dans l’échantillon.
B.2) Définir l’activité d’une source radioactive. Préciser son unité dans le système international.
B.3) Etablir l’équation différentielle vérifiée par N(t).
B.4) Une solution de cette équation différentielle est de la forme N(t) = a. e b.t où a et b désignent deux
constantes.
B.4.a) Exprimer les constantes a et b en fonction de N0 et/ou de λ. La démarche sera
clairement expliquée.
B.4.b) En déduire l’expression de N(t) en fonction de N0, λ et t.
B.5) En utilisant la définition donnée à la question A.5, établir l’expression de la durée de demi-vie
notée t1/2 en fonction de λ. En déduire la valeur de λ en précisant son unité.
B.6) Déduire des questions précédentes l’expression A(t) de l’activité de l’échantillon à l’instant t.
Préciser l’expression de l’activité initiale notée A0 en fonction de λ et de N0 puis calculer sa valeur
numérique.
B.7) Tracer sans souci d’échelle l’allure de la courbe représentant A(t) en fonction du temps en
précisant ses éléments remarquables.
Extrait de la classification périodique :
Légende pour chaque case :
Donnée supplémentaire :
• Le nombre indiqué en haut à gauche est la valeur du numéro atomique.
• Le nombre indiqué en haut à droite est la valeur de la masse molaire atomique en g.mol-1.
• Nombre d’Avogadro NA = 6,02.1023 mol-1.
-6-
ANNEXE 1
uR(t) en volts
t en secondes
-7-
ANNEXE 2
uC(t) en volts
t en secondes
FIN DU SUJET
-8-