Eléments de la trigonométrie

Eléments de la trigonométrie
B. Aoubiza
Département GTR
18 septembre 2002
Table des matières
2 Eléments de la trigonométrie
2.1 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Angles — Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Angles — Sens d’orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Angles — Position Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Angles — Unités de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Nombre Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Angles et cercles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Eléments de la Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Fonctions Trigonométriques — définition sur un triangle . . . . . . .
2.3.2 Fonctions Trigonométriques — définition sur un cercle . . . . . . . . .
2.3.3 Fonctions Trigonométriques — définition sur le cercle unité . . . . . .
2.3.4 Fonctions trigonométriques — Angles remarquables . . . . . . . . . .
2.3.5 Fonctions trigonométriques — Ensembles images . . . . . . . . . . .
2.4 Graphes des Fonctions Trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Graphes des Fonctions Trigonométriques — Graphe de sin . . . . . .
2.4.2 Graphes des Fonctions Trigonométriques — Graphe de cos . . . . . .
2.4.3 Graphes des Fonctions Trigonométriques — Graphe de tan . . . . . .
2.4.4 Graphes des Fonctions Trigonométriques — Graphe de cot . . . . . .
2.4.5 Graphes des Fonctions Trigonométriques — périodicité . . . . . . . .
2.5 Transformation des formes des graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Transformation des formes des graphes — Translation . . . . . . . . .
2.5.2 Transformation des formes des graphes — Déformation . . . . . . . .
2.5.3 Transformation des formes des graphes — Translation et déformation
2.5.4 Transformation des formes des graphes — Interprétation . . . . . . .
1
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2
2
2
2
2
2
3
3
4
4
5
5
5
8
8
9
9
10
10
10
11
11
11
12
12
Chapitre 2
Eléments de la trigonométrie
2.1
Angles
2.1.1
Angles — Définition
Un angle est généré par la rotation d’une demi-droite
autour de son sommet, qu’on appelle sommet de l’angle.
La position d’origine est appelée côté initial
et la position finale est appelée côté final.
Côté final
Q
P
Côté initial
O
2.1.2
Angles — Sens d’orientation
Noter qu’en trigonométrie les angles ont un sens d’orientation qui est le sens des aiguilles d’une montre.
θ
θ
Un angle négatif
Un angle positif
2.1.3
Angles — Position Standard
y
Dans le plan Oxy, un angle θ est en position standard si son sommet
est l’origine O et son côté initial est la demi-droite Ox.
θ
x
Angle en position standard
2.1.4
Angles — Unités de mesure
Les angles peuvent se mesurer en degrés ( ◦ ) ou en radians ( rad).
1
1
Un degré (resp. un radian) est défini comme étant
(resp. ) d’une rotation complète dans le sens des
360
2π
aiguilles d’une montre.
π
rad
180µ
¶
180
— 1 rad =
π
— 1 ◦ = 60 0
— 1 0 = 60 ”
— 1◦ =
◦
2
Ainsi un radian correspond à 180/π degrés (' 57.3◦ ). Comme π radians est égale à 180◦ on a
π/2 rad = 90◦
π/4 rad = 45◦
π/3 rad = 60◦
2π rad = 360◦
Remarque 1 Il est important de comprendre que π/2 = 90 n’a pas de sens. Pourquoi ?
Exemple 1 Tous les angles, ci-dessous, ont un même côté initial.
23π
12
o
345
5π
12
o
75
o
570
π
180
o
-300
-45
17π
o
6
π
4
5π
o
3
Exemple 2 Quelques angles en position standard.
150
o
y
45
0
300
y
y
480
4
x
3
x
0
8π
o
π
o
30
5π
o
2.1.5
y
7π
6
135
3
o
x
o
π
x
6
3π
4
Nombre Pi
Tout le monde a entendu parlé du nombre π et tout le monde sait que π est approximativement 3.14159. En
plus, on sait que ce nombre apparaît quand on mesure le périmètre et l’aire de figures géométriques contenant
des cercles. En effet,
— l’aire d’un disque de rayon r est πr2 .
— le périmètre d’un cercle de rayon r est 2πr.
Remarque 2 On a remarqué que le rapport
r1
P1
r2
r3
P2
périmètre
2r
...
est toujours le même quelque soit le cercle
p2
P1
=
= ··· = π
2r1
2r2
P3
Ainsi le nombre π est défini comme étant l’aire d’un disque de rayon r = 1.
Remarque 3 La question qui reste posée est : pourquoi le périmètre d’un cercle de rayon r est 2πr ?
Il est difficile de donner une réponse à ce stade. Mais on donnera une réponse simple lorsqu’on abordera le
chapitre du calcul intégral.
2.2
Angles et cercles
Cercle et Disque
Le cercle de centre P et de rayon r et l’ensemble de tous les points X du plan qui se trouvent à la distance
r de P . Si le centre P = (a, b) et X = (x, y) un point générique du cercle, alors l’équation du cercle est :
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
En particulier, l’équation du cercle de centre l’origine O = (0, 0) et de rayon r = 1 est
x2 + y 2 = r2
La région entourée par le cercle est appelée disque.
3
Rayon et Diamètre
- Le rayon est un segment de longueur r liant
le centre et n’importe quel point du cercle.
- Le diamètre est un segment qui passe par
le centre et de longueur d = 2r.
Rayon
Diamètre
Périmètre et Aire
Le périmètre d’un cercle est donné par : p = πd = 2πr.
L’aire du disque est donné par : A = πr2 .
Arc, Corde et Secteur
Arc
Lignes
radiales
Un arc est une partie du cercle défini par deux de ses points.
Une corde est un segment liant deux point sur le cercle.
Un secteur est une partie du disque entre deux lignes radiales.
Secteur
Corde
Cercle
Aire d’un secteur
Considérons le secteur circulaire de rayon r ci-contre.
Soit θ l’angle de ce secteur mesuré en radian.
Pour obtenir l’aire de ce secteur il suffit de constater que :
A
r
θ
O
2π −→ πr2
θ −→ As
l’aire du disque complet
l’aire du secteur
par suite As =
r
B
1 2
θ.r
2
(règle de trois)
Si l’angle θ est donné en degrés, une simple transformation permet d’obtenir
A=
1 360 2 90 2
θr =
θr
2 2π
π
Longueur d’un arc
Soit θ l’angle de ce secteur mesuré en radian. En utilise les mêmes arguments que ci-dessus, on a
2π −→ 2πr
θ −→ P
2.3
périmètre du cercle complet
périmètre du secteur
par suite P = θ.r (règle de trois)
Eléments de la Trigonométrie
Dans ce chapitre on donne la définition des fonctions trigonométriques et on présente quelques une de leurs
propriétés élémentaires.
2.3.1
Fonctions Trigonométriques — définition sur un triangle
On considère un triangle rectangle ayant un angle θ.
On introduit les définitions et notations suivantes :
- côté adjacent à θ :
adj
- côté opposé à θ :
opp
- hypoténuse :
hyp
hyp
θ
adj
4
opp
On définit les fonctions, sinus, cosinus, tangente et cotangente de l’angle θ par
sin θ =
opp
hyp
cos θ =
adj
hyp
tan θ =
opp
adj
cot θ =
adj
opp
Remarque 4 Noter que cette définition des fonctions trigonométriques est limitée aux angles aigus c’est-à-dire
π
0 ≤ θ ≤ . Ainsi une définition plus ”générale” est nécessaire.
2
2.3.2
Fonctions Trigonométriques — définition sur un cercle
y
On considère un cercle de rayon r centré à l’origine et un
angle θ mesuré à partir de l’axe des x. On suppose que
le coté final de θ rencontre le cercle au point (x, y).
Noter que : x et/ou y peuvent être négatifs.
(x,y)
r
θ
x
En termes de x, y et r, les fonctions, sinus, cosinus, tangente et cotangente de l’angle θ sont données par :
sin θ =
y
r
cos θ =
x
r
tan θ =
y
x
cot θ =
x
y
Noter que cela veut dire qu’un point est sur le cercle si (x, y) = (r cos θ, r sin θ).
En tenant compte de ce qui est ci-dessus, on a
tan θ =
2.3.3
sin θ
cos θ
cot θ =
cos θ
1
=
sin θ
tan θ
Fonctions Trigonométriques — définition sur le cercle unité
y
En pratique, il convient de définir les fonctions trigo sur le cercle unité :
cercle de centre O et de rayon 1. Dans ce cas r = 1 et donc
y
x
sin θ =
=y
cos θ = = x
1
1
y
sin θ
cos θ
x
tan θ = =
(si x 6= 0)
cot θ =
=
(si y 6= 0).
x
cos θ
sin θ
y
(x,y)
r=1
θ
(1,0)
x
Notons qu’à partir de cette définition, il est très facile de déduire les valeurs de sinus, cosinus, tangente et
π
3π
cotangente pour les angles : 0, , π,
et 2π
2
2
θ Radians
0 rad
π
rad
2
π rad
3π
rad
2
2π rad
2.3.4
sin θ
0
cos θ
1
tan θ
0
1
0
0
−1
±∞
−1
0
0
1
cot θ
±∞
0
0
±∞
±∞
0
0
±∞
Fonctions trigonométriques — Angles remarquables
Vous devez connaître (ou vous devez être capables de retrouver) les valeurs des fonctions trigonométriques
π
π
pour les angles remarquables : qui sont les multiples de 30◦ = rad ou 45◦ = rad.
6
4
Plutôt, dans chaque cas, vous devez retrouver les valeurs des fonctions trigo en utilisant le cercle trigonométrique
et vos connaîssances sur les deux triangles rectangles : 30◦ − 60◦ − 90◦ et 45◦ − 45◦ − 90◦ (voir ci-dessous).
5
30 =
2
√
Dans le triangle 30◦ − 60◦ − 90◦ , les mesures des côtés sont “1, 2, 3.”
Noter que
π
- le plus petit côté 1 est opposé au plus petit angle 30◦ = rad ;
6
√
π
- le moyen des côtés 3 ≈ 1.7 est opposé au moyen des angles 60◦ = rad ;
3
π
- le plus grand côté 2 est opposé au plus grand angle 90◦ = rad.
2
π
6
o
3
π
o
60 = 3
1
π
o
45 = 4
2
√
Dans le triangle 45◦ − 45◦ − 90◦ , rappelez-vous que les côtés sont “1, 1, 2.”
1
π
o
45 = 4
1
En tenant compte de la définition des fonctions trigo sur le triangle et de ce qu’on vient de voir, on déduit
π π π
π
facilement les valeurs de sinus, cosinus, tangente et cotangente pour les angles : , , , et
6 3 4
2
θ Degrés
30◦
45◦
60◦
90◦
θ Radians
π
rad
6
π
rad
4
π
rad
3
π
rad
2
Angles remarquables — Multiples de
sin θ
1
2
1
√
√2
3
2
1
cos
√θ
3
2
1
√
2
1
2
0
tan θ
1
√
3
1
cot θ
√
3
√
3
1
√
3
0
±∞
1
π
3
Exemple 3 Déterminer les valeurs des fonctions trigo pour
5π
rad.
3
Utilisons nos connaîssance sur le triangle 30◦ − 60◦ − 90◦ . Pour cela, on trace un cercle de rayon 2 et le
5π
rad on projette le point d’intersection ce dernier avec le cercle sur l’axe des x. On
côté final de l’angle
3
obtient donc
√ un triangle rectangle dont l’hypoténuse est 2 les deux autres côtés mesurent respectivement x = 1
et y = − 3.
y
2
5π
3
-2
1
0
2
2
x
On déduit donc √
√
3
5π
y
− 3
sin
= =
=−
3
r
2√
2
√
y
− 3
5π
= =
=− 3
tan
3
x
1
5π
x
1
= =
3
r
2
5π
1
x
1
cot
= = √ = −√
3
y
− 3
3
cos
-2
Angles remarquables — Multiples de
π
4
Exemple 4 Déterminer les valeurs des fonctions trigo pour
3π
rad.
4
Utilisons nos connaîssance sur le triangle 45◦ − 45◦ − 90◦ . Pour cela, on trace un cercle de rayon 2 et le côté
3π
rad on projette le point d’intersection ce dernier avec le cercle sur l’axe des x. On obtient
final de l’angle
4
√
donc un triangle rectangle dont l’hypoténuse est 2 les deux autres côtés mesurent respectivement x = −1 et
y = 1.
6
y
1
2
0
-1
3π
4
x
1
-1
On déduit donc
3π
y
1
x
−1
3π
cos
= =√
= =√
sin
4
r
4
r
2
2
3π
y
1
3π
x
−1
tan
= =
= −1 cot
= =
= −1
4
x
−1
4
y
1
Angles remarquables — Multiples de
π
2
Exemple 5 Déterminer les valeurs des fonctions trigo pour
3π
rad.
2
3π
On trace un cercle de rayon 1 et le côté final de l’angle
rad . Notons que les coordonnés du point
2
d’intersection du côté final avec le cercle sont x = 0 et y = −1.
y
1
3π
2
-1
1
0
1
x
On déduit
y
−1
3π
x
0
3π
= =
= −1
cos
= = =0
sin
2
r
1
2
r
1
y
−1
3π
x
0
3π
= =
= ±∞ cot
= =
=0
tan
2
x
0
2
y
−1
-1
Angles remarquables
θ Deg
0◦
θ Rad
sin θ cos θ
tan θ
0 rad
0
0
√1
π
1
3
1
√
30◦
rad
6
2
2
3
π
1
1
◦
√
√
45
rad
1
4
2
√2
√
π
3
1
60◦
rad
3
3
2
2
π
90◦
rad
1
0
±∞
2
√
√
2π
3
1
120◦
rad
−
− 3
3
2
2
1
3π
1
◦
√
135
rad
−√
−1
4
2
√2
1
5π
1
3
150◦
rad
−
−√
6
2
2
3
180◦
π rad
0
−1
0
Vous n’avez pas à les retenir par coeur.
θ Deg
cot θ
±∞
√
3
210◦
225◦
1
240◦
1
√
3
0
270◦
300◦
1
−√
3
−1
315◦
330◦
√
− 3
360◦
±∞
7
θ Rad
7π
rad
6
5π
rad
4
4π
rad
3
3π
rad
2
5π
rad
3
7π
rad
4
11π
rad
6
2π rad
sin θ
1
−
2
1
−√
√2
3
−
2
cos θ
√
3
−
2
1
−√
2
1
−
2
tan θ
1
√
3
1
cot θ
√
3
√
3
−1
√
3
−
2
1
−√
2
1
−
2
0
0
±∞
1
√
3
0
1
2
1
√
√2
3
2
1
√
− 3
−1
1
−√
3
0
1
1
−√
3
−1
√
− 3
±∞
2.3.5
Fonctions trigonométriques — Ensembles images
Ensembles images pour cos et sin
y
Dans le plan réel Oxy (position standard), on considère un angle θ
de sommet O et de côté final OP de longueur 1.
Comme le point P (x, y) circule sur le cercle de centre O et de rayon 1
on déduit que −1 ≤ x ≤ 1 et −1 ≤ y ≤ 1. Donc
−1 ≤ cos θ ≤ 1
et
−1 ≤ sin θ ≤ 1
(x,y)
r=1
θ
(1,0) x
et par conséquent les images de tout angle θ par les fonctions cos et sin sont dans l’intervalle [−1, 1].
Signes des Fonctions Trigonométriques
Soit θ un angle dans le plan Oxy en position standard.
Comme on peut le voir sur la figure ci-contre,
le côté final OP ne peut que dans l’un
des quatre quadrant définis par les angles : 0, π2 , 2π
2 ou
y
II
I
III
IV
x
3π
2 .
Si le point P est dans le quadrant I, on a x > 0 et y > 0 et donc cos θ > 0 et sin θ > 0. Si le point P est
dans le quadrant II, on a x < 0 et y > 0 et donc cos θ < 0 et sin θ > 0. Et ainsi de suite. On peut résumé ceci
dans le tableau suivant :
Côté final de θ
cos θ
sin θ
tan θ
cot θ
Quad I
+
+
+
+
Quad II
+
-
Quad III
+
+
Quad IV
+
-
Relation de Pythagore
On a vu que pour un angle θ donné, on a
tan θ =
sin θ
1
cos θ
et cot θ =
=
.
cos θ
tan θ
sin θ
Soit θ un angle de côté final OP de longueur 1 et que P = (x, y) . A partir de la relation de Pythagore sur un
triangle rectangle, on a
(OP )2 = (x − 0)2 + (y − 0)2
soit x2 + y 2 = 1. Remplaçant x et y par cos θ et sin θ, on obtient la célèbre relation trigonométrique
2
2
(cos θ) + (sin θ) = 1. ou tout simplement cos2 θ + sin2 θ = 1.
Remarque 5 En divisant la relation ci-dessus respectivement par cos2 θ et sin2 θ.
1+
et
2.4
sin2 θ
1
1
=
soit 1 + tan2 θ =
2
2
cos θ
cos θ
cos2 θ
cos2 θ
1
1
+1=
soit cot2 θ + 1 =
2
2
sin θ
sin θ
sin2 θ
Graphes des Fonctions Trigonométriques
En tenant compte des tables des angles remarquables ci-dessus, on peut tracer les courbes suivantes : (les
angles sont donnés en radians).
8
1
3
1
2
2π
π
0
1
2
3
-1
4
5
6
θ
0
1
2
3
4
5
θ
6
-1
sin θ
2.4.1
2
1
2π
π
Asymptotes
3
Asymptotes
00
1
2
3
1
2π
π
4
5
θ
6
-1
-1
-2
-2
-3
-3
cos θ
2π
π
00
1
2
tan θ
3
4
5
θ
6
cot θ
Graphes des Fonctions Trigonométriques — Graphe de sin
1
Soit P un point du cercle unité de centre O
et de rayon 1 et soit θ l’angle formé par Ox
et la demi-droite OP . On sait que :
sin θ = y
Si le point P fait un tour sur le cercle,
l’angle θ varie de 0 à 2π et le nombre
y varie entre −1 et 1.
y
0.5
P
y
0
1
2
3
4
5
6
θ
x 1
x
-0.5
-1
(θ, sin θ)
En général, si on déplace le point P sur le cercle unité (dans le sens positif ou négatif), l’angle θ varie (dans
le sens positif ou négatif) et le nombre y varie entre son minimum −1 et son maximum 1. En tenant compte de
ceci, on déduit que le graphe de la fonction sin a la forme suivante :
y
y =1
y = sinθ
−3π/2
−π
π
π/2
−π/2
3π/2
θ
2π
y = −1
2.4.2
Graphes des Fonctions Trigonométriques — Graphe de cos
1
y
0.5
Mêmes argumentations que ci-dessus.
P
y
0
θ
x 1
x
1
2
3
4
-0.5
-1
(θ, cos θ)
et
y
y =1
−2π
π
−π
y = −1
9
2π
y = cos θ
θ
5
6
Graphes des Fonctions Trigonométriques — Graphe de tan
2.4.3
y
y = tan θ
y
Considérons la même figure
que ci-dessus. On sait que :
tan θ = y/x
−π
P
y
−
π
2
π
2
π
θ
θ
x 1
x
Comme le point P est en mouvement sur le cercle de centre O et de rayon 1, le rapport number y/x varie
entre −∞ et ∞. Noter, par exemple, que si θ est légèrement plus petit que π/2 alors la quantité y/x est très
grande (> 0) et que si θ légèrement plus grand que π/2 alors la quantité y/x est très grande en valeur absolue
mais négative. En tenant compte de ces remarques on peut voir que le graphe de la fonction tan est de la forme
donnée ci-dessus.
Remarque 6 : Une autre manière de voir la tangente d’un angle.
y
2
θ
-1
0
1
Afin de construire un segment dont la longueur est tan θ, on trace
la ligne tangente au cercle unité au point (1, 0). On prolonge le côté
final de l’angle θ jusqu’à ce qu’il touche la ligne tangente.
rectangle. Soient b la base et a la hauteur
x On obtient donc un triangle
a
du triangle. Ainsi tan θ = . Comme on a un cercle unité, b = 1.
b
Par conséquent, a = tan θ.
-2
2.4.4
Graphes des Fonctions Trigonométriques — Graphe de cot
Notons que cot θ = x/y. En utilisant les même remarques que pour la fonction tan on obtient le graphe de
la fonction cot qui a la forme suivante :
y
y = cot θ
−π
2.4.5
−
π
2
π
2
π
θ
Graphes des Fonctions Trigonométriques — périodicité
Noter que les fonctions sin et cos sont périodiques de période 2π, tandis que tan et cot sont périodiques de
π
période π. Rappelons aussi que tan a une asymptote verticale aux points d’abscisses (2n + 1) tandis que cot
2
a une asymptote verticale aux points d’abscisses nπ.
10
2.5
Transformation des formes des graphes
Les graphes des fonctions trig. peuvent être déplacer où déformer comme d’autres fonctions. On commence
par le graphe de y = sin x :
2
y
-6
-4
1
0
-2
2
x
4
6
-1
-2
2.5.1
Transformation des formes des graphes — Translation
Si le graphe de la fonction sin est déplacé vers la droite
1
π
de ≈ .785 et vers le haut de , on obtient le graphe
4
2
ci-contre dont l’équation est :
³
π´ 1
+ .
y = sin x −
4
2
³
π´
Remarque 7 Comparaison de y = sin x et de y = sin x −
+
4
Si x = a et y = sin x, alors y = sin a.
π
π
Si on se déplace vers la droite de , alors x = a + .
4
4
³
π
π´ 1
1
Et si x = a + et y = sin x −
+ , alors y = sin a +
4
4
2
2
1
haut de .
2
2
y
-6
-4
1
0
-2
2
x
4
6
-1
-2
1
.
2
qui n’est autre que y = sin a déplacé vers le
2
En général, si le graphe de la fonction sin
est déplacé vers la droite de x0 et vers le haut de y0
on obtient le graphe ci-contre dont l’équation est :
y = sin (x − x0 ) + y0 .
y
-6
-4
1
0
-2
2
4
x
6
-1
-2
Notons que :
— si x0 > 0, le déplacement horizontal s’effectue vers la droite, sinon c’est vers la gauche ;
— si y0 > 0, le déplacement vertical s’effectue vers le haut, sinon c’est vers le bas ;
Exercice 1 En tenant compte de la remarque précédente, comparer y = sin x et de y = sin (x − x0 ) + y0 .
2.5.2
Transformation des formes des graphes — Déformation
2
Si le graphe de la fonction sin est étiré verticalement
par 2 et il a rétréci horizontalement par 3,
on obtient le graphe ci-contre dont l’équation est :
y = 2 sin (3x)
y
-6
-4
-2
1
0
2
x
4
6
-1
-2
Remarque 8 Comparaison :
Le courbe de y = sin x traverse l’axe Ox pour x = 0, ±π, ±2π, ±3π, · · · .
π 2π
Le courbe de y = 2 sin 3x traverse l’axe Ox pour 3x = 0, ±π, ±2π, ±3π · · · . c’est-à-dire pour x = 0, ± , ± , ±π
3
3
· · · . Ainsi pour une distance horizontale donnée, la courbe de y = 2 sin 3x oscille trois fois plus
que celle de y = sin x.
11
2
En général, si le graphe de la fonction sin est étiré
verticalement par A et il a rétréci horizontalement par c,
on obtient le graphe ci-contre dont l’équation est :
y = A sin (cx)
y
-6
-4
-2
1
0
2
x
4
6
-1
-2
Notons que :
— Si le facteur c > 1, le graphe se resserre horizontalement. Si 0 < c < 1, le graphe s’étend horizontalement.
Si c < 0, le graphe se reflète horizontalement et se resserre ou s’étend par un facteur |c|.
— Si le facteur A > 1, le graphe s’étend verticalement. Si 0 < A < 1, le graphe se resserre verticalement.
Si A < 0, le graphe se reflète verticalement et se resserre ou s’étend par un facteur |A|.
2.5.3
Transformation des formes des graphes — Translation et déformation
On peut combiner translation et changement de formes. Exemple, on peut modifier la courbe de y = sin x
³ ³
π ´´ 1
en lui appliquant les deux transformations ci-dessus. Ainsi le graphe de y = 2 sin 3 x −
+ est :
4
2
Etirement vertical par 2,
resserrement horizontal par 3
π
translation vers la droite de
4
1
translation vers le haut de .
2
3
2
y
1
-6
-4
0
-2
2
x
4
6
-1
-2
2.5.4
Transformation des formes des graphes — Interprétation
Soit la fonction f définie par
f (x) = A sin (c (x − x0 )) + y0
— y0 est valeur moyenne de la fonction f (x) et la ligne y = y0 est appelée la ligne centrale de la fonction.
— |A| est appelée amplitude relative à la ligne centrale. La courbe de f se trouve dans une bande de largeur
2. |A| .
— x0 donne la distance d’avance ou de retard de f (x) = A sin (c (x − x0 )) + y0 par rapport à y = sin (cx).
2π
— |c| donne la fréquence angulaire ω : ω = 2πf =
= |c|.
P
Preuve. Pour une fonction périodique, f (x), la période est la longueur d’un cycle de cette fonction, c-à-d
la plus petite valeur positive P telle que f (x + P ) = f (x) pour tout x. Comme la période P donne
1
la longueur d’un cycle, son inverse, f = , appelée fréquence, donne le nombre de cycles par unité de
P
longueur. De plus, si on considère un cycle de 2πrad alors la fréquence angulaire ω est définie comme
2π
étant les radians par unité de longueur qui est 2π multiplié par la fréquence : ω = 2πf =
.
P
1
Exemple 6 Pour la fonction f (x) = sin x, la période est 2π, la fréquence est
et fréquence angulaire
2π
est 1.
Exemple 7 Pour la fonction f (x) = A sin (c (x − x0 )) + y0 , on détermine la période en résolvant l’équation : Déterminer la plus petite valeur positive P telle que f (x + P ) = f (x) pour tout x :
f (x + P )
A sin (c (x + P − x0 )) + y0
sin (c (x + P − x0 ))
sin (c (x − x0 ) + cP )
12
=
=
=
=
f (x)
A sin (c (x − x0 )) + y0
sin (c (x − x0 ))
sin (c (x − x0 ))
Ainsi |cP | = 2π, et donc la période est P =
2π
1
|c|
. Par conséquence, la fréquence est f =
=
et la
|c|
P
2π
2π
= |c|.
P
— Finalement, la quantité θ = c (x − x0 ) est appelée la phase du signal.
En tenant compte de ces définitions, si c > 0 (pour simplifier), on peut écrire :
µ
¶
µ
¶
2π
2πx
y = A sin (ω (x − x0 )) + y0 = A sin (ωx − ϕ) + y0 = A sin
(x − x0 ) + y0 = A sin
− ϕ + y0
P
P
fréquence angulaire est ω = 2πf =
13