4-2-Divisibilité dans - prenum

Cours de Divisibilité proposé par Ngueusseu Jean Marie /PROJET-PRENUM AC
1- DÉNOMINATION DE LA RESSOURCE ET CONTRIBUTEURS
 Titre de la ressource
 Nom de l’étudiant
: Divisibilité
: Ngueusseu Jean Marie
 Nom de l’encadreur de l’ENS : Pr. Hubert Nnang
 Nom de l’inspecteur
Nom de l’encadreur du lycée
: Tchoutio Moïse (IPN)
: Fotsing Joseph (PLEG- HE)
2-OBJECTIFS PEDAGOGIQUES SPECIFIQUES
A l'issue de ce cours, l'apprenant doit être capable de:
i. Définir et effectuer une division euclidienne avec des entiers naturels (ℕ) et des entiers
relatifs (ℤ).
ii. Reconnaître les propriétés de la relation de divisibilité dans ℤ.
iii. Utiliser les propriétés de la divisibilité pour :
 reconnaître qu’un entier est premier ;
 effectuer la décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers ;
 déterminer les diviseurs d’un entier ;
Utiliser le théorème de Gauss et l’égalité de Bézout pour résoudre certains problèmes
iv.
de divisibilité.
v.
Utiliser le lien entre la divisibilité et la relation de congruence pour la résolution de
certains problèmes liés à la divisibilité, la détermination des restes et la résolution des
équations de type
vi.
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
Écrire un entier dans un système de numération quelconque.
3-LIENS AVEC LES AUTRES PARTIES DU PROGRAMME
Ce cours sera utilisé dans la leçon portant sur le PGCD et le PPCM pour la
détermination du plus grand commun diviseur de deux entiers, pour la détermination du plus
petit commun multiple de deux entiers. La notion de divisibilité peut être enseignée à tout
moment en cours d’année scolaire. Mais de préférence, elle devrait l’être en début d’année à
cause de sa difficulté à être maîtrisée par beaucoup d’apprenants.
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INTRODUCTION :
Les nombres et leurs propriétés ont fascinés les hommes depuis la plus haute antiquité
et une science des nombres, l’arithmétique s’est très tôt constituée. Cette science (qui fut
souvent qualifiée de « Reine des mathématiques » en raison de la simplicité de son objet, de la
simplicité des énoncés qui la constitue, de l’élégance et de la simplicité de ses méthodes et
des nombreuses conjectures, aux formulations les plus simples, qui ont traversé les siècles
après avoir occupé des générations de mathématiciens) a pendant très longtemps été purement
spéculative, voir exotique, car n’ayant pas d’applications et n’a donc été cultivé que pour le
plaisir de l’esprit, le plaisir de répondre aux énigmes et défis qu’elle proposait.
Ce n’est qu’à une période très récente, avec l’apport de la puissance de calcul des
ordinateurs que la théorie des nombres a trouvé des applications techniques et théoriques :
Les systèmes de cryptographie à clés privées qui utilisent les congruences modulo 2 et
surtout les systèmes à clés publiques qui utilisent les nombres premiers, les congruences, le
petit théorème de Fermat. Ref [2]
L’arithmétique mérite donc de tenir une place dans la série scientifique pour l’enseignement
de la spécialité en raison de son importance dans le développement des mathématiques.
L’objectif est de donner aux élèves un minimum cohérent de notions élémentaires permettant
l’élaboration d’algorithme simple et fondamentaux et l’introduction d’application diverses à
l’intérieur et en dehors du domaine mathématiques.
Pré requis :
Avant d’aborder cette leçon on doit s’assurer que l’élève maîtrise :
 La notion de diviseurs et de multiples d’un nombre entier relatif.
 Les critères de divisibilité dans un système décimal.
 Les propriétés d’addition et de multiplication dans ℤ et ℕ.
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4-DIVISIBILITE
Cette partie vise à mettre en place les propriétés de la divisibilité qui serviront dans la
suite. Les exercices porteront sur les entiers relatifs. Mais dans la suite nous faisons le choix
délibéré de travailler sur les nombres entiers naturels.
4-1- Rappels sur ℕ et ℤ.
 L’ensemble ℕ.
ℕ désigne l’ensemble des entiers naturels et ℕ∗ l’ensemble des entiers naturels non nuls.
On a ℕ = {0; 1; 2; 3; … n; (n + 1); … } et ℕ∗ = ℕ ∖ {0}.
ℕ n’a pas de plus grand élément.
Le plus petit élément de ℕ est 0.
Sous-ensemble de ℕ.
Un sous-ensemble de l’ensemble ℕ est une partie A de l’ensemble ℕ. Les sousensembles de ℕ possèdent les propriétés suivantes :
Propriété 1 : Toute partie non vide A de ℕ possède un plus petit élément.
Propriété 2 : Toute partie non vide A et majorée de ℕ admet un plus grand élément.
Exemple:
L’ensemble {3𝑛 + 4; 𝑛 ∈ ℕ} est une partie non vide de ℕ, son plus petit élément est 4.
Exercice :
Déterminer le plus petit élément de chacune des parties A de ℕ définie par :
a) A = {𝑛2 − 𝑛 + 2; 𝑛 ∈ ℕ} ; b) A = {𝑛2 + 𝑛 + 2; 𝑛 ∈ ℕ}
 L’ensemble ℤ.
ℤ désigne l’ensemble des entiers relatifs et ℤ∗ l’ensemble des entiers relatifs non nuls.
On a ℤ = {… − 2; −1; 0; 1; 2; … } et ℤ∗ = ℤ ∖ {0}.
Addition dans ℤ
L’addition dans ℤ possède des propriétés suivantes :Ref [5]
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Propriétés : ∀ (𝑎, 𝑏, 𝑐 ) ∈ ℤ3 ,
P1) 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 ⟹ 𝑎 = 𝑏.
En effet si 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑐 alors 𝑎 + 𝑐 + (−𝑐) = 𝑏 + 𝑐 + (−𝑐), donc 𝑎 = 𝑏.
P2) 𝑎 × 0 = 0.
En effet, on a 𝑎 × 𝑎 + 𝑎 × 0 = 𝑎 (𝑎 + 0) = 𝑎 × 𝑎 = 𝑎 × 𝑎 + 0, donc 𝑎 × 0 = 0 d’après
P1)
P3) 𝑐𝑎 = 𝑐𝑏 ⟹ 𝑎 = 𝑏 lorsque 𝑐 ≠ 0.
Ordre dans ℤ
Pour tous nombres entiers relatifs 𝑎 et 𝑏, on pose : 𝑏 – 𝑎 = 𝑏+ (−𝑎).
On définit dans ℤ une relation, notée ≤ par :
∀ (𝑎 ,𝑏) ∈ ℤ2 ( 𝑎 ≤ 𝑏 ⇔ 𝑏 − 𝑎 ∈ ℕ).
Cette relation est réflexive, antisymétrique et transitive. De plus, toute partie (m ; n) de deux
éléments de ℤ admet un plus petit élément. On dit que (ℤ, ≤) est totalement ordonné.
Propriétés :
Soient 𝑎 et 𝑏 deux entiers relatifs
P4) Pour tout entier relatif 𝑐, on a : 𝑎 ≤ 𝑏 ⇔ 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐.
P5) Pour tout entier c strictement positif ; on a :
𝑎 ≤ 𝑏 ⇔ 𝑎 × 𝑐 ≤ 𝑏 × 𝑐.
P6) Pour tout entier c strictement négatif, on a :
𝑎 ≤𝑏 ⇔ 𝑎 × 𝑐 ≥ 𝑏 × 𝑐.
Propriétés :
P7) Toute partie non vide et majorée de ℤ admet un plus grand élément.
P8) Toute partie non vide et minorée de ℤ admet un plus petit élément.
Exemple 1:
L’ensemble {𝑛 ∈ ℤ, (𝑛 + 2)2 ≤ 6} est une partie non vide et majorée ℤ. Son plus grand
élément est 0.
Exemple 2 :
L’ensemble {𝑛 ∈ ℤ, 𝑛 + 2 ≥ 0} est une partie non vide et minorée de ℤ. Son plus petit
élément est −2.
Propriété : Ref [5]
Soient 𝑎 et 𝑏 deux entiers relatifs tels que 𝑏 ≠ 0. Il existe un entier relatif 𝑛 tel que :
𝑛𝑏 ≥ 𝑎. On dit que ℤ est archimédien.
Démonstration
1er cas : 𝑏 ≥ 1
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 Si 𝑎 ≥ 0, il suffit de prendre : 𝑛 = 𝑎
 Si 𝑎 < 0, il suffit de prendre : 𝑛 = 0
2ème cas : 𝑏 ≤ −1
On a : −𝑏 ≥ 1 ; donc il existe un entier relatif m tel que 𝑚 (−𝑏) ≥ 𝑎. Il suffit de
prendre :
𝑛 = −𝑚.
4-2-Divisibilité dans ℤ:
4-2-1 Multiples et diviseurs d’un entier relatif
Définition :
Soient 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 deux entiers relatifs.
On dit que 𝑎 est un multiple de 𝑏 s’il existe un entier relatif 𝑘 tel que 𝑎 = 𝑘𝑏. On dit
aussi que 𝑏 divise 𝑎, ou que 𝑎 est divisible par 𝑏 et on note 𝑏 ∕ 𝑎.
Exemple : −77 = (−11) × 7, donc 7 divise −77. De même,−11 divise 77.
L’ensemble des diviseurs de −77 est : {−77; −11; −7; −1; 1; 7; 11; 77}.
Remarques :
1) Si 𝑎 = 𝑘𝑏, (𝑘 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ, 𝑎 ∈ ℕ), on a aussi – 𝑎 = (−𝑘)𝑏 ;donc si 𝑏 divise 𝑎, 𝑏
divise – 𝑎, et réciproquement. Donc les entiers relatifs 𝑎 et – 𝑎 ont même ensemble
de diviseurs dans ℤ. En particulier, comme 𝑎 = 𝑎 × 1, 𝑎 divise 𝑎.
2) Tout entier relatif est multiple de 1 et de −1.
3) 0 est multiple de tout entier relatif.
Exercices :
1) Déterminer dans chaque cas, les entiers relatifs dont les nombres donnés sont
multiples :a) −15 ; b) 144 ; c) 125 ; d) −160.
2) Déterminer dans chaque cas, les entiers relatifs diviseurs des nombres donnés
ci- après : a) −15; ; b) 144 ; c) 125 ; d) −160.
Exercice :
Déterminer les entiers 𝑛 tel que( 𝑛 + 1) soit un diviseur de (𝑛 − 1)(2𝑛 + 5).
Solution : on a ( 𝑛 + 1 ) ∕ (𝑛 − 1)(2𝑛 + 5) impose (𝑛 + 1 )∕ (2𝑛 + 5).
Mais 2𝑛 + 5 peut s’écrire 2𝑛 + 5 = 2(𝑛 + 1) + 3,
donc (𝑛 + 1 )∕ (2𝑛 + 5) ⟺ ( 𝑛 + 1) ∕ 3 ⟺ ( 𝑛 + 1) ∈ {1; 3}. Il en résulte que 𝑛 = 0 ; 2.
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4-2-2 Propriétés de la divisibilité dans ℤ :
Soient 𝑎, 𝑏 et 𝑐 trois entiers relatifs
(1) Si 𝑎 divise 𝑏 et 𝑏 divise 𝑐 alors a divise 𝑐 ;
(2) 𝑎 divise 𝑏 si et seulement si 𝑎 divise (−𝑏) ;
(3) 𝑎 divise 𝑏 si et seulement si (−𝑎) divise 𝑏 ;
(4) 1 et −1 divisent tout entier relatif ;
(5) Tout entier relatif non nul divise 0, mais 0 ne divise aucun entier relatif ;
(6) Si 𝑎 ≠ 0 et 𝑏 divise 𝑎 alors |𝑏| ≤ |𝑎| ;
(7) Si 𝑎 divise 𝑏 et 𝑏 divise 𝑎 alors 𝑎 = ±𝑏 ;
(8) Si 𝑎 divise 1 alors 𝑎 = 1 ou 𝑎 = −1 ;
(9) Si 𝑎 divise −1 alors 𝑎 = −1 ou 𝑎 = 1 ;
(10) Si 𝑐 divise 𝑎 et 𝑐 divise 𝑏 alors 𝑐 divise toute combinaison linéaire de 𝑎 et 𝑏, c'est-àdire que 𝑎 divise 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 pour tout 𝑥, 𝑦 dans ℤ.
Exercice1 :
Soit 𝑛 un entier naturel et 𝑎 = 18𝑛 + 80,
𝑏 = 15𝑛 + 26. On considère un diviseur
commun 𝑑à 𝑎 et 𝑏.
1) Démontrer que 𝑑 divise 244.
2) Démontrer que si 𝑑 est pair alors 𝑛 l’est aussi.
3) Démontrer que si 𝑑 est un multiple de 13, alors 𝑛 l’est aussi.
Exercice 2 : 𝑛 est un entier non nul.
1) Montrer que 32n – 2n est divisible par 7.
2) Résoudre dans ℤ l’équation 𝑛(𝑛 + 2)(𝑛 + 3) = 432.
5-DIVISION EUCLIDIENNE
L’objectif de cette partie est de définir la division euclidienne sur les entiers naturels,
de la maîtriser par les exercices d’application et de la mettre en œuvre dans les
démonstrations. Ce sera l’occasion de faire réfléchir les élèves sur la divisibilité d’un produit
d’entiers consécutifs. On leur fait observer que tout entier peut s’écrire, par exemple sous la
forme 3k, 3k+1 ou 3k+2.
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5-1- Division euclidienne dans ℕ
Activité :Ref [1]
Soient 𝑎 et 𝑏 deux entiers positifs, avec : 𝑏 ≠ 0. En utilisant le fait que𝑏 > 0, donc
que les multiples positifs de 𝑏 : 0 ; 𝑏 ;2𝑏 ;… ; 𝑞𝑏 ; (𝑞 + 1)𝑏 ; … forment une suite strictement
croissante, vérifier que :
1- (𝑎 + 1)𝑏 > 𝑎 implique que 𝑎 est nécessairement soit l’un des multiples écrits,
soit compris entre deux multiples consécutifs. C'est-à-dire-que 𝑎 est dans un
intervalle [𝑞𝑏; (𝑞 + 1)𝑏[.
2- La distance 𝑟 de 𝑎 à 𝑞𝑏 qui est 𝑎 − 𝑞𝑏 est strictement inférieure à la longueur b de
l’intervalle [𝑞𝑏; (𝑞 + 1)𝑏[.Donc 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 et 0 ≤ r < 𝑏.
3- Le couple (𝑞 ; 𝑟 )
est unique puisque 𝑎 n’appartient qu’à un seul intervalle du
type [𝑝𝑏; (𝑝 + 1)𝑏[.
Théorème fondamental :Ref [3]
Soit 𝑎 et 𝑏 deux entiers naturels tels que : 𝑏 ≠ 0, il existe un unique (𝑞, 𝑟) de ℕ × ℕ tel que
𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 et 0 ≤ r < 𝑏.
Preuve :

Existence
Par récurrence sur (𝑞 , 𝑟), soit 𝑎 ≥ 0 ; si 𝑎 < 𝑏 , ceci impose 𝑞 = 0 donc 𝑟 = 𝑎 .
Si 𝑎 ≥ 𝑏 , alors on a 0 ≤ 𝑎 − 𝑏 < 𝑎 .Par l’hypothèse de récurrence, on peut trouver
(𝑞1 , 𝑟1 ) ∈ ℕ² tel que 𝑎 − 𝑏 = 𝑞1 𝑏 + 𝑟1 avec 𝑟1 < 𝑏. Mais 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 donc
𝑏𝑞 + 𝑟 − 𝑏 = 𝑏𝑞1 + 𝑟
et le couple (𝑞 , 𝑟) = (𝑞1 + 1 , 𝑟1 ) convient.

Unicité
Soient (𝑞1 , 𝑟1 ) et (𝑞2 , 𝑟2 ) deux éléments de ℕ2 tels que :
𝑎 = 𝑏𝑞1 + 𝑟1 avec 𝑟1 < 𝑏
et
𝑎 = 𝑏𝑞2 + 𝑟2 avec 𝑟2 < 𝑏.
Alors on écrit
𝑏𝑞1 + 𝑟1 = 𝑏𝑞2 + 𝑟2 .
On peut supposer que 𝑟2 ≥ 𝑟1; alors on peut encore écrire
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𝑏(𝑞1 − 𝑞2 ) = 𝑟2 − 𝑟1 ≤ 𝑟2 < 𝑏.
Donc 𝑞1 − 𝑞2 ≥ 0 et 𝑞1 – 𝑞2 < 1. Ceci impose 𝑞1 – 𝑞2 = 0 c'est-à-dire 𝑞1 = 𝑞2 d’où 𝑟1 = 𝑟2 .
Définition :
Déterminer le couple (𝑞, 𝑟) du théorème précédent c’est faire la division euclidienne de
𝑎 par 𝑏.
Les entiers 𝑎, 𝑏, 𝑞 et 𝑟 sont respectivement appelés dividende, diviseur, quotient et
reste de cette division.
Lorsque 𝑟 = 0, on dit que 𝑏 est un diviseur exact (ou tout simplement diviseur) de a ou
encore 𝑎 est un multiple de 𝑏.
Le théorème précédent s’appelle le théorème fondamental de la division euclidienne.
Remarque :
1) Dire que 𝑏 divise 𝑎, équivaut à dire que, dans la division euclidienne de 𝑎 par 𝑏, le
reste est nul.
2) Dans la division euclidienne de 𝑎 par 𝑏, la condition 0 ≤ 𝑟 < 𝑏 est indispensable.
Exemple1 :
Légalité 58 = 17 × 2 + 24, ne traduit pas la division euclidienne de 58 par 17,
car 24 > 17.
Exemple 2 :
Déterminer tous les entiers 𝑛 (𝑛 ∈ ℕ∗ ) tels que 𝑛 + 1⁄𝑛2 + 1.
Solution : 𝑛2 + 1 peut s’écrire
𝑛2 + 1 = 𝑛(𝑛 + 1) − (𝑛 − 1)
Donc 𝑛 + 1⁄𝑛2 + 1 ⟺ 𝑛 + 1⁄𝑛(𝑛 + 1) − (𝑛 − 1) ⟹ 𝑛 + 1 ∕ 𝑛 − 1.
Ceci impose
𝑛−1=0
car 𝑛 + 1 ∈ ℕ∗ et 𝑛 − 1 ∈ ℕ. donc, la seule solution est 𝑛 = 1.
Exercices :
1) Trouvez un nombre qui divisé par 21 donne pour reste 4 et qui, divisé par 17 donne
le même quotient et a pour reste16.
2) Le dividende d’une division est inférieur à 300. Le quotient est 72 et le reste est 12.
On cherche le diviseur et le dividende. Expliquez pourquoi il n’y a pas de solution.
3) Dans une division euclidienne entre entiers naturels, quels peuvent être le diviseur et
le quotient lorsque le dividende est 320 et le reste 39.
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5-2-Division euclidienne dans ℤ.
La division euclidienne se généralise à des entiers relatifs. On obtient le résultat suivant :
Théorème : Ref [1]
Soient 𝑎 et b deux entiers relatifs tels que 𝑏 ≠0. Il existe un unique couple (𝑞 ; 𝑟) de ℤ x ℕ
tel que 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 et 0 ≤ 𝑟 < |𝑏|.
Définition :
Lorsque 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟, 0 ≤ 𝑟 < |𝑏|, 𝑞 et 𝑟 uniques, on dit que 𝑞 est quotient et 𝑟 est le
reste de la division euclidienne de 𝑎 par 𝑏.
Exemple :
Effectuer la division euclidienne de a par b dans chacun des cas suivants :
𝑎 = 53 𝑒𝑡 𝑏 = 12
𝑎 = 53 𝑒𝑡 𝑏 = − 12
𝑎 = − 53 𝑒𝑡 𝑏 = 12
𝑎 = − 53 𝑒𝑡 𝑏 = − 12
Solution :
On a :53 = 12 × 4 + 5 𝑒𝑡 0 ≤ 5 < 12.
Donc 4 et 5 sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de
53 par 12.
On a : – 53 = 12 × (−4)– 5 = 12 × (−5) + 7 et 0 ≤ 7 < 12 . Donc – 5 et 7 sont
respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de – 53 par 12.
On a : 53 = (−12) × (−4) + 5 et 0 ≤ 5 < |12|. Donc − 4 et 5 sont respectivement le
quotient et le reste de la division euclidienne de 53 par −12.
On a : −53 = (−12) × 4 – 5 = (−12) × 5 + 7 et 0 ≤ 7 < |−12|. Donc 5 et 7 sont
respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de −53 par − 12.
Exercice:
Effectuer la division euclidienne de 𝑎 par 𝑏 dans chacun des cas suivants.
𝑎 = 59 𝑒𝑡 𝑏 = 18 ; 𝑎 = − 59 𝑒𝑡 𝑏 = 18 ; 𝑎 = − 59 𝑒𝑡 𝑏 = − 18
𝑎 = 59 𝑒𝑡 𝑏 = − 18 ; 𝑎 = 65 𝑒𝑡 𝑏 = 358 ; 𝑎 = 358 𝑒𝑡 𝑏 = 65
6-NOMBRES PREMIERS.
Dans cette partie, nous travaillerons avec des entiers naturels. Tous les diviseurs ou
multiples de tels entiers seront positifs. L’objectif est d’introduire les nombres premiers par
leurs rôles particuliers en arithmétique, de mettre en évidence l’intérêt de la décomposition en
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facteurs premiers, de découvrir et d’utiliser le crible d’Eratosthène pour établir la liste de tous
les nombres premiers.
6-1-Définitions et propriétés : 𝑹𝒆𝒇[𝟏]
Un nombre premier est un entier naturel 𝑝 strictement supérieur à 1, qui n’admet pas
d’autres diviseurs entiers naturels que lui-même et 1.
Si 𝑝 est un nombre premier, 𝔇(𝑝) ={1, 𝑝} où 𝔇( 𝑝 )désigne l’ensemble des diviseurs de 𝑝.
Exemple : les premiers entiers naturels premiers sont
2 ; 3 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 etc.
Par contre 12 et 49 ne sont pas des nombres premiers car 3 est un diviseur de 12 et
7 est un diviseur de 49.
Remarque :
1) 1 n’est pas premier puisque 1 n’est pas strictement supérieur à 1.
2) Un entier non premier et distinct de 1 est dit composé.
3) Un entier non premier admet au moins un diviseur autre que lui-même et 1. Un tel diviseur
est appelé un diviseur strict.
Propriétés:
1) Tout entier naturel 𝑛 > 1 admet au moins un diviseur premier.
2) Tout entier naturel 𝑛 > 1 et non premier admet un diviseur premier 𝑝 tel que 𝑝2 ≤ 𝑛.
3) Un entier naturel 𝑛 ≥ 2 est premier si et seulement si il n’admet aucun diviseur premier
inférieur ou égal à √𝑛.
Preuves :
1. Si 𝑛 = 0 ou si 𝑛 est premier c’est évident. Supposons que 𝑛 ≠ 0 non premier. Alors 𝑛
admet un diviseur 𝑑 tel que 1 < 𝑑 < 𝑛. Soit S l’ensemble de ces diviseurs. Alors il est
évident que S est une partie non vide de ℕ. Donc par le principe du bon ordre, il admet un
plus petit élément 𝑝. Ainsi, 𝑝 est forcément premier car sinon il admet un diviseur 𝑞 tel
que 1 < 𝑞 < 𝑝, ce qui contredit la minimalité de 𝑝.
2. Supposons 𝑛 ≠ 0 et non premier et considérons l’entier premier 𝑝 défini dans la preuve
de la propriété 1) précédente. Alors il existe 𝑞 ∈ ℕ tel que 𝑛 = 𝑝𝑞. Comme 𝑞 est un
diviseur de 𝑛, par définition de 𝑝, on a 𝑝 ≤ 𝑞. d’où 𝑝2 ≤ 𝑝𝑞 = 𝑛.
3.
Il découle de la propriété 2.
Exemple: Montrons que 223 est premier.
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Solution : 223 n’est ni divisible par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7 ni par 11, ni par 13. Inutile
de chercher à diviser par 17 car 172 = 289 > 223.
Donc 223 est premier.
Exercices :
1. 313 est –il un nombre premier ?
2. 1903 est-il un nombre premier ?
6-2- Divisibilité d’un produit par un nombre premier.
Activité :
Soit 𝑝 un nombre premier, 𝑎 et 𝑏 deux entiers naturels tels que 𝑝⁄𝑎𝑏.
a) En supposant que 𝑝 ne divise pas 𝑎, montrer en vous aidant de la propriété 3 que 𝑎 et 𝑝 sont
premiers entre eux.
b) Conclure en utilisant le théorème de Gauss que 𝑝⁄𝑏.
Propriétés :
1) Soit 𝑝 un nombre premier, 𝑎 et 𝑏 deux entiers naturels. Si 𝑝 divise le produit 𝑎𝑏 alors 𝑝
divise 𝑎 ou 𝑝 divise 𝑏. Et si 𝑝 est premier et 𝑝⁄𝑎2 alors 𝑝 ∕ 𝑎.
2) Si un nombre premier divise un produit de plusieurs entiers naturels, il divise au moins l’un
d’eux.
Corollaire :
Si un nombre premier divise un produit de nombres premiers, il est forcément égal à l’un d’eux.
Exercice : Soit 𝑛 un entier supérieur ou égal à 2.
a) Etablir l’égalité : 𝑛4 + 4 = (𝑛2 + 2)2 − 4𝑛2 .
b) L’entier 𝑛4 + 4 peut-il être premier ?
6-3- L’ensemble des nombres premiers.
Activité : Supposons que l’ensemble 𝑝 des nombres premiers soit fini. Posons 𝑝 =
{𝑝1 ; 𝑝2 ; … ; 𝑝𝑛 } et considérons l’entier naturel 𝑚 = 1 + 𝑝1 × 𝑝2 × … × 𝑝𝑛
a) Justifier que 𝑚 possède au moins un diviseur premier qui doit être l’un des
𝑝𝑖 , 𝑖 ∈ {1; 2; … , 𝑛}.
b) En supposant que ce diviseur s’appelle 𝑝1, établir l’égalité 𝑚 = 𝑝1 𝑞, avec 𝑞 entier
naturel strictement supérieur à 1.
c) En déduire que 𝑝1 divise 1, puis conclure que 𝑝 est infini.
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Théorème d’Euclide : Ref[2]
Il existe une infinité de nombres premiers.
6-4-Liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à un entier naturel n donné :
le crible d’Eratosthène.
Activité :
Pour trouver tous les nombres premiers entre 2 et 𝑛, 𝑛 étant un entier naturel donné, on
écrit tous les nombres de 2 à 𝑛.
1- On considère le nombre 2 premier, on barre tous les multiples de 2 sauf 2.
2- Le nombre premier suivant est 3, on barre tous les multiples de 3 non encore barrés sauf
3.
3- Le premier nombre non barré après 3 est premier car il n’est multiple d’aucun des
nombres premiers qui le précèdent. Ce premier nombre est 5, dont 5 est premier.
4- On décide pour tout nombre premier 𝑝 de rayer tous les multiples de 𝑝 strictement
supérieur à 𝑝 (cela vient d’être fait pour 2 , 3 et 5) et ainsi de suite. Toutefois, si l’on
arrive à l’étape où le plus petit nombre non barré est supérieur à √𝑛, le procédé s’arrête.
On est alors assuré que tous les nombres sont premiers.
Exercice : Trouver tous les nombres premiers entre 2 et 104 par cette méthode.
5-5-Décomposition en produit de facteurs premiers.
Théorème fondamental de l’arithmétique : Ref [2]
Tout entier naturel 𝑛 supérieur ou égal à 2 est premier ou bien s’écrit d’une manière unique
comme produit de nombres premiers. Donc si 𝑛 est un entier naturel supérieur ou égal à 2 alors
𝑛 = 𝑝1 𝑎1 × 𝑝2 𝑎2 × … × 𝑝𝑚 𝑎𝑚 où 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑚 sont des entiers premiers distincts et les
𝑎𝑖 sont des entiers naturels non nuls.
Remarque :
Dans une écriture d’un entier en produit de facteurs premiers, un même nombre premier peut
être utilisé plusieurs fois.
Exemple : Décomposer 4872 en produit de facteurs premiers.
Solution : on a
4872
2436
1218
609
203
29
1
2
2
2
3
7
29
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On obtient : 4872 = 23 × 3 × 7 × 29
Exercice:
Décomposer chacun des nombres suivants en produits de facteurs premiers :
a) 3850 ; 𝑏)8550 ; 𝑐)3085 ; 𝑑)8503
6-6- Diviseurs Positifs d’un entier naturel.
Activité :
Soit 𝑛 un entier naturel dont la décomposition en produit de facteurs premiers est
𝑛 = 𝑝1 𝑎1 × 𝑝2 𝑎2 × … × 𝑝𝑚 𝑎𝑚 où 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑚 sont des entiers premiers distincts et les 𝑎𝑖 sont
des entiers naturels non nuls.
1- On considère 𝑑 = 𝑝1 𝑎′1 × 𝑝2 𝑎′2 × … × 𝑝𝑚 𝑎′𝑚 où les 𝑎′𝑖 sont des entiers naturels tels que
pour tout indice 𝑖, 0 ≤ 𝑎′𝑖 ≤ 𝑎𝑖 . En remarquant que
𝑛 = 𝑝1 𝑎1 −𝑎′1 × 𝑝2 𝑎2 −𝑎′2 × … × 𝑝𝑚 𝑎𝑚 −𝑎′𝑚 𝑑 où les 𝑎𝑖 − 𝑎′𝑖
sont des entiers positifs.
Montrer que 𝑑 est un diviseur de 𝑛.
2- On veut démontrer qu’il n’existe pas d’autres diviseurs de 𝑛 que les nombres 𝑑 de la
forme 𝑑 = 𝑝1 𝑎′1 × 𝑝2 𝑎′2 × … × 𝑝𝑚 𝑎′𝑚 .On considère alors un diviseur 𝑑 de 𝑛 divisible
par un nombre de la forme 𝑝𝑏 , avec 𝑝 premier. En remarquant que 𝑝𝑏 divise 𝑛 et en
utilisant l’unicité de la décomposition de 𝑛 en facteurs premiers.
a) Justifier que 𝑝𝑏 est l’un des 𝑝𝑖 𝑏𝑖 où 𝑏𝑖 ne peut dépasser 𝑎𝑖 .
b) Conclure que d peut s’écrire sous la forme
𝑑 = 𝑝1 𝑏1 × 𝑝2 𝑏2 × … × 𝑝𝑚 𝑏𝑚 où 𝑏1 ≤ 𝑎1, 𝑏2 ≤ 𝑎2 , … , 𝑏𝑚 ≤ 𝑎𝑚 .
Les 𝑏𝑖 étant les entiers naturels.
Théorème :Ref [2]
Soit 𝑛 = 𝑝1 𝑎1 × 𝑝2 𝑎2 × … × 𝑝𝑚 𝑎𝑚 , où 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑚 sont des entiers premiers distincts et les
𝑎𝑖 sont des entiers naturels non nuls. Tout diviseur positif 𝑑 de 𝑛 est de la forme :
𝑑 = 𝑝1 𝑏1 × 𝑝2 𝑏2 × … × 𝑝𝑚 𝑏𝑚 où 𝑏1 ≤ 𝑎1, 𝑏2 ≤ 𝑎2 , … , 𝑏𝑚 ≤ 𝑎𝑚 .
Les 𝑏𝑖 étant les entiers naturels.
Remarque :
Soit 𝑛 = 𝑝1 𝑎1 × 𝑝2 𝑎2 × … × 𝑝𝑚 𝑎𝑚 , où 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑚 sont des entiers premiers distincts et
les𝑎𝑖 sont des entiers naturels non nuls. Le nombre de diviseurs positifs de 𝑛 est :
(𝑎1 + 1)(𝑎2 + 1) × … × (𝑎𝑚 + 1).
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Exemple : Donner le nombre de diviseurs positifs de 3850
Solution : on décompose 3850 en produit de facteurs premiers
On obtient : 3850 = 21 × 52 × 71 × 111
Donc 𝔇(3850) = (1 + 1) (2 +1) (1 +1)( 1 +1) =24
3850
1925
385
77
11
1
2
5
5
7
11
6-7-Équation de la forme :𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 𝒐ù 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒙, 𝒚, ∈ ℤ
Théorème : Ref [3]
(1) Une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation (𝐸) : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 admette
une solution dans ℤ est que 𝑑 divise 𝑐 où 𝑑 est le 𝑝𝑔𝑐𝑑(𝑎 ; 𝑏).
(2) Si 𝑑 ∕ 𝑐, alors(𝐸) admettra une infinité de solution de la forme :
𝑥 = 𝑥0 −
𝑏𝑡
𝑑
{
𝑎𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑑
𝑡 ∈ ℤ, (𝑥0 , 𝑦0 ) étant une solution particulière.
Preuve :
(1) Supposons que 𝑑 ∕ 𝑐 alors 𝑐 = 𝑑𝑘.
𝑑 = 𝑎⋀b ⟹ ∃𝑥1 , 𝑦1 ∈ ℤ tels que 𝑑 = 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 donc , 𝑐 = 𝑑𝑘 = 𝑎𝑥1 𝑘 + 𝑏𝑦1 𝑘.
Il suffit de prendre 𝑥 = 𝑥1 𝑘 et 𝑦 = 𝑦1 𝑘.
Inversement si (𝐸) admet une solution (𝑥, 𝑦) alors 𝑐 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦.
Or 𝑎 = 𝑑𝑘1 et 𝑏 = 𝑑𝑘2 car 𝑑 ∕ 𝑎 et 𝑑 ⁄𝑏 donc, 𝑐 = 𝑑(𝑘1 𝑥 + 𝑘2 𝑦) ⟹ 𝑑 ∕ 𝑐.
(2) Supposons que (1) soit satisfait, c'est-à-dire 𝑑 ∕ 𝑐.
𝑎 = 𝑎′ 𝑑, 𝑏 = 𝑏 ′ 𝑑 avec 𝑎′ ∧ 𝑏 ′ = 1, 𝑐 = 𝑑𝑐 ′ .
(𝐸) devient 𝑎′ 𝑑𝑥 + 𝑏 ′ 𝑑𝑦 = 𝑑𝑐 ′ ⟺ 𝑎′ 𝑥 + 𝑏 ′ 𝑦 = 𝑐 ′ (𝐸’) .
Mais 𝑎′ ∧ 𝑏 ′ = 1 ⇔ ∃𝑥′0 , 𝑦′0 ∈ ℤ, 𝑎′𝑥 ′ 0 + 𝑏′𝑦′0 = 1
D’où 𝑎′𝑐′𝑥′0 + 𝑏’𝑐’𝑦′0 = 𝑐 ’ ; donc on prend 𝑥0 = 𝑐′𝑥′0 et 𝑦0 =𝑐’𝑦′0.
𝑎′𝑥 + 𝑏′𝑦0 = 𝑐′
Si (𝑥1 , 𝑦1 ) est une autre solution de (𝐸’) alors on a :{ 0
. Donc
𝑎′𝑥1 + 𝑏′𝑦1 = 𝑐′
𝑎′𝑥0 + 𝑏′𝑦0 = 𝑎′𝑥1 + 𝑏′𝑦1 ⟹ 𝑎′ (𝑥0 − 𝑥1 ) = 𝑏’(𝑦1 − 𝑦0 ).
Mais 𝑎′ ∕ 𝑎′ (𝑥0 − 𝑥1 ) ⟹ 𝑎′ ∕ 𝑏’(𝑦1 − 𝑦0 )
Comme 𝑎′ ∧ 𝑏 ′ = 1, il vient 𝑎′ ∕ (𝑦1 − 𝑦0 ) ⟹ 𝑦1 − 𝑦0 = 𝑎′𝑡, 𝑡 ∈ ℤ. (*)
(*)⟹ 𝑎′ (𝑥0 − 𝑥1 )= 𝑏 ′ ( 𝑎′ 𝑡)
⟹ 𝑥0 − 𝑥1 =𝑏 ′ 𝑡 c'est-à-dire 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑏 ′ 𝑡
𝑥 = 𝑥0 − 𝑏′𝑡
D’où { 1
𝑦1 = 𝑦0 + 𝑎′𝑡
𝑡∈ℤ
Inversement si 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑏′𝑡 et 𝑦1 = 𝑦0 + 𝑎′𝑡
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Alors
𝑎′𝑥1 + 𝑏′𝑦1 = 𝑎′ (𝑥0 − 𝑏 ′ 𝑡) + 𝑏 ′ (𝑦0 + 𝑎′ 𝑡)
= 𝑎′𝑥0 − 𝑎′𝑏′𝑡 + 𝑏′𝑦0 + 𝑏′𝑎′𝑡 = 𝑎′𝑥0 + 𝑏′𝑦0 = 𝑐′
𝑎
𝑏
Comme (𝐸) ⟺ (𝐸’) et que 𝑎′ = 𝑑 et 𝑏′ = 𝑑
Il vient que les solutions de (𝐸) sont de la forme :
𝑥 = 𝑥0 −
𝑏𝑡
𝑑
{
𝑎𝑡 𝑡 ∈ ℤ, (𝑥0 , 𝑦0 )étant une solution particulière.
𝑦 = 𝑦0 + 𝑑
Exemple :
Résoudre dans ℤ² l’équation 5𝑥 + 22𝑦 = 18.
Solution : On a 𝑝𝑔𝑐𝑑 (5,22) = 1 et 1 ∕ 18, donc cette équation a des solutions entières.
Le 𝑝𝑔𝑐𝑑(5, 22) conduit à : 1 = 9 × 5 − 2 × 8. D’où
(𝑥0 , 𝑦0 ) = (9 × 18, −2 × 18) = (162, −36)
et toutes les solutions sont données par :
(𝑥, 𝑦) = (162 + 22𝑡, −36 − 5𝑡) 𝑡 ∈ ℤ .
Remarque : Résoudre l’équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 dans ℕ² c’est résoudre 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
dans ℤ² et les solutions dans ℕ² sont : {
𝑥 = 𝑥0 −
𝑦 = 𝑦0 +
𝑏𝑡
𝑑
𝑎𝑡
𝑑
≥0
≥0
Exercice : Résoudre dans ℤ² l’équation 1045𝑥 + 561𝑦 = 3.
7- CONGRUENCE
L’objectif ici est d’introduire la notion de congruence comme outil pratique de
démonstration et de l’utiliser pour la détermination des restes.
7-1- Définitions et propriétés des congruences
Définition: soit 𝑚 ∈ ℤ ∖ {0} ; 𝑎 et 𝑏 deux éléments de ℤ. On dit que 𝑎 est congru
(ou équivalent) à 𝑏 modulo 𝑚 et on écrit 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) ou 𝑎 ≡ 𝑏[𝑚] si et seulement si
𝑚⁄𝑎 − 𝑏. C’est à dire 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑𝑚) ⇔ 𝑚 ∕ 𝑎 − 𝑏.
Dans le cas contraire, on
écrit 𝑎 ≢ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) et on dit que 𝑎 n’est pas congru à
𝑏 modulo 𝑚.
Dire que 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) revient à dire qu’il existe k ∈ ℤ tel que 𝑎 = 𝑏 + 𝑘𝑚
Exemple :
54 ≡ 4(𝑚𝑜𝑑 10) ; −81 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 9) ; −5 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 7); 7 ≢ 4( 𝑚𝑜𝑑 5)
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Conséquences de la définition
Soit 𝑚 ∈ ℕ∗ 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 dans ℤ alors :
C1) 𝑎 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) ⟺ 𝑎 est multiple de 𝑚.
C2) 𝑎 ≡ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝑚). On dit que la relation de congruence est réflexive.
C3) 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚) ⟺ 𝑏 ≡ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑𝑚). On dit que la relation de congruence est
symétrique.
C4) 𝑆𝑖 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)𝑒𝑡 𝑏 ≡ 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑎 ≡ 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑚). On dit que la
relation de congruence est transitive.
C5) Si 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) 𝑒𝑡 𝑐 ≡ 𝑑(𝑚𝑜𝑑 𝑚) 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑎 + 𝑐 ≡ 𝑏 + 𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚). On dit
que la relation de congruence est compatible avec l’addition dans ℤ.
C6) 𝑆𝑖 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)𝑒𝑡 𝑐 ≡ 𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑎 × 𝑐 ≡ 𝑏 × 𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚). On
dit
que la relation de congruence est compatible avec la multiplication dans ℤ.
C7) Si 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) 𝑒𝑡 𝑠𝑖 𝑑 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝑚; 𝑑 > 0 alors 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑑).
Exemple : Etablir que : (∀𝑛 ∈ ℕ) 32𝑛+1 + 2𝑛+2 est multiple de 7.
Solution. Posons 𝑥 = 32𝑛+1 + 2𝑛+2. Etablir que 𝑥 est multiple de 7 dans ℕ équivaut
à établir :
𝑥 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 7).
Mais 32 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 7), donc : 32𝑛+1 ≡ (3²)𝑛 × 3 ≡ 3 × 2𝑛 (𝑚𝑜𝑑 7).
D’autre part : 2𝑛+2 = 4 × 2𝑛 .
D’où : 𝑥 = (3 + 4) × 2𝑛 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 7).
7-2-Autres résultats
Activité1 :
Soit 𝑎 et 𝑏 deux entiers, 𝑚 un entier naturel non nul, 𝑟 et 𝑟’ les restes respectifs de la
division euclidienne par 𝑚 de 𝑎 et 𝑏. On suppose que 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚).
a) En utilisant les relations 𝑎 = 𝑚𝑞 + 𝑟, 0 ≤ r < 𝑚, 𝑏 = 𝑚𝑞’ + 𝑟’,
0 ≤ r ′ < 𝑚,
avec 𝑟 ; 𝑟’ ; 𝑞 ; 𝑞’ entiers, vérifier que 𝑎 − 𝑏 = 𝑚(𝑞 − 𝑞’) + 𝑟 − 𝑟’.
b) Utiliser l’encadrement 0 ≤ r − r ′ < 𝑚 et le fait que 𝑚/𝑎 − 𝑏 pour
conclure que 𝑚/r − r′ et donc que 𝑟 = 𝑟’.
c) Réciproquement : si 𝑟 = 𝑟’ et en écrivant que 𝑎 − 𝑏 = 𝑚(𝑞 − 𝑞’), conclure.
Activité 2 :
Soit 𝑎, 𝑏 et 𝑘 trois entiers. 𝑛 un entier nature, 𝑛 ≥ 2. On suppose que 𝑘𝑎 ≡ 𝑘𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
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et que 𝑝𝑔𝑐𝑑 (𝑛, 𝑘) = 1. En utilisant le fait que 𝑛⁄𝑘(𝑎 − 𝑏)et le théorème de Gauss,
Montrer que 𝑛/𝑎 − 𝑏. Conclure.
Activité3 :
Soit 𝑎, 𝑏 et 𝑘 trois entiers, 𝑛 un entier naturel, 𝑛 ≥ 2 on suppose que 𝑘𝑎 ≡ 𝑘𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
et que 𝑝𝑔𝑐𝑑(𝑛, 𝑘) = 𝑑
a) En utilisant les relations 𝑘(𝑎 − 𝑏) = 𝑛𝑡 avec 𝑡 entier, 𝑛 = 𝑛’𝑑 𝑒𝑡 𝑘 = 𝑘’𝑑 avec
𝑛’ étranger à 𝑘’, montrer que 𝑘’(𝑎 − 𝑏) = 𝑛’𝑡
b) Déduire que 𝑘’𝑎 ≡ 𝑘′𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛’)
c) Utiliser l’activité précédente pour conclure que 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛’)
C’est-à-dire 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑
𝑛
𝑑
)
Théorème 1 :Ref [1]
Soit 𝑚 un entier naturel non nul, 𝑎 et 𝑏 deux entiers relatifs ; 𝑟 et 𝑟’ les restes
respectifs des divisions euclidiennes et 𝑎 et 𝑏 par 𝑚. on a : 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚) ⟺ 𝑟 = 𝑟’
Théorème 2 :Ref [1]
Soit 𝑎, 𝑏 et 𝑘 trois entiers relatifs, 𝑛 un entier naturel, 𝑛 ≥ 2.
Si 𝑘𝑎 ≡ 𝑘𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛) et si𝑝𝑔𝑐𝑑 (𝑛, 𝑘) = 1 alors 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
Théorème 3 : Ref [1]
Soit 𝑎, 𝑏 et 𝑘 trois entiers relatifs, 𝑛 un entier naturel, 𝑛 ≥ 2.
𝑛
Si 𝑘𝑎 ≡ 𝑘𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛) et si𝑝𝑔𝑐𝑑 (𝑛, 𝑘) = 𝑑 alors 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑑)
Remarque :
Si 𝑘 est un entier naturel non nul, on a :𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) ⟹ 𝑎𝑘 ≡ 𝑏 𝑘 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)
Exercice
On considère les nombres 𝑎 et 𝑏 tels que 𝑎 = 137 et 𝑏 = 73
Déterminer les restes des divisions euclidiennes de 𝑎 + 𝑏 ; 𝑎𝑏 ; 3𝑎 − 2𝑏 et 𝑎3 + 3b3 par
25
Solution : on a : 𝑎 ≡ 12 (𝑚𝑜𝑑 25) 𝑒𝑡 𝑏 ≡ −2 (𝑚𝑜𝑑 25)

On a : 𝑎 + 𝑏 ≡ 10(𝑚𝑜𝑑 25), or 0 ≤ 10 < 25 donc 10 est le reste de la division
euclidienne de 𝑎 + 𝑏 par 25.

On a : 𝑎𝑏 ≡ −24 (𝑚𝑜𝑑 25) ; donc 𝑎𝑏 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑25). Or 0≤ 1 < 25; donc 1 est le
reste de la division euclidienne de 𝑎𝑏 par 25
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
On a : 3𝑎 − 2𝑏 ≡ 36 + 4 (𝑚𝑜𝑑 25) c'est-à-dire 3𝑎 − 2𝑏 ≡ 40 (𝑚𝑜𝑑 25) ;
Donc 3𝑎 − 2𝑏 ≡ 15(𝑚𝑜𝑑25), or 0 ≤ 15 < 25. Donc 15 est le reste de la division
euclidienne de 3𝑎 − 2𝑏 par 25

On a: 𝑎2 + 3𝑏 3 ≡ 120 (𝑚𝑜𝑑25) donc 𝑎2 + 3𝑏 3 ≡20 (𝑚𝑜𝑑 25).
Or, 0 ≤ 20 < 25 ; donc 20 est le reste de la division euclidienne de 𝑎2 + 3b3 par 25.
7-3-Utilisation des congruences pour la détermination des restes des divisions
euclidiennes
Exemple 1 :
Déterminer le reste de la division euclidienne de 72002 par 9.
Solution: on a 70 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 9); 71 ≡7 (𝑚𝑜𝑑 9) ; 72 ≡4 (𝑚𝑜𝑑 9) ; 73 ≡1 (𝑚𝑜𝑑 9). Donc
pour tout entier naturel n, 73n ≡1 (𝑚𝑜𝑑 9) ; mais 2002 = 3 × 667 +1.
Donc 72002 = 73 × 667+1 = 73 ×667 × 7 = (73 )667 × 7 ≡ 1667 × 7(𝑚𝑜𝑑9) c'est-à-dire que
72002 ≡7 (𝑚𝑜𝑑 9), or 0 ≤7 < 9; donc 7 est le reste de la division euclidienne de 72002 par 9.
Exemple 2 :
Démontrer que, pour tout entier naturel 𝑛(𝑛2 + 5) est divisible par 6
Solution : 2 et 3 sont premiers entre eux et 6 = 2× 3, il suffit donc en utilisant le théorème de
Gauss, de démontrer que 𝑛(𝑛2 + 5) est divisible par 2 et par 3.
Les restes possibles de la division de l’entier naturel 𝑛 par 2 sont 0 ou 1, ceux de la division
par 3 de l’entier naturel 𝑛 sont 0, 1 ou 2. On a les tableaux de congruences suivants.
Congruences modulo 2 de 𝑛(𝑛2 + 5)
n
𝑛 +5
n(𝑛2 + 5)
2
En
conclusion :
0
1
0
Congruences modulo 3 de 𝑛(n2 + 5)
1
0
0
𝑛 (𝑛2 + 5) ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 2)
n
𝑛 +5
n(𝑛2 + 5)
2
et
0
1
0
1
0
0
𝑛(𝑛2 + 5) ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 3).Il
2
0
0
en
résulte
que :𝑛(𝑛2 + 5) ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 6) c'est-à-dire 𝑛(n2 + 5)divisible par 6.
Exercice
Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel 𝑛, le reste de la division euclidienne
de 5n par 3.
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7-4-Résolutions des systèmes
Activité :
Soit en nombres entiers le système {
𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 2)
𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 3)
1- Déterminer les entiers relatifs vérifiant :
a) 𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 2)
b) 𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 3)
𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 2)
2- Montrer que résoudre le système {
𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 3)
se ramène à résoudre en nombres
entiers, l’équation 2𝑎 + 1 = 3𝑏 + 2 ou encore 2𝑎 − 3𝑏 = 1.
3- En déduire que l’ensemble des solutions est : S= {6𝑘 + 5, 𝑘 ∈ ℤ}.
Théorème.(Sun Tse) Ref [3]
Soient 𝑚1 ; 𝑚2 ; … ; 𝑚𝑟 des entiers naturels premiers entre eux deux à deux et
soient 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑟 des entiers quelconques. Alors le système de congruences linéaires
𝑥 = 𝑎1 (𝑚𝑜𝑑 𝑚1 )
𝑥 = 𝑎2 (𝑚𝑜𝑑 𝑚2 )
{
⋮
𝑥 = 𝑎𝑟 (𝑚𝑜𝑑 𝑚𝑟 )
possède toujours la solution particulière donnée par :
𝑚
𝑥0 = ∑𝑟𝑗=1 𝑚 𝑏𝑗 𝑎𝑗 ;
𝑗
𝑚
𝑏
𝑚𝑗 𝑗
≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑚𝑗 ) ; 𝑚 = 𝑚1 × 𝑚2 × … × 𝑚𝑟 et toutes les solutions
sont données par : 𝑥 ≡ 𝑥0 (𝑚𝑜𝑑 𝑚).
Preuve :
𝑚
𝑚
𝑗
𝑗
Il est clair que ∀𝑗, 𝑝𝑔𝑐𝑑 (𝑚𝑗, 𝑚 ) = 1c'est-à-dire ∃𝑐𝑗 , 𝑏𝑗 ∈ ℤtels que 𝑐𝑗 𝑚𝑗 + 𝑚 𝑏𝑗 = 1,
Donc
𝑚
𝑏
𝑚𝑗 𝑗
≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑚𝑗 ). Par ailleurs, il est évident que
𝑚
𝑏
𝑚𝑗 𝑗
≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑚𝑖 ) pour 𝑖 ≠ 𝑗.
𝑚
𝑚
𝑗
𝑖
De plus, pour chaque 𝑖 = 1 , 2 , … , 𝑟, on a 𝑥0 = ∑𝑟𝑗=1 𝑚 𝑏𝑗 𝑎𝑗 ≡ 𝑚 𝑏𝑖 𝑎𝑖 (𝑚𝑜𝑑 𝑚𝑖 ), d’où
la solution particulière du système.
Il reste à prouver l’unicité. Supposons que 𝑥1 et 𝑥2 soient deux solutions du système.
Alors on a 𝑥1 ≡ 𝑥2 (𝑚𝑜𝑑 𝑚𝑖 ) pour 𝑖 = 1 , 2 , … , 𝑟,
c'est-à-dire 𝑥1 ≡ 𝑥2 (𝑚𝑜𝑑𝑝𝑝𝑐𝑚(𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑟 ) = 𝑚).
Ce théorème est connu sous le nom de théorème des restes chinois.
Exemple :
Résoudre le système de congruences suivant :
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𝑥 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 3)
{𝑥 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 5) .
𝑥 ≡ 4(𝑚𝑜𝑑 7)
Solution. On a 𝑚1 = 3, 𝑚2 = 5, 𝑚3 = 7 et 𝑚 = 3 × 5 × 7 = 105.
D’après le théorème précédent, la congruence
𝑚
𝑏
𝑚𝑗 𝑗
≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑚𝑗 ) où
𝑗 = 1, 2, 3, donne les valeurs 𝑏1 = 2, 𝑏2 = 1, 𝑏3 = 1 a pour solution particulière
𝑚
𝑥0 = ∑3𝑗=1 𝑚 𝑏𝑗 𝑎𝑗 = 263 et toutes les solutions sont données par:
𝑗
𝑥 = 263 ≡ 53(𝑚𝑜𝑑 105).
𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 2)
Exercice : résoudre le système le système de congruence suivant :{
.
𝑥 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 3)
Théorème de Fermat : Ref[3]
Soit 𝑝 un entier naturel premier et soit 𝑎 ∈ ℕ∗ non divisible par 𝑝. Alors 𝑎𝑝−1 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝).
Corollaire.
Pour tout entier 𝑎 et pour tout entier premier 𝑝, 𝑎𝑝 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑝).
Preuve : Si 𝑝 ne divise pas 𝑎, alors d’après le Théorème de Fermat,
on a 𝑎𝑝−1 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝) ⟹ 𝑎𝑝 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑝).
Si 𝑝 divise pas 𝑎, alors 𝑎𝑝 ≡ 0 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑝).
7-5-Critères usuels de divisibilité : Ref[𝟏]
7-5-1-critère de divisibilité par 3 ou par 9.
Activité :
Soit 𝑎 = 𝑎𝑛 10𝑛 + 𝑎𝑛−1 10𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 101 + 𝑎0 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 … 𝑎1 𝑎0 l’écriture
décimale d’un entier naturel 𝑎.
En remarquant que 10 ≡1 (𝑚𝑜𝑑 3),
10𝑖 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑3)et 10 ≡1 (𝑚𝑜𝑑 9), 10i ≡ 1(𝑚𝑜𝑑9)
Pour tout entier naturel 𝑖, montrer que :
𝑎 ≡ 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 + 𝑎0 (𝑚𝑜𝑑 3) et 𝑎 ≡ 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 + 𝑎0 (𝑚𝑜𝑑 9)
Théorème :
Un nombre entier naturel est divisible par 3 ou par 9 lorsque la somme de ses chiffres est
multiple de 3 ou de 9.
Il ne l’est pas dans le cas contraire.
7-5-2- critère de divisibilité par 5.
Activité :
Soit a= 𝑎𝑛 10𝑛 + 𝑎𝑛−1 10𝑛−1 + ⋯ + 101 + 𝑎0 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 … 𝑎1 𝑎0 l’écriture décimale
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d’un entier naturel 𝑎.
En remarquant que 10𝑖 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 5) pour tout entier naturel 𝑖 ≥ 1,
Montrer que 𝑎 ≡ 𝑎0 (𝑚𝑜𝑑 5).
Théorème :
Un nombre entier naturel est divisible par 5 lorsque son dernier chiffre est 0 ou 5.
Il ne l’est pas dans le cas contraire.
7-5-3- Critère de divisibilité par 4 ou par 25.
Activité :
Soit = 𝑎𝑛 10𝑛 + 𝑎𝑛−1 10𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 101 + 𝑎0 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅,
𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 … 𝑎1 𝑎0 l’écriture décimale
d’un entier naturel 𝑎. En notant que 102 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑4), 10𝑖 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 4)
et 102 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 25), 10𝑖 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 25) Pour tout entier naturel 𝑖 ≥ 2,
Montrer que 𝑎 ≡ 𝑎1 × 10 + 𝑎0 (𝑚𝑜𝑑 4) et 𝑎 ≡ 𝑎1 × 10 + 𝑎0 (𝑚𝑜𝑑 25).
Théorème :
Un nombre entier naturel est divisible par 4 ou par 25 lorsque le nombre formé
par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 ou par 25.
Il ne l’est pas dans le cas contraire .
7-5-4- Critère de divisibilité par 11.
Activité :
Soit a= 𝑎𝑛 10𝑛 + 𝑎𝑛−1 10𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 101 + 𝑎0 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 … 𝑎1 𝑎0
l’écriture décimale d’un entier naturel 𝑎. En remarquant que 102i ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 11) et
102𝑖+1 ≡ −1(𝑚𝑜𝑑 11) pour tout entier naturel 𝑖,
montrer que 𝑎 = 𝑎0 − 𝑎1 + 𝑎2 − 𝑎3 + ⋯ + (−1)𝑛−1 + (−1)𝑛 𝑎𝑛 (𝑚𝑜𝑑 11).
Théorème :
Un nombre entier naturel est divisible par 11 lorsque la différence entre la somme des chiffres
de rang impair et la somme des chiffres de rang pair est un multiple de 11. Il ne l’est pas dans
le cas contraire.
8-NUMÉRATION.
L’objectif ici est d’insister sur les changements de base de numérations, de proposer
des exemples de changements de bases.
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8-1-Bases de numération.
Le système décimal (base dix) a l’avantage de rendre simples toutes les opérations,
grâce à l’invention de 0 et à la valeur de position des chiffres.
Le système binaire (base deux) est adapté à l’informatique qui utilise également le
système hexadécimal (base seize) pour réduire la taille de l’écriture des nombres.
Un système de numération est un « alphabet » c'est-à-dire une base formée de chiffres,
à partir desquels on effectue le développement de tout entier, en appliquant le principe de
numération de position. Développer un nombre en base b, où b est un entier supérieur ou
égale à 2, revient à écrire côte à côte et sans omission les coefficients des puissantes
décroissantes de b.
Exemple : si 𝑏 = 8 ; 2 × 84 + 0 × 83 + 1 × 82 + 3 × 8 + 6 est le
8
développement en base 8 de 8286. On écrit alors 8286 = 2013 .
𝑏
Définition : on note 𝑚 =𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 … 𝑎1 𝑎0 ou 𝑚 = (𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 … 𝑎0 ) 𝑏 et on dit que 𝑚 est
exprimé ou représenté en numération de base 𝑏 (𝑏 > 1). 𝑏 est donc la base de cette
numération et l’entier 𝑛 + 1 est la longueur notée 𝑙𝑏 (𝑚) de la représentation de m dans cette
̅̅̅.
numération. Pour toute base b, du fait que𝑏 = 1𝑏 + 0, on peut écrire 𝑏 = ̅10
Remarque
𝑏
Soit 𝑚 = 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 … 𝑎1 𝑎0 la représentation de 𝑚 en numération de base 𝑏, alors 𝑚 peut
s’écrire 𝑎𝑛 𝑏 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑏 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑏 2 + 𝑎1 𝑏 + 𝑎0 .C’est l’écriture de 𝑚dans le système
décimal.
Exercice : Ecrire dans le système décimal le nombre :423
Solution :423
5
5
peut s’écrire 4 ×52 + 2 × 51 + 3 = 4 × 25 + 2 ×5 +3 = 113.
5
Donc, dans le système décimal, le nombre 423 s’écrit 113.
Remarque :
Dans les systèmes de base strictement supérieure à 10, l’ensemble des chiffres utilisés
est :{ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B; C; … }. les lettres prises dans cet ordre alphabétique
correspondent respectivement à 10 ; 11 ;12 ;…etc.
12
Exercice: Ecrire dans le système décimal (base 10) le nombre :𝐴12𝐵 .
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Solution :
𝐴12𝐵
12
peut s’écrire 10 × 123 + 1 × 122 + 2 × 121 + 11 = 17459. Il en
12
résulte que dans le système décimal, 𝐴12𝐵 = 17459
Exercice :Ecrire dans le système décimal de nombre : 𝐴12𝐵
16
8-2-Etude du changement de base.
Proposition 1: Ref [3]
Soit 𝑏 ∈ ℕ (b>1) et N = 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 … 𝑎1 𝑎0
𝑏
la représentation de N en numération de base 𝑏.
Soient (𝑞𝑖 ), 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 et (𝑟𝑖 )𝑖 ∈ ℕ les suites définies par les conditions suivantes :
− 𝑞0 et 𝑟0 sont respectivement quotient et reste dans la division de N par 𝑏.
− 𝑞𝑘+1 et 𝑟𝑘+1 sont respectivement quotient et reste dans la division de 𝑞𝑘 par 𝑏.
Alors pour tout ;𝑘 ∈ {0, … ,𝑛} 𝑞𝑘 = 𝑟𝑘 et pour 𝑘 > 𝑛, 𝑞𝑘 = 𝑟𝑘 = 0.
Exemple : Ecrire 77 en base 2 et en base 12 (duodécimale).
Solution. On écrit :
En base 2 :
77 = 38 × 2 + 1
𝑎0 = 1
38= 19 × 2 + 0
𝑎1 = 0
19= 9 × 2 + 1
𝑎2 = 1
9= 4 × 2 + 1
𝑎3 = 1
4= 2 × 2 + 0
𝑎4 = 1
2= 1 × 2 + 0
𝑎5 = 0
1= 0 × 2 + 1
𝑎6 = 1.
Donc : 77 = 1001101
2
De même on a, en base 12
77=6× 12 + 5 𝑎0 = 5
12
6=0 × 12 + 6 𝑎1 = 6, donc 77 = 65 .
Exercice :
a) Ecrire en base deux chacun des nombres suivants :9 ; 17 ; 205 ; 864.
̅̅̅ + ̅72
̅̅̅ = ̅̅̅̅̅
b) Sachant que l’on a ̅52
141,
̅̅̅̅ × 72
̅̅̅̅ dans
dans quel système de numération l’opération est écrite. Calculer le produit 58
ce système de numération.
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EXERCICES DE SYNTHESE.
Exercice1. Un astronome a observé au jour 𝑗0 le corps céleste A, qui apparait périodiquement
tous les 105 jours. Six jours plus tard (𝑗0 + 6), il observe le corps B, dont la période
d’apparition est de 81 jours. On appelle 𝑗1 le jour de la prochaine apparition simultanée des
deux objets aux yeux de l’astronome.
Le but de cet exercice est de déterminer la date de ce jour 𝑗1.
1. Soient 𝑢 et 𝑣 le nombre de périodes effectuées respectivement par A et B entre 𝑗0 et
𝑗1. Montrer que le couple (𝑢 ; 𝑣) est solution de l’équation (𝐸1 ): 35𝑥 − 27𝑦 = 2.
2.a) Déterminer un couple d’entiers relatifs (𝑥0 ; 𝑦0 ) solution particulière de l’équation
(𝐸1 ): 35𝑥 − 27𝑦 = 2.
b) Déterminer toutes les solutions de l’équation (𝐸1 ).
c) Déterminer la solution (𝑢 ; 𝑣) permettant de déterminer 𝑗1 .
3.a) Combien de jours s’écouleront entre 𝑗0 et 𝑗1 ?
b) Le jour 𝑗0 était le mardi 7 décembre 1999, quelle est la date exacte du jour 𝑗1 ?
(L’année 2000 était bissextile).
c) Si l’astronome manque ce futur rendez - vous, combien de jours devra t-il attendre jusqu’à
la prochaine conjonction des deux astres ?
Solution :1. Le jour 𝑗1 qui correspond à l’apparition simultanée des deux corps célestes
correspond à des durées : 105𝑢 (𝑢 entier naturel) pour le corps céleste A et 6 + 81𝑣 (𝑣 entier
naturel) pour le corps céleste B, donc 105𝑢 = 6 + 81𝑣 ⇔ 105𝑢 − 81𝑣 = 6 soit en divisant
les deux membres par 3, on obtient 35𝑢 − 27𝑣 = 2.
Les entiers naturels 𝑢 et 𝑣 sont
solutions de l’équation 35𝑥 − 27𝑦 = 2. Le couple (𝑢 ; 𝑣) est solution de l’équation
(𝐸1 ): 35𝑥 − 27𝑦 = 2.
2.a) Une solution particulière de l’équation (𝐸1 ): 35𝑥 − 27𝑦 = 2 est (7 ; 9)
car 35 × 7 − 27 × 9 = 2.
b) on a (𝑥0 ; 𝑦0 ) = (7 ; 9), donc toutes les solutions de (𝐸1 ) sont données par :
(𝑥 ; 𝑦) = (7 + 27𝑡 ; 9 + 35𝑡), 𝑡 ∈ ℤ.
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c) La solution (𝑢 ; 𝑣) permettant de déterminer 𝑗1 correspond à la valeur 𝑡 = 0. soit (7 ; 9)
car c’est le couple qui correspond aux plus petites valeurs entières de 𝑢 et 𝑣 et 𝑗 1 est le jour
de la première apparition simultanée après 𝑗0.
3.a) Entre 𝑗0 et 𝑗1 , il se déroule 105 × 7 = 735 jours pour le corps céleste A
ou 81 × 9 = 6 + 735 jours pour le corps céleste B. donc il se déroule 735 jours.
b) Nous avons 365 (année2001)+366 (année2000)= 731 jours. Le jour 𝑗1étant le mardi
7 décembre 1999, la date exacte du jour 𝑗1 est le mardi 11 décembre 2001.
c) Pour 𝑡 = 1, la solution de (𝐸1 ) est (34 ; 44). entre 𝑗0 et 𝑗2 , il se déroule : 105 × 34 =
3570 Jours, donc entre 𝑗1 et 𝑗2 , il se déroule :
3570 − 735 = 2835 Jours.
Si l’astronome manque ce futur rendez – vous, il devra attendre à nouveau 2835 jours.
Exercice 2. Sans calculatrice, vérifier que 83 + 53 est multiple de 13 et que 153 − 33 est
divisible par 12.
Exercice 3.Combien ya-t-il de multiple de 11 compris entre −1000 et 1000 ?
Exercice 4. Déterminer les entiers naturels 𝑛 et 𝑝 tels que 𝑛2 − 𝑝2 = 28.
Exercice 5. Quels sont les entiers 𝑛 tels que 3𝑛 + 24 soit divisible par 𝑛 − 4 ?
Exercice 6.Quels peuvent être le diviseur et le quotient quand le dividende est 557 et le
reste 89 ?
Exercice 7. Déterminer les entiers naturels non nuls 𝑛 dont la division par 125 donne un
reste égal au cube du quotient.
Exercice 8. 𝑝 et 𝑞 sont des entiers naturels.
a) Démontrer que 2𝑝𝑞 − 1 est divisible par 2𝑝 − 1 et par 2𝑞 − 1.
b) Déduire que pour que 2𝑛 − 1 soit premier, il faut que 𝑛 soit premier.
Prouver à l’aide d’un contre exemple que la condition « 𝑛 premier » est nécessaire, mais pas
suffisante.
Exercice 9. 𝑛 étant un entier naturel non nul, déterminer, suivant les valeurs de 𝑛, le quotient
et le reste de la division euclidienne de : 𝑛2 + 𝑛 + 7 par 𝑛 + 2, 2𝑛 − 1 par 2.
Exercice 10. Soit 𝑎 et 𝑏 deux entiers naturels avec 𝑎 ≥ 𝑏 > 0 et 𝑟 le reste de la division de
𝑎 par 𝑏. Démontrer que 2𝑟 < 𝑎
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Exercice 11. Un nombre A s’écrit 5𝑥3𝑦 en base dix. Déterminer les nombres A qui sont
pairs et divisibles par 11.
Exercice 12. Déterminer tous les entiers naturels 𝑝 tels que les six nombres 𝑝 , 𝑝 + 2, 𝑝 + 6,
𝑝 + 8, 𝑝 + 12 et 𝑝 + 14 soient premiers.
Exercice13. Décomposer 469 en produit de facteurs premiers, puis résoudre en nombres
entiers naturels l’équation 𝑥 3 − 𝑦 3 = 469.
Exercice 14. Trouver tous les couples (𝑥 , 𝑦) d’entiers relatifs tels que : 𝑥 2 + 6𝑥 = 𝑦 2 + 47.
Exercice 15. On considère la représentation décimale de 3345 .
a) Trouver le dernier chiffre dans cette représentation
b) Quels sont les deux derniers chiffres ?
Exercice 16. N désigne un entier naturel dont l’écriture en base 10 est N= 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 … 𝑎1 𝑎0
a) Démontrer que le reste de la division de N par 100 est l’entier 𝑟 dont l’écriture en
base 10 est 𝑎1 𝑎0.
b) Montrer que N est multiple de 4 si, et seulement si, 𝑎1 𝑎0 est multiple de 4 .
Exercice 17. Déterminer l’ensemble des entiers relatifs 𝑛 pour que 𝑛2 + 𝑛 + 7 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑13).
Exercice 18. Soit 𝑛 ∈ ℕ
1)
2)
3)
4)
5)
Déterminer les restes de la division de 2𝑛 par 7 pour 𝑛 ∈ {1, 2, 3, 4, 4, 5}.
Montrer que 7 divise 2𝑛+3 − 2𝑛 .
En déduire les valeurs de 𝑛 pour lesquelles 2𝑛 a pour reste 1 dans la division par 7.
Montrer que 9𝑛 et 2𝑛 ont même reste dans la division par 7.
Quel est le reste de la division de 2999 × 9222 .
Exercice 19. Résoudre le système de congruence :{
𝑥 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 3)
.
𝑥 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 5)
Exercice 20. Soit 𝑘 un entier naturel.
1) Justifier les congruences : 32𝑘 + 1 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 8) et 32𝑘+1 ≡ 4(𝑚𝑜𝑑 8).
2) On considère l’équation (𝐸) : 2𝑚 − 2𝑛 = 1, d’inconnues 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ.
a) Montrer qu’il n’ya pas de solution telle que 𝑛 soit pair (utiliser la question1)
b) Déduire de même de la quetion1 que la seule solution de (𝐸) est le couple (2, 1).
Exercice 21. Résoudre dans ℤ² l’équation 38𝑥 + 35𝑦 = 6.
Exercice 22. Trouver la base 𝑏 d’un système de numération dans chacun des cas suivants .
a) Le nombre 8453 s’écrit 20405.
b) Le nombre
26
625
s’écrit
101
10000
.
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Exercice 23. Déterminer les chiffres 𝑥 et 𝑦 du nombre 28𝑥75𝑦 pour qu’il soit divisible par
3 et 11.
Exercice 24. Soit N un entier relatif impair. En écrivant N sous la forme 𝑁 = 2𝑘 + 1, 𝑘 ∈ ℤ
1) Déterminer le reste de la division euclidienne de N² par 8.
2) Résolvez l’équation 𝑥 2 = 8𝑦 + 1 ; 𝑥 , 𝑦 ∈ ℤ.
3) Déduisez-en que la parabole (𝑝), d’équation 𝑦 =
𝑥 2 −1
8
, passe par une infinité de
points à coordonnées entières.
Exercice 25. Soit 𝑛 un entier naturel, distinct de 0 et 1, 𝑎 = 2𝑛2 + 𝑛, 𝑏 = 𝑛 + 1.
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de 𝑎 par 𝑏.
Exercice 26. 𝑝 et 𝑞 sont des entiers naturels.
a) Démontrer que 2𝑝𝑞 − 1 est divisible par 2𝑝 − 1 et 2𝑞 − 1.
b) Déduire que pour que 2𝑛 − 1 soit premier, il faut que 𝑛 soit premier.
c) Peut –on dire que si 𝑛 est premier, alors 2𝑛 − 1 est premier.
Exercice 27. Déterminer les valeurs de l’entier naturel 𝑎 pour lesquelles l’équation
𝑥 2 − 𝑎𝑥 − 152 = 0 admet des solutions entières.
Exercice 28.
1) Monter que, pour tout entier naturel 𝑎, 𝑎(𝑎2 − 1) est multiple de 6 .
2) Vérifier que 11(11110 − 1) est multiple de 6.
3) Quel est le reste de la division euclidienne de 11111 par 6.
Exercice 29. 𝑑 , 𝑟, 𝑛 sont trois entiers naturels, 𝑛 étant non nul.
Montrer que (10𝑑 + 𝑟)𝑛 et 𝑟 𝑛 ont même reste dans la division par 10.
Déterminer le chiffre des unités de (2222)3 .
Vérifier que 34 − 1 est multiple de 10.
Déduisez-en que, pour tous les nombres entiers naturels 𝑘 et 𝑟, 34𝑘+𝑟 et 3𝑟 ont
même reste dans la division par 10.
5) Quel est le chiffre des unités du nombre 32222 ?
6) Quel est le chiffre des unités du nombre (2222)3 × 32222 ?
1)
2)
3)
4)
Exercice 30. On suppose que 𝑝 est premier
1)
2)
3)
4)
Démontrer 𝑝 divise ( 𝑝𝑛 ) pour tout 𝑛 ∈ {1, 2, … , 𝑝 − 1}.
Déduire-en que (𝑎 + 𝑏)𝑝 − (𝑎𝑝 + 𝑏 𝑝 ) est divisible par 𝑝 pour tous 𝑎 , 𝑏 ∈ ℕ.
Déduire-en que pour tout entier naturel 𝑎, 𝑝 divise 𝑎𝑝 − 𝑎.
Déduire-en que pour tout entier naturel 𝑎 non multiple de 𝑝, 𝑎𝑝−1 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝).
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BIBLIOGRAPHIE
[1] −Charles MVOMO OTAN et les autres, Majors en Mathématiques Terminale C-E
ASVA Éducation, Mars 2012.
[2] −IREM de POITIERS, Enseigner l’arithmétique Juin 2000.
[3] −Lionel Bapoungué, Cours de théories des nombres ENS Yaoundé Mai 2013.
[4] −M. Monge.Mathématiques Terminale C. Belin 1973.
[5] −Saliou Touré, Collection Inter Africaine de mathématiques (CIAM). EDICEF, 1973.
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