Développement:103–104–106–143–167–302–304–305–309-357 ThdelaprogressionarithmétiquedeDirichlet(versionfaible): Pour𝑛 ≥ 1fixé,ilexisteuneinfinitédenombrespremiersdelaforme𝜆𝑛 + 1, 𝜆 ∈ ℕ. Onnotele𝑛 − 𝑖è𝑚𝑒 polynômecyclotomique: 𝛷! = 𝑋 − 1 et pour 𝑛 ≥ 2, 𝛷! = (𝑋 − 𝑒 !!"# ! ) !!!!! !∧!!! 1. Montrerque𝛷! estàcoefficientsentierspourtout𝑛 ∈ ℕ∗ . 2. Quepeut-ondired’unnombrepremier𝑝quidivise𝛷! (𝑎),où𝑎 ∈ ℤ,maisaucundes 𝛷! (𝑎),où𝑑décritl’ensembledesdiviseursstrictsde𝑛? 3. Endéduirequepour𝑛 ≥ 1 fixé,ilexisteuneinfinitédenombrespremiersdelaforme 𝜆𝑛 + 1avec𝜆entier. Démonstration: 1. Montronsque𝑿𝒏 − 𝟏 = Onsaitque: 𝒅|𝒏 𝜱𝒅 ! ! 𝑋 −1= 𝑋−𝑒 !!"# ! !!! !!"# Notonspour𝑑 ≥ 1, 𝑃! l’ensembledesracinesprimitives𝑑 − 𝑖è𝑚𝑒𝑠 del’unité(𝑒 ! avec 𝑘 ∧ 𝑛 = 1)et𝑈! l’ensembledesracines𝑑 − 𝑖è𝑚𝑒𝑠del’unité.Onapardéfinition: 𝑋! − 1 = (𝑋 − 𝜉) !∈!! Soit𝜉 ∈ 𝑈! ,onnote𝑑l’ordrede𝜉,c’estundiviseurde𝑛donc𝜉 ∈ 𝑃! (simplifier 𝑘/𝑛 𝑝𝑎𝑟 𝑝𝑔𝑐𝑑(𝑘, 𝑛)).Parconséquent,𝑈! estlaréuniondisjointedes𝑃! pour𝑑|𝑛.D’oùil résulte: 𝑋! − 1 = 𝑋−𝜉 = !∈!! 𝑋−𝜉 !|! = !∈!! 𝛷! (⋆) !|! Parégalitésurlesdegrésdespolynômesonobtient: 𝑛= 𝜑(𝑑) !|! Montronsparrécurrencesur𝒏 ≥ 𝟏que𝜱𝒏 estàcoefficientsentiers Lemme:Soit𝐴et𝐵deuxpolynômesàcoefficientsentiers,𝐵étantnonnulunitaire.Alors𝑄et 𝑅 , le quotient et le reste de la division euclidienne de𝐴par𝐵 dansℂ[𝑋]sont aussi à coeffcientsentiers. Démonstration:Danslesopérationsdel’algorithmededivisionseuclidiennes,seulsdes entiersinterviennent. ∎ • Si𝑛 = 1,𝛷! = 𝑋 − 1:àcoefficientsentiers. • Si𝑛 ≥ 2,supposonsque∀𝑘 ≤ 𝑛, 𝛷! ∈ ℤ[𝑋],montronsque𝛷!!! ∈ ℤ[𝑋]. D’après(⋆)ona: 𝑋 !!! − 1 = 𝛷! = 𝛷!!! !|(!!!) 𝛷! !|(!!!) !!!!! onappliquelelemmeprécédentà𝐴 = 𝑋 !!! − 1 et𝐵 = !|(!!!) 𝛷! donclequotient !!!!! 𝛷!!! ∈ ℤ[𝑋]. 2. Soit𝑝 premierquidivise𝛷! (𝑎),où𝑎 ∈ ℤ,maisaucundes𝛷! (𝑎),où𝑑décritl’ensemble desdiviseursstrictsde𝑛.Comme𝑝|𝛷! (𝑎),ildiviseaussi𝑎! − 1.Ainsil’ordrede𝑎 dansℤ×! divise𝑛. Montronsquecetordreestexactement𝒏. Si𝑑|𝑛avec𝑑 < 𝑛,onadansℤ! : 𝑎! − 1 = 𝛷!! (𝑎) ! ! |! Orsi𝑑 ! |𝑑,𝑑 ! |𝑛etparhypothèse,𝛷!! (𝑎) ≠ 0etpuisqueℤ! estintègre,leproduitd’éléments nonnulsestnonnul:𝑎! ≠ 1.L’ordede𝑎estdonc𝑛.Commecetordredivise𝑝 − 1d’aprèsle théorèmedeLagrange(|ℤ×! |),𝑝estdelaforme𝜆𝑛 + 1avec𝜆entier. 3. Montronsqu’ilexistealorsuneinfinitédenombrespremiersdecetteforme. Raisonnonsparl’absurdeetsupposonsqu’iln’existequ’unnombrefini𝑝! , … , 𝑝! denombres premiersdecetteforme,c’est-à-direcongrusà1modulo𝑛. Sionarriveàtrouver𝑎et𝑝vérifiantlesconditionsdelaquestionprécédente,onpourra affirmerque𝑝 ≡ 1 [𝑛] Pouréviterqu’untel𝑝 = 𝑝! , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑞,cequinenousdonneraitpasdecontradcition,posons alors𝑁 = 𝑛𝑝! … 𝑝! . Si𝑝 ≡ 1 [𝑁],alors𝑝nepeutêtreégalàundes𝑝! (sinon,comme𝑝! < 𝑁,onaurait𝑝 ≡ 𝑝! [𝑁]) etpourtantonabien𝑝 ≡ 1 [𝑛]. Ilfautdonctrouver𝑎 ∈ ℤet𝑝premiertelque𝑝 divise 𝛷! (𝑎)etnedivisepas 𝛷! 𝑎 , ∀𝑑|𝑁, 𝑑 < 𝑁. Onnote: 𝐵= 𝛷! !|! !!! Ondoitdonctrouver𝑎 ∈ ℤet𝑝premiertelque𝑝|𝛷! 𝑎 et𝑝 ∤ 𝐵(𝑎). Lepolynôme𝐵estdoncpremieravec𝛷! dansℂ[𝑋]:eneffetilssontscindéssurℂetn’ont aucuneracineencommun.Ilssontdoncaussipremierentreeuxdansℚ[𝑋]. D’aprèslethéorèmedeBézout,ilexistedonc𝑈, 𝑉 ∈ ℚ[𝑋]telsque: 𝑈𝛷! + 𝑉𝐵 = 1 Deplus,∃ 𝑎 ∈ ℤtelque𝑎𝑈 ∈ ℤ 𝑋 et𝑎𝑉 ∈ ℤ[𝑋].Comme𝛷! ∉ {−1,0,1},onpeutmêmechoisir 𝑎 ∈ ℤtelque𝛷! 𝑎 ∉ {−1,0,1}.Onadonc: 𝑎𝑈(𝑎)𝛷! 𝑎 + 𝑎𝑉(𝑎)𝐵(𝑎) = 𝑎 Soit𝑝unnombrepremierdivisant𝛷! 𝑎 .Alors𝑝| (𝑎! − 1). Dansℤ! , 𝑎! = 1etdonc𝑎estinversiblecequisignifieque𝑎estpremieravec𝑝. Si𝑝divisait𝐵(𝑎),ildiviserait𝑎𝑈(𝑎)𝛷! 𝑎 + 𝑎𝑉(𝑎)𝐵(𝑎) = 𝑎cequiestexclucar𝑎et𝑝sont premiers.Onestdoncdansleshypothèsesdelaquestionpréédente,etonatrouvé𝑝premier (différentdes𝑝! )congruà1modulo𝑛,d’oùlacontradiction.