dirichlet emeline

Développement:103–104–106–143–167–302–304–305–309-357
ThdelaprogressionarithmétiquedeDirichlet(versionfaible):
Pour𝑛 ≥ 1fixé,ilexisteuneinfinitédenombrespremiersdelaforme𝜆𝑛 + 1, 𝜆 ∈ ℕ.
Onnotele𝑛 − 𝑖è𝑚𝑒 polynômecyclotomique:
𝛷! = 𝑋 − 1 et pour 𝑛 ≥ 2,
𝛷! =
(𝑋 − 𝑒
!!"#
! )
!!!!!
!∧!!!
1. Montrerque𝛷! estàcoefficientsentierspourtout𝑛 ∈ ℕ∗ .
2. Quepeut-ondired’unnombrepremier𝑝quidivise𝛷! (𝑎),où𝑎 ∈ ℤ,maisaucundes
𝛷! (𝑎),où𝑑décritl’ensembledesdiviseursstrictsde𝑛?
3. Endéduirequepour𝑛 ≥ 1 fixé,ilexisteuneinfinitédenombrespremiersdelaforme
𝜆𝑛 + 1avec𝜆entier.
Démonstration:
1. Montronsque𝑿𝒏 − 𝟏 =
Onsaitque:
𝒅|𝒏 𝜱𝒅 !
!
𝑋 −1=
𝑋−𝑒
!!"#
!
!!!
!!"#
Notonspour𝑑 ≥ 1, 𝑃! l’ensembledesracinesprimitives𝑑 − 𝑖è𝑚𝑒𝑠 del’unité(𝑒 ! avec
𝑘 ∧ 𝑛 = 1)et𝑈! l’ensembledesracines𝑑 − 𝑖è𝑚𝑒𝑠del’unité.Onapardéfinition:
𝑋! − 1 =
(𝑋 − 𝜉)
!∈!!
Soit𝜉 ∈ 𝑈! ,onnote𝑑l’ordrede𝜉,c’estundiviseurde𝑛donc𝜉 ∈ 𝑃! (simplifier
𝑘/𝑛 𝑝𝑎𝑟 𝑝𝑔𝑐𝑑(𝑘, 𝑛)).Parconséquent,𝑈! estlaréuniondisjointedes𝑃! pour𝑑|𝑛.D’oùil
résulte:
𝑋! − 1 =
𝑋−𝜉 =
!∈!!
𝑋−𝜉
!|!
=
!∈!!
𝛷! (⋆)
!|!
Parégalitésurlesdegrésdespolynômesonobtient:
𝑛=
𝜑(𝑑)
!|!
Montronsparrécurrencesur𝒏 ≥ 𝟏que𝜱𝒏 estàcoefficientsentiers
Lemme:Soit𝐴et𝐵deuxpolynômesàcoefficientsentiers,𝐵étantnonnulunitaire.Alors𝑄et
𝑅 , le quotient et le reste de la division euclidienne de𝐴par𝐵 dansℂ[𝑋]sont aussi à
coeffcientsentiers.
Démonstration:Danslesopérationsdel’algorithmededivisionseuclidiennes,seulsdes
entiersinterviennent.
∎
• Si𝑛 = 1,𝛷! = 𝑋 − 1:àcoefficientsentiers.
• Si𝑛 ≥ 2,supposonsque∀𝑘 ≤ 𝑛, 𝛷! ∈ ℤ[𝑋],montronsque𝛷!!! ∈ ℤ[𝑋].
D’après(⋆)ona:
𝑋 !!! − 1 =
𝛷! = 𝛷!!!
!|(!!!)
𝛷! !|(!!!)
!!!!!
onappliquelelemmeprécédentà𝐴 = 𝑋 !!! − 1 et𝐵 =
!|(!!!) 𝛷! donclequotient
!!!!!
𝛷!!! ∈ ℤ[𝑋].
2. Soit𝑝 premierquidivise𝛷! (𝑎),où𝑎 ∈ ℤ,maisaucundes𝛷! (𝑎),où𝑑décritl’ensemble
desdiviseursstrictsde𝑛.Comme𝑝|𝛷! (𝑎),ildiviseaussi𝑎! − 1.Ainsil’ordrede𝑎
dansℤ×! divise𝑛.
Montronsquecetordreestexactement𝒏.
Si𝑑|𝑛avec𝑑 < 𝑛,onadansℤ! :
𝑎! − 1 =
𝛷!! (𝑎)
! ! |!
Orsi𝑑 ! |𝑑,𝑑 ! |𝑛etparhypothèse,𝛷!! (𝑎) ≠ 0etpuisqueℤ! estintègre,leproduitd’éléments
nonnulsestnonnul:𝑎! ≠ 1.L’ordede𝑎estdonc𝑛.Commecetordredivise𝑝 − 1d’aprèsle
théorèmedeLagrange(|ℤ×! |),𝑝estdelaforme𝜆𝑛 + 1avec𝜆entier.
3. Montronsqu’ilexistealorsuneinfinitédenombrespremiersdecetteforme.
Raisonnonsparl’absurdeetsupposonsqu’iln’existequ’unnombrefini𝑝! , … , 𝑝! denombres
premiersdecetteforme,c’est-à-direcongrusà1modulo𝑛.
Sionarriveàtrouver𝑎et𝑝vérifiantlesconditionsdelaquestionprécédente,onpourra
affirmerque𝑝 ≡ 1 [𝑛]
Pouréviterqu’untel𝑝 = 𝑝! , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑞,cequinenousdonneraitpasdecontradcition,posons
alors𝑁 = 𝑛𝑝! … 𝑝! .
Si𝑝 ≡ 1 [𝑁],alors𝑝nepeutêtreégalàundes𝑝! (sinon,comme𝑝! < 𝑁,onaurait𝑝 ≡ 𝑝! [𝑁])
etpourtantonabien𝑝 ≡ 1 [𝑛].
Ilfautdonctrouver𝑎 ∈ ℤet𝑝premiertelque𝑝 divise 𝛷! (𝑎)etnedivisepas
𝛷! 𝑎 , ∀𝑑|𝑁, 𝑑 < 𝑁.
Onnote:
𝐵=
𝛷! !|!
!!!
Ondoitdonctrouver𝑎 ∈ ℤet𝑝premiertelque𝑝|𝛷! 𝑎 et𝑝 ∤ 𝐵(𝑎).
Lepolynôme𝐵estdoncpremieravec𝛷! dansℂ[𝑋]:eneffetilssontscindéssurℂetn’ont
aucuneracineencommun.Ilssontdoncaussipremierentreeuxdansℚ[𝑋].
D’aprèslethéorèmedeBézout,ilexistedonc𝑈, 𝑉 ∈ ℚ[𝑋]telsque:
𝑈𝛷! + 𝑉𝐵 = 1
Deplus,∃ 𝑎 ∈ ℤtelque𝑎𝑈 ∈ ℤ 𝑋 et𝑎𝑉 ∈ ℤ[𝑋].Comme𝛷! ∉ {−1,0,1},onpeutmêmechoisir
𝑎 ∈ ℤtelque𝛷! 𝑎 ∉ {−1,0,1}.Onadonc:
𝑎𝑈(𝑎)𝛷! 𝑎 + 𝑎𝑉(𝑎)𝐵(𝑎) = 𝑎
Soit𝑝unnombrepremierdivisant𝛷! 𝑎 .Alors𝑝| (𝑎! − 1).
Dansℤ! , 𝑎! = 1etdonc𝑎estinversiblecequisignifieque𝑎estpremieravec𝑝.
Si𝑝divisait𝐵(𝑎),ildiviserait𝑎𝑈(𝑎)𝛷! 𝑎 + 𝑎𝑉(𝑎)𝐵(𝑎) = 𝑎cequiestexclucar𝑎et𝑝sont
premiers.Onestdoncdansleshypothèsesdelaquestionpréédente,etonatrouvé𝑝premier
(différentdes𝑝! )congruà1modulo𝑛,d’oùlacontradiction.