Lycée pilote Médenine Fonction réciproque Hadj Salem Habib Définition f étant une application d’un ensemble E dans un ensemble F. On dit que : f réalise une bijection de E sur F si et seulement si y F ; il existe un seul x E tel que y VOCABULAIRE: Soit f une bijection de I sur J. On note f Ainsi: f 1 : J I. y J ; ff x I ; f 1 1 y la bijection réciproque de f. y fx Théo rème 1 fx x. f étant une fonction définie sur un intervalle I. si f est strictement monotone sur I alors f réalise une bijection de I sur f(I). Remarque importante f est une bijection de I sur f I J 0 J fI 0 possède un seul antécédent par f dans I l’équation f(x) 0 admet une seule solution dans I. Remarques O; i ; j est un repère orthonormé du plan P. S la symétrie axiale d’axe :y x. On a: S M a, b M b, a . L’image d’une droite D : y a (a IR par S est la droite D’: x a Théo rème Soit f une fonction strictement monotone sur un intervalle I. Désignons par f 1 la bijection réciproque de f et par J fI . On a: 1 f 1 et f ont même sens de variation. 2 les courbes de f et de f 1 , dans un repère orthonormé, sont symétriques par rapport à la droite d’équation y 3 si f est continue sur I alors f Hadj Salem Habib 1 x dite la première bissectrice. est aussi continue sur J Bac Maths (1) f(I). Bac Sc exp Lycée pilote Médenine Lycée pilote Médenine Fonction réciproque Hadj Salem Habib y 3 Cf 2 1 1 Cf -1 0 1 3 2 4 x -1 Théo rème f est une bijection d’un intervalle I sur un intervalle J. Soit x 0 I et y 0 f x 0 . On a: si f est dérivable en x 0 et f x 0 f x0 y 0 de plus f 1 si f est dérivable sur I 0 dérivable sur f I 0 est dérivable en 1 1 f x0 y0 1 0 alors f f f I et f x 1 J0; f . I 0 alors f 0; x J 0 et de plus x y0 1 1 est 1 x f f 1 x . 3. Fonction racine nième Définition Théo rème x n réalise Soit n un entier supérieur ou égal à 2. La fonction x x n est une bijection de IR sur IR . La bijection réciproque de x la fonction dite racine nième et elle est notée x Pour tous réels positifs x et y on a : Propriétés n xn y x Soient deux entiers n et p tels que n b. Alors : n np n ap ; n n a n a; n y 2 et p n a. b 2 et deux positifs a et n a n b; 0. p n ap ; n p a np a. IN \ 1 et u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. On a: x est continue sur 0; et dérivable sur 0; n x n Hadj Salem Habib a Soient n Théo rème 2/ La fonction x a; a avec b n b a 1/ La fonction x an n a b n n x . n ux n 1 xn 1 ; x 0. est dérivable sur I et que Bac Maths de plus (2) n u x x n Bac Sc exp n ux n 1 ; x 0. Lycée pilote Médenine