TD15 - CPGE Brizeux

Lycée Auguste Brizeux
PCSI B
Feuille de TD 15. Dérivation
Exercice 1. Soit f une fonction dérivable sur R.
1. Montrer que f est paire si et seulement si f 0 est impaire.
2. Montrer que si f est impaire, f 0 est paire. Que dire de la réciproque ?
3. Montrer que si f est périodique, f 0 est périodique. Que dire de la réciproque ?
Exercice 2. Soient f et g : I → R dérivables en a ∈ I. Déterminer les limites suivantes :
f (x + a) − f (a − x)
x→0
2x
et
lim
lim
x→a
f (x)g(a) − f (a)g(x)
x−a
Exercice 3. Donner le domaine de définition, le domaine de dérivabilité et calculer la
dérivée de chacune des fonctions f suivantes :
a. f (x) =
q
x
2−x
s
x
x−a
d. f (x) = arctan + ln
où a ∈ R∗
a
x+a
b. f (x) = √
(x + 1)3
c. f (x) = arccos(x) + arccos(−x)
Exercice 4. Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction f définie sur [0, 3] par :



2
− x2
1
f (x) =
−x
 2 2

x − 5x +
9
2
si
si
si
x ∈ [0, 1[
x ∈ [1, 2]
x ∈ ]2, 3]
e−x
.
1 + e−x
1. Montrer que f réalise une bijection de R sur un intervalle I que l’on précisera.
Exercice 5. Soit f la fonction définie sur R par f (x) =
2. Etudier la dérivabilité de sa réciproque.
Exercice 6. Soit h la fonction définie par h(x) = ln (1 + e−x ).
1. Déterminer le domaine de définition de h.
2. La fonction h est-elle de classe C ∞ sur son domaine de définition ?
3. Démontrer que h admet un unique point fixe α, et que α ∈ [0, 1].
4. Montrer que, pour tout x ∈ [0, +∞[, |h(x) − α| 6 12 |x − α|.
Exercice 7. Soit f la fonction sinus cardinal : pour x 6= 0, f (x) =
Étudier la continuité et la dérivabilité de f .
sin x
,
x
et f (0) = 0.
Exercice 8 (Fonction cotangente). On considère la fonction
f : ]0, π[ −→ R
x
x 7−→ cos
sin x
1. Montrer que f est une bijection de classe C ∞ .
2. Etudier la dérivabilité de la réciproque g de f , et donner une expression de g 0 (x), pour
tout réel x ∈ R en lequel g est dérivable.
1
3. Calculer alors la fonction dérivée de arctan +g.
Que peut-on en conclure ?
Exercice 9. Quel est le rectangle de plus grande surface pour un périmètre donné ?
Exercice 10. Soit f une fonction dérivable sur R dont la dérivée ne s’annule jamais.
Montrer que f ne peut être périodique.
Exercice 11. Soient a et b deux réels tels que a < b. Montrer que, si f est une fonction
de classe C 1 sur [a, b], alors f est lipschitzienne sur [a, b].
(
1 + x si x > 0
.
ex
si x < 0
Démontrer que f est de classe C 1 sur R, et n’est pas de classe C 2 sur R.
Exercice 12. Soit f la fonction définie sur R par f (x) =
Exercice 13. Soit n ∈ N∗ .
1. Calculer, si elle existe, la dérivée n-ième de la fonction f définie par f (x) = x2 (1 + x)n .
2. Calculer, si elle existe, la dérivée n-ième de la fonction g définie par g(x) = x2 e−2x .
Exercice 14. Etant donnés deux nombres réels a et b tels que a < b et n ∈ N∗ , on
considère une fonction f définie sur [a, b], n fois dérivable et possédant n + 1 points
d’annulation distincts.
1. Montrer que f 0 admet au moins n points d’annulation distincts sur [a, b].
2. Montrer qu’il existe c ∈ ]a, b[ tel que f (n) (c) = 0.
Exercice 15. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x2 sin
1
x
si x 6= 0 et f (0) = 0.
1. f est-elle de classe C 0 sur R ?
2. f est-elle dérivable sur R ?
3. f est-elle de classe C 1 sur R ?
Exercice 16 (Théorème de Darboux). Soit f : [a, b] → R dérivable. On souhaite montrer
que f 0 vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.
1. Supposons f 0 (a) ≥ 0 et f 0 (b) ≤ 0, montrer qu’il existe c ∈ [a, b] tel que f 0 (c) = 0.
2. Reprendre la question précédente si f 0 (a) ≤ 0 et f 0 (b) ≥ 0.
3. Montrer que pour tout γ ∈ ]f 0 (a), f 0 (b)[, il existe c ∈ ]a, b[ tel que f 0 (c) = γ.
4. Montrer qu’il existe des fonctions non continues vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires.
1
Exercice 17 (Série harmonique). 1. Démontrer que, pour tout x > 0,
6 ln(x +
x+1
1
1) − ln x 6 .
x
On pourra utiliser les accroissements finis.
n
X
1
2. En déduire que la suite de terme général un =
diverge vers +∞.
k=1 k
n
X
1
.
k=1 k
Montrer que, pour tout n ∈ N∗ , ln(n + 1) 6 un 6 1 + ln(n), et en déduire un équivalent
simple de la suite (un ).
3. On note, pour tout n ∈ N∗ , un =
2
Exercice 18. On considère l’application définie sur ]0, e−1 [ ∪ ]e−1 , +∞[ par f (x) =
x
.
ln(x) + 1
1. a. Montrer que f est prolongeable par continuité en 0. Ce prolongement est-il dérivable ?
b. Etudier les variations de f et tracer l’allure de sa représentation graphique.
2. Résoudre l’équation f (x) = x.
3. Soit (xn )n∈N la suite définie par son premier terme x0 = 2 et par la relation de récurrence xn+1 = f (xn ) (pour tout n ∈ N).
x
a. Etudier sur [0, +∞[ la fonction g : x 7−→
. En déduire que, pour tout
(x + 1)2
1
x ∈ ]1, +∞[, 0 6 f 0 (x) 6 .
4
1
b. Montrer que, pour tout n ∈ N, |xn+1 − 1| 6 |xn − 1|.
4
n
1
c. En déduire que, pour tout n ∈ N, |xn − 1| 6
.
4
Vérifier que (xn )n∈N converge et donner sa limite.
3