Classe :4ème Sciences techniques1 Lycée Pilote 15 octobre 1963 - Bizerte Date : Le 04/12/2013 Prof: Mme Bayoudh Devoir de synthèse n°1 en mathématiques Durée : 2 heures Exercice 1 : (6points) A) Dans le graphique ci- contre , on a tracé la courbe C f représentative d’une fonction décroissante sur ainsi que la tangente à C f au point Les droites d’équations sont des asymptotes à C f. On désigne par . et la fonction réciproque de . 1) Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est correcte, indiquer laquelle en justifiant votre choix . IR 1,3 b/ c/ -2 a/ réalise une bijection de sur : - 2) Tracer dans le même repère la courbe représentative de 1 2 1, -2 2 . B) Le plan est muni d’un repère orthonormé. Soit une fonction deux fois dérivable sur , on désigne par (C ) sa courbe représentative. Dans la figure ci-dessous , on a représenté la courbe (C ‘ ) de la fonction dérivée de la fonction (C ‘) admet une tangente horizontale au point et une asymptote horizontale d’équation au voisinage de (+ Pour chacune des propositions suivntes, répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse. 1) est décroissante sur . 2) (C ) admet le point d’abscisse 1 comme point d’inflexion. 3) Pour tous et de , , alors (C ) est située entre les deux droites 4) Si et (C ‘) Exercice 2: ( 6points) Soit l’équation ( où 1) a/ Vérifier que 2i est une solution de ( . . b/ Vérifier que l’équation ( c/ Résoudre dans . 2) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé dicerct d’affixes respectives et , , a/ Montrer que est le milieu de et , on considère les points . . b/ Montrer que A et B varient sur un même cercle dont on précisera. 3) On suppose que . a/ Montrer que est un rectangle. b/ Montrer que si et seulement si ; . Exercice 3: (8points) A) Soit la fonction définie sur 1) a/ Etudier les variations de b/ Déduire que 2) Expliciter B) Soit par sur . pour . la fonction définie sur 1) a/ Montrer que sur un intervalle que l’on déterminera. réalise une bijection de par est dérivable sur et que pour tout b/ Déduire que réalise une bijection de c/ Justifier que est dérivable sur . 2) a/ Montrer que l’équation sur un intervalle que l’on précisera. admet une solution unique b/ Montrer que pour tout , dans et que , on a c/ Montrer que C) Soit la fonction définie sur par est- elle bijective sur IR ? Justifier. Bon travail et bonne chance