Nouvelle Calédonie 03/2005 EXERCICE III OSCILLATEUR SOLIDE - RESSORT (5,5 points) Correction 1.1. Forces exercées sur le solide en mouvement. 1.1.1. Le solide subit: - son poids P - la force de rappel du ressort F - la poussée de l'air exercée par le banc à coussin d'air R R F (k) E Schéma n°1 G (m) i x' x O i F = – k.x. x(t) 1.1.2. Lorsque le solide se trouve à droite de la position d'équilibre alors l'allongement x est positif, donc F a un sens opposé au vecteur unitaire P i. 1.2. Équation différentielle du mouvement du solide. 1.2.1. Pour le système solide étudié dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen, appliquons la deuxième loi de Newton: P + F + R = m. aG On projète cette relation vectorielle suivant l'axe Ox, il vient –k.x = m.aGx dV d 2x soit –k.x = m. x = m. 2 dt dt 2 d x k que l'on peut écrire: 2 + .x = 0 équation différentielle du mouvement du centre d'inertie G. m dt 2 1.2.2. On a x(t) X m cos t 0 , il faut introduire cette expression dans l'équation différentielle. T0 Établissons d'abord l'expression de la dérivée de x par rapport au temps: 2 dx 2 = X m. .sin t 0 dt T0 T0 2 d 2x 2 puis l'expression de la dérivée seconde: 2 = X m. . cos t 0 dt T0 T0 2 2 d 2x 2 que l'on peut présenter ainsi: 2 = .X m cos t 0 dt T0 T0 2 d 2x 2 = .x(t) . dt 2 T0 2 ainsi on remarque que l'on peut écrire k 2 L'équation différentielle devient .x(t) = 0 .x(t) + m T0 2 k 2 soit .x(t) = .x(t) m T0 2 k 2 donc = m T0 2 ou 2 k = T0 m finalement T0 = 2 m k m k k s'exprime en N.m-1 On sait d'après la 2ème loi de Newton qu'une force (en newtons) est égale à une masse multipliée par une accélération [F] = [M].[L].[T]–2 soit [k]= [M].[L].[T]–2.[L]–1 donc [k] =[M].[T]–2 [T0] = [M]1/2.[M]–1/2.[T] [T0] = [T] La période propre est bien homogène à une durée. 1.2.3. T0 = 2 2. 2.1. Retour à l’expérience x (en m) 2.2. x = a. cos(b.t + c) avec : a= 4,2510–2 m, b = 21,18 rad.s–1 et c = 4,71 rad. Xm,exp Graphe n°1: O 2 x(t) X m cos t 0 T0 donc a = Xm,exp = 4,2510–2 m 2 =b T0exp soit T0exp = x = f(t) T0exp t (en s) 2 2 = = 0,2967 s b 21,18 54,0.10 3 m m = 2 = 2 = 0,298 s 2 12,0 2k1 k 0,2967 0,298 2.4. écart relatif = = 0,463 % 0,298 2.3. T0 = 2 en utilisant les valeurs non arrondies 3. Aspect énergétique en l’absence de frottements 3.1. Em = EC + EP 1 1 Em = .m.v² + .k.x² 2 2 3.2. Lorsque le solide atteint l'abscisse x = Xm alors le ressort est tendu au maximum et sa vitesse est nulle. 1 alors Em = .k.Xm² 2 Lorsque le système atteint sa vitesse maximale Vm il se situe à l'abscisse x = 0 1 Em = .m.Vm² 2 Le système solide-ressort est toujours supposé osciller sans frottement donc l'énergie mécanique du système se conserve au cours du temps. 1 1 donc .k.Xm² = .m.Vm² 2 2 k.Xm² = m.Vm² Il faut faire apparaître T0 et dans cette expression, utilisons T0 = 2 m . k m k m k = (2)². 2 T0 On remplace dans l'expression précédente k.Xm² = m.Vm² m (2)². 2 . Xm² = m.Vm² T0 X Énergie on obtient Vm = 2. m T0 T02 = (2)². 3.3. Vm = 2 4,3.102 = 0,90 m.s–1 0,30 Em 3.4. Em = constante EC Sur le graphe 1, on voit qu'à t = 0 s , l'abscisse du mobile est légèrement négative, puis elle devient nulle (passage en A) ensuite elle devient positive et maximale (passage en C). EP O t (s) T0 2 mobile au point A x=0 EP = 0 mobile au point C v=0 EC = 0 mobile au point A x=0 EP = 0 4. Aspect énergétique en présence de frottements 4.1. Il s'agit du régime pseudo-périodique, le temps caractéristique est appelé la pseudo-période. 1 4.2.1. Em0 = EP0 = kXm2 0 2 X m0 4.2.2. Xm1 = r 1 1 X Em1 = kXm2 1 = k m0 2 2 r Em1 Em0 Em1 Em0 1 X m0 k 2 r 1 2 kX 2 m0 1 2 r 2 2