EXERCICE 2 (5 points) Pour tout entier naturel , on définit les

EXERCICE 2 (5 points)
Pour tout entier naturel , on définit les nombres complexes
= 12
=
√
+
pour tout
d)
• Méthode 1
par
On sait que <<<<<<<<=
;; <<<<<<<<<<=" = arg
∈ℕ
On note le module du nombre complexe : = | |
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O. On note
.
1) a)
=
+
=
+
=
+
√
= 12
√
=
√
=
+
+
+
√
√
√
=
+ √
√
3 + 3√3 " = +
− +
√
= −' +
et tracer les segments
b) Placer le point
à rendre avec la copie.
√
'
+
√
−
Or
les points d’affixes
√
'
+
#
²=− +
#
+'
&
= −&
CA+
Donc
=
AB CA+
CA+
C
C
√ -"
√ -"
*√ -
=
*
=
#C √ C C √ -
= √3
=
CA+
Dmod 2GH
#C √ -" C
√ -"
C C √ -" C
√ -"
=
C I
I√ - #√ -C I-²
DC H/ CD √ H²-²
2
et <<<<<<<<=
;; <<<<<<<<<<=" = arg √3 " = Dmod 2GH
Le triangle JKL K7 est donc rectangle en K7 .
√
• Méthode 2
= | − 0| = N3 + 3√3 N = 6
= | − 0| = |12| = 12
= | − | = N3 + 3√3 − 12N = N−9 + 3√3 N = 6 √3
On a ;
;
&
sur le graphique de l’annexe,
et
AB CA+
AB CA+
Donc ; ² = 12² = 144 et ; ² +
² = 6² + 3 × 6² = 144
Donc ; ² = ; ² +
² et on conclut avec la réciproque du théorème de
Pythagore que le triangle JKL K7 est rectangle en K7 .
2) a) Pour tout entier naturel , on a
=|
=(
+
=( +
=
|
√
√
(| |
(
7
La suite DST H est donc géométrique de raison .
&
b) On déduit de la question précédente que, pour tout entier naturel , on a :
=
• On a alors
• Donc
7
8
+
+
,
√
8
-
+
/
√.
,
=
√
(=)
=2
7
&
9
:
+
√
+
√
= +
=)
√
*
+
= cos
*
2
=) =
+ sin
2
= 7& ×
7 T
&
On sait que la suite DU H converge vers 0 lorsque −1 < U < 1, donc on déduit, par
produit, que la suite DST H converge vers 0.
Comme = | − 0| = ; , on en déduit que le point KT se rapproche du point
O quand T devient grand.
c)
• On calcule ( +
×
6
= 5 -.
1
2
On note ℓ la longueur de la ligne brisée qui relie le point
successivement par les points , , , …
On a donc, pour ≥ 1,
C
ℓ =\
]^
au point
] ]
=
+
+ ⋯+
3) a) Pour tout entier naturel , on a
C
=|
=(
+
√
= (− +
=)
=
b) Pour tout entier naturel , on a, ℓ =
=
=
= 12
+
√
Donc, par produit, hijT→
g
kT = 7&√
→ g
+ c
C
/
+
C
/
7−
1−
√
(| |
(
(
+ ⋯+
√
`1 +
√
−
=
On a donc le tableau de variation suivant pour la fonction o :
*
`12 + 12
= 7&√
= 0, on a lim
+
ST
+
= 6√3 b
→ g
*
√
&
√
√
#
|
−
=( − +
c) Comme lim
1
l D20 − l H.
10
1. Soit o la fonction définie sur [0 ; 20] par
1
oDpH =
pD20 − pH.
10
a. o est dérivable sur q0; 20r et, pour tout p ∈ q0; 20r, on a :
oDpH = 2p − 0,1p² donc st DuH = & − L, &u
o t DpH ≥ 0 ⟺ 2 − 0,2p ≥ 0 ⟺ p w 10 .
l
en passant
+⋯
√
C
C
+ ⋯ + 12
d
+⋯+
b. Par lecture du tableau de variation de o, on a immédiatement que le minimum de o
sur q0; 20r est 0 et que le maximum de o sur q0; 20r est 10.
Donc, pour tout u ∈ [L; &L], sDuH ∈ [L; 7L].
c.
C
C
a
a
7 T
&
= 1 par somme.
EXERCICE 3 (5 points)
Pour les candidats n'ayant pas choisi la spécialité mathématiques
On cherche à modéliser de deux façons différentes l'évolution du nombre, exprimé en
millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l'année.
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A : un modèle discret
Soit l le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat
l'année .
On pose = 0 en 2005, l = 1 et, pour tout ⩾ 0,
3
4
2. On note xD H la propriété : « 0 ≤ l ≤ l
≤ 10 »
Pour tout réel p ∈ [0; +∞[ , le numérateur et le dénominateur de ~′DpH sont des
nombres réels strictement positifs.
Donc, pour tout p ∈ [0; +∞[ , ~t DpH > 0.
La fonction † est donc strictement croissante sur [L; +∞[.
l D20 − l H = 1,9.
• Initialisation : l = 1 et l =
On a donc 0 ≤ l ≤ l ≤ 10 et xD0H est vraie.
• Hérédité : on suppose que xD H est vraie pour un entier naturel .
Donc 0 ≤ l ≤ l
≤ 10
Alors oD0H ≤ oDl H ≤ oDl H ≤ oD10H car o est croissante sur q0; 10r
2. On a lim‡→
Soit 0 ≤ l
≤l
≤ 10 et xD + 1H est vraie.
• Conclusion : on a démontré par récurrence que :
pour tout entier naturel T, L ≤ yT ≤ yT 7 ≤ 7L
→ g
l
= lim
=
→ g`
ℓD20 − ℓH
Par unicité de la limite, on a donc ℓ =
Et enfin, par quotient, lim‡→
3. ~DpH > 5 ⟺
ℓD20 − ℓH ⟺ ℓ = 2ℓ − 0,1ℓ²
⟺ 0,1ℓ − ℓ = 0
⟺ ℓD0,1ℓ − 1H = 0
⟺ ℓ = 0 ou ℓ = 10
1. ~ est dérivable sur [0; +∞[ et ~
=
=
7
€ u
8}9 &
7
aC
+
+
€ u
bƒe & 7d
= 10
+
€ •
#e /
+
>5
+
+
⟺ eC/‡ <
#
⟺ − p < ln
#
⟺ − p < − ln 9
+
€ •
#e /
+ € •
×`#× C/ ‚ / a
€ •
`#e /
=
+
⟺ p > 2 ln 9
L'ensemble des solutions de cette inéquation est Š = r& h‹ ƒ ; +∞q.
4. On a l ≈ 3,4 et l ≈ 5,7.
Le nombre de foyers français possédant un téléviseur à écran plat dépassera }
millions l’année 3, c’est-à-dire en 2008.
+
+
€ •
#‰ /
+
9eC/‡ + 1 = 9 × 0 + 1 = 1
⟺ 45eC/‡ + 5 < 10
La suite DyT H converge donc vers 10.
€ •
×`#e /
g
g
⟺ 5 9eC/‡ + 1 < 10 car 9eC/‡ + 1 > 0
Mais la suite Dl H est croissante et l = 1 donc forcément ℓ ≥ 1.
t DpH
=0
Donc hiju→ g †DuH = 7L
On peut donc dire que ce modèle prédit qu’au bout d’un grand nombre d’année, le
nombre de foyer possédant une TV à écran plat se rapprochera de 10 millions.
par somme et produit de limites
On suppose dans cette partie que ~ est définie sur [0; +∞[ par ~DpH =
+
C ‡
ge /
On a alors, par produit puis par somme, lim‡→
l D20 − l Ha
Partie B : un modèle continu
Soit ~DpH le nombre, exprimé en millions, de foyers équipés l'année p.
− p = −∞ et limˆ→Cg 5 ˆ = 0
Donc, par composition, lim‡→
3. On déduit de la question 3 que la suite Dl H est croissante et qu’elle est majorée par
10. On sait alors que la suite DyT H converge vers une limite k.
On a alors lim → g l
= lim → g l = ℓ
Et d’autre part, lim
g
4. On a 2 ln 9 ≈ 4,39
On peut donc estimer avec ce modèle que le nombre de foyers français possédant un
téléviseur à écran plat dépassera 5 millions l’année 5 soit en 2010.
.
/
a
&
5
6