AXIOMES (ou REGLES) DE CALCUL

AXIOMES (ou REGLES) DE CALCUL
Dans tous les ensembles de nombres, naturels ( N ), entiers relatifs ( Z ), décimaux relatifs ( D ),
rationnels (les fractions ou Q ) et réels ( R ), quels que soient ses éléments a, b et c on a :
a+b=b+a
la commutativité de l’addition
(a + b) + c = a + b + c = a + (b + c)
l’associativité l’addition
0+a=a
0 est appelé l’élément neutre additif
a·b=b·a
la commutativité de la multiplication
(a · b) · c = a · b · c = a · (b · c)
l’associativité de la multiplication
1·a=a
1 est appelé l’élément neutre multiplicatif
la distributivité de la multiplication sur
l’addition, valable aussi bien pour la
soustraction a·(b – c) = a·b – a·c.
Lue de gauche à droite, on dit que l’on a développé le produit a·(b + c) en une somme a·b + a·c.
Lue de droite à gauche, on dit avoir factorisé la somme ou avoir mis en évidence le facteur a.
4 exemples d’utilisation pour réduire des expressions algébriques.
Si x et y représentent des nombres quelconques alors
2x + 3x = 2·x + 3·x = (2 + 3)·x = 5x
par la distributivité
2x·3x = 2·3·x·x = (2·3)·(x·x) = 6·x2
par commutativité et associativité de ·
2x + 3y + 5x + 7y = 2x + 5x + 3y + 7y =
par la commutativité et la distributivité
= (2 + 5)x + (3 + 7)y = 7x + 10y
3x + x = 3x + 1·x = (3 + 1)·x = 4·x
utilisation élément neutre et distributivité
Dans l’ensemble des nombres relatifs (entiers, décimaux, rationnels et réels) tout élément n admet
un opposé noté -n qui vérifie la propriété n + (-n) = 0. À l’aide des règles précédentes on peut
démontrer :
-(-n) = n
l’opposé de l’opposé d’un nombre = le nombre
a – b = a + (-b)
soustraire un nombre (b) = additionner son opposé (-b)
-n = (-1)·n
l’opposé d’un nombre = le produit du nombre par -1
Exemples d’utilisation pour réduire. Si a, b, x et y représentent des nombres quelconques alors
-a – b = (-1)·a + (-b) = (-1)·a +(-1)·b = (-1)·(a +b) = -(a + b)
(-a)·(-b) = (-1)·a·(-1)·b = (-1)·(-1)·a·b ={ (-1)[(-1)]}a·b = a·b
2x – 3y – 5x + 7y = 2x + (-3y) + (-5x) + 7y = 2x + (-5x) + (-3y) + 7y = = -3x + 4y
-(2x – 3y) – 5x = (-1)·[2x + (-3y)] + (-5x) = (-1)·2x + (-1)·(-3y) + (-5x) = -2x + 3y + (-5x)
= -2x + (-5x) + 3y = (-2 + -5)·x + 3y = -7x + 3y