Les ensembles de nombres et leurs propriétés essentielles

Les ensembles de nombres et leurs propriétés essentielles
N = {0;1;2;3;...} est appelé l’ensemble des nombres naturels
Z = {...;!2;!1;0;1;2;3;...} est appelé l’ensemble des entiers relatifs
"
%
3
D = #0,03 ; ! 1,2 ; 0 ;0,9 = 1; = 0,6 ;...& est appelé l’ensemble des nombres décimaux, c’est-à-dire,
5
$
'
les nombres admettant une écriture décimale finie.
"
!2
5 %
Q = #0 ; ! 2 =
; 25 = ; ...& est appelé l’ensemble des nombres rationnels (c’est-à-dire des
1
1 '
$
nombres admettant une écriture sous la forme d’un quotient de deux nombres entiers)
#
&
1
R = $0 ;1; ; 3,14 ; ! 2 ; " ;...' est appelé l’ensemble des nombres réels (c’est-à-dire des nombres
2
%
(
pouvant être approchés arbitrairement prés par des nombres décimaux (ou rationnels)).
L’addition et la multiplication sont bien définies dans N . En revanche, il est nécessaire d’introduire
les entiers relatifs Z , pour que l’opération de soustraction soit aussi bien définie partout.
Rappel : On dit que deux nombres sont opposés si leur somme égale 0.
On note l’opposé d’un nombre a par -a . Autre propriété : opposé(a) = -a = (-1) ! a
En utilisant la propriété ci-dessus on obtient (-1)!(-1) = 1, car (-1)!(-1) = opposé (-1) = + 1
Par définition, soustraire un nombre est équivalent à additionner son opposé
Pour que la division soit définie (presque) partout l’on doit considérer un ensemble encore plus
vaste que Z ou D , celui des nombres rationnels Q .
Par définition, on dit que deux nombres sont inverses si leur produit égale 1. Tout nombre différent
1
de 0 (!) admet un inverse. L’inverse d’un nombre a (non nul) est noté = inverse(a) = a-1.
a
Par définition, diviser par un nombre est équivalent à multiplier par son inverse
Tout le calcul algébrique (ou arithmétique) ne prend appui que sur les règles ci-dessous :
Si a, b et c représentent des nombres (entiers, rationnels ou réels) alors on a toujours
a+b=b+a
la commutativité de l’addition
(a + b) + c = a + b + c = a + (b + c)
l’associativité l’addition
0+a=a
0 est appelé l’élément neutre additif
a!b=b!a
la commutativité de la multiplication
(a ! b) ! c = a ! b ! c = a ! (b ! c)
l’associativité de la multiplication
1!a=a
1 est appelé l’élément neutre multiplicatif
la distributivité de la multiplication sur
l’addition est valable aussi bien pour la
soustraction a!(b – c) = a!b – a!c.
Lue de gauche à droite, on dit que l’on a développé le produit a!(b + c) en une somme a!b + a!c.
Lue de droite à gauche, on dit avoir factorisé la somme ou avoir mis en évidence le facteur a.
4 exemples d’utilisation pour réduire des expressions algébriques.
Si x et y représentent des nombres quelconques alors
2x + 3x = 2!x + 3!x = (2 + 3)!x = 5x
par la distributivité
2x!3x = 2!3!x!x = (2!3)!(x!x) = 6!x2
par commutativité et associativité de !
2x + 3y + 5x + 7y = 2x + 5x + 3y + 7y =
par la commutativité et la distributivité
= (2 + 5)x + (3 + 7)y = 7x + 10y
3x + x = 3x + 1!x = (3 + 1)!x = 4!x
utilisation élément neutre et distributivité
Dans l’ensemble des nombres relatifs (entiers, décimaux, rationnels et réels) tout élément n admet
un opposé noté -n qui vérifie la propriété n + (-n) = 0. À l’aide des règles précédentes on peut
démontrer :
-(-n) = n
l’opposé de l’opposé d’un nombre = le nombre
a – b = a + (-b)
soustraire un nombre (b) = additionner son opposé (-b)
-n = (-1)!n
l’opposé d’un nombre = le produit du nombre par -1
Exemples d’utilisation pour réduire. Si a, b, x et y représentent des nombres quelconques alors
-a – b = (-1)!a + (-b) = (-1)!a +(-1)!b = (-1)!(a +b) = -(a + b)
(-a)!(-b) = (-1)!a!(-1)!b = (-1)!(-1)!a!b ={ (-1)[(-1)]}a·b = a!b
2x – 3y – 5x + 7y = 2x + (-3y) + (-5x) + 7y = 2x + (-5x) + (-3y) + 7y = -3x + 4y
-(2x – 3y) – 5x = (-1)![2x + (-3y)] + (-5x) = (-1)!2x + (-1)!(-3y) + (-5x) = -2x + 3y + (-5x)
= -2x + (-5x) + 3y = (-2 + -5)!x + 3y = -7x + 3y
Rappels d’algèbre
1) Une équation est une égalité contenant une (ou plusieurs) inconnue(s).
2) Une solution est une valeur numérique qui substituée à l’inconnue donne une égalité vraie.
3) Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions (réelles).
Méthode de résolution d’équations en abrégé !
1) Agir sur le membre de gauche et sur celui de droite de manière identique
2) et de manière globale ( ! ) et évidemment en appliquant les règles de ‘grammaire’
mathématique ( commut. associat., distribut.) En abrégé les règles d’équivalences sont :
a) A = B ! (est équivalent à)
A+ C = B + C
où C est n'importe quelle expression algébrique (ou nombre)
b) De même : A = B !
A" c = B " c
où c est un nombre non nul ( c # 0 ).
3) Pour annuler * un terme il suffit d’additionner son opposé
(* c’est-à-dire, pour obtenir 0, l’élément neutre additif)
4) Pour simplifier** un facteur il suffit de multiplier par son inverse
(** c’est-à-dire, pour obtenir 1, l’élément neutre multiplicatif)