Chapitre 1 Maths II trous

4
Fonctions usuelles
4.1
Fonction polynomiale
Définition Soient n ∈ N, a0 , a1 , ..., an−1 ∈ R et an ∈ R∗ . Alors la fonction
P ∶R → R
x � � ak xk = ...........................................................,
n
k=0
est appelée fonction polynôme de degré n.
Définition Soit P ∶ R → R un polynôme de degré n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. ....................................................................................................
Exemple Le polynôme P défini pour tout x ∈ R par P (x) = x2 + x − 2 admet-il des racines ? . . . . . . . . . . .
. ....................................................................................................
Proposition Soit P ∶ R → R un polynôme de degré n. Alors :
. ......................................................................................................................
. ......................................................................................................................
Remarque Lorsque n = 2, si P (x) = ax2 + bx + c admet deux racines x1 et x2 alors une factorisation de
P est P (x) = .......................................................
Exemple 1 et −2 sont racines du polynôme P défini par P (x) = x2 + x − 2, ainsi P (x) se factorise par
............. et ............., une factorisation est P (x) = ......................................................
4.2
Fonctions logarithme et exponentielle
Définition On appelle logarithme népérien l’unique fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. ....................................................................................................
Propriétés (Règles de calcul)
Pour tout a, b ∈ R∗+ , n ∈ Z on a
ln(ab)
a
ln � �
b
ln(an )
1
ln � �
a
1
ln � n �
a
= ...........................................................
= ...........................................................
= ...........................................................
= ...........................................................
= ...........................................................
Théorème L’application logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Preuve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. ......................................................................................................
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Définition La fonction exponentielle notée exp ∶ R →]0, +∞[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. ....................................................................................................
Remarque On utilisera la notation exp(x) = ex . Comme elle est la réciproque de la fonction logarithme,
on en déduit que la fonction exponentielle est bijective et vérifie
..................................................................................................................
Propriétés (Règles de calcul)
Pour tout x, y ∈ R et pour tout n ∈ Z,
e0 =
ex+y =
e−x =
enx =
e−nx = (ex )−n =
......................,
......................,
......................,
......................,
.......................
Définition Soit a > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
expa ∶ ..... → ...................
x � ...........................
Fonctions puissances et leurs réciproques
Définition Soit ↵ ∈ R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. ....................................................................................................
Proposition Soit ↵ ∈ R.
]0, +∞[ �→ ]0, +∞[
L’application ∶
est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
�→
x↵
. ....................................................................................................
(resp. strictement décroissante si ↵ < 0) et admet pour réciproque l’application ∶
............. �→ .............
x
�→
.........
Remarque Lorsque n ∈ N et n � 2, la réciproque de l’application x � xn est l’application . . . . . . . . . . . . . .
appelée racine n-ième. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. ....................................................................................................
2
4.4
Fonctions trigonométriques et leurs réciproques
cos(x) = ......................
✓
sin(x) = ......................
cos(✓)
0
√
3
2
sin(✓)
tan(x) = ......................
⇡
6
√
3
2
1
2
⇡
4
√
2
2
√
2
2
⇡
3
1
2
√
3
2
⇡
2
√
3
2
D’après le théorème de Pythagore dans le triangle OBM : ..................................................................
Propriétés La fonction sinus sin ∶ R → [−1, 1] vérifie :
.∀x ∈ R, sin(−x) =.....................(elle est impaire).
.∀x ∈ R, sin(x + 2⇡) =.....................(elle est 2⇡-périodique).
.∀x, y ∈ R, sin(x+y) = .......................................................................
.∀x, y ∈ R, sin(x − y) = ..............................................................
Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. ....................................................................................................
Proposition La fonction sinus sin ∶ .................. → .............. est bijective.
Définition On appelle fonction arccsinus, notée arcsin ∶ .............. → ................., l’application réciproque
de la fonction sin ∶ [− ⇡2 , ⇡2 ] → [−1, 1].
Remarque Par définition, pour tout y ∈ [−1, 1], arcsin(y) est l’unique angle compris entre − ⇡2 et
que son sinus soit égal à y. Ceci nous donne la relation suivante :
⇡ ⇡
Si x ∈ [− , ], sin(x) = y ⇔ x = arcsin(y).
2 2
Exemple d’application : Que vaut arcsin( 12 )?
Par définition,
1
✓ = arcsin( ) ⇔ ......................................................................
2
Par identification, ✓ = ......
Propriétés La fonction arcsinus est bijective de [−1, 1] dans [− ⇡2 , ⇡2 ] et vérifie :
. arcsin(sin(x)) = .....................................
. sin(arcsin(y)) = ....................................
. arcsin(−y) = ..........................................
3
⇡
2
tel
Exemple d’application : Que vaut arcsin(sin( 13⇡
3 )) ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
Propriétés La fonction cosinus cos ∶ R → [−1, 1] vérifie :
.∀x ∈ R, cos(−x) =.....................(elle est paire).
.∀x ∈ R, cos(x + 2⇡) = .....................(elle est 2⇡-périodique).
.∀x, y ∈ R, cos(x − y) = ..............................................................
.∀x, y ∈ R, cos(x + y) = ..............................................................
Remarque Graphiquement, on voit que la fonction cosinus n’est pas injective sur R, elle n’est donc pas
bijective.
Proposition La fonction cos ∶ .............. → .............. est bijective.
Définition On appelle fonction arccosinus, notée arccos ∶ .............. → .............., l’application réciproque
de la fonction cos ∶ [0, ⇡] → [−1, 1].
Remarque Par définition, pour tout y ∈ [−1, 1], arccos(y) est l’unique angle compris 0 et ⇡ tel que son
cosinus soit égal à y. Ceci nous donne la relation suivante :
⇡ ⇡
Si x ∈ [− , ], sin(x) = y ⇔ x = arcsin(y).
2 2
Exemple d’application : Que vaut arccos( 12 )?
Par définition,
1
✓ = arccos( ) ⇔ ......................................................................
2
Par identification, ✓ = ......
Propriétés La fonction arccosinus est bijective de [−1, 1] dans [0, ⇡] et vérifie :
. arccos(cos(x)) = ....................................
. cos(arccos(y)) = ....................................
Exemple d’application : Que vaut arccos(cos( 13⇡
3 )) ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
4
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
Propriétés La fonction tangente tan ∶ Dtan → R est définie par tan(x) =
Elle vérifie :
sin(x)+
avec
Dtan = {x ∈ R ∶ .....................} = �x ∈ R ∶ ...............................................�.
. ∀x, −x ∈ Dtan , tan(−x) = ...................... (elle est ......................).
. ∀x ∈ Dtan , tan(x + ⇡) = ...................... (elle est ......................................).
Remarque Graphiquement, on voit que la fonction tangente n’est pas injective sur son domaine de
définition, elle n’est donc pas bijective.
Proposition La fonction tangente tan ∶ .................. → ......... est bijective.
Définition On appelle fonction arctangente, notée arctan ∶ ........ → ....................., l’application
réciproque de la fonction tan ∶] − ⇡2 , ⇡2 [→ R.
Remarque Par définition, pour tout y ∈ R, arctan(y) est l’unique angle compris (strictement) entre − ⇡2
et ⇡2 tel que sa tangente soit égale à y. Ceci nous donne la relation suivante :
⇡ ⇡
Si x ∈ [− , ], sin(x) = y ⇔ x = arcsin(y).
2 2
Propriétés La fonction arctangente est bijective de R dans ] − ⇡2 , ⇡2 [ et vérifie :
. arctan(tan(x)) = ........................................
. tan(arctan(y)) = ........................................
. arctan(−y) = ..............................................
1 − t2
.
1 + t2
. ......................................................................................................
Exemple : En posant t = tan( x2 ) montrer que pour tout x ∈ R��y ∈ R ∶ y = ⇡ +2k⇡, k ∈ Z�, cos(x) =
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
5
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
. ......................................................................................................
4.5
Fonctions hyperboliques directes et leurs réciproques
Définitions On appelle fonction sinus hyperbolique, notée ............................................, la fonction
définie par
ex − e−x + 788
sh x =
, ∀x ∈ R.
On appelle fonction cosinus hyperbolique, notée ............................................, la fonction définie par
ch x =
Propriétés
ex − e−x + 788
, ∀x ∈ R.
1. La fonction sinus hyperbolique vérifie :
. sh est ......................................................................
. sh(−x) = ....................., ∀x ∈ R.
2. La fonction cosinus hyperbolique vérifie :
. ch est ......................................................................
. ch(−x) = ....................., ∀x ∈ R.
Définitions On appelle fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. ....................................................................................................
On appelle fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. ....................................................................................................
Remarque Par ces définitions, on a
et
⇡ ⇡
Si x ∈ [− , ], sin(x) = y ⇔ x = arcsin(y).
2 2
⇡ ⇡
Si x ∈ [− , ], sin(x) = y ⇔ x = arcsin(y).
2 2
6
Propriétés
1. La fonction argument sinus hyperbolique est bijective de ......
dans ...... et vérifie :
. argsh(−y) = ..............................., ∀y ∈ R.
. argsh(y) = ................................., ∀y ∈ R.
2. La fonction argument cosinus hyperbolique est continue et
bijective de ............... dans ...... et vérifie :
. argch(y) = ................................., ∀y ∈ [1, +∞[.
Définition On appelle fonction tangente hyperbolique, notée ............................................, la fonction
définie par
ex + 2 + + ex − e−x + 788
th x =
=
, ∀x ∈ R.
Propriétés La fonction tangente hyperbolique vérifie :
. th est .................................................
. th(−x) = ............., ∀x ∈ R.
Définition On appelle fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. ....................................................................................................
Remarque Par cette définition, on a
⇡ ⇡
Si x ∈ [− , ], sin(x) = y ⇔ x = arcsin(y).
2 2
Propriétés La fonction argument tangente hyperbolique est bijective de
.......... dans ...... et vérifie :
. argth(−y) = .............................., ∀y ∈] − 1, 1[.
. argth(y) = ................................, ∀y ∈] − 1, 1[.
Proposition Les fonctions sh, ch et th sont reliées par les relations suivantes, ∀x ∈ R
ch x + sh x = .....
ch x − sh x = .....
ch2 x − sh2 x = .....
1 − th x =
2
7
1
2
ch2 x + 2
.