ch2-Le theoreme de Thales

CHAPITRE 2
QUELQUES THEOREMES VUS EN 4EME
LE THEOREME DE THALES ET SA RECIPROQUE
I. QUELQUES THEOREMES VUS EN 4EME
EXERCICE 1
ABC est un triangle rectangle en A. AB = 5 cm et BC = 6 cm
Calculer AC à 0,1 cm près.
Solution :
On sait que : …………………………………………………………
On utilise : ……………………………………………………………
On conclut : …………………………………………………………..
EXERCICE 2
RST est un triangle tel que
RS = 6 cm, RT = 2,5 cm et ST = 6,5 cm.
Démontrer que ce triangle est rectangle.
Solution :
On sait que : ……………………………………………………………….
On utilise : ………………………………………………………………….
On conclut : ………………………………………………………………..
Page 1 sur 7
EXERCICE 3
EFG est un triangle rectangle en E tel que EF = 5 cm et FG = 6 cm.
I est le milieu de [FG]. Calculer EI.
Solution :
On sait que : ………………………………………………………………..
On utilise : …………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………….
On conclut : …………………………………………………………………
EXERCICE 4
TUV est un triangle tel que TU = 4 cm, TV = 5 cm et UV = 6 cm.
I est le milieu de [TU] et J celui de [TV]. Calculer IJ
Solution :
On sait que : …………………………………………………………
On utilise : ……………………………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………….
On conclut : ………………………………………………………..
EXERCICE 5
RST est un triangle tel que RS = 8 cm, RT = 6 cm et ST = 7 cm.
M est le point du segment [RS] tel que SM = 5 cm.
La droite qui passe par M et qui est parallèle à (RT) coupe (ST) en N.
Calculer SN et MN.
Solution :
On sait que : …………………………………………………………
On utilise : ………………………………………………………….
On conclut : ………………………………………………………..
Page 2 sur 7
EXERCICE 6
(c) est un cercle de centre O et de rayon 3 cm.
[AB] est un diamètre de (c).
E est un point de (c) tel que AE = 5 cm.
Démontrer que ABE est un triangle rectangle.
Solution :
On sait que : …………………………………………………………
On utilise : ………………………………………………………….
…………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….
On conclut : ………………………………………………………..
II. LE THEOREME DE THALES
A. THEOREME (ADMIS)
E ∈ [OA]
F ∈ [OB]
O ∈ [EA]
O ∈ [FB]
Dans les deux configurations :
SI les droites (EF) et (AB) sont parallèles ALORS les quotients
EF
OE OF
,
et
sont
OA OB
AB
égaux.
Autrement dit :
Si (EF) // (AB) alors
OE
OF
EF
=
=
OA
OB
AB
Note : le sommet commun aux deux triangles (le point O) apparaît 4 fois dans les
quotients.
Page 3 sur 7
B. APPLICATION
Enoncé :
O ∈ [CB]
O ∈ [DA]
(CD) // (AB)
Calculer OB et OD
Solution :
On sait que : O ∈ [CB] O ∈ [DA] et (CD) // (AB)
On utilise : le théorème de Thalès
OC OD CD
On conclut :
=
=
AB
OB OA
Appelons x et y les mesures en cm des longueurs OB et OD, on obtient :
y
4
5
=
=
x 9,5 6
Calcul de OB
5
4
=
x
6
Calcul de OD
y
4
=
9,5 6
4 × x = 5× 6
5× 6
x=
4
x = 7,5
La longueur OB est égale à 7,5 cm.
III.
y×6 = 4×9,3
4×9,3
y=
6
y = 6,2
La longueur OD est égale à 6,2 cm.
REGLES DES PRODUITS EN CROIX
A. REGLE
a c
=
b d
est équivalent à
a×
×d = b×
×c
Page 4 sur 7
B. APPLICATIONS
Application à la résolution d’équations :
Enoncé : Résoudre l’équation
3 2
=
x 7
3 2
=
x 7
2× x = 3 × 7
3× 7
x=
2
x = 10,5
L’équation a une solution : 10,5
Solution :
Application à la comparaison de deux quotients:
Enoncé : Les quotients
Solution :
6
9
et
sont-ils égaux ?
14
21
Calculons les deux produits en croix
6 × 21 = 126 et 9× 4 = 126
Les produits en croix sont égaux donc les quotients aussi :
6
9
=
.
14
21
IV. RECIPROQUE ET CONTRAPOSEE DU THEOREME DE THALES
A. UN PEU DE LOGIQUE
Théorème :
Si A alors B
Réciproque : Si B alors A
Contraposée : Si non B alors non A
Les activités faites en classe on permis de montrer que :
- la contraposée d’un théorème est toujours vraie (en fait, la contraposée est une
autre formulation du théorème)
- la réciproque n’est pas toujours vraie : pour certains théorèmes elle est vraie, pour
d’autres elle est fausse.
Pour le théorème de Thalès, comme pour le théorème de Pythagore, la réciproque est
vraie (admis).
Page 5 sur 7
B. THEOREMES
E ∈ [OA]
F ∈ [OB]
O ∈ [EA]
O ∈ [FB]
Dans les deux configurations :
Théorème de Thalès :
Si
(EF) est parallèle (AB) alors
OE
OF
est égal à
OA
OB
Réciproque du théorème de Thalès :
OE
OF
Si
est égal à
alors (EF) est parallèle à (AB)
OA
OB
Contraposée du théorème de Thalès :
OE
OF
Si
n’est pas égal à
alors (EF) n’est pas parallèle à (AB)
OA
OB
C. APPLICATIONS
Enoncé 1 :
M ∈ [OA] et N ∈ [OB].
Les droites (MN) et (AB) sont-elles parallèles ?
Solution :
Comparons les quotients
ON OM
et
:
OB OA
Page 6 sur 7
ON 6
=
OB 8
OM 8,1
=
OA 10,7
6×10,7 = 64,2 et 8×8,1 = 64,1 donc
6 8,1
≠
8 10,7
ON
OM
n’est pas égal à
OB
OA
On utilise : Contraposée du théorème de Thalès
On conclut : les droites (MN) et (AB) ne sont pas parallèles.
On sait que : M ∈ [OA] N ∈ [OB] et
Enoncé 2 :
O ∈ [DA] et O ∈ [CB].
Les droites (CD) et (AB) sont-elles parallèles ?
Solution :
OD OC
et
:
OA
OB
OC
7
=
OB 10,5
Comparons les quotients
OD 6
=
OA 9
6×10,5 = 63 et 9 × 7 = 63 donc
6
7
=
9 10,5
OD
OC
est à
OA
OB
On utilise : réciproque du théorème de Thalès
On conclut : les droites (MN) et (AB) sont parallèles.
On sait que : O ∈ [DA] O ∈ [CB] et
Page 7 sur 7