Devoir surveillé de Mathématiques n°1. TES1 Exercice 1 : (6 points

Devoir surveillé de Mathématiques n°1.
TES1
Exercice 1 : (6 points)
On donne ci-contre la représentation graphique Cf d’une fonction f
définie sur [0 ; 10].
Les points A, B, et C sont les points de Cf ayant pour coordonnées
respectives :
4
A 3;− B ( 5;0 ) C (8 ; 0,75)
3
Les tangentes à la courbe Cf aux points A, B et C sont tracées.
Le point D a pour coordonnées (3 ; 7).
D
( )
B
1. Déterminer, sans justification :
a) f (3)
b) f ’(3)
c) f (5)
d) f ’(5)
e) f ’(8)
f) L'équation de la tangente à Cf en B.
g) L'équation de la tangente à Cf en C.
h) L'équation de la tangente à Cf en A.
C
A
2. Parmi les trois courbes ci-dessous, déterminer laquelle représente graphiquement la fonction dérivée f ’ de la
fonction f (on justifiera l'élimination des courbes ne correspondant pas)
Courbe 1
Courbe 2
Courbe 3
Exercice 2 : (5 points)
4
On considère la fonction définie sur ℝ par : f(x) = A (3;− 3 ) B ( 5; 0 ) C (8 ; 0,75)
1. Calculer f ’(x), puis factoriser f ’(x).
2. Dresser le tableau de variations complet de f sur [-5 ; 5].
3. Quel est le maximum de f sur l'intervalle [-5 ; 5] ?
Exercice 3 : (4,5 points)
On considère la fonction g définie sur ]0 ; + ∞[ par : g(x) =
Object 43
.
1. Calculer g’(x) et écrire le résultat sous la forme d'un quotient.
2. Déterminer l'équation de la tangente à Cg (courbe représentative de g) au point d'abscisse 4.
Exercice 4 : (4,5 points)
On considère la fonction h définie par : h(x) =
Object 44
1. Déterminer le domaine de définition de la fonction h.
2. Calculer h’(x).
3. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction h.
Devoir surveillé de Mathématiques n°1. 19 septembre 2013
TES1
Exercice 1 :
1.
a) f(3) =
c’est l’ordonnée du point A donnée dans l’énoncé.
Object 8
b) f’(3) = 0
car la tangente en A est horizontale donc son coefficient directeur est nul.
c) f(5) = 0
c’est l’ordonnée du point B.
d) f’(5) = 1 c’est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en B.
e) f’(8) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en C donc de la droite passant par C et D
Object 10
f) L'équation de la tangente à Cf en B est : y = x – 5 (coefficient directeur 1 et ordonnée à l’origine -5)
g) L'équation de la tangente à Cf en C : on ne peut pas lire l'ordonnée à l'origine donc on applique la
formule :
y = f’(8) (x – 8) + f(8)
y=
(x – 8) + 0.75
y=
x + 10 + 0.75
y=
x + 10.75
Object 12
Object 14
Object 16
h) La tangente en A est horizontale et passe par
, donc son ordonnée à l'origine est
et
Object 20
Object 18
l'équation de la tangente
est y =
.
Object 22
2.
Le tableau de variations de f nous indique le signe de f’ donc la position de la courbe de f’ par rapport à
l’axe des abscisses :
x 0
3
7
10
f(x)
f '(x)
–
0
+
0
–
Donc la courbe de f’ est située en dessous de l’axe des abscisses sur les intervalles [0 ; 3] et [7 ; 10] et audessus de l’axe des abscisses sur l’intervalle [3 ; 7], d’où l’élimination de la courbe 2.
Les courbes 1 et 3 peuvent convenir. Cependant, on sait d’après la première question que f’(5) = 1 donc la
courbe de f’ doit passer par le point de coordonnées (5 ; 1) d’où l’élimination de la courbe 3.
C’est donc la courbe 1 qui représente la dérivée f’ de f .
Exercice 2 : (5,5 points)
On considère la fonction définie sur ℝ par f(x) = – 3x4 – 4x3 + 12x² + 7 .
1.
f est une fonction polynôme dérivable sur ℝ et
f’(x) = – 3 × 4x3 – 4 × 3x2 + 12 × 2x + 0 = – 12x3 – 12x2 + 24x = 12x (–x² – x + 2).
Le premier facteur : 12x est du premier degré et s'annule en 0
Le second facteur (–x² – x + 2) est un trinôme : Δ = 9 > 0 donc il a deux racines : x1 = – 2 et x2 = 1 et il
est du signe de a = – 1 à
l’extérieur des racines
On en déduit :
x
–5
–2
0
1
5
2.
12x
–
–
–x² – x + 2
–
0
+
f’(x)
+
0
–
0
0
+
+
+
0
–
+
0
–
f(x)
106
8
39
12
7
-2068
D'après le tableau précédent, le maximum sur [–5 ; 5] est 39 (atteint en x = –2).
3.
Exercice 3 : (4 points)
On considère la fonction g définie sur + par : g(x) = (2x + 1)
.
g est dérivable sur ]0 ; +∞[ comme produit de fonctions dérivables.
Object 24
g = uv donc g’ = u’v + uv’
avec : u(x) = 2x + 1 donc u’(x) = 2 et v(x) =
Object 26
donc g’(x) =
Object 28
Object 30
6 × 4+ 1 25
❑
g ( 4 )= ❑ = =6,25 et g ( 4 )=(2 × 4+1 ) √
4=18
4
2√ 4
donc la tangente à la courbe au point d’abscisse 4 a pour équation : y = g’(4) (x – 4) + g(4) y = 6.25(x – 4) +
18 y = 6.25x – 7
'
Exercice 4 : (4,5 points)
Onconsidère la fonction h définie par :h ( x )=
x +3
5 x +2
1) Contrainte : h(x) existe lorsque son dénominateur est non nul donc il faut que : 5x + 2 ≠0 x ≠
Object 36
Donc Dh = ℝ–{–0,4} .
2)
h est dérivable sur ℝ–{–0,4} et h =
donc h’ =
Object 38
.
Object 40
u(x) = x + 3 donc u’(x) = 1 et v(x) = 5x + 2 donc v’(x) = 5
Object 42
3) Le numérateur de h' est clairement négatif sur Dh, et le dénominateur clairement positif (carré)
Donc h' est négative sur Dh. On en déduit le tableau suivant :
x
f '(x)
f(x)
–∞
–0,4
–
+∞
–